(完整版)復(fù)數(shù)的運(yùn)算說課稿

yb-Z(a,yb-Z(a,b)―弋點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a,縱坐標(biāo)是b,復(fù)數(shù)z二a+bi(a、beR)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)+對于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外,因?yàn)樵c(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0),它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)+復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是—對應(yīng)關(guān)系,即復(fù)數(shù)z=a+bi<對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)類比代數(shù)式，引入復(fù)數(shù)運(yùn)算：一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算類似根據(jù)代數(shù)式的加減法，則復(fù)數(shù)z與z的和：z+z=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.1212(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)z與z的差：z-z=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i1212(a,b,c,deR)二、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律:z+z=z+z.證明：設(shè)z二a+bi,z二a+bi(a,b,a,bER).1112221122TOC\o"1-5"\h\zTz+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.1211221212z+z=(a+bi)+(a+bi)=(a+a)+(b+b)i.2122112121又Ta+a=a+a,b+b=b+b.12211221Az+z二z+z.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.12212、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律：(z+z)+z=z+(z+z)123123證明：設(shè)z=a+bi.z=a+bi，z=a+bi(a，a，a，b，b，11122233312312bER).3T(z+z)+z=[(a+bi)+(a+bi)]+(a+bi)123112233=[(a+a)+(b+b)i]+(a+b)i121233=[(a+a)+a]+[(b+b)+b]i123123=(a+a+a)+(b+b+b)i.123123z+(z+z)=(a+bi)+[(a+bi)+(a+bi)]123112233=(a+bi)+[(a+a)+(b+b)i]112323=[a+(a+a)]+[b+(b+b)]i123123=(a+a+a)+(b+b+b)i123123T(a+a)+a=a+(a+a),(b+b)+b=b+(b+b).123123123123A(z+z)+z=z+(z+z).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律123123'三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的加(減)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減).

1?復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)<一一對應(yīng)>平面向量OZ復(fù)數(shù)z=a+bi<一一對應(yīng)>平面向量OZ復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù)Z=a+bi,z二c+di,在復(fù)平面上所12對應(yīng)的向量為OZ1、OZ2，即OZ1、OZ2的坐標(biāo)形式為OZ：=(a，b)，OZ；=(c，d)以O(shè)Z：、oz；為鄰邊作平行四邊形OZZZ，則對角線0Z對應(yīng)的向量是oZ，12oZ=OZ：+OZ2=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)=(a+c)+(b+d)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算,設(shè)z=(a—c)+(b—d)i，所以z—z=z，z+z=z，由復(fù)數(shù)加法1221幾何意義，以O(shè)Z為一條對角線，OZ：為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊0Z所表示的向量OZ2就與復(fù)22數(shù)Z—Z］的差(a—c)+(b—d)i對應(yīng).由于OZ；=耳，所以，兩個復(fù)數(shù)的差z—z與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量1對應(yīng).講解范例：例1計算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-l-4)i=—11i.例2計算：(1—2i)+(—2+3i)+(3—4i)+(—4+5i)+…+(—20O2+2OO3i)+(2OO3—2004i)解法一：原式二(1—2+3—4+——2OO2+2OO3)+(—2+3—4+5+???+2003—2004i)=(2003—1001)+(1001—2004)i=1002－1003i.解法二:?.?(1—2i)+(—2+3i)=—1+i,(3—4i)+(—4+5i)=—1+i，(2001—2002i)+(—2002+2003)i=—1+i.相加得(共有1001個式子)：原式=1001(—1+i)+(2003—2004i)=(2003—1001)+(1001—2004)i=1002—1003i”例3已知復(fù)數(shù)z=2+i,z=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、12B，求aB對應(yīng)的復(fù)數(shù)z,z在平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解：z=z—z=(1+2i)—(2+i)=—1+i，21Tz的實(shí)部a=—1V0,虛部b=1〉0,???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).點(diǎn)評：任何向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù),總是這個向量的終點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差?即AB所表示的復(fù)數(shù)是z—z，而ba所表示的復(fù)數(shù)是z—z，故切不可把被BA.AB減數(shù)與減數(shù)搞錯+盡管向量AB的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量AB所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的,因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量,即它只與其方向和長度有關(guān)，而與位置無關(guān)+

