東北大學(xué)巖石力學(xué)講義第二章應(yīng)力分析

東北大學(xué)巖石力學(xué)講義第二章應(yīng)力分析第二章應(yīng)力分析第一節(jié)體力和面力載荷類型載荷——切導(dǎo)致物體變形和產(chǎn)生內(nèi)力的物理因素，都稱為載荷。按作用性質(zhì)不同，可分為兩大類1、第一類載荷：重力、機(jī)械力和電磁力等，可簡(jiǎn)化為作用在物體上的外力，由此引起物體變形和內(nèi)力；2、第二類載荷：如溫度和中子幅照，直接引起物體變形，這種變形受約束時(shí)，物體才產(chǎn)生內(nèi)力。按作用區(qū)域，載荷可分為體積力和表面力。體積力和表面力的定義體積力一作用在物體內(nèi)部體積上的外力，簡(jiǎn)稱體力，如重力、慣性力、電磁力等，體力通常定義為flimFVV0(2-1)V是受體力作用的微小體積，或稱微元體。F是微元體上體力的合力。f的方向是體力合力的方向。一般來說f是空間點(diǎn)位的函數(shù)。上述定義表明：1、體積力是體力強(qiáng)度；2、體力是矢量；3、體力強(qiáng)度是一種極限。

表面力一作用在物體表面上的外力，簡(jiǎn)稱面力，如液壓力、氣體壓力和固體之間的接觸力等，面力通常定義為PlimGSS0(2-2)式中，S—受面力作用的微小面積，或稱微面元。G是微面元上外力的合力。面力的方向是面力合力的方向，一般來說，面力是位置的函數(shù)。上述定義表明：1、面力是面力強(qiáng)度；2、面力是矢量；3、面力強(qiáng)度是一種極限。

第二節(jié)應(yīng)力張量和應(yīng)力分量?jī)?nèi)力與附內(nèi)力一在外力作用下，物體發(fā)生變形，同時(shí)產(chǎn)生了企圖恢復(fù)原形的力，即形成內(nèi)力場(chǎng)。該內(nèi)力場(chǎng)與外力平衡時(shí)，物體不再繼續(xù)變形，達(dá)到變形的平衡，保持這個(gè)平衡的附加內(nèi)力場(chǎng)，即是應(yīng)力場(chǎng)。應(yīng)力是反抗外力引起物體變形的分子力，不是保持物體形狀或聚集狀態(tài)的分子力，因此稱作附加內(nèi)力場(chǎng)。應(yīng)力場(chǎng)是對(duì)附加內(nèi)力場(chǎng)的精確描述。應(yīng)力概念的建立1、將一變形平衡物體假想地剖開，分為A和B兩部分，分界面為C,研究C面上，B物體對(duì)A物體的作用，此時(shí)C面上的附加內(nèi)力變?yōu)橥饬?，表面力?、在C面上取一點(diǎn)P,圍繞P點(diǎn)作一微面元S, S上的附加內(nèi)力，即表面力為G?定義S上的應(yīng)力矢量為olimGSS0(2-3)3、一般情況下，G既不平行于面元，也不垂直于面元。因此，可將G分解為平行和垂直于S的兩個(gè)矢量，Gn, Gt并可以到兩個(gè)應(yīng)力矢量。n、tS0；tliraS0GtS(2-4)式中n是微面元的外法線方向；on,t分別稱為法向應(yīng)力和剪應(yīng)力。過P點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)面，

