高中數(shù)學(xué)人教A版必修四課時(shí)訓(xùn)練：1.1 任意角和弧度制 1.1.2 Word版含答案

1.1.2弧度制課時(shí)目標(biāo)1.理解角度制與弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的變換.2.掌握并會(huì)應(yīng)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式．1．角的單位制(1)角度制：規(guī)定周角的________為1度的角，用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制．(2)弧度制：把長(zhǎng)度等于________的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作________．(3)角的弧度數(shù)求法：如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么l，α，r之間存在的關(guān)系是：____________；這里α的正負(fù)由角α的________________決定．正角的弧度數(shù)是一個(gè)________，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)________，零角的弧度數(shù)是________．2．角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝________rad2πrad＝________180°＝______radπrad＝________1°＝______rad≈0.01745rad1rad＝______≈57°18′3.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長(zhǎng)l＝________l＝______扇形的面積S＝________S＝______＝______一、選擇題1．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))與集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ±\f(π,2)，k∈Z))的關(guān)系是()A．A＝BB．A?BC．B?AD．以上都不對(duì)2．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2B．sin2C.eq\f(2,sin1)D．2sin13．扇形周長(zhǎng)為6cm，面積為2cm2，A．1或4B．1或2C．2或4D．14．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B等于()A．?B．{α|－4≤α≤π}C．{α|0≤α≤π}D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A.eq\f(π,4)B．－eq\f(π,4)C.eq\f(3,4)πD．－eq\f(3,4)π6．扇形圓心角為eq\f(π,3)，半徑長(zhǎng)為a，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為()A．1∶3B．2∶3C．4∶3D．4二、填空題7．將－1485°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．8．若扇形圓心角為216°，弧長(zhǎng)為30π，則扇形半徑為_(kāi)___．9．若2π<α<4π，且α與－eq\f(7π,6)角的終邊垂直，則α＝______.10．若角α的終邊與角eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且α∈(－4π，4π)，則α＝________________.三、解答題11．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23,6)π；(3)－4.12．已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？能力提升13．已知一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正方形的周長(zhǎng)，那么其圓心角的弧度數(shù)的絕對(duì)值為_(kāi)_______．14．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值c(c>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)．2．解答角度與弧度的互化問(wèn)題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝π”這一關(guān)系式．易知：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))＝度數(shù)．3．在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式都得到了簡(jiǎn)化，具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度．1.1.2弧度制答案知識(shí)梳理1．(1)eq\f(1,360)(2)半徑長(zhǎng)1rad(3)|α|＝eq\f(l,r)終邊的旋轉(zhuǎn)方向正數(shù)負(fù)數(shù)02．2π360°π180°eq\f(π,180)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°3.eq\f(απR,180)αReq\f(απR2,360)eq\f(1,2)αR2eq\f(1,2)lR作業(yè)設(shè)計(jì)1．A2．C[r＝eq\f(1,sin1)，∴l(xiāng)＝|α|r＝eq\f(2,sin1).]3．A[設(shè)扇形半徑為r，圓心角為α，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6,\f(1,2)αr2＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1,α＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2,α＝1)).]4．C[集合A限制了角α終邊只能落在x軸上方或x軸上．]5．D[∵－eq\f(11,4)π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)π))，∴θ＝－eq\f(3,4)π.]6．B[設(shè)扇形內(nèi)切圓半徑為r，則r＋eq\f(r,sin\f(π,6))＝r＋2r＝a.∴a＝3r，∴S內(nèi)切＝πr2.S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×a2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×9r2＝eq\f(3,2)πr2.∴S內(nèi)切∶S扇形＝2∶3.]7．－10π＋eq\f(7,4)π解析∵－1485°＝－5×360°＋315°，∴－1485°可以表示為－10π＋eq\f(7,4)π.8．25解析216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π,5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5)r＝30π，∴r＝25.9.eq\f(7,3)π或eq\f(10,3)π解析－eq\f(7,6)π＋eq\f(7,2)π＝eq\f(14,6)π＝eq\f(7,3)π，－eq\f(7,6)π＋eq\f(9,2)π＝eq\f(20,6)π＝eq\f(10,3)π.10．－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)解析由題意，角α與eq\f(π,3)終邊相同，則eq\f(π,3)＋2π＝eq\f(7,3)π，eq\f(π,3)－2π＝－eq\f(5,3)π，eq\f(π,3)－4π＝－eq\f(11,3)π.11．解(1)－1500°＝－1800°＋300°＝－10π＋eq\f(5π,3)，∴－1500°與eq\f(5,3)π終邊相同，是第四象限角．(2)eq\f(23,6)π＝2π＋eq\f(11,6)π，∴eq\f(23,6)π與eq\f(11,6)π終邊相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角．12．解設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴當(dāng)半徑r＝10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100此時(shí)θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2rad.13．4eq\r(2)解析設(shè)圓半徑為r，則內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(2)r，圓弧長(zhǎng)為4eq\r(2)r.∴圓弧所對(duì)圓心角|θ|＝eq\f(4\r(2)r,r)＝4eq\r(2).14．解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，∴l(xiāng)＝αR＝eq\f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)扇