電路基礎第6章動態(tài)電路的復頻域分析

第六章動態(tài)電路的復頻域分析6.1拉普拉斯變換及其性質

6.2拉普拉斯反變換

6.3電路基本定律及電路元件的復頻域形式6.4應用拉普拉斯變換分析動態(tài)電路6.5網絡函數6.6固有頻率在前面的時域分析中，是采用經典法求電路的響應。當階數高于二階時，用經典法列寫微分方程、求初始條件，解微分方程都變得比較復雜。如果利用數學中的拉氏變換將時域問題變換為s復頻域問題，即微分方程化為復頻域的代數方程可使動態(tài)分析不必列寫微分方程、求初始條件，而得到所需的響應。這種方法稱為運算法。拉普拉斯變換在線性動態(tài)電路中的應用微分方程動態(tài)電路KCL、KVL、VCR經典法解初值、終值、時間常數一階三要素運算電路、t0-時刻的值代數方程求解并拉氏反變換KCL、KVL、VCR拉氏變換拉氏變換是研究線性時不變網絡的非常重要和有效的工具?！?.1拉氏變換的定義和性質拉氏變換F(s)=?[f(t)]原函數象函數拉氏反變換f(t)=?-1[F(s)]復頻率一一對應設時域函數f(t)在區(qū)間[0，∞)內的定積分為由此積分確定的復頻域函數可表示為表6.1.1一些常用時間函數的拉氏變換7sint序

號原函數f(t)(t0)象函數F(s)1

(t)123(t)456表6.1.1一些常用時間函數的拉氏變換

8cost9101112

6.1.2拉普拉斯變換的基本性質及電路元件的復頻域形式一、線性性質及其應用

基爾霍夫定律復頻域形式?[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1?[f1(t)]+a2?[f2(t)]=a1F1(s)+a2F2(s)電阻器特性方程復頻域形式時域模型s域模型例：求的象函數二、微分性質及其應用若?[f(t)]=F(s)，則?[]拉氏變換的微分性質表明，時域中的求導運算，對應于復頻域中乘以s的運算，并以f(0-)計入原始值?[

]推廣：電容器特性方程及其復頻域形式與等效模型運算容納=0?[]電感器特性方程及其復頻域形式與等效模型運算感抗=0附加電流源附加電壓源積分性質及其應用

?（?）電容器特性方程及其復頻域形式與等效模型電感器特性方程及其復頻域形式與等效模型從微分和積分性質可看出，在應用拉氏變換時，直接用時域中的0-時的原始值，而不必考慮0+時的初始值。1.電容元件電壓電流關系的復頻域形式

復頻域諾頓模型時域模型復頻域戴維南模型附加電壓源附加電流源1/sC具有電阻的量綱，稱為運算容抗sC稱為運算容納2.電感元件電壓電流關系的復頻域形式

復頻域諾頓模型時域模型復頻域戴維南模型sL具有電阻的量綱，稱為運算感抗1/sL稱為運算感納3.耦合電感元件電壓電流關系的復頻域形式(a)時域模型復頻域形式為(b)復頻域模型若用倒電感矩陣表示耦合電感元件(a)時域模型(b)復頻域模型+_Us+_Is+_+_+_+_四、時移性質若?[f(t)]=F(s)，則?[f(t-)]=F(s)拉氏變換的時移性質表明，若原函數在時間上推遲(即其圖形沿時間軸向右移動

)，則其象函數應乘以延時因子e-s

例6.1.7圖示單個矩形脈沖波形f(t)，其幅度為A，試求f(t)的拉氏變換F(s)。解：矩形脈沖f(t)可表示為故根據時移性質，有?[]

?的象函數例6.1.8已知求解：故根據時移性質，有五、頻移性質若?[f(t)]=F(s)，則?[]=F(s-α)拉氏變換的頻移性質表明，若原函數乘以指數因子et,則其象函數應位移（即其圖形沿實軸向右移動）。例6.1.9試求及的拉氏變換。根據頻移性質可求得解：????六、初值定理若?[f(t)]=F(s)，且存在，則若?[f(t)]=F(s)，且

存在，則

七、終值定理利用初值定理和終值定理，可以不經過反變換而直接由象函數F(s)來確定原函數f(t)的初值和終值。例6.1.10：解：根據初值定理

求原函數f(t)的初始值f(0+)已知求原函數f(t)的終值f()已知根據終值定理

例：在象函數反變換之前可用來校驗是否正確+_RCSUs+_U0卷積定理與零狀態(tài)響應

一個線性電路對任意激勵f(t)的零狀態(tài)響應等于激勵函數f(t)和該電路的沖激響應h(t)的卷積。?網絡函數網絡函數取決于網絡拓撲及元件參數?-1便可得到待求響應例：已知某網絡的的沖激響應為求該網絡在激勵作用下的零狀態(tài)響應解:6.2拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換可以將頻域響應返回至時域響應。拉普拉斯反變換的定義：拉普拉斯反變換的計算較復雜，一般多采用部分分式展開的方法間接求得。（適用于有理式）設F(s)可以表示為如下的有理分式，m和n

為正整數。①展開定理的第一步是把有理函數真分數化（真分式化）

若m<n

稱有理函數是真分數式若m>n則將F(s)分解為一個s多項式和一個真分式之和其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一個多項式，其對應的時間函數是(t)，(1)(t)，(2)(t)

