正交小波構造

第5講正交小波構造正交小波概述由ho(n)遞推求解4(t)的方法。消失矩、規(guī)則性及支撐范圍Daubechies正交小波構造接近于對稱的正交小波及Coiflet小波我們在上一講中集中討論了離散小波變換中的多分辨率分析，證明了在空間 V0中存在正交3—基｛4(t-k),kwZ｝,由6(t)作尺度伸縮及位移所產生的砂j,k(t),j,kwZ｝是Vj中的正交歸一基。力⑴是尺度函數(shù)，在有的文獻中又稱其為“父小波”。同時，我們假定Vj的正交補空間Wj中也存在正交歸一基1j,k(t),j,kwZ｝,它即是小波基，中(t)為小波函數(shù)，又稱“母小波”。本章，我們集中討論如何構造出一個正交小波 中(t)。所謂“正交小波”，指的是由巴t)生成的｛中(t-k),ZZ｝,或叫空間中的正交歸一基Hj,k(t),j,kWZ｝。Daubechies在正交小波的構造中作出了突出的貢獻。本章所討論的正交小波的構造方法即是以她的理論為基礎的

5.1正交小波概述現(xiàn)在舉兩個大家熟知的例子來說明什么是正交小波及對正交小波的要求 ，一是Haar小波，二是Shannon」、波。I.Haar小波我們在4..1節(jié)中已給出Haar小波的定義及其波形，Haar小波的尺度函數(shù)1(t)。重寫其定義，即0Mt<1/21/2<t0Mt<1/21/2<t：：1其它(5.1.1)I(t): 10(t)二0(t)二00Mt：二1其它(5.1.2)顯然，中顯然，中⑴的整數(shù)位移互相之間沒有重疊,所以^(t-k)W(t-k′?=6(k-k'),即它們是正交的。同理，Wk。),。")/*-k')很容易推出巴t)和1(t)的傅里葉變換是j1''1/2()=j1''1/2()=jesin2/4

/4()=ej/2sin/2

/2注意式中切實際上應為夏。由于Haar小波在時域是有限支撐的，因此它在時域有著極好的定位功能。但是，由于時域的不連續(xù)引起頻域的無限擴展，因此，它在頻域的定位功能極差，或者說頻域的分辨率極差。上一章指出，Haar小波對應的二尺度差分方程中的濾波(5.1.5)1(5.1.5)”)二工它們是最簡單的兩系數(shù)濾波器。2.Shannon小波(t)二(t)二sin二t(5.1.6)由于①(。)=?’1由于①(。)=?’1|?|<n

其它(5.1.7)(t-k),(t-k')二1 . ?.,*...一 0k(,>,,0,k(■)d,2二1冗2-①4k(01冗2-①4k(0)=]’102<2^

其它(5.1.9)'、e/i)d=、(k-k) (5.1.8)所以布(t-k),k-Z｝構成V。中的正交歸一基。巾⑴稱為Shannon小波的尺度函數(shù)。由于%k(t)€Vo,V。十Wo=V」，由二尺度性質,*(2t-k)€V1,因此這樣，對中⑴正叫，有(5.1.4.)2 <2^(5.1.4.)其它

于是可求出sin二于是可求出sin二t/2(t)=(f^-)cos(3二t/2)讀者可很容易驗證(5.1.12),■(t-k),1-(t-k')=、.(k—kj(5.1.12)也即即(t—k),kwZ｝構成W。中的正交歸一基。其實，從頻域可以看到， 中冰@)和69@)各自及相互之間的整數(shù)移位都沒有重疊，因此它們是正交的，如圖5.1.1所示。4

自及相互之間的整數(shù)移位都沒有重疊，因此它們是正交的，如圖5.1.1所示。4圖5.1.1Shannon圖5.1.1Shannon小波及其尺度函數(shù)度頻域波形顯然，Shannon小波在頻域是緊支撐的，因此，它在頻域有著極好的定位功能。但頻域的不連續(xù)引起時域的無限擴展，也即時域為 Sinc函數(shù)。這樣，Shannon小波在時域不是緊支撐的，有著極差的定位功能。Haar小波和Shannon小波是正交小波中兩個極端的例子。自然，我們欲構造的正交小波應介于兩者之間。以前給出了能作為小波的函數(shù)中(t)的基本要求，即：中(t)應是帶通的；由于”(t)dt=0,因此它應是振蕩的；皆(。)應滿足容許條件；勺(G)還應滿足穩(wěn)定性條件；止匕外，中(t)、皆(C)最好都是緊支撐的。由二尺度差分方程，①⑼、勺(0)均和Ho?)、Hi(0)有著內在的聯(lián)系。重寫(4..4.14)式和(4..4.15)式，有TOC\o"1-5"\h\zHo(/2j) ,j(5.1.13)()= =H0(2j)(5.1.13)j=1 2 j=1H1(/2)Ho(/2j) ' ,T()二y1二:=Hi(/2)尸2H0(2 )(5.1.14)

