數(shù)值計(jì)算方法

數(shù)

值

計(jì)方

法數(shù)值計(jì)算方法的對象與特點(diǎn)什么是數(shù)值計(jì)算方法現(xiàn)代的科學(xué)技術(shù)發(fā)展十分迅速，他們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是都有大量的數(shù)據(jù)問題。比如，發(fā)射一顆探測宇宙奧秘的衛(wèi)星，從衛(wèi)星設(shè)計(jì)開始到發(fā)射、回收為止，科學(xué)家和工程技術(shù)人員、工人就要對衛(wèi)星的總體、部件進(jìn)行全面的設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，要對選用的火箭進(jìn)行設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。發(fā)射和回收的時(shí)候，又有關(guān)于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進(jìn)行精確的計(jì)算。有如，在高能加速器里進(jìn)行高能物理試驗(yàn)，研究具有很高能量的基本粒子的性質(zhì)、它們之間的相互作用和轉(zhuǎn)化規(guī)律，這里面也有大量的數(shù)據(jù)計(jì)算問題。計(jì)算問題可以數(shù)是現(xiàn)代社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域普遍存在的共同問題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等等，各行各業(yè)都有許多數(shù)據(jù)需要計(jì)算，通過數(shù)據(jù)分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律。研究計(jì)算問題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論問題的一門學(xué)科就叫做計(jì)算方法。計(jì)算方法屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的范疇，它主要研究有關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問題怎樣由計(jì)算機(jī)加以有效解決。數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容數(shù)值計(jì)算方法也叫做計(jì)算數(shù)學(xué)或數(shù)值分析。數(shù)值計(jì)算方法主要內(nèi)容包括非線性方程求根、線性代數(shù)方程組解法、微分方程的數(shù)值解法、插值問題、函數(shù)的數(shù)值逼近問題、概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題等等，還要研究解的存在性、惟一性、收斂性和誤差分析等理論問題。我們知道五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。對于一般的超越方程，如對數(shù)方程、三角方程等等也只能采用數(shù)值分析的辦法。怎樣找出比較簡潔、誤差比較小、花費(fèi)時(shí)間比較少的計(jì)算方法是數(shù)值分析的主要課題。在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計(jì)算是比較簡單的，是比較容易進(jìn)行的。迭代法還可以用來求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當(dāng)?shù)牡?使得收斂速度快，近似誤差小。在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞德爾迭代法、共輾斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計(jì)算機(jī)的條件下也可以得到廣泛的應(yīng)用。在數(shù)值計(jì)算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本方法。數(shù)值逼近也叫近似代替，就是用簡單的函數(shù)去代替比較復(fù)雜的函數(shù)，或者代替不能用解析表達(dá)式表示的函數(shù)。數(shù)值逼近的基本方法是插值法。初等數(shù)學(xué)里的三角函數(shù)表，對數(shù)表中的修正值，就是根據(jù)插值法制成的。在遇到求微分和積分的時(shí)候，如何利用簡單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容易求微分和求積分,也是計(jì)算方法的一個(gè)主要內(nèi)容。微分方程的數(shù)值解法也是近似解法。常微分方程的數(shù)值解法有歐拉法、預(yù)測校正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程去代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。有限元素法是近代才發(fā)展起來的，它是以變分原理和剖分差值作為基礎(chǔ)的方法。在解決橢圓形方程邊值問題上得到了廣泛的應(yīng)用。目前，有許多人正在研究用有限元素法來解雙曲形和拋物形的方程。數(shù)值計(jì)算方法的內(nèi)容十分豐富，它在科學(xué)技術(shù)中正發(fā)揮著越來越大的作用。數(shù)值計(jì)算方法的特點(diǎn)第一，面向計(jì)算機(jī)，要根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法。即算法只能包括加、減、乘、除和邏輯運(yùn)算，是計(jì)算機(jī)能直接處理的。第二，有可靠的理論分析，能任意逼近并達(dá)到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，還要對誤差進(jìn)行分析。第三，要有好的計(jì)算復(fù)雜性，時(shí)間復(fù)雜性好是指節(jié)省時(shí)間，空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲(chǔ)量，這也是建立算法要研究的問題，它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。第四，要有數(shù)值實(shí)驗(yàn)，即任何一個(gè)算法除了從理論上要滿足上述三點(diǎn)外，還要通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明是行之有效的。根據(jù)“數(shù)值計(jì)算方法''的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)我們要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法處理的技巧及其與計(jì)算機(jī)結(jié)合，要重視誤差分析、收斂性及穩(wěn)定性的基本理論；其次，要通過例子，學(xué)習(xí)使用各種數(shù)值方法解決實(shí)際計(jì)算問題；最后，為了掌握本課的內(nèi)容，還應(yīng)做一定數(shù)量的理論分析與計(jì)算問題練習(xí)。由于本課內(nèi)容包括了微積分、代數(shù)、常微分方程的數(shù)值方法，以及高級(jí)程序設(shè)計(jì)的方法，讀者必須掌握這幾門課的基本內(nèi)容才能學(xué)好這一課程。誤差來源與誤差分析誤差的來源早在中學(xué)我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計(jì)上讀出的溫度是23.4℃就不是一個(gè)精確的值，而是含有誤差的近似值。事實(shí)上，誤差的在我們的生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣,量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都有誤差。人們可能會(huì)問：如果使用計(jì)算機(jī)來解決問題，結(jié)果還會(huì)有誤差嗎？下面我們通過考察數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的主要過程來思考這個(gè)問題。用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差。在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往都是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫做觀測誤差。當(dāng)數(shù)學(xué)模型不能得到精確解時(shí)，通常要建立一套行之有效的數(shù)值方法求它的近似解，近似解與準(zhǔn)確解之間的誤差就稱為截?cái)嗾`差或方法誤差。由于在計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)只能表示實(shí)數(shù)的近似值，因此用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)每一步都可能有誤差，這種誤差稱為舍入誤差。

例如，函數(shù)A劃用泰勒(Taylor)展開式近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是/*(*+1)m/*(*+1)m卷卅】(孑介于0與X之間)又如，在計(jì)算時(shí)用3.14159近似替代"產(chǎn)生的誤差R=乃-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種意味著都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差。在數(shù)值計(jì)算方法中將著重研究截?cái)嗾`差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析。絕對誤差、相對誤差與有效數(shù)字.絕對誤差與絕對誤差限定義1.1設(shè)x為準(zhǔn)確值，丁為x的一個(gè)近似值，稱G=x'-x為近似值的絕對誤差，或誤差。通常我們無法知道準(zhǔn)確值x,也不能算出誤差的準(zhǔn)確值,，只能根據(jù)測量或計(jì)算估計(jì)出誤差的絕對值不超過某個(gè)正數(shù)￡二則一稱為絕對誤差限。有了絕對誤差限就可知道x的范圍/-f +￡'，即x落在區(qū)間［X'-￡'，/+內(nèi)。例如用亳米測度尺測量一長度X,讀出的長度為23mm,則有一405mm。由此例也可以看到絕對誤差是有量綱和單位的。.相對誤差與相對誤差限只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度，例如甲打字時(shí)每百個(gè)字錯(cuò)一個(gè)，乙打字時(shí)平均每千個(gè)字錯(cuò)一個(gè)，他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè)，但顯然乙要準(zhǔn)確些。這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差大小外，還必須顧及量的本身。定義1.2把近似值的誤差g與準(zhǔn)確值x的比值稱為近似值/的相對誤差，記作e，gy=--實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于真值X通常是不知道的，通常取'/。相對誤差也可正可負(fù)，它的絕對值的上. x erS =Ivo界叫做相對誤差限。記作號(hào)。即II。根據(jù)定義，甲打字時(shí)的相對誤差 10° ,乙打字時(shí)的e；4—5—=0.1%相對誤差 1000o易知相對誤差是一個(gè)無量綱量。.有效數(shù)字當(dāng)x有多位時(shí)，常常接四舍五入的原則得到x的前幾位近似值/，例如x==3.14159265--取3位4=3.12440.002；取5位x；=3.1416￡?0.00005：它們的誤差都不超過末位數(shù)字的半個(gè)單位，即1 1|^-3.14|i-xl0-2,|^-3,1416|^-xl0M現(xiàn)在我們將四舍五入抽象成數(shù)學(xué)語言，并引入一個(gè)新名詞“有效數(shù)字”來描述它。定義L3若近似數(shù)/的誤差限是某一位的半個(gè)單位，該位到丁的第一位非零數(shù)字共有力位，我們就說/有萬位有效數(shù)字。如取x.=3.14作乃的近似值，,就有3位有效數(shù)字；取大=3.1416作兀的近似值，/就有5位有效數(shù)字。有效數(shù)字也可采用以下定義:X的近似數(shù)X*寫成標(biāo)準(zhǔn)形式:x=+10*x(a1xl0-1+(32xl0-2+-+a],xio-1')其中…%是o到9的一個(gè)數(shù)字，且,不為0,化為整數(shù)，若|x-x*|<-xlOfc^1 12 （1.2）則稱:有力位有效數(shù)字。例1.1依四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)，913.95872,39.1882,0.0143254,8.000033解：按定義，上述的5位有效數(shù)字的近似數(shù)分別為913.96,39.188,0.014325,8.0000注意，8.000033的5位有效數(shù)字的近似值是8.0000而不是8,8只有一位有效數(shù)字。.有效數(shù)字與誤差關(guān)系不難看出，若由（1.1）給出某近似數(shù)有片位有效數(shù)字，則可以從（1.2）求得這個(gè)數(shù)的絕對誤差限E=1x10*-"2因此，在上相同的情況下，附越大則10"-"就越小，故有效數(shù)字越多，絕對誤差限越小。定理1.1用（1.1）表示的近似數(shù)個(gè)，若/具有*位有效數(shù)字，則其相對誤差限為. ——x .反之，若X’的相對誤差限2（生+1） 則Y至少具有〃位有效數(shù)字。證明由式（1.1）得