現(xiàn)在考察與坐標(biāo)方向一致的面，在圖5中剖面C的外法線與y軸的方向一致，也可以稱為y面圖2-5考慮對(duì)于圖5所示的情況，當(dāng)S0時(shí)，由于垂直于S面G在垂直方向的分量Gn無法進(jìn)一步分解，因此法向應(yīng)力。n也無法進(jìn)一步分解。但G的平行于S面的分量Gt落在S面上，可以進(jìn)一步分解，這里將Gt再分解為平行于其它兩個(gè)坐標(biāo)軸，即x軸z軸的S上的面力矢量G面力矢量，這表明即剪應(yīng)力I可以在面元上進(jìn)一步分解。按這種作法，可以分解為3個(gè)平行于坐標(biāo)軸的分矢量。4、過P點(diǎn)做三個(gè)特殊的面，其法線分別平行于x軸、y軸和z軸，稱它們?yōu)閤面、y面和z面。按照上面的作法，在每個(gè)面上的面力矢量，可以分解為三個(gè)分量一個(gè)法向面力分量，平行于面元的法線或者說平行于一個(gè)坐標(biāo)軸，與兩個(gè)切向面力分量，分別平行于其它兩個(gè)坐標(biāo)。5、以三對(duì)坐標(biāo)面。切割出一個(gè)特殊的微元體，六面體。當(dāng)V0時(shí)，即向P點(diǎn)收縮時(shí)，六面體上面力分量的全體就是P點(diǎn)的應(yīng)力張量。上面討論的應(yīng)力張量是點(diǎn)P上的應(yīng)力，點(diǎn)是沒有大小的。因此指向相同方向相反的兩個(gè)坐標(biāo)面距離為零。這樣在平行且相反的一對(duì)坐標(biāo)面上的應(yīng)力是相等的。圖5是點(diǎn)P的一種夸張的表示，因此P點(diǎn)上的獨(dú)立的面力分量是9個(gè)，這些面力分量習(xí)慣稱作應(yīng)力分量，這9個(gè)應(yīng)力分量的全體稱為應(yīng)力張量。應(yīng)力張量的記法應(yīng)力張量有工種記法：1、用9個(gè)分量的全體表示zxxyyzyxzyz(2-6)z每個(gè)應(yīng)力分量的第一個(gè)下標(biāo)表示面元的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示該應(yīng)力分量的方向。2、張量記法iji,j=x,y,z（2-1）3、實(shí)體記法o即用黑體字表示應(yīng)力張量，或應(yīng)力分量的全體。有關(guān)應(yīng)力定義注意的問題：1、應(yīng)力是附加內(nèi)力；2、應(yīng)力張量或應(yīng)力分量作為全體是定義在一個(gè)點(diǎn)上的，但每一個(gè)應(yīng)力分量是定義在過P點(diǎn)的某個(gè)面上的。因此應(yīng)力張量與過點(diǎn)P的面元的方向無關(guān)，而應(yīng)力分量與面元的方向有關(guān)；3、在每一個(gè)面元上，應(yīng)力分量可以合成一個(gè)應(yīng)力矢量（面力矢量），但不同面上的面力矢量，不能合成一個(gè)力矢量。有關(guān)應(yīng)力概念，應(yīng)該注意的問題：1、面元S的方向，由S的外法線方向確定；2、應(yīng)力具有二重方向性，（a）面元的方向；（b）面元上應(yīng)力分量的方向；3、面元正負(fù)的規(guī)定：外法線指向坐標(biāo)軸正向?yàn)檎妫粗疄樨?fù)面；4、應(yīng)力分量正負(fù)的規(guī)定：正面上指向坐標(biāo)正向?yàn)檎?fù)面上指向坐標(biāo)負(fù)向?yàn)檎?。?yīng)力概念的建立是思想實(shí)驗(yàn)的例證。因?yàn)閼?yīng)力是內(nèi)力，從外部看不到。為研究方便起見，假想地將物體分開，內(nèi)力變?yōu)橥饬Γū砻媪Γ?，變?yōu)榭捎^察的量，變?yōu)橹辽僭谙胂笾锌捎^察的息里。我們還要注意到應(yīng)力具有如下奇特的性質(zhì)：1、應(yīng)力雖然是面力，但這種面力并不是作用在物體可見的外表面上的力，而是作用在連續(xù)體的內(nèi)部假想的表面上。而且遍布連續(xù)體內(nèi)的每一點(diǎn)；2、圖6中所示的成對(duì)的坐標(biāo)面實(shí)際上猶如一張紙的正面和反面，它們之間的距離為零。若正面，比如正x面是將連續(xù)體假想地切成兩半并將B部分移去后，所剩下的A部分的外表面，其上的應(yīng)力分量表示了B部分（或面力矢量）對(duì)A部分的作用力，則負(fù)x面上的應(yīng)力分量就是A部分對(duì)B部分的反作用力，它們的大小相等，方向相反；3、應(yīng)力雖然遍布連續(xù)體內(nèi)的每一點(diǎn)，但是與物體的質(zhì)量，或者說體積無關(guān)，因此不是一個(gè)可加和的量，與溫度等類似。

第三節(jié)斜面應(yīng)力公式(一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)唯一性的證明)過點(diǎn)P可做無數(shù)個(gè)平面，每個(gè)平面上應(yīng)力矢量可分解為3個(gè)分量，這樣一點(diǎn)的應(yīng)力分量可以有無窮多個(gè)，以(2-6)式定義的應(yīng)力狀態(tài)(應(yīng)力張量)是否唯一地決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)需要證明的問題，或者換一個(gè)說法，如(2-6)所示的一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是否就是一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的的唯一描述，是一個(gè)需要證明的問題。但是在上一節(jié)我們不加證明地認(rèn)定(2-6)式，就是一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的的唯一描述。圖2-7

斜面應(yīng)力公式的推導(dǎo)1、過點(diǎn)P做微小四面體OABC,如圖7所示。斜面ABC的面積為dS,坐標(biāo)面0BC(x2、斜面外法向?yàn)閚,它與x,y,z坐標(biāo)夾角的方向余弦為(1,m,n),斜面上面力矢量面)的面積為dSx；坐標(biāo)面OAC的面積為dSy；坐標(biāo)面OAB的面積為dSz。是P,P在X,y,z方向的分力為Px,Py,Pzx圖2-83、四面體所受的體力為f(fx,fy,fz)四面體在x方向力的平衡要求Pxdsxdsxxydsyzxdsz13dnfx(2-2)由于dsxdscos(nx)Ids；dsydscos(ny)mds；dszdscos(nz)nds因此(2-2)變?yōu)镻x xl yxm zxn(2-3a)同理可得Py xyl ym zyn(2-3b)Pzxzlyzmzn(2-3c)將(2-3)式寫成矢量形式有PxPyPzx yx zxxyyzyxz1yzm(2-4)zn(2-3)或者(2-4)就是斜面應(yīng)力公式。也成柯西應(yīng)力定理。(2-3)或者(2-4)也可用其它方法推出，記x面上的面力矢量為Gx,y面為Gy,z面為Gz,此處下標(biāo)表示表面所在面元的方向，不表示面力矢量的方向，四面體的平衡要求PdSGxdSxGydSyGzdSzPGxlGymGzn(2-5)(2-5)式兩端點(diǎn)乘1,即向x方向投影，得到P1(GxlGymGzn)1注意到P1Px,Gx1x,Gy1yx,Gz1zx因此Px xl xymxzn(2-3a)同理:Pyxylymyzn(2-3b)Pzxzlyzmzn(2-3c)平面應(yīng)力狀態(tài)下的斜面應(yīng)力公式(n,z)=n平面條件下xzyzz0,zxzy0,斜面與(n,z)=n=0o用兩種方法討論一、做為三維情況的特例此時(shí)，式(2-4)變?yōu)镻xPy0TOC\o"1-5"\h\zx yx0xyyO0 10m(2-7a) 0 0上式等價(jià)于PxxPyyxxy1(2-7b)ym將(2-7)式寫成分量形式，由圖9可以得到cos(n,x)1cos,cos(n,y)msinx將上式代入(2-7b)得到PxxcosyxsinPyxycosysin圖2-9二、仿照三維的情況進(jìn)行推導(dǎo)從圖9可以看出，各個(gè)微面元之間有關(guān)系dSxdScos,dSydSsin四面體的平衡要求PxxcosyxsinPyxycosysin將上式寫成矢量形式PxPyyxxycossin(2-7c)用兩種方法推導(dǎo)的結(jié)果完全一樣。斜面應(yīng)力公式(2-3)和(2-4)表明只要知道了過點(diǎn)P的3個(gè)坐標(biāo)面上的9個(gè)應(yīng)力分量，則過點(diǎn)P的任意平面上的面力矢量或面力分量，可以由這9個(gè)分量求出。因此，(2-6)式是一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的唯一的、全面的描述。第四節(jié)應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力張量由過點(diǎn)P的坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的全體表示，坐標(biāo)系是人為選擇的，應(yīng)力狀態(tài)的唯一性定理意味著，坐標(biāo)變換時(shí)不同坐標(biāo)系的應(yīng)力分量之間有確定的變換關(guān)系。將新坐標(biāo)系x'y'z'中的坐標(biāo)面看作I日坐標(biāo)系xyz中的斜面，則由斜面應(yīng)力公式，可求x出這些斜面上應(yīng)力矢量的分量，比如px,py,pz,此處上標(biāo)“x'”表示x’面。pxx'xx'py yxpx' zzxxyyzyxz111yz112z113