5、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：zz二(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i.12(a,b,c,deR)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律，在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即對zl,z2,z3WC及m,n^N*有：zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1(z1z2)nnn=z1z26、共軛復(fù)數(shù)：若兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；z二a+兀z二a-b(a，beR)，兩共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對稱。H=|zj'a2+b22z+2z+z_z+z,z-z_z-z,12121212z-z_a2+b2eR,z-z_|z|Z2丿"2z1_a+biac+bdbe-ad.7、復(fù)數(shù)的除法：z2(a+bi)+(c+di)=e+di=e2+d2+e2+d21(a,b,c,deR)，分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算，典型例題精析：例4?(1)復(fù)數(shù)2等于()A.1—iB.1+iC.—1+iD.—1—i解析:復(fù)數(shù)(l+i解析:復(fù)數(shù)(l+i)2T^T(2)若復(fù)數(shù)z同時滿足z—z=2i,z=iz(i為虛數(shù)單位)，則z解：已知-解：已知-Z-迄二2i-Z二尋=°T(3)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系z+1z鼻2+i，求z；解：設(shè)z=a+bi(a,b為實(shí)數(shù))，由已知可得a+bi+Ja2+b2=2+ia+Ja2a+Ja2+b2=2由復(fù)數(shù)相等可得：，解得a=4,b=1，所以設(shè)z=a+bi-x+yi(a,b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化。(4)若xeC，解方程1x|=1+3i-x解：設(shè)x=a+bi(a,b^R)代入條件得:丫a+b2=1-a+(3—b)i，由復(fù)數(shù)相卜a2+b2=1-a等的定義可得：【3-b=0，?:a=—4，b=3,?°?x=—4+3io例4：(1)復(fù)數(shù)z滿足1z+i|2-1z—i|2=1，則z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為(A)A.直線B?圓C.橢圓D.拋物線解：令z=x+yi(x，y^R),貝則X2+(y+l)2—[x2+(y—l)2]=l,?：y=l/4。故選Ao復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：i4n+3=-i,ii4n+3=-i,i4n=1.("丘Z)=0(neZ)i4=l,所以，i=0(neZ)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3

1+i.1-i=i(2)①(1+i)2二2i②(1—i)2=—2i③1-i④1+i1<'3.m=——十i(3)“1”的立方根2-2的性質(zhì):1③1③1+m+m2=0④m+m=1-⑤m=m擴(kuò)充知識:9、特別地，九二z-zlzJ=IAB=IZb—叮為兩點(diǎn)間的距離。BA.，1z-片曰z-z2|z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段Z1Z2的垂直平分線；1z-叩二r,z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個圓；1z―z1l+1z―z2l=2'Z1引<2a),z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個橢圓；I1z—z1l—1z—叨=2住引>2a),z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式:I-10、顯然有公式:I-z1十z2-羋z+1z1—z2l2=2唇I22+^211、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問題:(1)當(dāng)A=b2—4ac>0時，方程有兩個實(shí)根x1，x2。(2)當(dāng)A=b2—4ac<0時，方程有兩個共軛虛根，其中x1二x2。此時有|x1|X2=此時有|x1|X2=XX12X1,2一b十\一Ai2a注意兩種題型：⑴―XJ⑵XJ+X2I虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題:不能用判別式法，一般用兩個復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知X2-X1是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，求X2一X」的方法：

(1)當(dāng)A=b2—4ac>0時,Ix2-xilal「.(x+x)2Ix2-xilalV1212⑵當(dāng)A=b2—4ac<0時,巴-％+巴-％+x)2—4xx212J4ac—b2lal已知x1?x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c二0的兩個根，求X2+XJ的方法：(1)當(dāng)A=b2—4ac>0時,①xx①xx-x2>0,即a>0，則x2l+lx=|x+x②+-x②+-x2<o,即a<0，則x21+1xi|x—x|=J(x+x)2-4xx-託2—4ac12^1212(2)當(dāng)A=b2—4ac<0時,x|+|x|+|x\x=2|x|二2J-2弟+i+f玄丫996例6(1)計算：1+彳運(yùn)i[1-iJ答案：—1+i設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：1z+3-呂仝，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為3桓，最小值為朽；若xeC，解方程1x|-1+3i-x解：設(shè)x=a+bi(a,b^R)代入條件得??丫a+b2-1—a+(3—b)i，由復(fù)數(shù)相

Jva2+b2_1-a等的定義可得:【3一b_0,?：a=—4,b=3,Ax=-4+3io⑷設(shè)zeC,1<1zl<J2，則復(fù)數(shù)u_z（1+D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的圖形面積為。解：T|u|=|ZI|l+i|=J2|z|,:.邁W|u|W2,故面積S=兀［22-（、：2）2］二2?！恪舅季S點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的常用方法。例4:已知z=l+i,a,b為實(shí)數(shù)，(1)若3=z2+3z—4,求3；z2+az+b=1-i、(2)若z2-z+1，求a,b的值。解：(1)3=(1+i)2+3(1—i)—4=—1—i,?°?1°1二^2。(a+b)+(a+2)i_..\a=—(2)由條件i.，二(a+b)+(a+2)i_1+ib_2【思維點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的充要條件解題。課后思考題：z例5:設(shè)zeC,且T