浮點(diǎn)數(shù)的表示方法規(guī)格化處理

摘要：在《計(jì)算機(jī)組成原理》課程的教學(xué)中，浮點(diǎn)數(shù)的表示與運(yùn)算是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本文對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的一般表示及標(biāo)準(zhǔn)表示的方法、范圍、存儲(chǔ)格式等進(jìn)行了比較深入地比較、分析和研究，力求給讀者一個(gè)清晰的概述。關(guān)鍵詞：浮點(diǎn)數(shù)，表示方法，符號(hào)，尾數(shù)，階碼，范圍《計(jì)算機(jī)組成原理》課程是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的一門必修專業(yè)基礎(chǔ)課，主要是講述計(jì)算機(jī)系統(tǒng)幾大硬件的組成結(jié)構(gòu)和工作原理。在其核心部件一一運(yùn)算器(Anthmetician)的運(yùn)算機(jī)制中，浮點(diǎn)數(shù)(Floating-point)的表示與運(yùn)算方法是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，筆者在查閱了大量中外文文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的表示方法、規(guī)格化處理方法、表示范圍進(jìn)行了比較詳細(xì)地分析研究，以方便學(xué)生的學(xué)習(xí)，共同行們參考。1浮點(diǎn)數(shù)的一般表示方法在數(shù)學(xué)中，表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)需要三要素：尾數(shù)(mantissa)、指數(shù)(exponent,又稱階碼)和基數(shù)(base),都用其第一個(gè)字母來表示的話，那么任意一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)N可以表示成下列形式:N=MXBE,例如Nl=1.234X10-6,N2=-0.001011X2011等，同樣的數(shù)字對(duì)于不同的基數(shù)是不相同的，移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置，其指數(shù)相應(yīng)地跟著變化。在計(jì)算機(jī)中，表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，同樣需要以上三要素，只是階碼與尾數(shù)一同存儲(chǔ)，基數(shù)常有2、8、16等數(shù)值，下面的討論以2為基數(shù)進(jìn)行。將浮點(diǎn)數(shù)放在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)時(shí)，尾數(shù)M用定點(diǎn)(Fixed-point)小數(shù)的形式，階碼E用有符號(hào)整數(shù)形式，改變M中小數(shù)點(diǎn)的位置，同時(shí)需要修改E的值，可以給出有效數(shù)字(s坦nificantnumber)的位數(shù)，因此M和E決定了浮點(diǎn)數(shù)的精度(piecision),E指明小數(shù)點(diǎn)在B進(jìn)制數(shù)據(jù)中的位置，因而E和B決定了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍(range),浮點(diǎn)數(shù)的符號(hào)(Sign)是單獨(dú)考慮，設(shè)階碼有m+1位，尾數(shù)有n+1位，則一般浮點(diǎn)數(shù)的表示方法如圖1所示，其中，下標(biāo)s代表符號(hào)位，下標(biāo)數(shù)字代表數(shù)字所處的位數(shù)，尾數(shù)的小數(shù)點(diǎn)默認(rèn)最高數(shù)字位Ml之前。圖(b)是將尾數(shù)的符號(hào)位提在最前面，其它部分與圖(a)一樣，是目前常用的一種表示形式。圖1浮點(diǎn)數(shù)的一般表示形式在這種表示方法中，階碼的二進(jìn)制編碼(binaiycode)一般是原碼(signmagnitude)、補(bǔ)碼(twoscomplement)或移碼(bias),尾數(shù)的編碼一般是原碼或補(bǔ)碼。2浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化處理在浮點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)中，小數(shù)點(diǎn)的浮動(dòng)使數(shù)值的表示不能惟一，從而給數(shù)據(jù)處理帶來困難，因此有必要使浮點(diǎn)數(shù)的表示與存儲(chǔ)有一定的標(biāo)準(zhǔn)，考慮到階碼、尾數(shù)之間的關(guān)系，常將尾數(shù)的最高數(shù)字位是有效值的數(shù)值稱為規(guī)格化(noimahzation),由于尾數(shù)可以是原碼或補(bǔ)碼，所以有兩種規(guī)格化的形式，如表1所示。