對(duì)y/面和z/面可類似地得到zzxpxz'pxy'xy'pyyxpy'py yxpz' zzxzzxpxz'xyyzyxyyzyTOC\o"1-5"\h\zxz 121yz 122 (2-8b)z123xz 131yz 132 (2-8c) z133式中,x、y、式中,x、y、z111cos(nx，,x),

軸夾角的方向余弦。112cos(fix',y),113

而px,py,pz是x'面上,cos(nx),z),是x'面與舊坐標(biāo)系的指向舊坐標(biāo)系x,y,z方向的面力分量。新舊坐標(biāo)系之間夾角的方向余弦如下表2-1所示表2T

將px,py,pz分別向新坐標(biāo)系的x/,y/,z/方向投影，得到新坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量Xy7cos(n,(?,a)=/|Icos(ny)=/izcos(npg/13cos(n六x)=Z2icos(ny,y)=/22COS(I1、，,Z)-/23zcos(nA)=/3|cos(ny)=Incos(n〃z)=133x'pxlllpyll2pzll3x'y'pxl21pyl22pzl23(2-9a)x'z'pxl31pyl32pzl33寫成矢量形式，有x'111112113 x'y'121122123x,z'131132133xpxx'pyx'pz，，，XXX(2-10a)將(2-8a)代入(2-10a)得到x'111112113x'y'121122123x'z'131132133x xy xzxy y xz xzzyz111 112 1 13對(duì)于y面和z面，按照類似的過程可以得到y(tǒng)"111111213y'121122123 111y'z'313233x xy xzyxy yz zxzyz121 122 1 23(2-1lb)

(2-11c)合成(2T1)的三式可以得到x‘xy'x'z'111112113y'x'x'x'z'121122123z'x'zfxfz131132133x xy xzyx y yz zxzyz111112131112122132111 132333(2-12)(2-12)即是坐標(biāo)變換時(shí)，應(yīng)力分量的變換關(guān)系。利用張量，(2T2)可以記為1J11iljJ1J(1,Jx,yz,，??；iJ,xy,z(2-20)(2-12)式，還可以簡(jiǎn)記為L L

Ill112113式中（L） 121122123111313233xxyxzyxyyzzyzzx111121131T是坐標(biāo)變換矩陣，(L)=112122132 111 132333是它的轉(zhuǎn)置。，，，，，xxyxz，，，，，，，，，，yxxxz zxzxz利用(L)第m行，(L)T的第n列和應(yīng)力張量 ，可以得到新坐標(biāo)系中第m行第n列的應(yīng)力分量mn的坐標(biāo)變換關(guān)系m，n'1mllm2xxyxzlm3yxyyzlm3yxyyzzyzzx1nl ln2 1n3(2-14)平面應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換1、作為三維應(yīng)力張量變換的特殊情況在平面應(yīng)力條件下，XZzxyzzyz0,平面與z軸平行，1131231330,1311320o因此，應(yīng)力分量變換關(guān)系(2-12)變?yōu)閤'x'y'0 1111120xxy0 1111210TOC\o"1-5"\h\z0110 011Oy'x'y'2122yxy1222 000 000000 000 上式可簡(jiǎn)記為x'x'y'111 112xxy 111121 (2-15)，，yxy121122yxy112122,y'和x,y之間的關(guān)系如下表2-2所示表2-2/X/H=cos0yll2=sin6l2l=-sin8/絲=cose*將上表代入lx2(lxy)2(xy)cos2xysin2ly2(x ly)2(x y)cos2 xysin2lxy2(xy)sin2xycos22、利用斜面應(yīng)力公式直接推導(dǎo) x對(duì)于圖12的情況，dSx=dScos,dSy=dSsin。微元體力的平衡要求px，xxcosyxsinpx'yxycosysin將px'x'

X、py方向投影可以得到，，XXxpxcospysin將(2-17)代入上式可得(2-16)(2-17a)(2-17b)x12y)y)cos2xysin2(2T6a)將pxx'、py向y/方向投影可以得到xxypxsinpycos，，XX將(2-17)代入上式可得1(xy)sin2xycos2(2-16c)xy2對(duì)于圖13的情況，dSx=dSsin,dSy=dScos。微元體力的平衡要求px'x xsin yxcos px'y xysinycos 將px'xX、py向y/方向投影可以得到py，x，xsinpycos將(2-18)代入上式可得Ily2(x y)2(x y)cos2 xysin2將px'iXX,py向X/方向投影可以得到y(tǒng)'yXpxcospx'ysin(2-18a)(2-18b)(2-16b)將(2T8)代入上式可得yX12(xy)sin2xycos2xy(2-16c)第五節(jié)主應(yīng)力、主平面和主方向