,X10"】《卜］?(%+1)*1。1所當(dāng)X有〃位有效數(shù)字時(shí)LlOi1Z——LlOi1Z——b=_Lxl0TT%xlO?i2al反之，若X的相對誤差限2(的+1)xlO-'f有:xlOxlO-"+1=2*10i

2k-4=卜'W(/)431+1)X10"1X_由式(1.2)式知道，X’至少有片位有效數(shù)字，證畢這說明有效數(shù)字越多，相對誤差限越小。例1.2要使而的近似值的相對誤差限小于°」％,要取幾個(gè)有效數(shù)字？解：因?yàn)榘V=447…，所以，=4,令—xlQ-*+1<0.1%2x4故取〃=4即可滿足。.函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)一般情況，當(dāng)自變量有誤差時(shí)計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值也會(huì)產(chǎn)生誤差，其誤差限可利用函數(shù)的泰勒展開式估計(jì)。設(shè)“X)是一元函數(shù)，x的近似值為以“X)近似/(X),其誤差界記作,可用泰勒展開式/(x)-/(x)=/(x)(x- +(x-X*)3。介于X,父之間，取絕對值得|/（x）-4|7d）|￡（x）+.‘Is2（x*）假定了'（x）與」“CO的比值不太大，可忽略￡（x）的高階項(xiàng)，于是可得計(jì)算函數(shù)值的誤差限</1（/））“典力上（/）QgV-一 號(hào)⑺例1.3設(shè)丁的相對誤差限為2%,則/（X）=（X）”的相對誤差限是多少？解：號(hào)6力?*號(hào)（力=￡,（力/（x） （X）K?x2%=0.02?所以/（X）的相對誤差限為0.02n?當(dāng)了為多元函數(shù)時(shí)，如計(jì)算"=/（0叼，…，4）。如果X1/2,…，x”的近似值為再“2,…則上的近似值,=,（々，叼，…，/）,于是函數(shù)值4的誤差破工.）由泰勒展開式得e（d）=/-4=/（X；,X；,…,X：）-/（再,Xa，……況））（x；f）64ax/'于是誤差限為取工）~E（/-）￡（”）tidxk例1.4已測得某場地長'的值為「=110加，寬d的值為d*=80w,已知I"' I101W.試求面積的絕對誤差限與相對誤差限。s=ld,—=d,—=l解：因第3d,那么6糕軻）+部，）其中（§*=/=80/m,（—）**/*-110w￡（d*）=0,lw,￡（Z*）=0.2附于是絕對誤差限￡（3）、80x0.2+110x0.1=27（加2）相對誤差限1.3誤差傳播與若干防治辦法由前述可知，在數(shù)值計(jì)算中每步都可能產(chǎn)生誤差。而一個(gè)問題的解決，往往要經(jīng)過成千上萬次運(yùn)算，我們不可能每步都有加以分析，下面，通過對誤差的某些傳播規(guī)律的簡單分析，指出在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的幾個(gè)原則，它有助于鑒別計(jì)算結(jié)果的可靠性并防止誤差危害現(xiàn)象的產(chǎn)生。1.要避免兩相近數(shù)相減在數(shù)值運(yùn)算中兩相近數(shù)相減會(huì)使有效數(shù)字嚴(yán)重?fù)p失，例如x=532.65,=532.52都具有五位有效數(shù)字，但x-y=013只有兩位有效數(shù)字，所以要盡量避免這類運(yùn)算。IgXj-lgXj=lg—通常采用的方法是改變計(jì)算公式，例如當(dāng)X】與町很接近時(shí)，由于 町那么可用右端的-V^=-r=-7=公式代替左端的公式計(jì)算，有效數(shù)字就不會(huì)損失。當(dāng)X很大時(shí)， .x+1+yx也可用右端來代替左端。一般情況，當(dāng)/(x)=/(x)時(shí)，可用泰勒展開/(X)-/(/)--X*)+ -x*)a+-2! 取右端的有限項(xiàng)近似左端。如果計(jì)算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法。.要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)若參加運(yùn)算的數(shù)的數(shù)量級(jí)相差很大，而計(jì)算機(jī)的位數(shù)有限，如不注意運(yùn)算次序，就可能出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象，影響計(jì)算結(jié)果。例如在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，計(jì)算1000工=52492+2012-1寫成規(guī)格化形式1000 5A=0.52492*105+^0,000001x102-1由于計(jì)算時(shí)要對階，000001*105在計(jì)算機(jī)中表示為0,計(jì)算出來工=0.52492*1()5,結(jié)果嚴(yán)重失真!1000殳】如果計(jì)算時(shí)，先將I計(jì)算出來，再與52492相加，就不會(huì)出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象了。.注意簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)同樣一個(gè)計(jì)算題，如果能減少運(yùn)算次數(shù)，不但可節(jié)省計(jì)算機(jī)的計(jì)算時(shí)間，還能減少舍入誤差。例如，計(jì)算x255的值，如果逐個(gè)相乘要用254次乘法，但若寫成X=X，X'X'X'X'XX只要做14次乘法運(yùn)算即可。.絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)?匚?X ?XX同，Z=— Z=—設(shè)x與y分別有近似值 沙的近似值y,其絕對誤差顯然，當(dāng)1丁I很小時(shí)，近似值Z,的絕對誤差e（Z）有可能很大。因此，不宜把絕對值太小的數(shù)作除數(shù)。第2章非線性方程求根與線性方程相比，非線性方程問題無論是從理論上還是從計(jì)算公式上，都要復(fù)雜得多。對于一般的非線性方程計(jì)算方程的根既無一定章程可尋也無直接法可言。例如，求解高次方程組7/-/+矛75=0的根，求解含有指數(shù)和正弦函數(shù)的超越方程/8$9乃=°的零點(diǎn)。解非線性方程或非線性方程組也是計(jì)算方法中的一個(gè)主題。一般地，我們用符號(hào)/（力來表示方程左端的函數(shù)，方程一般形式表示為,（x）=°,方程的解稱為方程的根或函數(shù)的零點(diǎn)。通常，非線性方程的根不止一個(gè)，對于非線性方程，一般用迭代法求解。因此，在求解非線性方程時(shí)，要給定初始值或求解范圍。實(shí)根的對分法使用對分法的條件對分法或稱二分法是求方程近似解的一種簡單直觀的方法。設(shè)函數(shù),（x）在句上連續(xù)，且/（a）/。）＜0,則/（x）在［a1］上至少有一零點(diǎn)，這是微積分中的介值定理，也是使用對分法的前題條件。計(jì)算中通過對分區(qū)間、縮小區(qū)間范圍的步驟搜索零點(diǎn)的位置。例2.1用對分法求解/口）=#-7.7/+19.2釬15.3在區(qū)間［1,2］之間的根。解：⑴/⑴=-2.8,/⑵=0.3,由介值定理可得有根區(qū)間［。聞=口，2］。(2)計(jì)算為=(1+2)/2=1.5,/(1.》=-0.45,有根區(qū)間【。肉=口,5,2]。(3)計(jì)算叼=(1.5+2)/2=175, 0=0.078125,有根區(qū)間1°向=一直做到(計(jì)算前給定的精度)或1。一外〈￡時(shí)停止。對分法求根算法計(jì)算/(x)=°的一般計(jì)算步驟如下：.輸入求根區(qū)間SI1和誤差控制量￡,定義函數(shù)/(X)。IF>0)THEN退出選用其他求求根方法.W///LEI。力1>￡時(shí)(1)計(jì)算中點(diǎn)x=3+切/2以及/(x)的值；(2)分情況處理停止計(jì)算J=x,轉(zhuǎn)向步驟40修正區(qū)間[a,x]~>[a,b]0 修正區(qū)間[x,句->[a,b]ENDWHILE&xs(a+/2J? o4.輸出近似根亡。(2)2x=9-5,迭代格式為(2)2x=9-5,迭代格式為1怎-5