表1規(guī)格化數(shù)據(jù)的形式尾數(shù)編碼尾數(shù)代碼形式說明正數(shù)負(fù)數(shù)原碼(MXXX1.1XXX最高數(shù)治槐甌胛？補(bǔ)碼0.1XXX1.0XXX符號(hào)位與最高數(shù)字位必須相反對(duì)于二進(jìn)制尾數(shù)，規(guī)格化限制了其范圍是：1/2W|M|V1,通過左右移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)，增減階碼的值來進(jìn)行規(guī)格化處理。在浮點(diǎn)數(shù)中，零的表示比較特殊。一個(gè)是零浮點(diǎn)數(shù)，一般地，對(duì)于規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)來說，無論階碼為任何值，尾數(shù)為零就認(rèn)為該浮點(diǎn)數(shù)是零，但這實(shí)際上是由尾數(shù)的舍入而近似的值，要讓總體浮點(diǎn)數(shù)趨近于零，其階碼必須是一個(gè)不超出表示范闈的最大的負(fù)數(shù)才行。設(shè)階碼含符號(hào)為n位，則整數(shù)階碼所表示的范圍是：至或至，即是或。另一個(gè)問題產(chǎn)生于零的唯一表達(dá)問題，為了實(shí)現(xiàn)用指令測(cè)試零，約定在定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)格式中零具有相同的表達(dá)式，將浮點(diǎn)數(shù)的階碼值進(jìn)行余編碼，就像BCD碼中余3碼加3一樣,階碼被描述為E加上，這個(gè)就叫偏移（bias）,由上面分析可知的取值有兩種，浮點(diǎn)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式（正EE754標(biāo)準(zhǔn)）所采用的是偏移值。3浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍浮點(diǎn)數(shù)的表示有一定的范圍，超出范圍時(shí)會(huì)產(chǎn)生溢出（flow）,一般稱大于絕對(duì)值最大的數(shù)據(jù)為上溢（overflow）,小于絕對(duì)值最小的數(shù)據(jù)為下溢（underflow）。浮點(diǎn)數(shù)表示范I韋I一般分以下幾種情況考慮，設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼和尾數(shù)均用補(bǔ)碼表示（原碼表示比較簡(jiǎn)單），階碼為m+1位（其中1位是符號(hào)），尾數(shù)為n+1（其中1位是符號(hào)），則浮點(diǎn)數(shù)的典型范圍值如表2所示。表2浮點(diǎn)數(shù)的典型范圍值典型范闈浮點(diǎn)數(shù)代碼真值數(shù)符（Ms）階碼（E）尾數(shù)（M）最大正數(shù)最小正數(shù)規(guī)格化的最小正數(shù)絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)絕對(duì)值最小的負(fù)數(shù)規(guī)格化的絕對(duì)值最小負(fù)數(shù)000111011...11100...00100...00011...11100...00TOC\o"1-5"\h\z100...0011 1100 010000 001101 114標(biāo)準(zhǔn)表示法為便于軟件的移植，浮點(diǎn)數(shù)的表示格式應(yīng)該有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。1985年IEEE（InstituteofElectiicalandElectronicsEngmeers）提出了IEEE754標(biāo)準(zhǔn)°該標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定基數(shù)為2,階碼E用移碼表示，尾數(shù)M用原碼表示，根據(jù)原碼的規(guī)格化方法，最高數(shù)字位總是1,該標(biāo)準(zhǔn)將這個(gè)1缺省存儲(chǔ)，使得尾數(shù)表示范圍比實(shí)際存儲(chǔ)的一位。