9.3 線(xiàn)面垂直、三垂線(xiàn)定理doc-高中數(shù)學(xué)

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9．3線(xiàn)面垂直、三垂線(xiàn)定理

一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．掌握直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理，能用文字、符號(hào)、圖形規(guī)范表述.

2．掌握三垂線(xiàn)定理及其逆定理

3．通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化提高化歸轉(zhuǎn)化能力.

4．會(huì)求斜線(xiàn)與平面所成的角.

二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1．直線(xiàn)和平面垂直定義：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直.記作：a⊥α

2．直線(xiàn)與平面垂直的判定方法：

（1）判定定理：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則則線(xiàn)垂直；

（2）依定義，一般要用反證法；

（3）和直線(xiàn)的垂面平行的平面垂直于直線(xiàn)；

（4）面面垂直的性質(zhì).

3．直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行.

4．點(diǎn)到平面的距離、直線(xiàn)和平面的距離以及面面距離的求法：

找出垂線(xiàn)段，在一個(gè)平面內(nèi)求，或用等積法、向量法求，

5．斜線(xiàn)、射影、直線(xiàn)和平面所成的角：定義——

性質(zhì)：從平面外一點(diǎn)向平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中

（1）垂線(xiàn)段最短；

（2）斜線(xiàn)段相等<=>射影相等；

(3)斜線(xiàn)段較長(zhǎng)（短）<=>射影較長(zhǎng)（短）.

6．三垂線(xiàn)定理：

平面內(nèi)的直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)的射影垂直，那么它也和斜線(xiàn)垂直。

三垂線(xiàn)定理的逆定理：

平面內(nèi)的直線(xiàn)，如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)垂直，那麼它也和這條斜線(xiàn)的射影垂直

用途：判定線(xiàn)線(xiàn)垂直=>線(xiàn)面垂直，二面角的平面角.

三、雙雙基題目練練手

1.已知a，b，c是直線(xiàn)，，是平面，下列條件中，能得出直線(xiàn)a⊥平面的是（）

A.a⊥c,a⊥b，其中b,cB.a⊥b,b∥

C.⊥，a∥D.a∥b,b⊥

2.如果直線(xiàn)l⊥平面，

①若直線(xiàn)m⊥l,則m∥；②若m⊥,則m∥l；

③若m∥,則m⊥l；④若m∥l,則m⊥,

上述判斷正確的是（）

A.①②③B.②③④

C.①③④D.②④

3.直角△ABC的斜邊BC在平面內(nèi)，頂點(diǎn)A在平面外，則△ABC的兩條直角邊在平面內(nèi)的射影與斜邊BC組成的圖形只能是（）

A.一條線(xiàn)段B.一個(gè)銳角三角形

C.一個(gè)鈍角三角形D.一條線(xiàn)段或一個(gè)鈍角三角形

4.已知P為Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA=PB=PC，D為斜邊AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)PD與平面ABC.（）

A．垂直B.斜交C.成600角D.與兩直角邊長(zhǎng)有關(guān)

5．直線(xiàn)a,b,c是兩兩互相垂直的異面直線(xiàn)，直線(xiàn)d是b和c的公垂線(xiàn)，則d和a的位置關(guān)系是______________.

6．（2006浙江）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為l，棱AB∥平面，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;5.a∥d;

6..CD⊥平面α?xí)r射影面積最??；CD//α?xí)r射影面積最大.

四、經(jīng)典例題做一做

【例1】AD為△ABC中BC邊上的高，在AD上取一點(diǎn)E，使AE=DE，過(guò)E點(diǎn)作直線(xiàn)MN∥BC，交AB于M，交AC于N，現(xiàn)將△AMN沿MN折起，這時(shí)A點(diǎn)到A點(diǎn)的位置，且AED=60，求證：AE⊥平面ABC.

A

B

C

D

M

N

A

E

【例2】如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平

A

B

C

P

E

F

面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，

求證：

（1）BC⊥平面PAB；

（2）AE⊥平面PBC；

（3）PC⊥平面AEF.

證明：（1）PA⊥平面ABC

BC⊥平面PAB.

PA⊥BC

AB⊥BC

PA∩AB=A

（2）AE平面PAB，

AE⊥平面PBC.

由（1）知AE⊥BC

AE⊥PB

PB∩BC=B

（3）PC平面PBC，

PC⊥平面AEF.

由（2）知PC⊥AE

PC⊥AF

AE∩AF=A

【例3】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,AC=1,CB=，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)D，B1C1的中點(diǎn)為M，

求證：CD平面BDM

證明：在直三棱柱中，又

∴平面，

∵，∴，

∴，

連結(jié)，則上的射影,也是CD的射影

在中，

在中，，

∴,∴，

∴，

∴平面.

◆總結(jié)提練：證線(xiàn)面垂直,要注意線(xiàn)線(xiàn)垂直與線(xiàn)面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化

證線(xiàn)線(xiàn)垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂線(xiàn)定理或通過(guò)線(xiàn)面垂直.

