線性代數(shù)復(fù)習(xí)課新課件

第一章復(fù)習(xí)矩陣及其運算(加法，數(shù)乘，乘法，冪，轉(zhuǎn)置)特殊矩陣零矩陣，單位矩陣，對角矩陣，三角矩陣，對稱矩陣，行矩陣(向量),列矩陣(向量)矩陣乘法運算的可行性A的列數(shù)=B的行數(shù)!矩陣乘法一般不成立交換律，消去律AB=BABA=CAB=C

一般情況下:AB=OA=O或B=O

行列式的計算二、三階行列式的對角線法則矩陣的余子式和代數(shù)余子式行列式的按行或按列展開計算（Laplace展開定理）利用行列式的性質(zhì)計算一般結(jié)合3,4，先利用行列式的性質(zhì)化零，再按照零元素多的行或列展開計算矩陣的初等變換利用初等行變換將矩陣化為階梯矩陣利用初等行變換將矩陣化為行標(biāo)準(zhǔn)形利用初等行變換求矩陣的秩克拉默法則的系數(shù)行列式

則方程組①有唯一解:若線性方程組齊次線性方程組有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式

第二章復(fù)習(xí)線性方程組有解判定條件n元線性方程組為增廣矩陣)①無解②有唯一解③有無窮多解齊次線性方程組有非零解的充要條件是求解線性方程組的一般步驟：1.對給定的線性方程組，寫出它的增廣矩陣，利用初等行變換，將其化為階梯矩陣或行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣；2.根據(jù)增廣矩陣和系數(shù)矩陣的秩以及線性方程組的可解條件，分析給定的線性方程解的情況；3.當(dāng)線性方程組有唯一解時，直接寫出其解；當(dāng)線性方程組有無窮多個解時，由行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣還原成方程組，再確定自由變量，寫出其通解。向量與向量組向量經(jīng)向量組線性表出向量組的線性相關(guān)性其中存在一個向量可經(jīng)其余向量線性表出存在向量組的非零線性組合使之等于零向量組的線性無關(guān)性（不是線性相關(guān)的）若向量組的線性組合等于零，則組合系數(shù)全為零向量組的線性相關(guān)性判別方法方法1:對矩陣

作初等行變換

小于s時,線性相關(guān)等于s時,線性無關(guān)方法2:當(dāng)向量維數(shù)n=向量個數(shù)n時,利用行列式

=0,線性相關(guān)0,線性無關(guān)及其它向量用該最大無關(guān)組的線性表出式的方法：的一個最大線性無關(guān)組，求一般向量組第一步：對矩陣施行初等行變換化為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣則該向量組線性無關(guān)，的一個最大無關(guān)組.零元所在列對應(yīng)的矩陣的相應(yīng)列構(gòu)成的向量組為向量組第二步：令矩陣的非零行數(shù),如果第四步:位于其它各列的向量由最大無關(guān)組線性表出的組合系數(shù)即為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣對應(yīng)列的相應(yīng)分量.則它的一個最大無關(guān)組就是它本身.矩陣第三步：當(dāng)?shù)拿恳粋€非零行的第一個非齊次線性方程組基礎(chǔ)解系本身由解向量組成，且線性無關(guān)任何解均可由其線性表出求基礎(chǔ)解系和齊次方程組通解的步驟：先將系數(shù)矩陣經(jīng)過行初等變換化為行標(biāo)準(zhǔn)型；非零行中第一個非零元所在列的未知元（r個）留下，其余未知元作為自由變量（n－r個）；分別令自由變量中某一個取1，其余全取零，得到

n－r個解向量。這些解向量即構(gòu)成一個基礎(chǔ)解系；通解即為基礎(chǔ)解系中向量的線性組合。非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)的通解為齊次方程通解非齊次方程特解非齊次線性方程組的求解過程求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系（可得通解）求非齊次線性方程組的一個特解（如令自由變量全為零）第三章復(fù)習(xí)二次型二次型的表示法(A為對稱矩陣)二次型的矩陣對稱矩陣A

二次型的秩矩陣A的秩二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(Λ為對角矩陣)可逆的線性變換(C為可逆的矩陣)二次型經(jīng)可逆的線性變換化為則(合同關(guān)系)特征值與特征向量的性質(zhì)

k為kA的特征值m

為Am

的特征值

A可逆時,

矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)

向量的內(nèi)積向量間的長度（大小或模）單位向量非零向量間的夾角滿足關(guān)系向量α,β正交的充要條件是設(shè)線性無關(guān)向量組：第一步.正交化:第二步.規(guī)范化:

正交矩陣

AA的列向量為正交規(guī)范向量組A的行向量為正交規(guī)范向量組

正交矩陣

A可逆

正交變換x=PyP為正交矩陣

正交變換x=Py

保持長度不變二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的方法配方法正交變換法配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以3元二次型為例）首先：將含有x1的項和在一起，進行配方

其次：將剩余的項中含有x2的項和在一起，進行配方然后：由于剩下的項僅含有x3的平方項，二次型已經(jīng)化成了標(biāo)準(zhǔn)形，寫出相應(yīng)的可逆的線性變換注意：若果二次型只有交叉項，則需先進行一次可逆線性變換，使之變換之后含有平方項正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟（以3元二次型為例）寫出二次型的矩陣A（對稱）求出矩陣A的特征值（構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣的對角元）對于每個特征值，求出特征向量滿足的齊次方程組的基礎(chǔ)解系并將其正交化、單位化寫出正交變換矩陣P（其列由上述正交規(guī)范的特征向量組成）寫出正交變換和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形正定矩陣二次型的標(biāo)準(zhǔn)形滿足等價條件：

二次型的正慣性指數(shù)等于n；

A的所有特征值都