第12講 隱零點問題處理方法

第12講隱零點問題的處理方法整理：河北秦皇島李永生一、問題綜述導數(shù)中的“隱零點”問題是指：當一個函數(shù)的零點存在但有無法求得的零點問題．例如函數(shù)在上確實存在一個零點，但由于方程是一個超越方程，我們無法求得它的根，也就無法確定函數(shù)的零點，但的零點確實是存在的，這個時候我們常常虛設一個的零點，即，即，然后進行整體的代換或過度來解決某些問題．二、典例分析類型1：整體代換【例1】（2015年全國新課標I文）設函數(shù)．(1)討論的導函數(shù)的零點個數(shù)；(2)證明：當時，．解析：(1)的定義域為，．當時,，沒有零點；當時，因為，所以在單調(diào)遞增．又，又當時，得，取且，則，故由零點存在定理知：當時，存在唯一零點．綜上，當時，沒有零點；當時，有一個零點．(2)由(1)知在存在唯一零點，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．同時，即，即，，故當時，．【方法小結(jié)】可轉(zhuǎn)化為求，而的最小值恰好在的零點處取得，但是這個零點無法求得，這個時候我們可以利用零點滿足的關(guān)系式(必要的時候需要一些變形)來化簡的表達式，思想是將超越式消掉，即盡量不含等；本題是化簡后利用了均值不等式得到所證結(jié)果．類型2：代換消參【例2】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與軸交點的橫坐標為．（1）求；（2）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．解析：（1）的定義域為，，切線斜率，切線方程為，即，令得，；（2）與曲線只有一個交點，等價于只有一個零點，，=1\*GB3①當，即時，，在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一，使得，即的圖象與軸只有一個交點．=2\*GB3②當，即時，有兩根，不妨設，且有，，，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．要使的圖象與注只有一個交點，只要即可．又，同時即，，令，，在單調(diào)遞減，，，綜上知：當時，曲線與直線只有一個交點．【方法小結(jié)】本題第二問最終將問題轉(zhuǎn)化為證明，其中是的零點，實際上的零點是可以求得的，不像類型1中零點不可求，也就是說本題中的零點不是隱零點，但我們?nèi)匀皇且曀鼮殡[零點，不去求它，閉開繁瑣的計算；像本題做法：利用零點的滿足的關(guān)系式，消掉表達式中的參數(shù)，然后構(gòu)造一個關(guān)于的函數(shù)．讀者可以自己嘗試以下求出，然后證明一個關(guān)于的式子大于零，會很難下手，甚至不可求．類型3：代換降次【例3】（2012年全國大綱卷文科）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設有兩個極值點，若過兩點的直線與軸的交點在曲線上，求的值．解析：(1)的定義域為，，方程的判別式，當時，即時，，且不恒為零，所以在上單調(diào)遞增；當時，即時，有兩個根,，，當時，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，(2)由(1)知且，，，，同理，因此直線的方程為，令得直線與軸交點的橫坐標，所以，因為交點在曲線上，所以，解得，或，或．【方法小結(jié)】本題中雖然導函數(shù)的零點可求，但我們并沒有去用這個確切的零點，而是利用零點滿足的條件進行代換；本題很自然的想法應該是根據(jù)兩點的坐標求出直線的方程，再令求得與軸的交點坐標，但是我們會發(fā)現(xiàn)直線方程比較復雜，而我們知道直線方程即是直線上任意一點橫縱坐標的關(guān)系式，當然這個關(guān)系式一定是關(guān)于,的二元一次方程，所示本題通過化簡，及，找到橫縱坐標的一次關(guān)系，其中的操作就是利用隱零點滿足的關(guān)系不斷的降次．類型4：隱零點范圍反解【例4】已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：當時，．參考數(shù)據(jù)：，．解析：（1），函數(shù)在遞增，，得，設，則，令，解得：，當時，，當時，，故函數(shù)在遞減，在遞增，故時，取得最小值，故，即的范圍是（2）若，則，得，易知函數(shù)在遞減，在遞增，且注意到，，，則存在，使得，即，當時，，當，時，，則函數(shù)在遞減，在，遞增，則當時，函數(shù)取最小值()函數(shù)在單調(diào)遞減，所以故時，．【方法小結(jié)】本題同類型1，用隱零點滿足的關(guān)系式進行整體代換，不同之處在于尋找隱零點的范圍，這個隱零點的范圍要正好取到我們要的那個值，就是說這個范圍卡的正好，不松不緊，在后面放縮時恰好能夠得到題目給的那個很丑的數(shù)值，那么這個值是怎么找到的呢？這就應了此類型的標題“范圍反解”，我們可以通過最小值的表達式反解得到．三、鞏固練習1．（2018廣州一測）設，若對任意的恒成立，求a的取值范圍．2．（2013年全國新課標II理）已知函數(shù)．(1)設是的極值點，求并討論的單調(diào)性；(2)當時，證明．3．