2在算法中，常用gg'c/gAag應(yīng)/熾））＞0代替/（。）?/。）＞0的判斷，以避免了3）,/（力數(shù)值溢出。對分法的算法簡單，然而，若了5）在是有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，只能算出其中一個(gè)零點(diǎn)；另一方面，即使?。╔）在［虱加上有零點(diǎn)，也未必有,“）/。）＜°。這就限制了對分法的使用范圍。對分法只能計(jì)算方程/⑶=0的實(shí)根.2.2迭代法對給定的方程,（*）=°,將它轉(zhuǎn)達(dá)換成等價(jià)形式：x=W（x）。給定初值兩，由此來構(gòu)造迭代序列%「聯(lián)）次=1,2,…，如果迭代法收斂,即明“1-原雙凝）一:有&=岫），則a就是方程/（"）=0的根。在計(jì)算中當(dāng)?-凝?小于給定的精度控制量時(shí)，取a=*切為方程的根。例如，代數(shù)方程芯3-2x-5=0的三種等價(jià)形式及其迭代格式如下:(1)xX 迭代格式=2x+5,x=*2x+5,迭代格式Xfc+i=/凝+(1)X 迭代格式24+5(3)24+5(3)3nu2x+5 rx=2x+5,x=——- %對于方程」（力=0構(gòu)造的多種迭代格式=飆凝），怎樣判斷構(gòu)造的迭代格式是否收斂？收斂是否與迭代的初值有關(guān)？定理2.1P（x）若定義在【么句上，如果W（x）滿足（1）當(dāng)有xe［a,切有a4P（X）4九（2）P（x）在［凡句上可導(dǎo)，并且存在正數(shù),使對任意的xe【a,可，有|p'（x）|4￡：則在［。，句上有惟一的點(diǎn)/滿足,=忒,），稱/為W。）的不動(dòng)點(diǎn)。而且迭代格式加1=°（秋）對任意的初值/丘［明3均收斂于P。）的不動(dòng)點(diǎn)寸，并有誤差估計(jì)式證明：（1）先證明存在性：令/（X）='-°（x）,則有/(a)=a-p(a)幺0

-00)20/(/)=x-。(產(chǎn))=0或x=0(高（2）再證明惟一性：設(shè)都是W（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且則有~x“|=|穴X*)-W(x“)I=|-0(/-x")|4￡I，-x”|<|x-x**\Je[a,b]與假設(shè)矛盾，這表明f=x”,即不動(dòng)點(diǎn)是惟一的。（3）當(dāng)力]時(shí)，由于W（x）e【a，可可用歸納法證明，迭代序列SJu[a力],于是由微分中值定理耳+1-必=。（4）一?亡）=0（與（/一亡），^[a,b]和Id（x）1?￡,得I 一x'K川凝-x'卜￡I/“）-W）I-戶I加1-xI-嚴(yán)11兩-xI （2.2）因?yàn)閆X1,所以當(dāng)上一8時(shí)，乃—X即迭代格式馬+1=44）收斂。（4）誤差估計(jì)式：片+1一耳|=|奴/）一?4-]）區(qū)?/一4-」…

“I玉-引設(shè)々固定，對于任意的正整數(shù)「有，I入+p-Xk1=14+P一4+;HI+I七+;H~Xk+p-2I幺d+戶Z+…為|X「而|= Ix「與I1-￡limk=x*由于。的任意性及，T9 ，故有.ilim%=x*Ix-&K---I々-%I"T9 > [-L注：定理2.1是判斷迭代法收斂的充分條件，而非必要條件。要構(gòu)造滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式一般是難于做到的。事實(shí)上，如果X?為/（X）的零點(diǎn)，若能構(gòu)造等價(jià)形式X=W（x）,而I |<1,由P'（x）的連續(xù)性，一定存在父的鄰域（/-2，/+同，其上有

|w'（x）|<￡<l,這時(shí)若初值x°G（x-P，x+P）迭代也就收斂了。由此構(gòu)造收斂迭代式有兩個(gè)要素，其一，等價(jià)形式x=。。）應(yīng)滿足其二，初值必須取自x+的充分小鄰域，這個(gè)鄰域大小決定于函數(shù)/（X）,及做出的等價(jià)形式。例2.2求代數(shù)方程/-2x-5=0,在2附近的實(shí)根。解：1）x3=2x+5-1=出一+5八2 1,:W⑶=-? 7（2/5戶，9（力|<1當(dāng)W2.5]構(gòu)造的迭代序列收斂。取飛=2則Xi=2.08008,盯=2.09235,Xi=2.08008,盯=2.09235,*3=2.094217々=2.094494,與=2.094543,勺=2.094550準(zhǔn)確的解是X=2.094551481502）將迭代格式寫為Y-5 ,、x3-53=^—，02（x）=-y-⑺卜憐卜,當(dāng).1.5,25]迭代格式、+1=%（xj不能保證收斂。迭代法的加工對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，就可以使結(jié)果達(dá)到任意的精度，但有時(shí)迭代過程收斂緩慢,從而使計(jì)算量變得很大，因此迭代過程的加速是個(gè)重要的課題。以下介紹一種埃特金（Aitken）方法。對X方程，構(gòu)造加速過程，算法如下：（1）預(yù)測：=。（敵）（2）校正：才用=吊）▼_=一（赤一褊）2激+1_二一"二yz"~（3）改進(jìn)： ％1-/敵+1+醺有些不收斂的迭代法，經(jīng)過埃特金方法處理后，變得收斂了。例2.3求方程/。）=工3-矛7=0在而=1.5附近的根父。解：若采用迭代公式：加1=北7迭代法是發(fā)散的，我們現(xiàn)在以這種迭代公式為基礎(chǔ)形成埃特金算法：取勺=15計(jì)算結(jié)果如表2」所示:表2.1計(jì)算結(jié)果k■敢+1%01.512.3750013.39651.4162921.840925.238881.3556531.491402.317281.3289541.347101.444351.3248051.325181.327141.32472我們看到，將發(fā)散的迭代公式通過埃特金方法處理后，竟獲得了相當(dāng)好的收斂性。牛頓迭代法對方程/（x）=0可構(gòu)造多種迭代格式=°（醺），牛頓迭代法是借助于對函數(shù)/（x）=°作泰勒展開而構(gòu)造的一種迭代格式。將/。）=°在初始值與作泰勒展開：/。）=/（而）+/'（/）。-工0）+，（X-飛）2+--取展開式的線性部分作為/（X）"0的近似值，則有設(shè)/%"°,則L一」（%）A-An 了也）x=yw令 r（x0）類似地，再將/（X）=0在五作泰勒展開并取其線性部分得到：x-X」⑷21一直做下去得到牛頓迭代格式：牛頓迭代格式對應(yīng)于/0）=0的等價(jià)方程是X=<p(x)=X---'/'(X)(2.4)若。是」（x）的單根時(shí),/（a）=0J'3"0則有位0）1=0,若。是」（x）的單根時(shí),所以牛頓迭代收斂。當(dāng)a為了（X）的P重根時(shí)，取下面迭代格式:牛頓法的幾何意義以了'（X。）為斜率作過SoJS。》點(diǎn)的切線，即作了（X）在X。點(diǎn)的切線方程令丁=°,則得此切線與x軸的交點(diǎn)片，即再作了（x）在（々，/（々））處的切線，得交點(diǎn)的，逐步逼近方程的a根。如圖2.2所示圖2.2牛頓切線法示意圖在區(qū)域口。，號(hào)+加的局部“以直代曲”是處理非線性問題的常用手法。在泰勒展開中，截取函數(shù)展開的線性部分替代“X）。例2.4用牛頓迭代法求方程7.7x2+19.2x-15.3,在5=1附近的根。x?-7.7xj+19.2xl-15.3x=》 * . * 解：“'3元75.4&+19.2計(jì)算結(jié)果列于表2.2中。表2.2計(jì)算結(jié)果Kxk/W01.00-2.811.41176-0.72707121.62424-0.14549331.6923-0.013168241.69991-0.000151551.70比較表2.1和表2.2的數(shù)值，可以看到牛頓迭代法的收斂速度明顯快于對分法。牛頓迭代法也有局限性。在牛頓迭代法中，選取適當(dāng)?shù)跏贾低呤乔蠼獾那邦}，當(dāng)?shù)某跏贾祪稍谀掣母浇鼤r(shí)迭代才能收斂到這個(gè)根，有時(shí)會(huì)發(fā)生從一個(gè)根附近跳向另一個(gè)根附近的情況，尤其在導(dǎo)數(shù)/'（"）數(shù)值很小時(shí)，如圖2.3所示。圖2.3失效的牛頓迭代法牛頓迭代算法.定義函數(shù),(x),g(x),輸入或定義迭代初始值X—旦)和控制精度epsilon。.FORi二°toMAXREPTx_il:=g(x_^0) 〃g(x)是牛頓迭代公式ZF(|x_k\-x_kO\<epsilon)oR(|/(x_jtl)|<epsilon)THEN｛輸出滿足給定精度的近似解X一上1,結(jié)束｝x_kO:=x_k\ENDFOR.輸出：在X—上°附近,(X)無根。注：在偽碼中，“仍表示注釋語句。偽碼又稱過程設(shè)計(jì)語言，主要用于描述算法。它是某種高級(jí)語言和自然語言的混雜語言，它取某種高級(jí)語言中的一些關(guān)鍵字，用于描述算法的結(jié)構(gòu)化構(gòu)造和數(shù)據(jù)說明等。偽碼的語句中嵌有自然語言的敘述，偽碼易于2.5弦截法弦截法迭代格式