一般情況下，應(yīng)力矢量并不垂直于它的作用面，因此在該作用面的法線方向和該平面內(nèi)都有分量。如果過P點(diǎn)的某一投影面上應(yīng)力矢量垂直該平面，因此它在該平面內(nèi)的分量，即剪應(yīng)力T為零，則這樣的平面稱為主平面，該平面的外法線方向稱為主方向，主平面上的應(yīng)力矢量稱為主應(yīng)力。圖2-14利用斜面應(yīng)力公式求主應(yīng)力和主方向。若斜截面ABC是主平面，則該平面上的應(yīng)力矢量。與平面的外法線n平行，從圖14容易看出，此時(shí)Px1,Pym,Pz(2-19)1、m、n是法線n與x、y、z軸夾角的方向余弦。Px、Py、Pz還可以由斜面應(yīng)力公式(2-4)求出。因此有PxxlyxmzxnIPyyxlymzynmPzxzlyzmznn移項(xiàng)得到關(guān)于方向余弦1、m、n的齊次線性方程(x)1yxmyzn0xyl(y)mzyn0xzlyzm(z)n0(2-25)由于12m2n21,因此1、m、n不全為零。按線性代數(shù)，僅當(dāng)系數(shù)行列式xxyxzyxyyzzxxzz0(2-27)時(shí)，1、m、n才有非平凡解。由上式可以得到關(guān)于主應(yīng)力。的三次方程32II12 130(2-28)式中Ilxyz(2-29a)zyzxxzxzz12xxyyxyyyzxyyyz(2-29b)x13xyxzyz(2-29c) z可以證明，II、12、13是應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。不變量的含義是：坐標(biāo)變換時(shí)，它們的值不變。由方程(2-28)可求出。的三個(gè)根，i(i1,2,3),對(duì)應(yīng)著三個(gè)主應(yīng)力。將其中的一個(gè)主應(yīng)力i代入方程，可以求出它對(duì)應(yīng)的主方向(li,mi,ni)(x i)li xymi xzni0xyli(y i)mi yzni0xzliyzmi(zi)ni0(2-19)在前三個(gè)方程中，任取兩個(gè),比如第一和第二個(gè)方程，與第四個(gè)方程聯(lián)立，可求li,在前三個(gè)方程中，任取兩個(gè),mi,nioi)lixymixzni0

xylii)miyzni0222lixylii)miyzni0222limini0方法如下：若li0,在第二個(gè)方程兩邊用li除，得到miniixxzxylili()miniyiyzxylili(2-20)(2-20)是關(guān)于mili和nili的齊次線性方程，從(2-20)可以解出mili和nilio將它們代入第三式得到：(mili)(

nili)lii2(2-2la)(2-21b)li(lmili)(nili)2主應(yīng)力具有以下四個(gè)重要性質(zhì)：一、不變性從數(shù)學(xué)上看，由于特征方程(2-28)的三個(gè)系數(shù)是不變量，因此作為特征根的主應(yīng)力i(i1,2,3)在坐標(biāo)變換時(shí)，其值不變，即主應(yīng)力i(i1,2,3)是不變量。從物理上看，主應(yīng)力是物體受力時(shí)內(nèi)部應(yīng)力狀態(tài)的客觀性質(zhì)，與人為選擇的坐標(biāo)系無關(guān)。二、實(shí)數(shù)性按照線性代數(shù)，主應(yīng)力是特征根，與每個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)的主方向是特征向量。由于應(yīng)力張量是對(duì)稱矩陣(*應(yīng)力張量的對(duì)稱性后面再證明，此處先將它作為一個(gè)假設(shè)接受下來)，其中的每一個(gè)元素都是實(shí)數(shù)。線性代數(shù)告訴我們，實(shí)對(duì)稱矩陣的特征根是實(shí)數(shù)，因此主應(yīng)力是實(shí)數(shù)。但下面我們從純分析的角度進(jìn)行證明。假如。1、。2是方程(2-28)的一對(duì)共瓢的虛根，則有xllxymlxznl111xyllymlyznl1mlxzllyzmlznlInixl2xym2xzn2212xyl2ym2yzn22m2xzl2yzm2zn22n2(a)(b)將12、m2、n2分別乘以方程(a)的第一、第二和第三個(gè)方程xlll2xymll2xznll211112xyllm2ymlm2yznlm2lmlm2xzlln2yzmln2znln2lnln2(c)將11、mknl分別乘以方程(b)的第一、第二和第三個(gè)方程xl211xym211xzn21121211xyl2mlym2mlyzn2ml2m2mlxzl2nlyzm2nlzn2nl2n2nl(d)將方程(c)的三式相加，得到1(1112itnlm2nln2)X1112ymlm2znln2xy(mll2llm2)xz(nll2lln2)yz(nlm2mln2)將方程式(d)的三式相加得到2(1112mlm2nln2)xlll2ymlm2znln2xy(m21111ml)xz(n21112nl)yz(n2mlm2nl)將(e)和(f)相減得(1 2)(1112mlm2nln2)0假設(shè)主應(yīng)力的一對(duì)共輒虛根。1,。2為AiB,AiB相應(yīng)的特征向量也是共瓶的，可以假設(shè)為11 al ibl,12aliblml a2 ib2,m2 a2ib2nla3ib3,n2a3ib3將這組解代入(g)式，可以得到(1 2)(albla2b2 a3 a3)022222由于11,ml,nl以及12,m2,n2有非零解，這要求al、a2>a3、bl、b2>b3不全為零，因此albla2b2a3a30222222這表明只有當(dāng)1 20時(shí)，才能滿足(g)式，因此1 2(AiB)(AiB)1 22iB0即只有當(dāng)B=0時(shí)(g)式才能滿足，即。1和。2是實(shí)數(shù)時(shí)(g)式才能滿足。這樣我們從假設(shè)。1、。2是主應(yīng)力的一對(duì)共挽虛根出發(fā)，導(dǎo)出。1和。2只能是實(shí)根的結(jié)果，這就證明了主應(yīng)力全為實(shí)數(shù)。三、正交性假設(shè)主應(yīng)力為。1、。2、o3,對(duì)應(yīng)主方向分別為11、ml、nl；12、m2、n2；13、m3、n3o則由(g)式(1 2)(1112mlm2nln2)0(2 3)(1213m2m3n2n3)0(3 1)(1311m3mln3nl)0若1 2,2 3,3 1,則有1213m2m3n2n301311m3mln3nl0這表明三個(gè)主方向相互垂直。若1 2,2 3,則有1213m2m3n2n301112mlm2nln20這表明。3垂直于。1和。2張成的平面，而。1與。2可以垂直，也可以不垂直。若1 2 3,1311m3mln3nl0則。1、。2、。3可以相互垂直，也可以不垂直。四、極值性極值性在下節(jié)討論第六節(jié)最大法向應(yīng)力和最大剪應(yīng)力從前面的討論已知過點(diǎn)P的不同平面上，法向應(yīng)力和剪應(yīng)力是不同的，這與面的方向有關(guān)?，F(xiàn)在求過點(diǎn)P的平面，在該面上法向應(yīng)力最大或剪應(yīng)力的最大。為討論方便起見，設(shè)該點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力各不相同，并以主應(yīng)力方向?yàn)樽鴺?biāo)方向，因此有下圖所示的四面體最大法向應(yīng)力按斜面應(yīng)力公式Px■11;Py2m;Pz3n（1,m,n）是斜面的外法線n與xl軸（。1方向）、x2（。2方向）、x3軸（。3方向）夾角的方向余弦。因此斜面ABC上的應(yīng)力矢量為onPxlPymPzn112m3n222（2-22）也可以采用另?種方式導(dǎo)出上式。四面體的平衡要求11圖2T5GndSIdSxi2dSyj3dSzk注意到dSxyds,dSdsm,dSzds，上式可寫成GnHi2mj3nk將斜面上的應(yīng)力矢量Gn向n方向的投影得到法向應(yīng)力on,因此有Gnnn(Hi2mj3nk)n(lli2mj3nk)(limjnk)因此得到(2-22)式，n112 2m2 23n由于12m2n21因此121m2n2o這樣(2-22)式可寫為n1(1mn2)222m3n顯然當(dāng)

