高中數(shù)學(xué)講義微專題95 統(tǒng)計(jì)初步

微專題95高中涉及的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）隨機(jī)抽樣：1、抽簽法：把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到容量為n的樣本2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個(gè)步驟：（1）先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)NN（2）確定分段間隔k，設(shè)樣本容量為n，若—為整數(shù)，則k=-nn（3）在第一段中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l，則后面每段所確定的個(gè)體編號(hào)與前一段確定的個(gè)體編號(hào)差距為k，例如：第2段所確定的個(gè)體編號(hào)為l+k，第m段所確定的個(gè)體編號(hào)為1+（m-l）k，直至完成樣本N注：（1）若一不是整數(shù)，則先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣剔除若干個(gè)個(gè)體，使得剩下的個(gè)體數(shù)能被n整n除，再進(jìn)行系統(tǒng)抽樣。例如501名學(xué)生所抽取的樣本容量為10，則先隨機(jī)抽去1個(gè)，剩下的500個(gè)個(gè)體參加系統(tǒng)抽樣（2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個(gè)體編號(hào)排成等差數(shù)列，其公差為k3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本。分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個(gè)層次的比例相等，這條結(jié)論會(huì)經(jīng)常用到（二）頻率分布直方圖：1、頻數(shù)與頻率（1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個(gè)確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).（2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù)（3）各試驗(yàn)結(jié)果的頻率之和等于12、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計(jì)每個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過(guò)頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出（1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差（2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常5-12組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)的極差稱為組距，所以

有組距=極差/組數(shù)統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，計(jì)算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距”頻率分布直方圖的特點(diǎn)：頻率，①頻率=組距%組距，即分布圖中每個(gè)小矩形的面積②因?yàn)楦髟囼?yàn)結(jié)果的頻率之和等于1,所以可得在頻率分布直方圖中，各個(gè)矩形的面積和為1莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計(jì)和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個(gè)數(shù)據(jù)的末位數(shù)。并按末位數(shù)之前的數(shù)位進(jìn)行分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征：1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù)2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個(gè)，則為中間兩個(gè)數(shù)的平均值。3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為X，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：Xi,X2，L，叮則有:~2nX1,X2，L，Xn，其平均數(shù)為X'，其中s2越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為s2，設(shè)一組數(shù)據(jù)為:則有：s2-—「(x—X1,X2，L，Xn，其平均數(shù)為X'，其中s2越小，說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中n5、標(biāo)準(zhǔn)差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根、典型例題例1：某校高中部有三個(gè)年級(jí)，其中高三有學(xué)生1000人，現(xiàn)采用分層抽樣法抽取一個(gè)容量為185的樣本，已知在高一年級(jí)抽取了75人，高二年級(jí)抽取了60人，則高中部共有學(xué)生人．思路：分層抽樣即按比例抽樣，由高一年級(jí)和高二年級(jí)的人數(shù)可得高三人數(shù)為185—75—60—50人所以抽樣比為探時(shí)，從而總?cè)藬?shù)為185°為-3700人答案：3700例2：某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，A.B.C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計(jì)

員制作了如下的統(tǒng)計(jì)表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）1300樣本容量（件）130由于不小心，表格中A.C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本容量.件.比C產(chǎn)品的樣本容量多10,根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是.件.1301思路：由B產(chǎn)品可得抽樣比為=一，所以若A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多1^3^0^01^010,則A產(chǎn)品的數(shù)量比C產(chǎn)品的數(shù)量多10-命=100,且A,C產(chǎn)品數(shù)量和為3000—1300=1700，從而可解得C產(chǎn)品的數(shù)量為800答案：800例3：某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［5,40］中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的100根中根棉花纖維的長(zhǎng)度小于15mm.根棉花纖維的長(zhǎng)度小于15mm.思路：由頻率直方圖的橫縱軸可得：組距為5mm，所以小于15mm的頻率為（0.01+0.01）x5=0.1，所以小于15mm共有100x0.1=10根答案：10例4：某班甲、乙兩位同學(xué)升入高中以來(lái)的5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖如圖，則乙同學(xué)這5次數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；已知兩位同學(xué)這5次成績(jī)的平均數(shù)都是84,成績(jī)比較穩(wěn)定的是（第二個(gè)空填“甲”或“乙”）.