在牛頓迭代格式中:在牛頓迭代格式中:力”]=/（—） …用差商 凝一X— 代替導(dǎo)數(shù)/（演），并給定兩個(gè)初始值X。和不，那么迭代格式可寫成如下形式：X=x32…人JtyXl人1 ,R,，乙/（凝）-/（%） （2.5）上式稱為弦截法。用弦截法迭代求根，每次只需計(jì)算一次函數(shù)值，而用牛頓迭代法每次要計(jì)算一次函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)值。但弦截法收斂速度稍慢于牛頓迭代法。弦截法的幾何意義做過兩點(diǎn)SoJ（x。））和（占'/（々））的一條直線（弦），該直線與X軸的交點(diǎn)就是生成的迭代點(diǎn)*2,再做過（0/（々））和（叼，,（工2））的一條直線，與是該直線與X軸的交點(diǎn)，繼續(xù)做下去得到方程的根/3）=0,如圖2.4所示圖2.4弦截法不意圖例2.5用弦截法求方程"X）=--7.7,+19.2x75.3的根,取勒=1.5,々-4.0敵+1—敵解： /（xfc）-/（xw）計(jì)算結(jié)果列于表2.3中。表2.3計(jì)算結(jié)果k凝 /（X）01.5-0.45142.321.909090.24883531.65543-0.080569241.717480.028745651.701160.0019590261.69997-0.000053924671.79.45910-8弦截法算法.定義函數(shù)“X）,輸入或定義控制精度值epsilon和迭代初始值J肛。計(jì)算/1：=」。_婦)x——x/2x表示X，凝.FOR:=0,1...MAXREPT/2:=/。_左2)22x_k:=x_k2-J2(x_k2-x_^l)/(/2-/I)/齊-｛表示0+123 叩豆=OK(|/(x_熄|<叩面匕^THEN｛輸出滿足給定精度的近似解x-上，結(jié)束｝

/1：=/2x_kl-x_k2x_k2:-x_k〃為下一次迭代準(zhǔn)備數(shù)值ENDFOR3.輸出：在初始值X-婦，工一上2附近/（X）無根。2.6非線性方程組的牛頓方法為了敘述簡單，我們以解二階非線性方程組為例演示解題的方法和步步驟，類似地可以得到解更高階非線性方程組的方法和步驟。設(shè)二階方程組：工（“）=01東”）=0 Q6）其中%丁為自變量。為了方便起見，將方程組寫成向量形式:尸（W）/（X，"尸（W）/（X，"其中=將辦（xj）,工f（xj）附近作二元泰勒展開，并取其線性部分，得到方程組k（x“0）+（x-x。）咨型+0?）吟?=。

ox ay、: 、“2（XoJo）＞、歷（為,北）「力（X。,為）+（x-X。）—— +0-%）——-——=0dx dy令X-X。則有’及/（XoJo）+協(xié)通Jo）dx dy&羽（x0,既）上年電。0，%）dxdy=一力（麗jo）一力（而Jo）l（XoJo）l=如果皿笠dx血生生dxdy解出反，與，得&1%+8,

△yj‘o+與」再列出方程組：'吟兇。F）+吟?8-%）一工（勺加dx ay‘羽（須,％）, 、_1.電（X1J1）/ 、 ，/ 、一3 （X-X。+——7——⑶-M）=一力區(qū),71）dx dy解出&=xfa=廠必，得出W2繼續(xù)做下去，每一次迭代都是解一個(gè)方程組J(X"1-力（X"GJ(X"1-力（X"G(2.7)為止。即加「4+&,然a=4+與，直到max（|A4|?|）＜為止。例2.6求解非線性方程組1（0）=4--/彳—（"）=]_"-y=’11用=取初始值（T7人、J-2y72p--flIk=.以一ayI打打一

有菽明以小脩-2 3.4-2.71828-1F(w(j)XCWo))JO.ll『式Xo，yJ -0.01828F(w(j)J-2&+3.44=-0.11(-2,71828Zto-2>=0.01828△w='△x[f0,0042560.004256△w=0.004256-0.029849」解方程得1004256-0.029849-1729849繼續(xù)做下去,直到max（心|,|今|）＜10-5時(shí)停止。將兩個(gè)變量的非線性方程組推廣到多變量的非線性方程組:‘工(向，X2「?，勺=0

fi(x1,x3,-xx=0(2.8)記x=（々,叼,…,x”）rF（X）=（工。1，項(xiàng),…1ai，々，…,x*）,…,彳歷程…,A））'的向量形式:斤⑶=0用牛頓迭代法求方程組的解為:那+1)=xw__巴?=X(E)-(J(X3))-%(1閨)F(X')見⑶鞏⑻...鞏⑺TOC\o"1-5"\h\z的dx2 8A電(X)電⑻電⑻J(X)=加 的 網(wǎng)姒5筑⑻.筑(制其中： 遍 媽 四稱J(X)為雅可比(jacobi)矩陣。計(jì)算中采用J(X⑻)(**】)-*對)=-F(X儂)“獷乂型=-尸(X產(chǎn) c°、即劃=X(k)+LXW一直做到"△‘'△’L小于給定精度為止。在X的領(lǐng)域中若UJ(㈤1匕"￡<1,則迭代收斂。.7程序示例程序2.1用牛頓迭代法求/(X)在X。附近的根。算法描述給定了(X),從勺開始，根據(jù)牛頓迭代公式k=0,1，…XMk=0,1，…XM計(jì)算/(")在X。附近的根。程序源碼IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII//Purpose:牛頓迭代法求根 〃IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII#inckide<stdio.h#include<math.h>//iterate")為X-/S)//⑶#defineiterate(x)(x-((x*x-3)*x-l)/(3*x*x-3))#define/(“) ((x*x-3)*x-l)definexO1.5〃迭代初值xOdefineMAXREPT1000〃最大迭代次數(shù)defineepsilon0.0001〃精度voidmain(){inti;doublex_k=xO,x_kI=xOfor(i=i<MAXREPT：i++)(printf(“Got…％f?n”,x_k1);x_kl=iterate(x_k); 〃迭代iffabs(x_kl-x_k)<epsilonllfabs(f(x_k1)<epsilonprintf（"!Root:%f\n”,x_kl）;〃滿足精度，輸出return;{x_k=x_k1{printf（44After%drepeate,nosolved.\m",MAXREPT）；// EndofFile 計(jì)算實(shí)例已知/（x）=x3_3x7,取￡= 勺=1.5,用牛頓迭代法計(jì)算/（x）的根。程序輸入輸出由本程序預(yù)設(shè)的/（X）及飛=15,得到輸出!Root:1.879385程序2.2用弦截法求,（X）在飛，々附近的根。算法描述給定了（x）,從麗，X1開始,根據(jù)弦截法迭代公式X=x_/（凝）?-%）AJt+i4 // 、 // 、， & ［，乙，…-，（k1）求得了（X）在其附近的根。程序源碼IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII//Purpose：弦截法求根 〃IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII#include<stdio.h>#include<math.h>#definef(x)(x*x*x-7.7*x*x+19.2*x-15.3)//f函數(shù)#definexO0.0〃初值x0,xl#definexl1.0#defineMAXREPT1000 〃最大迭代次數(shù)#defineepsilon0.00001 〃求解精度voidmain(){inti;doublex_k=x0,x_k1=x1,x_k2=x1;for(I=0;i<MAXREPT;i++={printf(*4!Root:%f\nM,x_k2);x_k2=x_kl-(f(x_kl)*x_kl-x_k))/(f(x_k1)?f(x_k));〃弦截求新x_niffabs(x_k2-x_kl)<epsilonllfabs(f(s_k2))<epsilon(printf(M!Root:%f\n,\x_k2);〃滿足精度，輸出return;{x_k=x_k1;x_kl=x_k2; 〃反復(fù)(printf(i4After%drepdate,nosolvde.\n",MAXREPT);// EndofFile 計(jì)算實(shí)例