(2-23)nm2m(2 1)0;nn2n(2 1)0(2-24)時(shí)。n取到極限值。由于已假設(shè)1 2 3,因此只有m=n=0時(shí)(2-24)式才滿足,將m=n=0代入(2-23)得到1將11,

代入(2-22)代入(2-22)得到n1,這表明1是法向應(yīng)力的一個(gè)極值。這還表明1是法向應(yīng)力取極值的方向。按前面的規(guī)定，在1 1,m=n=O面上，只有法向應(yīng)力。1,因此。1是。n的一個(gè)極值。用同樣的方法還可以推出。2、。3也是。n的極值。一般規(guī)定。1＞。2＞。3。因此。1、。2、。3是法向應(yīng)力的極值，這就證明了主應(yīng)力的極值性。最大剪應(yīng)力在主應(yīng)力空間的一個(gè)作用面ABC上，應(yīng)力矢量的大小的平方為|Gn|PxPyPz112m3n2222222222(2-25)法向應(yīng)力的大小的平方為22222n(112m3n)(2-26)因此剪應(yīng)力的大小的平方為22222222222223n)(2-27)n|Gn|n112m3n(112m3n)(2-27)利用12m2n21消去n,并代入上式可以得到n(1 3)12222(223)m22[(1 3)122(23)m23]2剪應(yīng)力取極值的條件是