甲乙7甲乙79432180S3091思路：由莖葉圖可讀出，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?9,80,82,88,91，甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?1,82,83,84,91，所以乙同學(xué)的成績(jī)的中位數(shù)為82，相比較而言，甲同學(xué)的成績(jī)比較集中，所以比較穩(wěn)定的是甲答案：82，甲小煉有話說(shuō)：在求中位數(shù)時(shí)要注意先將數(shù)據(jù)從小到大排列，判斷成績(jī)穩(wěn)定，本題甲，乙穩(wěn)定性的判斷定量上要依靠方差，但因?yàn)楸绢}從莖葉圖上看出甲，乙數(shù)據(jù)穩(wěn)定性差距較大，所以定性的判斷。例6：某校從參加高三年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)分成五段：[50,70）,【70,90）,（90,110）,1110,130）,1130,150],它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學(xué)生中成績(jī)不低于90分的人數(shù)是00.D15O00.D15OIlHl'-，uU1UJoor>nuU.J?思路：[90,100）的高度未知，但由于直方圖體現(xiàn)的是全部樣本的情況，所以各部分頻率和為1,可以考慮間接法。從圖中可觀察到（50,90〕的頻率為（0.0025+0.0150）x20=0.35，所以不低于90分的頻率為1—0.35=0.65，故人數(shù)為100X0.65=65（人）答案：65

例7：從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間,頻率分布直方圖所示．直方圖中x的值為;在這些用戶中，用電量落在區(qū)間［100,250)內(nèi)的戶數(shù)為.思路：(1)依題意可得頻率直方圖中的頻率和等于1，由圖可得組距為50，所以有(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1，解得x二0.0044(2)圖中［100,250)的頻率為(0.0036+0.006+0.0044)x50=0.7,所以用戶數(shù)為100x0.7=70(戶)答案：(1)x=0.0044(2)70戶例7：某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為175人，則a的估計(jì)值是0.0500.0220.0180.0150,0100.005思路：可先從頻率直方圖中按分?jǐn)?shù)從高到低統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)，組距為10，從而可得：(140,150〕的人數(shù)為1000x(0.01x10)=100，同理可得(130,140〕的人數(shù)為150人，而優(yōu)秀的人數(shù)為175人，所以應(yīng)包含(140,150〕的全體，以及(130,140〕中的一半人數(shù)，所以估計(jì)值為130到140的中間值，即135答案：a二135例&某地區(qū)為了解中學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間（單位：h），隨機(jī)選擇了n位中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)所得數(shù)據(jù)，畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示,且從左到右的第1個(gè)、第4個(gè)、第2個(gè)第3個(gè)小長(zhǎng)方形的面積依次構(gòu)成公差為0.1的等差數(shù)列，又第一小組的頻數(shù)是10，則n=思路：設(shè)第一個(gè)的面積為S=a，則第4個(gè)為S=a+0.1，第2個(gè)為S=a+0.2，第3個(gè)142為S=a+0.3，依題意可得四部分的頻率和為1,從而S+S+S+S=1可解得a=0.1,31234所以S=0.1，從而n==10010.1答案：100例9：某單位有職工200名，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機(jī)按1－200編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分為40組（1－5號(hào)，6－10號(hào)，…，196－200號(hào)）.若第5組抽出的號(hào)碼為22，則第10組抽出的號(hào)碼應(yīng)是思路：由系統(tǒng)抽樣可知，每組抽出的號(hào)碼依次成等差數(shù)列，且公差為組距d=5，所以=22，則a=a+5d=22+2