用弦截法求方程“X）Rx?-7.7x?+19.2x75.3的根，取x°=1.5,Xj=4.0程序輸入輸出由本程序的/（X）及飛,々得到輸出!Root:1.700000第3章解線性方程組的直接法在近代數(shù)學(xué)數(shù)值計(jì)算和工程應(yīng)用中，求解線性方程組是重要的課題。例如，樣條插值中形成的河關(guān)系式，曲線擬合形成的法方程等，都落實(shí)到解一個(gè)萬元線性方程組，尤其是大型方程組的求解，即求線性方程組（3.1）的未知量為瓜2,…，々的數(shù)值?！妆?+ a12x2+ -- + auxn =4白21再 + + ??? + a2Mx =%d%為4/+ +am=bx其中mjbi為其中mjbi為常數(shù)。上式可寫成矩陣形式Ax=b,即其中，"=（%）為系數(shù)矩陣，x=（孫叼…，/）r為解向量，力=（"也…也）,為常數(shù)向量。當(dāng)加叢=。工0時(shí)，由線性代數(shù)中的克萊姆法則，方程組月入=小的解存在且惟一，且有Di為系數(shù)矩陣月的第i列元素以小代替的矩陣的行列式的值?？巳R姆法則在建立線性方程組解的理論基礎(chǔ)中功不可沒，但是在實(shí)際計(jì)算中，我們難以承受它的計(jì)算量。例如，解一個(gè)100階的線性方程組，乘除法次數(shù)約為（101100!-99）,即使以每秒103的運(yùn)算速度，也需要近100小年的時(shí)間。在石油勘探、天氣預(yù)報(bào)等問題中常常出現(xiàn)成百上千階的方程組，也就產(chǎn)生了各種形式方程組數(shù)值解法的需求。研究大型方程組的解是目前計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要方向和課題。解方程組的方法可歸納為直接解法和迭代解法。從理論上來說，直接法經(jīng)過有限次四則運(yùn)算，假定每一步運(yùn)算過程中沒有舍入誤差，那么，最后得到方程組的解就是精確解。但是，這只是理想化的假定，在計(jì)算過程中，完全杜絕舍入誤差是不可能的，只能控制和約束由有限位算術(shù)運(yùn)算帶來的舍入誤差的增長和危害，這樣直接法得到的解也不一定是絕對精確的。迭代法是將方程組的解看作某種極限過程的向量極限的值，像第2章中非線性方程求解一樣，計(jì)算極限過程是用迭代過程完成的，只不過將迭代式中單變量入3=°（底）換成向量而已。在用迭代算法時(shí)，我們不可能將極限過程算到底，只能將迭代進(jìn)行有限多次，得到滿足一定精度要求的方程組的近似解。在數(shù)值計(jì)算歷史上，直接解法和迭代解法交替生輝。一種解法的興旺與計(jì)算機(jī)的硬件環(huán)境和問題規(guī)模是密切相關(guān)的。一般說來，對同等規(guī)模的線性方程組，直接法對計(jì)算機(jī)的要求高于迭代法。對于中等規(guī)模的線性方程組5<200）,由于直接法的準(zhǔn)確性和可靠性高，一般都用直接法求解。對于高階方程組和稀疏方程組（非零元素較少），一般用迭代法求解。消元法三角形方程組的解形如下面三種形式的線性方程組較容易求解。對角形方程組’的內(nèi) =瓦。22心 =%、 2* =b* （3.3）設(shè)由L0,對每一個(gè)方程，號(hào)=12…,”顯然，求解〃階對角方程的運(yùn)算量為°（功。下三角方程組

TOC\o"1-5"\h\z%再 =瓦’21再 + ’22勺 =&2+ 射叼 +…+ = bn (34)按照方程組的順序，從第一個(gè)方程至第〃個(gè)方程，逐個(gè)解出玉/=12,…/由方程之為=4,得々=441。將々的值代入到第二個(gè)方程41X1+Z22X2=b2X?=02-JXi)〃22將々，盯，…,Xj_i的值代入到第i個(gè)方程—1+…=42-1玉=(4-￡%Xj)4，i=1,2,…小TOC\o"1-5"\h\z得 川計(jì)算為需要i次乘法或除法運(yùn)算，,=1，2,….。因此，求解過程中的運(yùn)算量為2?=-z-=6")\o"CurrentDocument"2-1 乙上三角方程組‘％1玉+uux2 + ??? + m = a“2/ + … + 2? = %4 …4-“吊_1 +%L*Xa=4_i,2,1"x*X* -4 (35),2,1與計(jì)算下三角方程組的次序相反，從第%個(gè)方程至第一個(gè)方程，逐個(gè)解出玉，由第力個(gè)方程"皿4=4彳可。將/的值代入到第力"I個(gè)方程U?-1>?-1X?-1+ux-l>xXx=耳-1得 -（4-1-"*-1，*，*將\,勺_1，…，為+1的值代入到第j個(gè)方程%肉+%3k1+…+%*勺=4得解的通式■々=(4-Z%Xj)/%,

/-i+1計(jì)算不需要非T+1次乘法或除法運(yùn)算'=n'n-L…，2」。因此求解過程中的運(yùn)算量為-4-1 （，力（力+1） 2、N力-1+1=2，=---=0（力）I j-i 乙消元法的基本思想就是通過對方程組做初等變換，把一般形式的方程組化為等價(jià)的具有上述形式的易解方程組。3.1.2高斯消元法與列主元消元法高斯消元法高斯消元法是我們熟悉的古老、簡單而有效的解方程組的方法。下面是中學(xué)階段解二元方程組（高斯消元法）的步驟：Xj-x2=1 "6）’3々+2必=8 （3.7）方程（3.6）乘以-3加到第（3.7）個(gè)方程中得%-Xa=1

"0+5x2=5

‘叼=L代入（3.6）得再=2。其方法相當(dāng)于對方程組的增廣矩陣做行的初等變換：/ 、 fl -111 （1 -1 1） L、< /（3 28j [o 5 5l '/4已是上三角矩陣，而Ji_與=1' 5x2-5為原方程組的等價(jià)方程組，己化成易解的方程組形式。再用回代方法求解，得到：了2=1,再=2這就是高斯消元法解方程組的消元和回代過程。一般地，可對線性方程組（3.1）施行以下一系列變換；（1）對換某兩個(gè)方程的次序；（2）對其中某個(gè)方程的兩邊同乘一個(gè)不為零的數(shù)；（3）把某一個(gè)方程兩邊同乘一個(gè)常數(shù)后加到另一個(gè)方程的兩邊。記變換后的方程組為：TOC\o"1-5"\h\z西丙 +瓦2工2 +-+kX* =瓦產(chǎn)田 a22x2 +…+ 5taX* = 4畫再 ax2x2 + + axxxK = bx (38)顯然方程組（3.1）與（3.8）是等價(jià)方程組,顯然方程組（3.1）與（3.8）是等價(jià)方程組,的增廣矩陣為:~瓦司?XM可當(dāng)游一12*嶗a~aa1AIX1*~的52瓦-~,6

X可以看出，I'3實(shí)際上是由（A切按一系列初等換后得到的（1）對換（A"）某兩行元素；（2）（A①中的某行乘一個(gè)不為零的數(shù)；（3）把（A與的某一行乘一個(gè)常數(shù)后加到另一行。高斯消元法就是通過以上（3）的變換，把（Aa化為等價(jià)的上三角形式。下面我們以％=4為例演示消元過程。設(shè)方程組：anXx+/2町+a13X3+，4勺=瓦+白22才2+a23X3+424工4=力20丙+。32灼+&3勺+。34勺=.產(chǎn)4丙+%2町+。43勺+。44乙=瓦 （39：其增廣矩陣為：an(3?°31，2ana14瓦

。22 。an(3?°31ana33。34力3

a/。43。44“」（1）若，1工°,則將第一行乘以一。21ali加到第二行上；將第一乘以一。31/%1加到第三行上；將第一行乘以一41,/I加到第四行上得到(3.10)xr/\JZv)z勾Q2Q30414⑴24⑴34⑴“aaaa13⑴空⑴33⑴43aaaa^11000X⑴/即*=附一%%/。11￡)=2,3,4防”=曲一瓦沏/?！?=2,3,4(2)若。黑"°，則將第二行乘以一%，/?加到第三行上；將第二行乘以-*/*加到第四行上,得到1/瓦培1/瓦培6iA?14(1)“⑵34⑵44aaaa旬艱瞪南小asoohlooo(3.11)。)Q)Q)Q)/Q),.oj