實(shí)數(shù)的IEEE754標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)格式為：具體有三種形式：表3IEEE754三種浮點(diǎn)數(shù)的格式參數(shù)浮點(diǎn)數(shù)類型存儲(chǔ)位數(shù)偏移值()階碼E的取值范圍真值表達(dá)式數(shù)符(s)階碼(E)尾數(shù)(M)總位數(shù)十六進(jìn)制十進(jìn)制短實(shí)數(shù)1823327FH1271-254長(zhǎng)實(shí)數(shù)11152643FFH10231~2046臨時(shí)實(shí)數(shù)11564803FFFH163831~32766對(duì)于階碼為0或?yàn)?55(2047)的情況，正EE有特殊的規(guī)定，由于篇幅有限，在此不討論。在浮點(diǎn)數(shù)總位數(shù)不變的情況下，其精度值與范闈值是矛盾的，因此一般的機(jī)器都提供有單、雙精度兩種格式。表4中列出了IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍，對(duì)于雙精度只需要修改一下偏移值和尾數(shù)位數(shù)即可。表4IEEE754單精度、雙精度浮點(diǎn)數(shù)范圍典型范圍浮點(diǎn)數(shù)代碼真值數(shù)符(Ms)階碼(E)尾數(shù)(M)最大正數(shù)最小正數(shù)絕對(duì)值最大的負(fù)數(shù)絕對(duì)值最小的負(fù)數(shù)001111111100000000111111110TOC\o"1-5"\h\z0000000111 1100 001100 00標(biāo)準(zhǔn)浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)格式與圖1(b)相似，只是在尾數(shù)中隱含存儲(chǔ)著一個(gè)1,因此在計(jì)算尾數(shù)的真值時(shí)比一般形式要多一個(gè)整數(shù)lo對(duì)于階碼E的存儲(chǔ)形式因?yàn)槭?27的偏移，所以在計(jì)算其移碼時(shí)與人們熟悉的128偏移不一樣，正數(shù)的值比用128偏移求得的少1,負(fù)數(shù)的值多1，為避免計(jì)算錯(cuò)誤，方便理解，常將E當(dāng)成二進(jìn)制真值進(jìn)行存儲(chǔ)。例如:將數(shù)值-0.5按IEEE754單精度格式存儲(chǔ)，先將-0.5換成二進(jìn)制并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：-0.510=-0」2=-1.0X2-12,這里s=l,M為全0,E-127=-l,E=12610=011U1102,則存儲(chǔ)形式為：101111110000000000000000000000000=BE00000016

這里不同的下標(biāo)代表不同的進(jìn)制。綜上所述，筆者通過多年的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)學(xué)生特別容易迷惑的地方進(jìn)行了分析研究，并給出了結(jié)論性的總結(jié)，彌補(bǔ)了大多數(shù)教課書中講不明白的問題。參考文獻(xiàn)：.JohnP.Hayes.ComputerAiclutectuieandOrganization.ThudEdition.北京：清華大學(xué)出版社影印，2001.173-178.［美］DavidA.Patterson.JohnL.Hennessy著.鄭緯民等譯.COMPUTERORGANIZATION&DESIGN.SecondEdition.北京：清華大學(xué)出版社，2003.212-214.白中英.計(jì)算機(jī)組成原理.網(wǎng)絡(luò)版，北京：科學(xué)出版社，2002.20-21.胡越民.計(jì)算機(jī)組成與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，北京：電子工業(yè)出版社,2002.58?62一：概述IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式短實(shí)數(shù)也稱單精度數(shù)長(zhǎng)實(shí)數(shù)也稱雙精度數(shù)一：概述IEEE754浮點(diǎn)數(shù)格式短實(shí)數(shù)也稱單精度數(shù)長(zhǎng)實(shí)數(shù)也稱雙精度數(shù)符號(hào)位1位，階碼8位，尾數(shù)23位符號(hào)位1位，階碼11位，尾數(shù)52位42E48000第一步，化為2進(jìn)制01000010111001001000000000000000第二步:因?yàn)檎鼸E754使用1個(gè)符號(hào),8個(gè)階碼,23個(gè)尾數(shù)，我們分別在上面提取這些內(nèi)容.