【例4】（2006浙江）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面，

且，分別為、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求與平面所成的角.

解：（

=1\*ROMAN

I

）∵是的中點(diǎn)，，∴.

∵平面，∴，從而平面.

∵平面，∴.

P

N

B

C

M

D

A

（

=2\*ROMAN

II

）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

∴與平面所成的角和與面所成的角相等.

∵平面，

∴NG是BG在面ADMN內(nèi)的射影,

是與平面所成的角.

在中，.

故與平面所成的角是.

五．提煉總結(jié)以為師

1.熟練掌握線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理.

2.證明線(xiàn)面垂直的常用方法：

（1）用判定定理；

（2）與直線(xiàn)的垂面平行

（3）用面面垂直的性質(zhì)定理；

（4）同一法.

（5）用活三垂線(xiàn)定理證線(xiàn)線(xiàn)垂直.

3．線(xiàn)面角的求法：作出射影轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角.

同步練習(xí)9.3線(xiàn)面垂直、三垂線(xiàn)定理

【選擇題】

1.若兩直線(xiàn)a⊥b，且a⊥平面，則b與的位置關(guān)系

是（）

A、相交B、b∥C、b∥，或bD、b

2.下列命題中正確的是（）

A.過(guò)平面外一點(diǎn)作這個(gè)平面的垂面有且只有一個(gè)

B.過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的平行平面有且只有一個(gè)

C.過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)有且只有一條

D.過(guò)平面的一條斜線(xiàn)作這個(gè)平面的垂面有且只有一個(gè)

3.給出下列命題：

①若平面α的兩條斜線(xiàn)段PA、PB在α內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，那么PA、PB的長(zhǎng)度相等；

②已知PO是平面α的斜線(xiàn)段，AO是PO在平面α內(nèi)的射影，若OQ⊥OP，則必有OQ⊥OA；

③與兩條異面直線(xiàn)都平行的平面有且只有一個(gè)；

④平面α內(nèi)有兩條直線(xiàn)a、b都與另一個(gè)平面β平行，則α∥β．

上述命題中不正確的是

（）

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②③④

4.PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是（）

APA⊥BCBBC⊥平面PAC CAC⊥PB DPC⊥BC

【填空題】

5.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2cm、3cm、4cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為_(kāi)_____

6.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）

◆答案提示：1-4CDAC；5.3cm;

6.AC⊥BD或四邊形ABCD菱形等;

【解答題】

7．如圖ABCD是矩形，PA^平面ABCD，DPAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN^平面PCD

A

B

C

D

M

N

P

證略

8．（2006福建） 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

（I）求證：平面BCD；

（II）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大??；

（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

解法一：

（I）證明:證∠AOB=900.

（II）解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

直線(xiàn)OE與EM所成的銳角就是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角. 在中，

是直角斜邊AC上的中線(xiàn)，

AB與CD所成角的大小為

（III）等積法得

即為所求.

9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，將△AED及△DCF折起（如下圖），使A、C點(diǎn)重合于A′點(diǎn).

（1）證明：A′D⊥EF；

（2）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求A′D與平面DEF所成的角；

（3）當(dāng)BF=BC時(shí)，求三棱錐A′—EFD的體積.

（1）證明：略

（2）解：取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)A′G、DG…………

平面DEF⊥平面A′DG.

作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，

∴∠A′DG為A′D與平面DEF所成的角.

在Rt△A′DG中，A′G=，

A′D=2，∴∠A′DG=arctan.

(3)解：∵A′D⊥平面A′EF，

∴A′D是三棱錐D—A′EF的高.

又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，

VA′－EFD=VD－A′EF=·S·A′D

=··2=.

10．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.

（1）設(shè)E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；

（2）求證：A1C1⊥AB；

（3）求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離.

（1）證明：∵E、F分別為AB1、BC1的中點(diǎn)，

∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.

∴EF∥平面ABC.

（2）證明：∵AB=CC1，

∴AB=BB1.又三棱柱為直三棱柱，

∴四邊形ABB1A1為正方形.連結(jié)A1B，則A1B⊥AB1.

又∵AB1⊥BC1，

∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.

又A1C1⊥AA1，

∴A1C1⊥平面A1ABB1.∴A1C1⊥AB.

（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.

∴A1到平面ABC1的距離等于B1到平面ABC1的距離.過(guò)A1作A1G⊥AC1于點(diǎn)G，

∵AB⊥平面ACC1A1，

∴AB⊥A1G.從而A1G⊥平面ABC1，故A1G即為所求的距離，即A1G=.

評(píng)述：本題（3）也可用等體積變換法求解.

【探索題】（2004年春季上海）如下圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N.

（1）求證：CC1⊥MN；

（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間，類(lèi)比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

（1）證明：∵CC1∥BB1CC