白爐°爐"2/白口:。22，】，J$，48,)=可。)-珊a*/眼,i=3,4⑶若洲"°則將第三行乘以一濾"。翼加到第四行上，得到Y(jié)JZ).).與Q2S04%⑴24⑵34⑶YJZ).).與Q2S04%⑴24⑵34⑶44aaaa小.(1)/⑵330aaa=(調(diào)(3.12)A已是上三角矩陣，于是得到了與原方程等價(jià)的易解形式的方程組:。11入1 +anX2 + al3x3 + %4為=瓦吟 +。氏 + &4 = .-%+思左4=理膽=“. 44 4 (3.13)再對方程組（3.13）依次回代解出々，/R2，々，。從式（3.12）可以得到系數(shù)矩陣工的行列式的值為彳的對角元素的乘積。即det（H）=/次gag）a3）這也正是在計(jì)算機(jī)上計(jì)算方陣/的行列式的常規(guī)方法。要將上述解方程步驟推廣到”階方程組，只需將對控制量“4”的操作改成對控制量力的操作即可。?元方程組高斯消元法的步驟如下：對于上=1,2,…,*7,約定=。步有*=4"一解"9）*歲）爐=母4-健、婕4））*6" k+l<i<?J）見,經(jīng)過以上消元，我們已得到與乂等價(jià)的方程組急=；,其中N已是一個(gè)上三角矩陣。為簡單起仍記N的元素為氣花的元素為"”回代見,Xbi-Xbi-/-i+l/aa,i=n,n(3.15)即已得到原方程組的解。高斯消元法算法心）產(chǎn)）在算法中略去了變量，矩陣和向量的定義部分。在消元過程中，將氣.仍放在與元素的位置上。.輸入：方程組階數(shù)"，方程組系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量入{FORi:=k+lTOn{訛/"依〃假定。依h°FORj:=k+lTOn{%：=%-X*%} 〃ENDFORJ耳=*線} //ENDFORI} //ENDFORK「?、Xj=bi-.FORi:=nTOI〃回代求解 」{s:=biFORj:=i+lTOnDO=s一以歹*Xjxi:=s!ah}.輸出方程組的解々J=12…/。高斯消元法的運(yùn)算量整個(gè)消元過程即式（3.14）的乘法和除法的運(yùn)算量為職！ 要i/ \M伍-2）2伽-左+D+ -左）+—7~A-l JU1 N回代過程即式（3.15）的乘除運(yùn)算量為

故高斯消元法的運(yùn)算量為故高斯消元法的運(yùn)算量為(3.16)高斯消元法的可行性在上面的消元法中，未知量是按照在方程組中的自然順序消去的，也叫順序消元法。在消元過程中假定對然元素“，消元步驟才能順利進(jìn)行，由于順序消元不改變上的主子式值,故高斯消元法可行的充分必要條件為5的各階主子式不為零。但是，實(shí)際上只要det'*0，方程組人入二小就有解。故高斯消元法本身具有局限性。另一方面，即使高斯消元法可行，如果??很小，在運(yùn)算中用它作為除法的分母(3.17)(3.18)(a,—a#-a(3.17)(3.18)… 』何0003xi+3.0000%.=2.0001例3.1方程”0000%i+i.0000x2=1.0000=2 =2的精確解為：/5'必3o在高斯消元法計(jì)算中取5位有效數(shù)字。解:方程(3.17)x(-1)/O.OOO3+方程(3.18)得：'0.0003再+3,0000x2=2.0001’9999.0與=6666.0=06667,代入方程(3.17)得々°。由此得到的解完全失真，如果交換兩個(gè)方程的順序,得到等價(jià)方程組'l.OOOOxj+1.0000x2=1.0000

"0.0003%,+3.0000x2=2.0001經(jīng)高斯消元后有10000玉+1.0000X2=10000[2.9997勺=1.9998,,.xa=0.6667,再=0.3333由此可看到，在有些情況下，調(diào)換方程組的次序?qū)Ψ匠探M的解是有影響的，對消元法中抑制舍入誤差的增長是有效的。如果不調(diào)換方程組的次序，取6位有效數(shù)字計(jì)算方程組的解，得到x2=0.666667,X]=0,33取9位有效數(shù)字計(jì)算方程組的解，得到&=0.666667,句=0.333333由此可見有效數(shù)字在數(shù)值計(jì)算中的作用。列主元消元法如果在一列中選取按模最大的元素，將其調(diào)到主干方程位置再做消元，則稱為列主元消元法。調(diào)換方程組的次序是為了使運(yùn)算中做分母量的絕對值盡量地大，減少舍入誤差的影響。用列主元方法可以克服高斯消元法的額外限制，只要方程組有解，列主元消元法就能暢通無阻地順利求解，同時(shí)又提高了解的精確度。maxM="J更具體地，第一步在第一列元素中選出絕對值最大的元素日公 ，交換第一行和第加行的所有元素，再做化簡…為零的操作。對于每個(gè)上土=1,2,…避-1在做消元前，選出（I碓訃到…舊?】中絕對值最大的元素臉"L對上行和m行交換后，再做消元操作，這就是列主元消元法的操作步驟。由于detnHO,可證_（^-d旗’*1次?'派中至少有一個(gè)元素不為零，從理論上保證了列主元消元法的可行性。列主元消元法與高斯消元法相比，只增加了選列主元和交換兩個(gè)方程組（即兩行元素）的過程。列主元消元法算法1.輸入：方程組階數(shù)附，方程組系數(shù)矩陣力和常數(shù)向量項(xiàng)5。

{〃選擇FORu:=k+lTOnlFM>sTHEN{w-u;s-|aM|}FORv:=kTOn //交換第上行和第次行“：=—=a-。tf“：=EA,；=tIFORi:=k+lTOn{。=a/a&FORj:=k+lTOn{%:=%-￡*aJ //ENDFORJ} //ENDFORI} //ENDFORK3.FORi:=nTO1//3.FORi:=nTO1//回代求解4.輸出方程組的解玉」=1，2,…,”如果對于第k步，從此行至力行和從分列至萬列中選取按模最大的叫k界記卜T)卜max{W|), ,於舟&,對第發(fā)行和第〃行交換，對第上列和第V列交換，這就是全主元消元法。在k列和第v列交換時(shí)，還要記錄下v的序號(hào)，以便恢復(fù)未知量H和劉的位置。3.1.3高斯一若爾當(dāng)(Gauss—Jordan)消元法高斯消元法將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，再進(jìn)行回代求解；高斯一若爾當(dāng)消元法是將系數(shù)矩陣化為對角矩陣，再進(jìn)行求解，即對高斯消元法或列主元消元法得到的等價(jià)增廣矩陣：X/X/X/X/\JZ

陽洲點(diǎn)譚

如碌溜O

如理oO

hlooO用第4行乘一03：“44加到第3行上，用第4行乘一°9/比‘加到第2行上，用第4行乘-a?1加到第1行上，得到alla12fl130年”0(2)譚0歐,00a330歐000譚娟用第3行乘-a矍/%蓼加到第2行上，用第3行乘-/3翼加到第1行上，再用第2行乘一對/娟,加到第1行上，得到an0 0 0及少0碗0 0酸)0 0噌0理0 0 0溜用」(3.19)為方便起見，仍記式(3.19)系數(shù)矩陣元素為,常數(shù)項(xiàng)元素為“。那么

=4/他,i=用初等變換化系數(shù)矩陣為對角矩陣的方法稱為高斯一若爾當(dāng)消元法。從形式上看對角矩陣(3.15)比上三角矩陣(3.11)更為簡單，易于計(jì)算%,但是將上三角矩陣(3.11)化為對角矩陣(3.15)的工作量略大于上三角矩陣回代的工作量。高斯一若爾當(dāng)消元法求逆矩陣設(shè)上為非奇異矩陣，方程組=4的增廣矩陣為。如果對c應(yīng)用高斯-若爾當(dāng)消元法化為(S,則川=丁。31563156J的逆矩陣才、/=2435例3.2用高斯-若爾當(dāng)消元法求5604502310560450231107201 15/32001/32/3101-2/31/3110-1/31->0010-1/20-5/22013/203/2-1001/21-1/20,1001-32,010-33-1=（4團(tuán)）0012-10-32,/=-33-1解得：2-103.2直接三角分解法

相當(dāng)于用了三個(gè)初等矩陣左乘力和方。記仍以〃=4為例，在高斯消元法中，從對方程組進(jìn)行初等變換的角度觀察方程組系數(shù)矩陣的演變過程。相當(dāng)于用了三個(gè)初等矩陣左乘力和方。記第一次消元步驟將方程組（3.9）化為方程組（3.10）,41 =2,3,4,容易驗(yàn)證,an41 =2,3,4,容易驗(yàn)證,ana12ai3ai4由&4X=布,得到Wx=W,其中將方程組（3.10）化為方程組（3.11）,相當(dāng)于用了兩個(gè)初等矩陣左乘月和小。記心如=3,4,有’1 00 10 0J_/42ooWio】00010 00o,001001(1 0 0010-z420L甲。)=盧=[同理，將方程組(3.11)化為方程組(3.12),相當(dāng)于用一個(gè)初等矩陣左乘/和占。完成了消元過程，有亦有所有消元步驟表示為：（4與左乘一系列下三角初等矩陣。容易驗(yàn)證，這些下三角矩陣的乘積7仍為下三角矩陣，并有T-1=伉四看廠=寫1石T-1=伉四看廠=寫1石1寫1101*32001’4301001于是有A=TAA=T-XA這里T"仍為下三角矩陣，其對角元素為1,稱為單位下三角矩陣，而N已是上三角矩陣。記K一左W則有A=LU結(jié)果表明若消元過程可行，可以將總分解為單位下三角矩陣￡與上三角矩陣U的乘積。由此派生出解方程組的直接分解法。由高斯消元法得到啟發(fā)，對幺消元的過程相當(dāng)于將幺分解為一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)下三角矩陣的過程。如果直接分解工得到上和人A=LU。這時(shí)方程力x=6化為=令以=丁，由功=小解出丁；再由解出x。這就是直接分解法。