(2-28)這樣可以得到11n1 3)1(2 3)m 3]21(1 3)}01,m,n1 3)1(2 3)m 3]21(1 3)}01,m,n不全為零，(2 3)m 3][(1 3)1(2 3)m 3]}2222(2-29)由于1 2 3和n{[(1 3)1222222222因此n10等價(jià)于21(1 3)41(1 3)[(1 3)1(2 3)m 3]02222上式可寫為1(1 3)[(1 3)2(1 3)1(2 3)m23]022(2-30a)同理nm0,導(dǎo)出22m(2 3)[(2 3)2(1 3)1(2 3)m23]0(2-30b)整理上兩式，可以得到1221( )[( )1()m(1 3)]0131323 2m()[( )12( )m21( )]0231323232由于1 2 3,因此上式等價(jià)于122TOC\o"1-5"\h\z( )1()m(1 3)01323 2( )12( )m21( )0132323 2若1m0,則上面的兩個(gè)方程矛盾，因此1和m中必有一個(gè)為零。若令m=0,則有12(1 3)2(1 3)12了2從上式可以導(dǎo)出，1212石，還可以導(dǎo)出12mn120n1,n2同理，若令1=0,可導(dǎo)出m12,n12如果消去1,按同樣的方法可以得到在n=0的情況下，有1212,112，皿212,m綜合以上的討論，在以下三種情況下剪應(yīng)力取極值表2-3IIIin/0哇*in+L一百01+ 一?11+L一石+_L一80當(dāng)然1=0,m=0,也可能是0,nmn10的解。但在這種情況下，n=±l,前面已經(jīng)求出，（0,0,±1）是主方向，其對(duì)應(yīng)的平面是主平面。在該面上n0,而n3,因此（0,0,±1）不是剪應(yīng)力取極值的作用面。類似地，（0,±1,0）和（1.0,0）也不可能是剪應(yīng)力取極值的作用面。因此剪應(yīng)力取極值的作用面只有表2-3所示的三種。將這三種情況代入（2-27）式，可以求出21)2314(2 3)214(2223223)(2 3)42即32(2_31a)同理可得22(2-31b>c)由于1 2 3,最大剪應(yīng)力為max3(2-32)從(2-32)和(2-27)可以看出，此時(shí)作用面的方向余弦為忑(1m0,n因此該平面平行于x2(。2)軸，與xl(。1)和x3(o3)軸的夾角為由(2-26)式，該面上的正應(yīng)力為n113nxl(1)圖2-163(2-33)-b±\]b-4?c如果12 32a,則按(2-31)或(2-27),n0,這表明對(duì)于各向同性材料，在靜水壓力作用下內(nèi)部無剪應(yīng)力。第七節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)下的最大主應(yīng)力與最大剪應(yīng)力由平面應(yīng)力條件下的應(yīng)力分量坐標(biāo)變換公式(2T6)知道，此時(shí)n12(xy)1212(xy)cos2xysin2(2-16a)最大主應(yīng)力按主應(yīng)力的定義，此時(shí)作用面上的剪應(yīng)力為零，因此從(2T6c)式可知，此時(shí)tan22xyxy(2-34)圖2-17由于tan2tan(2)因此n方向及之正交的方向是兩個(gè)主方向，兩個(gè)主方向與ox軸分別呈及2的角度122xyarctanxy(2-35)引入輔助三角形可以得到加,一°」：+4匚cos22xy圖2-18J(0,-%)'+4.,sin22 (2-36)將(2-36)代入(2T6a)式，可以得到，最大主應(yīng)力為1,212(xy)(2-32)剪應(yīng)力的極值剪應(yīng)力的極值可由以下條件求出dnd因此從(2T6a)式得到，滿足cot2P2xyxy(2-38)(2-38)式的面是剪應(yīng)力取極值的作用面，同理2P和2P同時(shí)滿足上式。因此,2P和2P是剪應(yīng)力取極值的平面P12arctan(2xy)xy(2-39)作輔助三角形容易得到sin2P圖2T9+4=cos2P2 (2-40)將(2-40)代入(2-16c)式可得maxmm(2-41)若xy0,則x1,y 3是兩個(gè)主應(yīng)力，此時(shí)剪應(yīng)力的極值為maxmin2(2-42)按三角學(xué)和(2-38)可得tg(2Pctg2Pxyxy(2-43)比較(2-35)和上式可以得到tan2tan(2P)(2-44)因此，剪應(yīng)力極值的作用面與主應(yīng)力極值的作用面成45°角。與前面三維情況下的討論結(jié)果一致。第八節(jié)八面體上的應(yīng)力下面討論一類特殊的作用面。其法線n與主應(yīng)力1、 2、 3夾角相等的作用面。這樣的面一共有八個(gè)，由這八個(gè)面圍成的微元體稱為八面體。由于1此八面體的傾角為mn和12m2n21,因耳1mn(2-44)圖2-20八面體八面體上的正應(yīng)力在八面體的任一表面上Px11,Py 2m,Pz 3n,因此正應(yīng)力為P2228PxlPymzn112m13n3(12 3)八面體上的剪應(yīng)力八面體上的應(yīng)力矢量的大小為P22xPyP2z因此八面體上剪應(yīng)力的大小為22228(PxPyPz)222222222228 112m3n(112m3n)13(222TOC\o"1-5"\h\z11 2 3)9(12 23)19[( 22212)(2 3)(3 1)]122283[(1 2)(2 3)(3 1)]如果是非主應(yīng)力空間，八面體上剪應(yīng)力的大小為12y)[(y)22221/2z)(zx)6(xyyzzx)]第九節(jié)應(yīng)力張量和應(yīng)力偏張量定義平均應(yīng)力為(2-45a)(2-46a)(2-46b)(xyz)(2-47)則應(yīng)力張量可作如下分解xyxzxxyyzyxmyzyxz zxxzxyymzyxzyzzmm0 0m00m上式右端第一個(gè)矩陣為應(yīng)力偏張量，記為SxSijSyxSzxSxySySzySxzSyzSz(2-48a)式中TOC\o"1-5"\h\zSxy xy,Syz yz,Szx zx,Sx x m,Sy y m,Sz z m(2-48b)Sxy Syz Szx0的作用面上，應(yīng)力偏張量為SISij000S200 0S3(2-49)按照與主應(yīng)力類似的定義和求主應(yīng)力的方法，偏應(yīng)力的主量可由下式?jīng)Q定SJISJ2SJ3032(2-50)式中(2-51a)J2SxSyxSxySySySzySyzSzSzSxzSzxSx(2-51b)SxJ3SyxSzxSxySySzySxzSyzSz(2-51c)Jl、J2、J3都是不變量。不變量J2的各種表示塑性是材料的應(yīng)力狀態(tài)滿足一定條件時(shí)發(fā)生的現(xiàn)象，因此塑性屈服準(zhǔn)則可表示為f(ij)0由于已知應(yīng)力張量ij,可以求出主應(yīng)力。因此，一般將塑性屈服準(zhǔn)則寫成f(1,2,3)0在塑性力學(xué)中，應(yīng)力偏量的第二不變量用的特別多，基于如下兩個(gè)原因1、通常情況下，體積變形是彈性的，形狀改變才可能有塑性屈服，應(yīng)力偏量的第一不變量是體積應(yīng)力，對(duì)均勻各向同性材料，體積應(yīng)力不引起形狀改變；2、材料的屈服條件，是材料自身特性，與所選擇的坐標(biāo)系無關(guān)。因此，可用應(yīng)力不變量表示，而J2是應(yīng)力不變量。由J2的定義(2-51b)可得：J22(SxSySySzSzSx)(SxyS22yzSzx)從偏應(yīng)力第一不變量的定義(2-5匕)可以得到J222221(SxSySz)SxSySz2(SxSySySzSzSx)0從上式可以得出(SxSySySzS22zSx)(S2xSySz)代入J2的表達(dá)式，得到J1222222122(SxSySz)(SxySyzSzx)2SijSij如果在主應(yīng)力空間，則J222212(SIS2S3)又S2222xSySz3(SxSyS2122z)3(SxSyS2z)23[S2222xSySz3(SxSySySzSzSx)]1[(S223S2xSy)(SySz)(Szx)]因此J12226[(SxSy)(SySz)(SzSx)6(SxyS22yzSzx)]注意到SxSyxy;SySzyz;SzSxz則J22216[(xy)(yz)(z2222x)6(xyyzzx)]在主應(yīng)力空間J222[(1 2)3)1)]除了八面體上的剪應(yīng)力與正應(yīng)力外，塑性力學(xué)中有關(guān)的量還有1、有效應(yīng)力師2(22212) 2 3)(3 1)]在簡(jiǎn)單拉伸中1 ,2 30時(shí)，還原為1這就是將稱為有效應(yīng)力的原因。(2-52)(2-53)(2-54)(2-55a)(2-55b)(2-55c)(2-56a)(2-56b)2、有效剪應(yīng)力T(又稱有效剪應(yīng)力強(qiáng)度1 2)2 3)3 1)]222(2-57a)在純剪1 ,20,3時(shí)還原為T(2-57b)這就是將T稱為有效剪應(yīng)力的原因。3、J2與8的關(guān)系813[(1 2)(2 3)(3 1)]1622222212J2[(1 2)(2 3)(3 1)]因此6J22,8(2-58)利用這個(gè)關(guān)系可以導(dǎo)出非主應(yīng)力空間中的8表達(dá)式(2-46b)。4、J2與剪應(yīng)力極值的關(guān)系J246[(TOC\o"1-5"\h\z1 22)(232)(21)][12 3]222(2-59)5、 1 ,20,3 ,等價(jià)于純剪應(yīng)力狀態(tài)-Oa a-ox3(3)x3(3)xl(1)1(1)圖2-21證明如下：按照應(yīng)力變換的公式(++)式，在與xl、x3軸夾角為剪應(yīng)力分別為的平面上，法向應(yīng)力和1 3]cos(2)(02422213)sin2)sin12226、偏應(yīng)力張量代表純剪應(yīng)力狀態(tài)證明如下：由于SxSySz0,因此SySxSzo將偏應(yīng)力張量做如下以分解SxSxySxzSxySySyzSxzSxSyzSxySzSxzSxySxSzSyzSxzSxSyz00SxOTOC\o"1-5"\h\z0 0 0Sxy0 OSxz OOO0 0SxyOO00 0000OOSyz0 0 Syz 00 00SzO00Sz按照上面的討論，上面的5個(gè)應(yīng)力狀態(tài)每一個(gè)都代表純剪應(yīng)力狀態(tài)。證畢！第十節(jié)應(yīng)力張量的幾何表示應(yīng)力橢球設(shè)在主應(yīng)力空間中有一斜截面，其法線n的方向余弦為（1,m,n）,在斜截面上的應(yīng)力矢量為Gn,它的平行于xl、x2、x3軸的分量為P111,P22m,(2-60)因此1Pl1，mP2222，nP33(2-61)由于12mn1,從上式可以導(dǎo)出22Pl22P2P32231(2-37)上式是以Pl、P2、P3為坐標(biāo)軸的空間內(nèi)的橢球面，稱為應(yīng)力橢球，它的三個(gè)半主軸長分別為1,2,3O其幾何含義是，如果過0點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力，用應(yīng)力矢量P表示，則從0點(diǎn)出發(fā)，到橢球面上(2-37)上的矢端曲線P,其長度就是應(yīng)力矢量P的大小，其方向余弦就是該應(yīng)力矢量的方向的描述。如果12 3m,則(2-37)式變?yōu)镻lP2P3m2222(2-62)這是以m為半徑，以。點(diǎn)為圓心的球面方程，如圖2-23所示。

