力學(xué)電子-第7章

定值=dA/dt=(rdr/dt)/2=

rv/2

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量L

=

rp

=

mrv=定值即：角動(dòng)量守恒，說(shuō)明萬(wàn)有引力是有心力。tt+dtrLr+drOdrAB§7.2

萬(wàn)有引力定律7.2.1

萬(wàn)有引力定律Law

ofGravitation

1、萬(wàn)有引力是有心力t

t

+dt，質(zhì)點(diǎn)A

B掃過(guò)面積矢量：dA

=r

dr2、與作用距離的平方成反比考慮行星軌道為圓的特例第一定律說(shuō)明作用力指向圓心

法向力：F=mv2/r=m(2r/

T)2/r=

42mr/T2(k為常數(shù))第三定律：T2

=kr3故：F=42mr/T2=

42mr/kr3=

42m/kr2即：F

1/r2

與作用距離的平方成反比3、引力質(zhì)量GravitationalMass

的引入萬(wàn)有引力與物體的本性有關(guān)，在物理學(xué)中用引力質(zhì)量來(lái)定量地表示。引力質(zhì)量的數(shù)值規(guī)定如下：若質(zhì)點(diǎn)A和質(zhì)點(diǎn)C的引力為FAC，質(zhì)點(diǎn)B和質(zhì)點(diǎn)C的引力為FBC，距離AC等于距離BC，則：m/m’=FAC

/FBC

=常數(shù)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)引力質(zhì)量，單位為公斤kg因?yàn)椋簃

與m’

的作用力F

m

m’所以：萬(wàn)有引力定律

F

=

Gmm’/r2引力常數(shù)G

=

6.67

10-11

Nm2

/

kg2萬(wàn)有引力定律物理意義：兩個(gè)物體之間的萬(wàn)有引力作用可以用一個(gè)有心吸力來(lái)代表，它和二者的質(zhì)量成正比，而與二者之間的距離平方成反比。萬(wàn)有引力定律是自然界最普遍的定律之一。一切物體不論它們是怎樣微小或怎樣巨大，是元素或化合物，有生命或無(wú)生命的都遵從這個(gè)定律。除天體外，萬(wàn)有引力與電磁力、強(qiáng)力、弱力相比小到可略去不計(jì)。地球上物體所受到的重力就是萬(wàn)有引力的一個(gè)特例，物體下落時(shí)的重力加速度就是物體受地球引力作用的結(jié)果。地面以上的物體離地心較遠(yuǎn)時(shí)重力較小，所以當(dāng)物體從極7.2.2

引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量引力質(zhì)量——表征物體的引力特性慣性質(zhì)量——表征物體的慣性特性在經(jīng)典力學(xué)中它們是兩個(gè)不同的物理量。但許多實(shí)驗(yàn)都證明，慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量在數(shù)值上成正比。地面上同一地點(diǎn)一切物體下落的加速度相同就是慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量成正比最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)證明。既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量的數(shù)值成正比，那么只要選取適當(dāng)?shù)膯挝唬|(zhì)量與慣性質(zhì)量在數(shù)值上相等。因此，平時(shí)不必再區(qū)分慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量，而統(tǒng)稱為質(zhì)量。7.2.3

引力勢(shì)能萬(wàn)有引力矢量形式；r

or2mm'

F

=

-

G由于萬(wàn)有引力是有心力，而且只依距離而變，它相當(dāng)于一個(gè)保守力，所以

可以引入引力勢(shì)能。rm’Fm

ro引力勢(shì)能:rE

(r)

=

-

G

mm'pp[

E

(∞)

=

0

]dr

=

-

G

mm'rmm'-

G-

GE

(r)

==∫∫

∫∞r(nóng)r2∞r(nóng)∞r(nóng)r2por

?

drmm'

F

?

dr

=設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處(r=∞)的勢(shì)能為零,EP(∞)=0[例]

