教程計(jì)算機(jī)模擬算法

實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)模擬的基本過程與方法．模擬的概念．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令．3．

方法．4．計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬．現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬．計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易．在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設(shè)，與的實(shí)際問題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無法應(yīng)用．這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇．（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法．此方法對研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過對樣本值的觀察統(tǒng)計(jì)，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)．計(jì)算機(jī)模擬的概念例1

在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè) 排（含兩門火

）為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對其陣地進(jìn)行了 并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)．經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所 方目標(biāo)的指示有50％是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的射擊效果能毀傷敵人一門火 ，有1/6的射擊效果能全部消滅敵人．現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要 人實(shí)施的20次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火 的平均值．分析：這是一個(gè)概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率和期望值.但這樣只能給出

行動(dòng)的最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出

行動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程.為了能顯示我方20次射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式．1.

問題分析需要模擬出以下兩件事：觀察所對目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2．因此，可用投擲1枚硬幣的方式予以確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確．當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷1門火的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火的可能性為1/2(即3/6)．這時(shí)可用投擲的方法來確定：如果出現(xiàn)的是１、２、３點(diǎn)：則認(rèn)為沒能敵人；如果出現(xiàn)的是４、５點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火；若出現(xiàn)的是６點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火．2.

符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；

k1：沒敵人火 的射擊總數(shù)；的射擊總數(shù)；k3： 敵人兩門火 的射擊總數(shù)．E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火 數(shù)．k2： 敵人一門火E：有效射擊比率；3.

模擬框圖初始化:i=0,

k1=0,

k2=0,

k3=0i=i+1k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1E=1E

=

0×

+1

×停止硬幣正面?YNi＜20?NY1，2，3點(diǎn)數(shù)?4，56120k220

+2

×k320k2

320(k

k

)4.

模擬結(jié)果試驗(yàn)序號投硬幣結(jié)

果指示正確指

示不正確擲結(jié)

果消滅敵人火

數(shù)０１２１正∨４∨２正∨４∨３反∨∨４正∨１∨５正∨２∨６反∨∨７正∨３∨８正∨６∨９反∨∨１０反∨∨試驗(yàn)序號投硬幣結(jié)

果指示正確指

示不正確擲結(jié)

果消滅敵人火

數(shù)０１２１１正∨２∨１２反∨∨１３正∨３∨１４反∨∨１５正∨６∨１６正∨４∨１７正∨２∨１８正∨４∨１９反∨∨２０正∨６∨從以上模擬結(jié)果可計(jì)算出：E=7/20=0.3520

20

201E

0

13

1

4

2

3

=0.55.

理論計(jì)算0設(shè)：j

A0：射中敵方火觀察所對目標(biāo)指示不正確1

觀察所對目標(biāo)指示正確的事件；A1：射中敵方1門火的事件；的事件．2

2

2A2：射中敵方兩門火則由全概率公式：E

=

P(A0)

=

P(j=0)P(A0∣j=0)

+

P(j=1)P(A0∣j=1)1

1

1=

0

0.25P(A1)

=

P(j=0)P(A1∣j=0)

+

P(j=1)P(A1∣j=1)1

1

1

1=

0

2

2

3

6P(A2)

=

P(j=0)P(A2∣j=0)

+

P(j=1)P(A2∣j=1)=1

0

1

1

12

2

6

1216

12E

=

1

1

2

1

0.336.

結(jié)果比較理論計(jì)算和模擬結(jié)果的比較分類項(xiàng)目無效射擊有效射擊平均值模

擬０．６５０．３５０．５理

論０．７５０．２５０．３３返回表雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過程．用

方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型．這個(gè)框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)的邏輯關(guān)系．模擬隨機(jī)現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象．產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令在 中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：產(chǎn)生m×n階［a，b］上均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣：unifrnd

(a,b,m,

n)產(chǎn)生一個(gè)［a，b］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd

(a,b)當(dāng)只知道一個(gè)隨 量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它．產(chǎn)生m×n階［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：rand