符號(hào):第一位：0表示正數(shù)階碼29位:10000101為133,實(shí)際的累值為133-127=6尾數(shù):10-32位:11001001000000000000000,實(shí)際值為L(zhǎng)U001001（1+尾數(shù)）第三步:根據(jù)公式寫出實(shí)際數(shù)值大小為1110010.01,化為十進(jìn)制為:114.25指數(shù)偏移量127(7FH)1023(3FFH)16383(3FFFH)指數(shù)偏移量127(7FH)1023(3FFH)16383(3FFFH)值real*4值real*4real*8real*101位符號(hào)位（s）、8位指數(shù)（e）,23位尾數(shù)g共32位）1位符號(hào)位（s）、11位指數(shù)（e）,52位尾數(shù)g共64位）1位符號(hào)位（s）、15位指數(shù)（e）,64位尾數(shù)（m洪80位）計(jì)算公式：V=(-l)As*2AE*M（當(dāng)指數(shù)位為0時(shí)）（當(dāng)指數(shù)位不全為0或不全1）V=（-l）八s*2（當(dāng)指數(shù)位為0時(shí)）（當(dāng)指數(shù)位不全為0或不全1）V=（-irs*2八（指數(shù)位數(shù)值-指數(shù)偏移量）*（1+尾數(shù)）情況1：當(dāng)e（各位）為全。時(shí)：E=l-（2A（e（位數(shù)）-1）-1）；<==>E=1-指數(shù)偏移量M=nio如：ieal*4是8位，E=1-(2A(8-1)-1)=1-127=-126在real*4時(shí)：V=(-l)As*2A(-126)*m在real*8時(shí)：V=(-l)As*2A(-1022)*m情況2：當(dāng)e(各位)不為全。且不為全1時(shí)：E=e(值)-(2人(e(位數(shù))-1)-1)；<===>E=指數(shù)位數(shù)值-指數(shù)偏移量M=l+nio在real*4時(shí)：V=(-l)As*2A(e(值)-127)*(l+m)在real*8時(shí)：V=(-l)As*2A(e(值)-1023)*(1+111)三：將浮點(diǎn)格式轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)［例3.1］：0x00280000(real*4)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制00000000001010000000000000000000我們將其分段：符號(hào)位指數(shù)部分(8位)尾數(shù)部分0 00000000 01010000000000000000000符號(hào)位=0；指數(shù)部分=0；尾數(shù)部分M為m：0.01010000000000000000000=0.3125該浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制為：(-l)z0*2A(-126)*0.3125=3.6734198463196484624023016788195e-39［例3.2］：0xC04E000000000000(ieal*8)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制1100000001001110000000000000000000000000000000000000000000000000符號(hào)位指數(shù)部分(11位)尾數(shù)部分1 10000000100 1110000000000000000000000000000000000000000000000000符號(hào)位=1;指數(shù)=1028,因指數(shù)部分不為全。且不為全1,則：尾數(shù)部分M為1+m：1.1110000000000000000000000000000000000000000000000000=1.875該浮點(diǎn)數(shù)的十進(jìn)制為：(-l)Al*2A(1028-1023)*1.875=-60四：將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)格式（real*4）［例4」］：26.0十進(jìn)制26.0轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制11010.0規(guī)格化二進(jìn)制數(shù)L10100*2人4計(jì)算指數(shù)4+127=131符號(hào)位指數(shù)部分尾數(shù)部分01000001110100000000000000000000以單精度（real*4）浮點(diǎn)格式存儲(chǔ)該數(shù)010000011101000000000000000000000x41D00000［例4.2］：0.75十進(jìn)制0.75轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制0.11規(guī)格化二進(jìn)制數(shù)計(jì)算指數(shù)-1+127=126符號(hào)位指數(shù)部分尾數(shù)部分00111111