最新高中數(shù)學(xué)-離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

高中數(shù)學(xué)--離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，那么二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝2.4，,np1－p＝1.44，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝6，,p＝0.4.))【答案】B2．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如下圖，那么有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】根據(jù)正態(tài)分布N(μ，σ2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，應(yīng)選A.【答案】A3．一個(gè)籃球運(yùn)發(fā)動(dòng)投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，他投籃一次得分的均值為2，那么eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)【解析】由得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時(shí)取“等號(hào)〞，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時(shí)，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)，應(yīng)選D.【答案】D4．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？??？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算ξ的數(shù)學(xué)期望．盡管“！〞處完全無(wú)法看清，且兩個(gè)“？〞處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？〞處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝__________.【解析】令“？〞為a，“！〞為b，那么2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.【答案】25．以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示．(1)如果X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；(2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．(注：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數(shù))【解】(1)當(dāng)X＝8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10，所以平均數(shù)為：x＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)；方差為：s2＝eq\f(1,4)×[(8－eq\f(35,4))2＋(8－eq\f(35,4))2＋(9－eq\f(35,4))2＋(10－eq\f(35,4))2]＝eq\f(11,16).(2)當(dāng)X＝9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4×4＝16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵〞P(Y＝17)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).同理可得P(Y＝18)＝eq\f(1,4)；P(Y＝19)＝eq\f(1,4)；P(Y＝20)＝eq\f(1,4)；P(Y＝21)＝eq\f(1,8).所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021Peq\f(1,8)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,8)EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×eq\f(1,8)＋18×eq\f(1,4)＋19×eq\f(1,4)＋20×eq\f(1,4)＋21×eq\f(1,8)＝19.課時(shí)作業(yè)【考點(diǎn)排查表】難度及題號(hào)錯(cuò)題記錄考查考點(diǎn)及角度根底中檔稍難正態(tài)分布258離散型隨機(jī)變量的均值16,7,129,13，離散型隨機(jī)變量的方差34,10,11一、選擇題1．(2023·全國(guó)新課標(biāo)高考)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，那么X的數(shù)學(xué)期望為()A．100B．200C．300D．400【解析】1000粒種子每粒不發(fā)芽的概率為0.1，∴不發(fā)芽的種子數(shù)X～B(1000,0.1)，∴1000粒種子中不發(fā)芽的種子數(shù)為1000×0.1＝100粒，又每粒不發(fā)芽需補(bǔ)種2粒；∴需補(bǔ)種的數(shù)X＝2×100＝200.【答案】B2．(2023·廣東高考)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，那么P(X＞4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585【解析】由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于x＝3對(duì)稱，∴P(x＞4)＝0.5－eq\f(1,2)P(2≤x≤4)＝0.5－eq\f(1,2)×0.6826＝0.1587.應(yīng)選B.【答案】B3．假設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，那么x1＋x2的值為()A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,3)C．3D.eq\f(11,3)【解析】由E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)得2x1＋x2＝4①又D(X)＝(x1－eq\f(4,3))2·eq\f(2,3)＋(x2－eq\f(4,3))2·eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)得18xeq\o\al(2,1)＋9xeq\o\al(2,2)－48x1－24x2＋29＝0②由①②，且x1＜x2得x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.【答案】C4．隨機(jī)變量X＋η＝8，假設(shè)X～B(10,0.6)，那么E(η)，D(η)分別是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6【解析】假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量η，X滿足一次關(guān)系式η＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當(dāng)E(X)、D(X)時(shí)，那么有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由隨機(jī)變量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】B5．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)的概率是eq\f(1,2)，那么μ等于()A．1B．4C．2D．不能確定【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒(méi)有零點(diǎn)的概率是eq\f(1,2)時(shí)，μ＝4.【答案】B6．利用以下盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是()A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A1、A2、A3、A4盈利的期望分別是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；(－20)×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；98×0.25＋82×0.30＋(－10)×0.45＝44.6.【答案】C二、填空題7．隨機(jī)變量X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)eq\f(1,3)那么X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝______，設(shè)Y＝2X＋1，那么Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)＝________.【解析】由離散型隨機(jī)變量的期望公式及性質(zhì)可得，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6)，E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×(－eq\f(1,6))＋1＝eq\f(2,3).【答案】－eq\f(1,6)eq\f(2,3)8．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)，假設(shè)ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，那么ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______．【解析】在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)，正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為x＝1，ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，可知，隨機(jī)變量ξ在(1,2)內(nèi)取值的概率與ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機(jī)變量ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.【答案】0.89．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，假設(shè)ξ表示取到次品的個(gè)數(shù)，那么E(ξ)＝__________.【解析】ξ的取值為0,1,2,3，那么P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(11,28)；P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(1,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(33,70)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(2,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(9,70)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(1,140).∴E(ξ)＝0×eq\f(11,28)＋1×eq\f(33,70)＋2×eq\f(9,70)＋3×eq\f(1,140)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)三、解答題10．一名學(xué)生在軍訓(xùn)中練習(xí)射擊工程，他們命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，共射擊6次．(1)求在第三次射擊中首次命中目標(biāo)的概率；(2)求他在射擊過(guò)程中命中目標(biāo)數(shù)ξ的期望與方差．【解】(1)第三次射擊中首次命中的意思是第一、二次都未命中而第三次命中，這是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．又∵P＝eq\f(1,3)，eq\x\to(P)＝eq\f(2,3)，∴P3＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).(2)他在每次射擊中是否命中目標(biāo)是相互獨(dú)立的，所以是進(jìn)行了6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，eq\f(1,3))．由服從二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式知Eξ＝np＝6×eq\f(1,3)＝2，Dξ＝np(1－p)＝6×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).11．(2023·北京高考)近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：噸)：“廚余垃圾〞箱“可回收物〞箱“其他垃圾〞箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤額概率；(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分別為a，b，c其中a＞0，a＋b＋c＝600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時(shí)s2的值．(注：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù))【解】(1)廚余垃圾投放正確的概率約為eq\f(“廚余垃圾〞箱里廚余垃圾量,廚余垃圾)＝eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3).(2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A，那么事件eq\x\to(A)表示生活垃圾投放正確．事件eq\x\to(A)的概率約為“廚余垃圾〞箱里廚余垃圾量、“可回收物〞箱里可回收物量與“其他垃圾〞箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P(eq\x\to(A))約為eq\f(400＋240＋60,1000)＝0.7，所以P(A)約為1－0.7＝0.3.(3)當(dāng)a＝600，b＝c＝0，s2取得最大值．因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)＝200，所以s2＝eq\f(1,3)[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.12．(2023·江西高考)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)，將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體〞，記該“立體〞的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，此時(shí)“立體〞的體積V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解】(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)地選取3個(gè)點(diǎn)共有Ceq\o\al(3,6)＝20種選法，選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)O在同一個(gè)平面上的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)＝12種，因此V＝0的概率P(V＝0)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)(2)V的所有可能值為0，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，因此V的分布列為V0eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(2,3)eq\f(4,3)Peq\f(3,5)eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(3,20)eq\f(1,20)由V的分布列可得：EV＝0×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,20)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(4,3)×eq\f(1,20)＝eq\f(9,40).四、選做題13．某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B.甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)．(1)甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353