將方陣力分解為工=￡0,當(dāng)￡是單位下三角矩陣，是上三角矩陣時(shí)，稱為多利特爾（Doclittle）分解；當(dāng)Z是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣時(shí)，稱為庫朗（Courant）分解。分解的條件是若方陣工的各階主子式不為零，則多利特爾分解或庫朗分解是可行和惟一的。3.2.1多利特爾分解多利特爾分解步驟若金的各階主子式不為零，/可分解為工=￡〃，其中上為單位下三角矩陣，為上三角矩陣，即矩陣￡和。共有/個(gè)未知元素，按照U的行元素￡的列元素的順序，對每個(gè)°。列出式（3.16）兩邊對應(yīng)的元素關(guān)系式，一個(gè)關(guān)系式解出一個(gè)上或^的元素。下面是計(jì)算￡和。的元素的步驟：（1）計(jì)算。的第一行元素"11，%?，…，un0要計(jì)算,1,則列出式（3.20）等號(hào)兩邊的第1行第un0■<211= =(10 0 )r-1故%1=/1。一般地，由U的第一行元素的關(guān)系式得到

得到“n=aijJ=1，2，-，力(2)計(jì)算￡的第一列元素JA1，…，41要計(jì)算"l,則列出式(3.20)等號(hào)兩邊的第2行第1列元素的關(guān)系式:。21=。21=5?”％=fel10r-10)故故’21=町1/%1。?般地，由上的第1列元素的關(guān)系式aa=aa=Sirurl 10r-10)U110Aian得到Ai=沏?/=2,3,…,％(3)計(jì)算的第2得到Ai=沏?/=2,3,…,％(3)計(jì)算的第2行元素(4)計(jì)算上的第2列元素若已算出U的前上-1行，￡的前發(fā)-1列的元素，則(5)計(jì)算一的第發(fā)行元素…"心由。的第發(fā)行元素的關(guān)系式:TOC\o"1-5"\h\zafy=￡｝口氣=ik2…io…。)”r-l 00"U是上三角矩陣，列標(biāo))-行標(biāo)上.x k i-1a/￡%%=2?盧廠+%r?l r-1 r>l得到fc-1=k,k+\,--,n(3.21)r-1(3.21)(6)計(jì)算Z的第k列元素4+以如2,…‘由上的第上列元素的關(guān)系式：%TOC\o"1-5"\h\z3刃4-田…kJ,0,…,。)”；r-1 U0i；￡是下三角矩陣，.?.行標(biāo)標(biāo)》2行標(biāo)上。x k If州=多認(rèn)k=工g= +4/玳r-1 r-1得到-2??"雄/"戰(zhàn)，i=上+1，兒+2,…/，-1 J一直做到￡的第抬-1列，u的第%行為止。用直接分解方法求解方程組所需要的計(jì)算量仍為3 ,和用高斯消元法的計(jì)算量基本相同?？梢钥吹皆诜纸庵猩系拿總€(gè)元素只在式(3.21)或(3.22)中做而且僅做一次貢獻(xiàn)，如果需要節(jié)省空間，可將以及￡的元素直接放在矩陣4相應(yīng)元素的位置上。用直接分解法解方程=3,首先作出分解為=￡^令醒，解方程組切=力。由于七是單位下三角矩陣，容易得到i-1必=4一2%",/=1,2,…小" (3.23)再解方程組”=、，其中/=必-2〃1弓一 ,2,1i2 (3.24)對力進(jìn)行^分解時(shí)，并不涉及常數(shù)項(xiàng)右。因此，若需要解具有相同系數(shù)的一系列線性方程組時(shí)，使用直接分解法可以達(dá)到事半功倍的效果。多利特爾直接分解算法.輸入；方程組階數(shù)％,系數(shù)矩陣力和常數(shù)項(xiàng)力。2FORk:=lTOn{FORj：=kTOn〃計(jì)算〃的第先行元素U&：=%r-1FORi:=k+lTOn〃計(jì)算￡的第上列元素} //完成^分解3,FORi:=1TOn //解方程組功=84.FORi:=1TOn//解方程組”=丁'*4.FORi:=1TOn//解方程組”=丁'*'.=乂-2%勺/%5.輸出方程組的解x”，=12…/例3.2用多利特爾分解求解方程組:2々 + 町 + 勺 =4勺 + 3x2 + 2x3 = 6X] + 2x2 + 2x3 = 5「21解：「21解：u?21,311’32O'"11u12%3'° 0 “22 u231八0 0 “33」對分=1，有%=a^.j=1,2,3?n=2,“12=1必3=1Al=an/un,i=2,3/21=1/2=0.5,Z31=1/2=05對分=2,有"22=a22 =3-0.5=2.5“23=。23一，2/13=2-0.5=1.5,32=（。32-13聲12）/〃22=（2~0.5）/2.5=0.6對上=3,有u33=&3_'31"13一’32“23=0-6r1 00W21 1'：.LU=0.51002.51.50.50,611000.6j解功=々即?>1=4,乃=4,乃=0.6x3=1,x2=1,X]=13.2.2追趕法很多科學(xué)計(jì)算問題中，常常所要求解的方程組為三對角方程組其中(3.26)并且滿足條件:同>同>0,14陽4|+匕|，46=0」=1,2,---,?-1的1>1%1>0稱/為對角占優(yōu)的三對角線矩陣。其特征是非零元素僅分布在對角線及對角線兩側(cè)的位置。在樣條插值函數(shù)的M關(guān)系式中就出現(xiàn)過這類矩陣。事實(shí)上，許多連續(xù)問題經(jīng)離散化后得到的線性方程組，其系數(shù)矩陣就是三對角或五對角形式的對角矩陣。利用矩陣直接分解法，求解具有三對角線系數(shù)矩陣的線性方程組十分簡單而有效?，F(xiàn)將/分解為下三角矩陣￡,及單位上三角矩陣u的乘積。即4=其中1V11,U=1V11,U=v?-l1(3.27)利用矩陣乘法公式，比較兩邊元素，可得到%=碑=2,3,…，力$=bL4= +嗎,i=2,3,…,九ci=叫"，382,3,???，力-1于是有<=/，?=瓦，%=八一4￥_i，i=2,3,??，力vi -1由些可見將上分解為z及u,只需計(jì)算｛嗎｝及｛4｝兩組數(shù)，然后解37，計(jì)算公式為：乃=工/叫Ji=(Ji =2,3,---,? (329)再解以=丁則得4=",Xj= =冬%-1,…21 (3.30)整個(gè)求解過程是先由(3.28)及(3.29)求｛用，｛吊｝及｛旬，謝日2…,n是“追,，的過程，再由(324)求出｛'J,這時(shí)1F，…」是往回趕，故求解方程組(3.25)的整個(gè)過程稱為追趕法。3.2.3對稱矩陣的￡次5分解對稱正定矩陣也是很多物理問題產(chǎn)生的一類矩陣，正定矩陣的各階主子式大于零。可以證明，若金正定，則存在下三角矩陣￡,使幺=￡￡',直接分解幺=￡￡7的分解方法，稱為平方根法。由于在平方根法中含有計(jì)算平方根的步驟，因此很少采用平方根法的分解形式。對于對稱矩陣，常用的是幺=￡刀￡「分解。對工作多利特爾分解工=￡0,即由/對稱正定，可得% ,令由月的對稱性和分解的惟一性可證即4=￡戊。1%1…J1J(3.31)￡是對角元素為1的單位下三角矩陣。n(n-1)對矩陣金作多利特爾或庫朗分解，共計(jì)算M個(gè)矩陣元素；對稱矩陣的￡。尸分解，只需計(jì)算2個(gè)元素，減少了近一半的工作量。借助于多利特爾或庫朗分解計(jì)算公式，容易得到分解計(jì)算公式。設(shè)/有多利特爾分解形式:…%*…%*4其中Ju六%rv在分解可套用多利特爾分解公式，只要計(jì)算下三角矩陣￡和。的對角元素"e。計(jì)算中只需保存L=%)的元素，尸的,行/列的元素用￡的4表示。由于對稱正定矩陣的各階主子式大于零，直接調(diào)用多利特爾或庫朗分解公式可完分解計(jì)算，而不必借助于列主元的分解算法。對于上=1,2,…，力，有TOC\o"1-5"\h\z? 比-1? 反-1八=%=%.-2.「求=akk-＞斤d//y-1 r-1(3.32)i?? 1A=(依1m=四一＞業(yè)小)"八

r-1 7Jt-1L=(做-^見4)"Z=k=l,…/

7 (3.33)由L(DlF)x-b，解方程組=b可分三步完成：(1)解方程組友=b淇中z=DEx。j-1打 (3.34)(2)解方程組°=z,其中1y=￡4。X=zjd”j=1,2,--?(3)解方程"矛工丁毛=乃一￡%%.,i 1J-4+1對稱矩陣的LDI；分解算法.輸入：方程組階數(shù)附，系數(shù)矩陣/和常數(shù)項(xiàng)合。.FORk:=lTOnM=a*_￡d心