引力相互作用下二質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的總能量：E=

mv2/2

+m’v’2/2

-

Gmm’/rEk

Ep

=

-Gmm’/roEE<0rEEp

=

-Gmm’/rEkoEE>0rEEp

=-Gmm’/rEkoEE=0rEmm’橢圓mm’雙曲線m’m拋物線E>0雙曲線E=0拋物線E<0橢圓hRA

vo人造

軌道：設(shè)從地面發(fā)射一顆，

在A點(diǎn)達(dá)到它的最大高度h

之后，受到一推力而產(chǎn)生一水平速度vo例7-1試計(jì)算一物體在地球上的逃逸速度，即在地球上發(fā)射一物體使之到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處所需的最小發(fā)射速度。解：欲使物體到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)處，總能量必須為零或?yàn)檎?；顯然，最小速度對(duì)應(yīng)于總能量為零。因此，令E=0，并設(shè)M為地球的質(zhì)量，R為地球半徑，ve為物體的逃逸速度，則得：mve2/2

-

GmMR

=

0因此：

ve

=(2GM/R)1/2

=1.2×104

m/s注意，逃逸速度與物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)。但是，加速一物體使之達(dá)到逃逸速度所需的推力則與這物體的質(zhì)量有關(guān)系。因此，質(zhì)量較大的和衛(wèi)星就需要功率較大的助推器。roEg

=-Gm/r2

（引力場(chǎng)指向質(zhì)點(diǎn)m）單位是N·kg-1

或m·s-2

，與加速度相同。§7.3

引力場(chǎng)和引力勢(shì)7.3.1

引力場(chǎng)Gravitational

Field時(shí)代認(rèn)為：引力作用為超距作用，無(wú)需作用時(shí)間?，F(xiàn)代觀點(diǎn)：引力作用以引力場(chǎng)（引力子）為媒介起作用，作用需傳遞時(shí)間引力子傳遞速度為光速c。1、引力場(chǎng)強(qiáng)定義：Eg

=F/m’

(m’

為試驗(yàn)質(zhì)量)質(zhì)點(diǎn)m

在m’

所在地點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度為：任何一個(gè)放在這區(qū)域內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受的引力可由該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量M乘以相應(yīng)Eg而得出，即：F

=MEg與質(zhì)點(diǎn)的重力W

=Mg相比較，重力加速度g可以被當(dāng)作是在地球表面處的引力場(chǎng)強(qiáng)度。2、引力場(chǎng)迭加原理假定有幾個(gè)質(zhì)量1

2

3m

，m

，m

，…，分F

=

mEg1

+

mEg2

+

mEg3

+

…=

m(

Eg1

+

Eg2

+Eg3

+…

）于是，PEg

=

Eg1

+

Eg2

+

Eg3

+

…P

mm1m3Eg3Eg2Eg1r3r2r1m2別產(chǎn)生各自引力場(chǎng)Egi，作用在質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)P

上總力為：3、引力線Line

ofGravitational

Force引力場(chǎng)可以在用力線來(lái)表示。在每一點(diǎn)，力線都與場(chǎng)的方向相切，所畫力線的密度和場(chǎng)的強(qiáng)度成正比。Eg右圖是一個(gè)質(zhì)量周圍的場(chǎng)，全部力線都是徑向的。7.3.2

引力勢(shì)GravitationalPotential

1、引力勢(shì)定義：置于引力場(chǎng)中的每單位質(zhì)量的勢(shì)能Vg(r)=Ep(r)/m’=r

Eg

dr

(積分關(guān)系)引力勢(shì)的單位為J·kg-1

或

m2s·

-2因?yàn)椋篍p(r)=-Gmm’/r所以對(duì)質(zhì)點(diǎn)m,rVg(r)

=

-

Gm

/

r其中規(guī)定Vg()=0。2、引力勢(shì)迭加原理如果不是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，而有若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則

P

點(diǎn)的引力勢(shì)為：Vg

=

Vg1

+

Vg2

+

Vg3

+

…3、引力場(chǎng)和引力勢(shì)之間的關(guān)系因?yàn)椋?/p>

F

=

-

grad

EP所以：

Eg

=

-

grad

Vg

（微分關(guān)系）由此可見(jiàn)，引力場(chǎng)等于引力勢(shì)梯度的負(fù)值。引力勢(shì)的概念非常有用，因?yàn)樗且粋€(gè)標(biāo)量，非常容易計(jì)算；以后可以用上式來(lái)計(jì)算引力場(chǎng)強(qiáng)度。4、引力場(chǎng)作功與引力場(chǎng)（勢(shì)）關(guān)系如果一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自P1點(diǎn)沿任一路徑移至另一P2