（2012年全國新課標文）設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若為整數(shù)，且當時，，求的最大值．4．（2009年全國II卷理科）設函數(shù)有兩個極值點，且(1)求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；(2)證明：．5．設函數(shù)，若恒成立，求正整數(shù)的最大值．6．已知，求證：恒成立．7．（2017新課標II卷）已知函數(shù)，且．(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點，且．8．已知函數(shù)，若當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．9．已知函數(shù)．(1)求證：；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．10．已知有個零點，求實數(shù)的取值范圍．11．已知命題：關(guān)于的不等式對一切恒成立；命題：．那么命題是命題的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要補充分條件D．既不充分也不必要條件四、鞏固練習參考答案1、解析：原問題等價于，即，則，令，，在上單調(diào)遞增，且，在上存在唯一的零點，且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．，同時有，即，即，，即，設，則，在單調(diào)遞增，所以，也即，，，即的取值范圍為．點撥：本題采用分參的方法求參數(shù)的取值范圍，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值；另一方面，的最小值在的零點處取得，所以問題轉(zhuǎn)化為求，即的值，而的表達式很復雜，這時就需要用到隱零點的關(guān)系式來處理，即式子的處理，此處實際是進行了一個同構(gòu)處理，十分巧妙；同構(gòu)的形式當然也可以這樣：．再構(gòu)造，易知在上單調(diào)遞增，所以有．2、解析：(1)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．(2)當時，，令，則只要證明即可．而，在上單調(diào)遞增．又，，使得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．．同時，即，即．，，．點評：整體代換3、解析：(1)的定義域為，．當時，，在單調(diào)遞增；當時，令得，，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．(2)當時，即，即令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．，令，則由(1)知在單調(diào)遞增，且，，使得當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．，同時即，，即整數(shù)的最大值為．點評：整體代換4、解析：(1)，令，由題意知是方程的兩個均大于的不相等的根，所以有，得．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．(2)因為，，且，即設，在單調(diào)遞增，，所以．點評：代換消參5、解析：由題意可得在內(nèi)恒成立令，則，又令，則，在上單調(diào)遞增而，，所以存在唯一的使得即，且當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增，所以，即正整數(shù)的最大值為．點評：整體代換，化復雜的超越式為普通式；其中需要注意隱零點的范圍需要盡量小，因為的取值范圍取決于的范圍．6、整體代換，較簡單答案略7、解析：(1)；(2)由(1)知，，，易知在上單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增，且注意到，，，，所以存在唯一的，使得，且當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以存在唯一的極大值點，同時即，所以，另一方面，綜上：存在唯一的極大值點，且，點評：整體代換，注意求的范圍時注意到了．8、解析：，，所以在單調(diào)遞增，且，=1\*GB3①當時，，此時在上單調(diào)遞增，，要使恒成立，則，解得，=2\*GB3②當時，則，又，故存在，使得，即，且當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，解得，．而，則易知在單調(diào)遞增，所以．綜上：的取值范圍是．點評：代換消參．9、解析：(1)令，，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立．(2)令，，令，且注意到，故存在，使得，即，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，令，由(1)可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，注意到，則若，則，又，故的取值范圍是．點評：代換消參10、解析：，由得，設是方程的兩根，則，，則當時，，當時，；