(m,

n)產(chǎn)生一個(gè)［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：rand例1的計(jì)算機(jī)模擬3.產(chǎn)生m

n

階均值為

，方差為

的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：normrnd

(

,

,m,

n)To（rnd）產(chǎn)生一個(gè)均值為

，方差為

的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)：normrnd

(

,

)當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨 量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時(shí)，可以認(rèn)為該對象服從正態(tài)分布．機(jī)械加工得到的零件尺寸的偏差、射擊命中點(diǎn)與目標(biāo)的偏差、各種測量誤差、人的身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布．4．產(chǎn)生m

n

階期望值為

的指數(shù)分布服從參數(shù)為 的指數(shù)分布．et若連續(xù)型隨 量X的概率密度函數(shù)為

f

(x)

x

0x

00其中

>0為常數(shù)，則稱X

指數(shù)分布的期望值為排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)率為常數(shù)時(shí)的到達(dá)間隔、故障率為常數(shù)時(shí)零件的 都服從指數(shù)分布．指數(shù)分布在排隊(duì)論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用．注意：中，產(chǎn)生參數(shù)為

的指數(shù)分布 令為exprnd(

)例顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布指數(shù)分布的均值為1/0.1=10．指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間到達(dá)1個(gè)顧客.顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用exprnd(10)模擬．設(shè)離散型隨量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值的概率為k

!k

eP(

X

k)

,k

0,1,

2,

,5．產(chǎn)生mpoissrnd

(

,m,理等領(lǐng)域有泊松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天廣泛應(yīng)用．其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布．泊松分布的期望值為k

!k

e,

k

0,1,

2,

,P(

X

k)

反之亦然．指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系：如相繼兩個(gè)事件出現(xiàn)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則在單位時(shí)間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布．即單位時(shí)間內(nèi)該事件出現(xiàn)k次的概率為：例(1)顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(2)該商店在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從參數(shù)為0.1的泊松分布(1)指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間到達(dá)1個(gè)顧客.(2)指一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)0.1個(gè)顧客返回To（poiss）例2

敵分隊(duì)對我方陣地實(shí)施突襲，其到達(dá)規(guī)律服從泊松分布，平均每分鐘到達(dá)４輛．（1）模擬敵在３分鐘內(nèi)到達(dá)目標(biāo)區(qū)的數(shù)量，以及在第１、２、３分鐘內(nèi)各到達(dá)幾輛．（2）模擬在3分鐘內(nèi)每輛敵的到達(dá)時(shí)刻．用poissrnd(4)進(jìn)行模擬．到達(dá)的間隔時(shí)間應(yīng)服從參數(shù)為4的負(fù)指數(shù)分布，用exprnd（1/4）模擬．To（time）離散系統(tǒng)模擬實(shí)例:排隊(duì)問題排隊(duì)論主要研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的工作過程．在排隊(duì)系統(tǒng)中，服務(wù)對象的到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的．排隊(duì)論通過對每個(gè)個(gè)別的隨機(jī)服務(wù)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)研究，找出反映這些隨機(jī)現(xiàn)象平均特性的規(guī)律，從而為設(shè)計(jì)新的服務(wù)系統(tǒng)和改進(jìn)現(xiàn)有服務(wù)系統(tǒng)的工作提供依據(jù)．對于排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng),顧客常常注意排隊(duì)的人是否太多,等候的時(shí)間是否長,而服務(wù)員則關(guān)心他空閑的時(shí)間是否太短.于是人們常用排隊(duì)的長度、等待的時(shí)間及服務(wù)利用率等指標(biāo)來衡量系統(tǒng)的性能.（

3）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次進(jìn)入服務(wù)，即“先到先服務(wù)”．單服務(wù)員的排隊(duì)模型：在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來到，售貨員逐個(gè)地接待顧客．當(dāng)?shù)絹淼念櫩洼^多時(shí)，一部分顧客便須排隊(duì)等待，被接待后的顧客便離開商店．設(shè)：1．顧客到來間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布．２．對顧客的服務(wù)時(shí)間服從［４，１５］上的均勻分布．３．排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)長

．假定一個(gè)工作日為8小時(shí)，時(shí)間以分鐘為單位．[1]模擬一個(gè)工作日內(nèi)完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及顧客平均等待時(shí)間t．完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及 顧客的平均[2]模擬100個(gè)工作日，求出平均等待時(shí)間．[1]

系統(tǒng)的假設(shè)：顧客源是無窮的；排隊(duì)的長度沒有限制；[2]符號說明w：總等待時(shí)間；ci：第i個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻；bi：第i個(gè)顧客開始服務(wù)時(shí)刻；

ei：第i個(gè)顧

務(wù)結(jié)束時(shí)刻．xi：第i-1個(gè)顧客與第i個(gè)顧客到達(dá)之間的時(shí)間間隔yi：對第i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間c1

c2

c3

c4

c5e1

e2b1

b2b3e3b4e4b5ci=ci-1+

xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)t[3]

模擬框圖初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布ci=xi

,

bi=xi產(chǎn)生服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)