這兩個式子明確指出，正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無限次的遞推來產生。這一方面給我們指出了構造正交小波的途徑，另一方面也指出，在(5.1.13)和(5.1.14)式的遞推過程中還存在著一個收斂的問題，這就要求對小波函數(shù)還要提出更多的要求，如5.3節(jié)要討論的消失矩和規(guī)則性等問題。 為說明這些問題，我們在下一節(jié)首先討論如何由(5.1.13)和(5.1.14)式遞推求解9儂)和里(⑴的問題，并說明其中可能存在的問題。5.2 由ho(n)遞推求解"t)的方法(4..4.4)式給出了由h0(n),h1(n)遞推求解1(t)和中(t)的方法。即00“t)=V2￡h0(n)*(2t-n) (5.2.1a)(5.2.1b)(5.1.13)式或n=一兀

,_(5.2.1b)(5.1.13)式或(t)=2h1(n)(2tn)n=- I此即二尺度差分方程，對應的頻域關系由(5.1.13)和(5.1.14)式給出。假定"t)和中(t)事先是未知的，當然(5.2.1)式無法利用，這時可用(5.1.14)式遞推求解.⑴和中⑴。若令(J) J一1 2j(5.2.2a)Ho(J)(z)…Ho(z2)(5.2.2a)j=0并用它來近似①尸)，那么(5.2.2a)式對應的時域關系是h0(J)(n)=h0(0)(n)*h0⑴(n)* *h0(J1)(n) (5.2.2b)式中h°(0)(n)=h°(n),h。⑴(n)是由h0(0)(n)每兩點插入一個點所得到的新序列。同理，兒⑵⑻是將h°(0)(n)每兩點插入22—1=3個零所得的新序列。假定ho(O)(n)=h°(n)的長度為N,則h。⑴(n)的長度為2N-1,h。⑼(n)*ho(1)(n)的長度為3N-2,h。⑵(n)的長度為3N+1,…，其余可類推。由此可以看出，(5.2.2)式卷積的結果將使ho(J)(n)的長度急劇增加。例如，若令ho(n)=—(1,3,3,1},則8f-ho⑴(n)=(二)2：1,3,31*,：1,。,3。3,。,1)8=(二■)2(1,3,6,1。,12,12,1。,63118。、 2h。⑵(n)=( )211,3,6,1o,12,12,1o,6,3,1;*11,o,o,o3o,o,o3o,o,o18如此，當J趨近于無窮時，H。⑷(6)逼近68),ho(J)(n)“逼近”連續(xù)函數(shù)d(t),但這一“逼近”，需要將接近于無限長的ho(J)(n)壓縮回到有限的區(qū)間內。由于ho(n)的長度為N,我們假定蟲t)的“長度”也為N,只不過此處范圍O~N-1代表的是連續(xù)時間t的序號。也即，?(t)的時間持續(xù)區(qū)間是O~N-1,在這一范圍內應包含h。⑷(n)的所有點，壓縮比等于ho(J)(n)的長度/N。MATLAB^的wavefun.m文件可以實現(xiàn)上述的遞推算法。對(5.2.1a)式，若令O0Xi1(t)i；2"ho(n)Xi(2t-n) (5.2.3)n二二二并令1o<t<1x。。)， 其它 (524)則當iTS時,Xi(t)逼近尺度函數(shù)"(t)。若給定h0(n)=葺/3,3,1},則利用(5.2.3)式遞推的結果如圖5.2,1所示。由該圖可以看出，xi(t),X2(t)都是階梯狀的分段連續(xù)曲線，當i=8時，X8(t)已是一光滑的連續(xù)曲線。這說明，按給定的ho(n),(5.1.13)式求出的中(m)是收斂的。假定將ho(n)改為％(n)=呸{—1,3,3,_1},則由(5.2.3)和(5.2.4)式遞推的結果示于圖45.2,2[4,,21]。這時的人(t)產生了較強的振蕩，它不會收斂于一個連續(xù)的、平滑的且是低通的尺度函數(shù)*(t)。總之，二尺度差分方程及其頻域關系給出了由濾波器組遞推求解正交尺度函數(shù)和正交小波的方法。但是，這種遞推并不保證總是收斂的，它涉及到離散情況下的正則性條件等問題。5.3消失矩、規(guī)則性及支撐范圍1.消失矩(Vanishingmoments)oO(5.3.1)令 mk=tk(t)dt(5.3.1)—oO為小波函數(shù)Rt)的k階矩。