(b)圖2-2300 表示應(yīng)力球張量，便由此得名。 m將過P點(diǎn)的任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力用n,n平面上的應(yīng)力點(diǎn)表示，稱為莫爾圓?，F(xiàn)在討論斜截面方向變化時(shí)，點(diǎn)的應(yīng)力分量變化的規(guī)律的幾何表示。二維應(yīng)力莫爾圓在平面坐標(biāo)系中，如103中，任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力由下式確定(1 3)12(1 3)cos2In 2(1 3)sin2將改寫以上二式為[n12(21221 3)][2(1 3)]cos2 2322n(12)sin2

2圖2-24應(yīng)力莫爾圓1013圖2-25將(2-63)的兩個(gè)方程相加可得(2-63a)(2-63b)[n12(1 3)]n(221 32)2(2-64)的圓。由斜截面方向變化上式是nn平面上，以[12(1 3),0]為圓心，半徑為3時(shí)，相應(yīng)的應(yīng)力點(diǎn)（n,n）的移動(dòng)的軌跡形成。在n-n平面上與1成2角的射線AB與應(yīng)力莫爾圓的交點(diǎn)（通常被稱為應(yīng)力點(diǎn)），其坐標(biāo)（n,n）就是103平面中與1成角的斜截面AB上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力（圖2-25）,在平面主坐標(biāo)系102, 203中可類似地作出相應(yīng)的應(yīng)力莫爾圓，二維應(yīng)力莫爾圓在巖石力學(xué)中有重要的應(yīng)用。三維應(yīng)力莫爾圓選用主坐標(biāo)系，以P點(diǎn)為中心，作單位球面，對(duì)于過P點(diǎn)的任意截面都可以在球面上找到一個(gè)與它平行的面元。正截面：截面法線與坐標(biāo)軸平行的面，如上圖中的面元A、B、C。主斜截面：與坐標(biāo)軸平行的面元，如上圖中的面元D垂直于平行于x3軸，E垂直于x2軸，F(xiàn)垂直于xl軸。任意斜截面：截面法線既不與坐標(biāo)軸平行，也不與坐標(biāo)軸垂直。如上圖中的面元H。正截面A、B、C是主平面，其上只有主應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，在nn圖上，應(yīng)力點(diǎn)在n軸上。并且已詳細(xì)討論過，此處不再討論。主斜截面，如上圖中，面元B經(jīng)水平大圓轉(zhuǎn)一個(gè)角度，成為面元D的情況。這類截面的特點(diǎn)是外法線與x3軸垂直，即有n=0,12+m2=l,截面上的法向應(yīng)力和總應(yīng)力為22n11 2m；G2x3x21圖2-26112m112222

