2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，若，則的形狀是

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C2.已知點(diǎn)F是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是 (

)A．(1，＋∞)

B．(1,2)

C．(1,1＋)

D．(2,1＋)參考答案：B3.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（

）A．

B.

C.

D.

參考答案：B4.下列四個(gè)命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a與b是平行向量，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．1

B．2C．3

D．4參考答案：A5.已知點(diǎn)列如下：，，，，，，，，，，，，……，則的坐標(biāo)為()A. B. C. D.參考答案：D略6.、函數(shù)的圖象大致是

（

）

參考答案：A略7.已知直線l過點(diǎn)，且傾斜角為150°，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為若直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，則|PA|·|PB|的值為()A.5 B.7 C.15 D.20參考答案：B【分析】先寫出直線的參數(shù)方程,再把曲線C的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo),把直線的參數(shù)方程代入圓的方程整理,利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求解.【詳解】由題知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2－2ρcosθ＝15化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2－2x＝15.將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得t2＋3t－7＝0.設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2＝－7，故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝7.故答案為：B.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查直線的參數(shù)方程，考查極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，考查直線和曲線的弦長(zhǎng)計(jì)算，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)上方時(shí),.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)下方時(shí),.8.（5分）（2012?藍(lán)山縣模擬）已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是（）A．B．C．D．參考答案：D由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，故函數(shù)f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，則即即其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：∵表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線的斜率由圖可知∈故選D．9.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是對(duì)角線A1B上的動(dòng)點(diǎn)，則AM+MD1的最小值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）2參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中．若b=5，，sinA=，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，求出a的值即可．【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，a===．故答案為：．12.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有

種．參考答案：48【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】先使五個(gè)人的全排列，共有A55種結(jié)果，去掉相同顏色衣服的人相鄰的情況，穿紅色相鄰和穿黃色相鄰兩種情況，得到結(jié)果．【解答】解：由題意知先使五個(gè)人的全排列，共有A55種結(jié)果．去掉相同顏色衣服的人相鄰的情況，穿紅色相鄰和穿黃色相鄰兩種情況當(dāng)紅色相鄰與黃色也相鄰一共有A22A22A33種（相鄰的看成一整體）當(dāng)紅色相鄰，黃色不相鄰一共有A22A22A32種（相鄰的看成一整體，不相鄰利用插空法）同理黃色相鄰，紅色不相鄰一共有A22A22A32種∴穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，在解題時(shí)從正面來解題時(shí)情況比較復(fù)雜可考慮排除法，屬于基礎(chǔ)題．13.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：①M(fèi)={（x，y）|y=}；

②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=ex﹣2；

④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是．參考答案：③④【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿足：曲線y=f（x）上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．【解答】解：由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿足：曲線y=f（x）上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．①M(fèi)={（x，y）|y=}，假設(shè)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則存在兩點(diǎn)，，滿足=﹣1，化為=﹣1，無解，因此假設(shè)不成立，即集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），則不存在點(diǎn)（x2，log2x2）（x2＞0），滿足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；③M={（x，y）|y=ex﹣2}，結(jié)合圖象可知：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，結(jié)合圖象可知：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．綜上可得：只有③④是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．故答案為：③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義“垂直對(duì)點(diǎn)集”、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14.已知，則xy的最大值為____.參考答案：【分析】由基本不等式xy即可求解【詳解】解：∵x，y均為正實(shí)數(shù)，x+y＝3，則xy，則x＝y(tǒng)＝時(shí)，xy的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用條件的配湊．15.過點(diǎn)（1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是

．參考答案：x﹣2y﹣1=0【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行的判定；直線的一般式方程．【分析】先求直線x﹣2y﹣2=0的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程．【解答】解：直線x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直線的斜率是所以所求直線方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案為：x﹣2y﹣1=016.若，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|a+bi|=．參考答案：【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模；A3：復(fù)數(shù)相等的充要條件．【分析】首先進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算，然后兩個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行比較，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得到要求的b的值．【解答】解：∴a=2，b=﹣1∴故答案為：．17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，若頂點(diǎn)在雙曲線的左支上，則.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）有一展館形狀是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，把展館分成上下兩部分面積比為（如圖所示），其中在上，在上.（1）若是中點(diǎn)，求的值；（2）設(shè).(ⅰ)求用表示的函數(shù)關(guān)系式；(ⅱ)若是消防水管，為節(jié)約成本，希望它最短，的位置應(yīng)在哪里？若是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)給以說明.參考答案：（1）依題意得，，若是中點(diǎn)，則.