點(diǎn)，引力場(chǎng)所作的功為：A

=

EP1

-

EP2

=

m(

Vg1

-

Vg2

)其中Vg1-Vg2

稱為引力勢(shì)差。5、等勢(shì)面與引力場(chǎng)關(guān)系（1）等勢(shì)面：把引力勢(shì)有相同值的點(diǎn)連起來(lái)，就可得到一系列的等勢(shì)面。例如：在單一質(zhì)點(diǎn)的情況下，等勢(shì)面是r=常數(shù)的球面。等勢(shì)面結(jié)論：1、等勢(shì)面垂直于引力線，2、引力場(chǎng)的方向垂直于等勢(shì)面注意：引力可用引力場(chǎng)或引力勢(shì)唯一獨(dú)自來(lái)描述。因?yàn)橐?shì)是一個(gè)標(biāo)量，因此計(jì)算非常容易g引力通量Φ

定義：dΦg

=

Eg

·dS

=

Eg

cos

dS式中θ為引力場(chǎng)Eg與面元dS法向之間的夾角。θEgdS

nSdSEgθ=

0EgndSθ§7.4

引力場(chǎng)

定7.4.1

引力理通量Flux因此：從里向外穿過(guò)曲面的通量為正，nθEgdSSm計(jì)算通過(guò)有限大小曲面的通量，需要對(duì)上式進(jìn)行面積分，即：Φg

=

S

Eg

·

dS約定：閉合曲面上的面元dS

方向從里向外為法向矢量n。7.4.2

單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力通量dΦg=

-

Gm

ro

·

dS

/

r2

=

-GmdΩdΩ=

ro

·

dS/r2式中

。dΩ稱為面元dS對(duì)應(yīng)的角(單位為球面度，符號(hào)為sr

)，它的大小為垂直徑矢方向的投影面積dS’=ro

·

dS

與面元dS離質(zhì)點(diǎn)m的距離平方之比。OndΩdS’dSro角角的球面度與平面角的弧度相對(duì)應(yīng)。正像整個(gè)圓周對(duì)圓心所張平面角是

2π角弧度一樣，整個(gè)球面對(duì)球心所張的是4π球面度。當(dāng)一個(gè)閉合曲面S

將頂點(diǎn)O

包圍在內(nèi)時(shí)，它所張的

角和球面是一樣的，為4π球面度。然而，它對(duì)其外的頂點(diǎn)

O′所張的

角正負(fù)兩部分相消，其代數(shù)和恒為零。o’SoS7.4.3

定理1、閉合曲面S內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)m，則通過(guò)閉合曲面S

的引力通量為：Φg

=∮S

dΦg=

-∮S

Gm

dΩ=

-

Gm∮S

dΩΦg

=

-

4πGm若質(zhì)點(diǎn)m

在閉合曲面S

外，則通過(guò)閉合曲面S的引力通量為零，Φg

=0

。mS內(nèi)mS外2、閉合曲面內(nèi)有n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)由場(chǎng)強(qiáng)迭加原理：Eg

=

Eg1

+Eg2

+Eg3

+…dΦg

=

Eg

·

dS=

Eg1

·

dS

+

Eg2

·

dS

+

Eg3

·

dS

+

…=

dΦg1

+

dΦg2

+

dΦg3

+

…故：Φg

=Φg1

+Φg2

+Φg3

+…=

-4πGm1- 4πGm2-

4πGm3-

…Φg

=-4πGΣ(S內(nèi))mi即計(jì)算引力通量時(shí)，上式右端只對(duì)S面內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)求和，該式稱為

定理。它是對(duì)所有的平方反比有心力場(chǎng)都適例7-2

利用

定理求質(zhì)量為m的均勻球體產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)分布。解：設(shè)球體的半徑為R，密度ρ=3m/4πR3，根