等的線性組合。B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，則B(s)/Q(s)為真分式所以F(s)對應的原函數為例6.2.1試求的原函數。解：將F(s)真分式化得設：F(s)為真分式，并將分母多項式Q(s)用因式連乘的形式來表示，即：pj(j=1，2，…，n)為方程Q(s)=0的根，稱為Q(s)的零點。當spj時，F(s)，所以pj也稱為F(s)的極點。6.2.2單極點有理函數的拉氏反變換F(s)的極點均為單極點時，F(s)的部分分式展開式為Kj(j=1，2，…，n)為待定常數方法二

方法一

f(t)=?-1[F(s)]=?-1

拉氏反變換并進行線性組合，可得：一、極點均為實數情況

例6.2.2試求的原函數f(t)。F(s)的各極點分別為p1=-1，p2=2，p3=3解f(t)=?-1[F(s)]=?-1

二、極點為復數情況（共軛復根）若F(s)有單極點，則必有單極點。則F(s)將包含K1和K2一般也是共軛復數，即：如果則拉氏反變換為：f(t)=例6.2.3試求的原函數f(t)。F(s)極點分別為p1=2+j3，p2=2j3，p3=1。.解：則F(s)的部分分式展開式為f(t)=?-1

6.2.3重極點有理函數的拉氏反變換若F(s)有一個r階極點p1，其他為單極點，則F(s)的部分分式展開式為：其中：···f(t)=?-1[F(s)]=?-1例6.2.4試求的原函數f(t)

解：可得：f(t)=?-1

兩類約束微積分方程分析法?代數方程頻域響應時域響應?-1?兩類約束的復頻域形式（運算法）時域電路復頻域等效電路（運算電路）復頻域分析法可以用來求取電路的全響應。運用拉氏變換解題可以很容易地解決包含電容電壓或電感電流跳變的電路響應求解問題。6.4應用拉普拉斯變換分析動態(tài)電路運算法求解電路的基本步驟1、確定換路前電路的初始條件：uC(0-)、iL(0-)3、根據運算模型求待求量的象函數。（線性電阻電路的任一種分析方法包括網絡定理均可應用于復頻域分析。）4、拉氏反變換求待求量的原函數：包括象函數求根，分解成部分因式，然后逐個求反變換。2.根據電路的時域模型建立相應的復頻域模型，儲能元件的初始儲能用附加電源反映。一個處于零狀態(tài)的無源一端口運算電路，端口電壓象函數U(s)與電流象函數I(s)之比稱為運算阻抗Z(s)，即與之對偶的為運算導納Y(s)

例：RLC串聯運算電路6.4.1電路的復頻域形式及運算阻抗和運算導納RLC串聯運算電路的運算導納為注意：盡管運算阻抗Z(s)和運算導納Y(s)都是有關象函數的比值，但它們都不是象函數，只是復頻率s的函數。戴維南定理復頻域阻抗Zeq(s)是雙零條件下(獨立源置零，初態(tài)置零)的等值運算阻抗；Uoc(s)是獨立源和初態(tài)共同作用下的端口開路電壓復頻域中等效為附加電源+_9V+_+_3Ω0.5F0.5F3Ω3Ω3Auc1uc2t=0例：t<0時電路處于穩(wěn)態(tài)，uc1(0_)=0，t=0時開關閉合，求t>0時的uc2解t>0時運算電路+_+_3Ω3Ω3ΩUc2(s)+_126.4.2用運算法分析線性非時變電路+_+_3Ω3Ω3ΩUc2(s)+_12節(jié)點電壓方程解得所以有跳變例6.4.2

在圖(a)所示電路中，iL(0-)=1A，uC(0-)=1V，uS=

(t)V，R1=R2=1，L=1H，C=1F，試求t0

時的u(t)。根據KVL求得電路的網孔方程解方程可求得響應象函數反變換求得原函數u(t)

=

?-1

例6.4.5

在圖所示電路中，開關S在t=0時斷開，S斷開前電路處穩(wěn)定狀態(tài)。已知R1=30，R2=R3=5，L=0.1H，C=10-3F，uS=140V。試求t0

時的uC。解:由于開關S斷開前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，可求得電路原始狀態(tài)iL(0-)=4A，uC(0-)=20V

用戴維南定理求UOC(s)Zeq(s)可得：由等效運算電路，可求得uC的象函數注意：Uoc(s)是獨立源和初態(tài)共同作用下的端口開路電壓求得待定常數反變換求得原函數uC

=

?-1例6.4.6

圖(a)所示電路，開關S在t=0時打開，S打開前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。已知C=0.1F，

G=100S，iS=4cos1000tA，試求t0

時的uC。解：根據KCL求得電路的節(jié)點方程求得待定常數反變換求得原函數uC

=?-1uC=暫態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量從工程技術上看，經過45，暫態(tài)過程已結束，電容電壓uC(t)進入穩(wěn)態(tài)響應，即：時，合上開關，試求圖示電路中，原未充電。解：換路后的運算電路如右上圖例：在圖示電路中，us(t)=12V，R1=6，R2=6

，R3=3

，L1=0.5H，L2=1.5H

，試求t0時電路的響應uL1(t)解：例:求圖示電路中i2的沖激響應

例:設iL(0-)=0uC(0-)=0求圖示電路響應uC(t)L1L2M+_+_+_+_R1R2求t>0時的u1(t)和

u2(t)已知解：運算電路sL1sL2sM