（2）由（1）得由余弦定理得

如果是消防水管，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立.此時(shí)，故且消防水管路線最短為；如果是參觀線路，令，設(shè)，以下證明在是減函數(shù)：設(shè)，在是減函數(shù)，同理可證在是增函數(shù).

（直接寫出單調(diào)區(qū)間沒證明可不扣分）最大值為二者中大的值，，，此時(shí)

時(shí)，；或時(shí)，，即為三等分點(diǎn)（靠近）與重合；或與重合為三等分點(diǎn)（靠近），參觀線路最長(zhǎng)為.19.在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑為1．Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，O為極點(diǎn)．求圓C的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】設(shè)M（ρ，θ）是圓C上任一點(diǎn)，根據(jù)|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，能夠進(jìn)一步得出得出ρ，θ的關(guān)系．【解答】解：設(shè)M（ρ，θ）為圓C上任意一點(diǎn)，如圖，在△OCM中，|OC|=3，|OM|=ρ，|CM|=1，∠COM=|θ﹣|，根據(jù)余弦定理，得1=ρ2+9﹣2?ρ?3?cos|θ﹣|，化簡(jiǎn)整理，得ρ2﹣6?ρcos（θ﹣）+8=0為圓C的軌跡方程．20.（本小題滿分14分）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，

E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)．（I）求證：EF⊥CF；(II)求直線與所成角的余弦值。參考答案：（14分）(1)證明：建立如圖所示的空間直有坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，E(0，0，)，C(0，1，0)，F(xiàn)(，，0)，G(1，1，)所以＝(，，－)，(，－，0)，(1，0，)．因?yàn)?，所以，即EF⊥CF．

(2)解：因?yàn)?，，．所以所以直線EF和CG所成的角的余弦值是.略21.（16分）某倉(cāng)庫(kù)為了保持內(nèi)溫度，四周墻上裝有如圖所示的通風(fēng)設(shè)施，該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圓，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，△EMN是通風(fēng)窗，（其余部分不通風(fēng)）MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動(dòng)且保持與AB平行的伸縮桿（MN和AB不重合）．（1）設(shè)MN與C之間的距離為x米，試將△EMN的面積S表示成x的函數(shù)S=f（x）；（2）當(dāng)MN與C之間的距離為多少時(shí)，△EMN面積最大？并求出最大值．參考答案：考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值．專題：三角函數(shù)的求值．分析：（1）當(dāng)M、N分別在AC、BC上時(shí)，先求出MN=2，可得△EMN的面積S=f（x）=MN?（x﹣）的解析式．當(dāng)M、N都在半圓上時(shí)，先求得MN=2x?tan30°，可得f（x）=MN?（﹣x）的解析式．（2）對(duì)于S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣），利用基本不等式可得f（x）求得它的最大值；對(duì)于S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值，綜合可得結(jié)論．解答： 解：（1）由題意可得半圓的半徑等于1，等邊三角形ABC的高為，當(dāng)M、N分別在AC、BC上時(shí)，MN=2，＜x＜+1．△EMN的面積S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣）．當(dāng)M、N都在半圓上時(shí)，MN=2x?tan30°=x，△EMN的面積S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x）．（2）對(duì)于S=f（x）=MN?（x﹣）=?（x﹣），利用基本不等式可得f（x））≤=，當(dāng)且僅當(dāng)1﹣=，即x=+時(shí)取等號(hào)．對(duì)于S=f（x）=MN?（﹣x）=x?（﹣x）．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值為．綜上可得，當(dāng)x=+時(shí)，△EMN的面積S=f（x）取得最大值為．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．22.（本小題16分）一個(gè)袋中裝有黑球，白球和紅球共n()個(gè)，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是．現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球．（1）若n=15，且摸出的2個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是，設(shè)表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量