r-1FORi:=k+lTOn.略去解方程組步驟從矩陣分解角度看，直接分解法與消元法本質(zhì)上沒有多大區(qū)別，但實(shí)際計(jì)算時(shí)它們各有所長。一般來說，如果僅用單字長進(jìn)行計(jì)算，列主元消元法具有運(yùn)算量較少、精度高的優(yōu)點(diǎn)，故是常用的方法。但是，為了提高精度往往采取單字長數(shù)雙倍內(nèi)積的辦法（即作向量內(nèi)積計(jì)算時(shí)，采用雙倍加法，最終結(jié)果再舍入成單字長數(shù)），這時(shí)直接分解法能獲得較高的精度。例3.4用3廣分解求解方程組:必==1k=1時(shí)，l21=叼/d]--1解： =%1*=1上_之時(shí)分=%一片4=2，32=(“32-自4/1)，d?=-0.5k=3時(shí)，dz=a33-耳id】-g2d2=3r1 0 0]p、Z=_1 1 0,Z)= 21-0.51 3由LDlFx=b,有Lzsbfz(4,-4.6)rDy=zfy=(4-2.2/rl1ifx=y,x=-123.3范數(shù)3.3.1向量范數(shù)在一維空間中，實(shí)軸上任意兩點(diǎn)a，b距離用兩點(diǎn)差的絕對值區(qū)劃表示。絕對值是一種度量形式的定義。范數(shù)是對函數(shù)、向量和矩陣定義的一種度量形式。任何對象的范數(shù)值都是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。使用范數(shù)可以測量兩個(gè)函數(shù)、向量或矩陣之間的距離。向量范數(shù)是度量向量長度的一種定義形式。范數(shù)有多種定義形式，只要滿足下面的三個(gè)條件即可定義為一個(gè)范數(shù)。同一向量，采用不同的范數(shù)定義，可得到不同的范數(shù)值。定義3.1對任一向量XeR",按照一個(gè)規(guī)則確定一個(gè)實(shí)數(shù)與它對應(yīng)，記該實(shí)數(shù)記為口”"，若滿足下面三個(gè)性質(zhì)：⑴VXd,有因|20,當(dāng)且僅當(dāng)。時(shí)，區(qū)卜0（非負(fù)性）⑵YXw*,QC&,有1a刈=1。惘I（齊次性）（3）v,有廬+”平I+IPI（三角不等式）那么稱該實(shí)數(shù)為向量X的范數(shù)。幾個(gè)常用向量范數(shù)向量工=（內(nèi)，電，…，X"）的4范數(shù)定義為區(qū)「住同『””+8其中，經(jīng)常使用的是P=l，2,8三種向量范數(shù)。區(qū)卜力引響+厲|+…+kl2-1或?qū)懗蓞^(qū)卜J（X'X）I磯飛澧佃D=max{|xi|，kJ.，k|）例3.5計(jì)算向量X=（L3，-5），尸=1,2,8的三種范數(shù)。IM=l+3+5=9區(qū)卜（P+3?+5?產(chǎn)=5.9161|^|L=max{U|-5j-5向量范數(shù)的等價(jià)性有限維線性空間*中任意向量范數(shù)的定義都是等價(jià)的。若舄（*）'0（*）是我"上兩種不同的范數(shù)定義，則必存在0<加<〃<8,使ae義■均有加國（與4鳥（X”初&（X）m<雪冷4M（Xh0）或?yàn)棰?/p>

（證明略）向量的極限有了向量范數(shù)的定義，也就有了度量向量距離的標(biāo)準(zhǔn)，即可定義向量的極限和收斂概念了。則稱向量列v（l）”…是收斂的〃是某種向量范數(shù)）二稱為該向量序列的極限。設(shè)爐"，…，X?，…為？上向量序列，若存在向量則稱向量列v（l）”…是收斂的〃是某種向量范數(shù)）二稱為該向量序列的極限。由向量范數(shù)的等價(jià)知，向量序列是否收斂與選取哪種范數(shù)無關(guān)。=f（?）w（?）V _1今向量序列<1'2 ,m=l，2,…收斂的充分必要條件為其序列的每個(gè)分量收斂,hm4a即「9 存在。*尹F,貝產(chǎn)（L就是向量序列陽.圖？物，'*））的極限。1r+i陰％歸2k-\〃極限向量。例3.6求向量序列 〃極限向量。解：算出每個(gè)向量分量的極限后得解：算出每個(gè)向量分量的極限后得在計(jì)算方法中，計(jì)算的向量序列都是數(shù)據(jù)序列，當(dāng)口 ?小于給定精度時(shí),3.3.2矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)定義定義3.2如果矩陣' 的某個(gè)非負(fù)實(shí)函數(shù)V）,記作同，滿足條件：⑴⑷20,當(dāng)且僅當(dāng)工=o時(shí)，|即=0（非負(fù)性）⑵1MH司⑷“6*（齊次性）⑶對于任意兩個(gè)階數(shù)相同的矩陣a,b有|a+b||?M|+|B||（三角不等式性）（4）工出矩陣為同階矩陣1網(wǎng)14M眄（相容性）則稱從（￡*=MI為矩陣范數(shù)。矩陣的算子范數(shù)常用的矩陣范數(shù)是矩陣的算子范數(shù)，可用向量范數(shù)定義：VW,記方陣工的范數(shù)為網(wǎng)，那么網(wǎng)H冏六騎W或回=潮陽（338）稱為矩陣的算子范數(shù)或從屬范數(shù)。這樣定義的矩陣范數(shù)滿足矩陣范數(shù)的所有性質(zhì)外，還滿足相容性:上為"階矩陣，▼“二,恒有?陽Kl'NM （3.39）根據(jù)定義，對任一種從屬范數(shù)有M"=l,即單位矩陣的范數(shù)是1。常用矩陣范數(shù)向量有三種常用范數(shù)，相對應(yīng)的矩陣范數(shù)的三種形式為：鳳=幽2|%| 4i-1 （月的行范數(shù)） （3.40）LJ-*z (上的列范數(shù)) (3.41)(4是的最大特征值)(上的2范數(shù))(3.42)證明：既然矩陣的算子范數(shù)是？上滿足=1向量范數(shù)口⑷1的上確界，那么，找到這個(gè)上確界也就找到了矩陣的范數(shù)。(1)任取殷*,團(tuán)！則網(wǎng)1=±1(4卜2支氣勺卜七支同同2-1 2-1J-1I2-1=2冬kI)kl?(蟹熱股"卜蟹熱?atMil?喘Eki即修-“i-1x x另一方面設(shè)極大值在先列達(dá)到，即黎取X=e=(O,O,…,0,1,0,…,0)丁，e除第、個(gè)分量為1外，其余分量均為0,于是有阿=||(%,%力…%反升卜與⑷飛患與kl由于|*=1,故x X⑷2支力|蟆之同2.1 J2-1因此有14▼kii=1 l=ILr觀一)卜腮勺l?腮￡同1#電黑(2)任取X,U卜,則 川 ，」 川即K?果壽力J--J-1另一方面設(shè)極大值在此行達(dá)到，取X="1的%物知??尸g-y這里0,a2O^=Vu<0II^L=iM于是.I胤2力4J-1鳳=齦￡同故■■川(3)為「j為對稱非負(fù)矩陣，具有非負(fù)特征值，并具有附個(gè)相互正交的單位特征向量。設(shè)的特征值為4242.242°,相應(yīng)的特征向量為叢，其中M為相互正交的單位向量。設(shè).X=XM+jU2+...+、M,,并且區(qū)卜1,即含為，則|“『-(AX.AX)-[^AX,X)-力刎2<21sx:嗎2-1 2-1即對任意優(yōu)卜1均有"猊,故ML?網(wǎng)取￡=巧,則有>聞2=4故 MIL2M于是 IMIL=x/a如果A是對稱矩陣，那么A，工=A4,設(shè)j的特征值是4,則有IM]'=max5^=max|^|還有一種與向量范數(shù)l*l2相容的矩陣范數(shù)，稱為歐幾里得（Euclid）范數(shù)或舒爾（Schur）榛用I'L表示，其定義為11J” （3.43）因?yàn)闅W幾里得范數(shù)易于計(jì)算，在實(shí)用中是一種十分有用的范數(shù)。但它不能從屬于任何一種范數(shù)，因?yàn)镸b與向量范數(shù)的等價(jià)性質(zhì)類似，矩陣范數(shù)之間也是等價(jià)的。f-l2、公37 W.MLML網(wǎng)g例3.7J 人分別有 。解：M卜max{|-1|+3,2+7}=9ML=max{H|+2,3+7）=10工7的特征值為=60.19,4=281MIL=瘋而=（1+4+9+49）%=相矩陣范數(shù)等價(jià)性定理對上的