剪應(yīng)力為tn2G2n112m(11 2m)22222222(2-65)由（2-65）可以看出，截面上的n和n僅與1和2有關(guān)。其應(yīng)力點(diǎn)的軌跡在上面討論過的二維應(yīng)力莫爾圓上，其方程為2)n(221 22)r322(2-66a)因?yàn)榕c3無關(guān)，按上式畫出的圓稱為03圓。對(duì)于主斜截面E和F,其對(duì)應(yīng)的二維應(yīng)力莫爾圓為(n(n3)n()n(222232)r2)rl(2-66b)(2-66c)32322分別稱為02圓和01圓，這三個(gè)二維應(yīng)力莫爾圓如下圖所示圖2-27如上面討論過的，在這三個(gè)平面坐標(biāo)系中，應(yīng)力點(diǎn)(n,n)的軌跡分別畫出了三個(gè)應(yīng)力莫爾圓。最后討論任意斜截面H,與x3軸夾角為的主斜截面F,繞x3軸轉(zhuǎn)動(dòng)，沿平行圓一直轉(zhuǎn)動(dòng)到主斜截面G。在這樣轉(zhuǎn)動(dòng)過程中形成的斜截面與x3軸的夾角不變。斜截面H是這組截面中具有代表性的斜截面。對(duì)這組斜截面，應(yīng)考慮主應(yīng)力3對(duì)n和n的影響。在主應(yīng)力空間中nG2221122m222(++)222112m3n2222222tnGn(112m3n)(112m3n)222(++)將(++)和(++)代入(2-66a)可以得到n(1 2)222)nnn(1 2)2221 32222)(112m3n)n222即TOC\o"1-5"\h\z1 32)(112m3n) (n22222221 22)n22整理上式TOC\o"1-5"\h\z(112m3n)(1 2) ((n22222)(112m3n)222222222n(n1 22)n3n12m13n121 23n()n(3 13 23)n 12(m1) ()n(3 13 23)n 12(1n)(2222222222222222222)2(nTOC\o"1-5"\h\z22)(n(n2222)222)n[3(3 1) 2(3l)]n(122)222(nTOC\o"1-5"\h\z2)n(3 1)(3 2)n(2222即有(n2)n(222)n(1 3)(2 3)R3(2-67a)式中R3o由于1 2 3,因此R3r3,比較(2-66a)和(2-67a)可以看出，(2-67a)描述了一個(gè)與03圓同心且半徑大于03圓。同理可以證明，當(dāng)主斜截面繞xl軸和x3軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，斜截面上應(yīng)力點(diǎn)的軌跡分別畫出(n1 32)n(22223)n(3 2)(1 2)R2222(2-67b))n(2 32)n(2 1)(3 1)RI(2-67c)容易看出，(2-67c)是與01同心的圓，且RIrl,即應(yīng)力軌跡點(diǎn)在01圓的外面。(2-67b)是與02同心的圓，且R2r2,,即應(yīng)力軌跡點(diǎn)在02圓的內(nèi)側(cè)。綜合上面的討論可以得到，與任意斜截面對(duì)應(yīng)的應(yīng)力軌跡點(diǎn)全部落在以三個(gè)主斜截面莫爾圓為邊界的陰影區(qū)內(nèi)。利用莫爾應(yīng)力圓，可以用圖解法來求任意斜截面上的n和no對(duì)于外法線與三個(gè)主軸夾角為、、的斜截面H,可以先通過圓心角2、2在01圓和03圓上找到相應(yīng)主斜截Eo以0為圓心，0F為半面上的點(diǎn)F和D。然后以0為圓心，0D為半徑，作圓弧D1133G,兩圓弧的交點(diǎn)就是H,坐標(biāo)(，)就是任意斜截面H上的法向應(yīng)力和剪徑，作圓弧Fnn應(yīng)力。第十一節(jié)平衡微分方程以上集中討論了具有確定坐標(biāo)值的一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的各個(gè)方面，現(xiàn)在研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)隨坐標(biāo)變化的規(guī)律，或者說研究以點(diǎn)P為鄰域的一個(gè)空間微小體積。笛卡兒坐標(biāo)系中的平衡澈分方程選取笛卡兒坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)，在任意點(diǎn)P的鄰域內(nèi)取一個(gè)外表面是坐標(biāo)面，邊長為dx、dy、dz的微元體。體力f作用在微元體的中心，在負(fù)面上的應(yīng)力分量為ij,作用在面元的形心，在與負(fù)面有一段距離的正面上。應(yīng)力分量也有相應(yīng)的額增量，ijijo按Taylor級(jí)數(shù)展開，并略去高階小量后，可以將正面處的應(yīng)力，用相應(yīng)的負(fù)面上的應(yīng)力表示。如對(duì)一對(duì)x面，負(fù)x面上的應(yīng)力分量為X(XX(Xx2x2,yy2y2,zz2z2),xy(xxy(xx2,yy2，Zz2),),xz(xxz(xy2,zz2z2)),y,z),x2,yy2,Zz2x2,yy2，Z利用Taylor級(jí)數(shù)展開，可以用負(fù)面上的應(yīng)力分量表示正面上的應(yīng)力分量。由于y和z坐標(biāo)不變化，略去高階小量后得到。xxXX負(fù)X面正面負(fù)面xy正X面xy負(fù)x面xyx負(fù)x面dxxz正X面XZ負(fù)X面xzX負(fù)X面dx簡(jiǎn)記為XXXdx,xyxydx,xzXZXdxy討論微元體，在這些面力和體力作用下的平衡在正x面上，應(yīng)力分量為(xx