由傅里葉變換的性質，我們很容易得到kdk；()mk(j)k-甘=o (5.3Zd如果空(0)在切=0處有p階重零點，即】()=p「0(),彳0()二010 (5.3.3)則 mk=』t%(t)dt=0,k=0,1,,p1 (5.3.4)_oO我們說小波函數(shù)中(t)具有p階消失矩。顯然，若k=0,這即是容許條件。假定信號x(t)為一個P-1階的多項式，即p1kx(t)=Jkt (5.3.5)k=0再假定中(t)有P階消失矩，由(5.3.4)式，顯然x(t),⑴=0也即，x(t)的小波變換恒為零。若x(t)可展成一高階的多項式(如用臺勞級數(shù))，如N階,N>p。那么其中階次小于p的多項式部分(對應低頻)在小波變換中的貢獻恒為零，反映在小波變換中的只是階次大于P的多項式部分，它們對應高頻端，這就有利于突出信號中的高頻成分及信號中的突變點。從這個角度講，我們希望 v(t)能具有盡量高的消失矩。消失矩越高，空(6)在。=0處越平滑地為零，越具有好的帶通性質。由(4..3.17)式dj(k)=(x(t)Jj,k(t):正是信號x(t)的小波變換，dj(k)是在尺度j時的小波系數(shù)。當我們將小波變換用于實際的信號分析和處理時，不論是從數(shù)據(jù)壓縮的角度，還是從去除噪聲的角度以及從突出x(t)中的奇異點的角度，我們都希望小波變換后的能量集中在少數(shù)的系數(shù)， 也即dj(k)上。也就是說，我們希望dj(k)的絕大部分能為零，或盡量地小。這一方面取決于信號x(t)本身的特點，另一方面取決于中(t)的支撐范圍，再一方面即是取決于中(t)是否具有高的消失矩。由(5.1.14)式，陽。)取決于Hi?)和H。儂)。因此，華初是否具有高的消失矩取將取決于Hi(s)和Ho(。)。我們希望中9)在6=0(即z=1)處具有P階重零點，這等效地要求Hi(z)在z=1處有p階重零點。由(4..5.5b)式，即H1(z)=Z-1Ho(z-1)＞這等效地要求H0(z)在z=T處有P階重零點。例如，若令z1H0(z)=2( ——)pQ(z) (5.3.6)則Ho(z)在z=.1處有P階重零點。這為我們設計具有高階消失矩的小波提供了一個切實可行的方法。下面的定理進一步明確了有關消失矩的幾個相關概念。定理5.1[8]如果空8)在切=0處是p階連續(xù)可微的，則下面三個說法是等效的:(1)小波中(t)有P階消失矩;(2)中(3)和它的前P-1階導數(shù)在0o0處恒為零；(3)H0g)和它的前P-1階導數(shù)在0=n處恒為零，即(5.3.7)dkHo()(5.3.7)10證明：因為oOr(.)= ⑴e」tdt所以，(k)()=/('=.(-jt)k,-(t)eJtdtd■二二在o=0處，有QO-p(k)(0)=(-1)jtk,-(t)dta于是(1)和⑵等效。由(4..4.8)和(4..5.5b)式，有P(2)=Hi(AM)=-e-jH。(，二川() (5.3.8)由于中侔)是低通的，即?、筒坏扔诹?。對上式連續(xù)微分，可證明(2)等效于(3)。證畢(5.3.1)及(5.3.4)式有關消失矩的定義也適用于離散信號。例如，令Hi()=1.hi(n)e-jnnk則 /k')(-jn)khi(n)e.n (5.3.9)dn所以，如果Hi(z)在z=1處有P階重零點，則hi(n)具有P階消失矩：、r1khi(n)=0k=0,i, ,p-i (5.3.4.)nii2.規(guī)則性規(guī)則性(regularly) 又稱正則性，在數(shù)學上是用于描述函數(shù)局部特征的一種度量。在信號處理中，用于描述信號在某點，或某一區(qū)間內的平滑性和奇異性。給定信號x(t),假定*代)在1=片處是m次可微的，令m1x(k)(t)Pt0(t)= --(-^2(t to)k (5-3-11)k=0k!顯然，Ro(t)是x(t)在t。處的前m-1階臺勞多項式。巳⑴對x(t)的近似誤差為%⑹=x⑴-Pto(t)臺勞級數(shù)理論證明了m_ _^t三%-h,to+h］，有eto(t)--———Isupx(m)(u)I(5.3.12)0 m!lLui0-h,t0h1這樣，當tTt。時，x(t)的連續(xù)m階可導性產生了久⑴的上界。Lipschitz規(guī)則性用一非整數(shù)的”來定量描述這一上界，所以口又稱Lipchitz指數(shù)。對給定的信號x(t),如果存在常數(shù)K>0及階次m=收」的多項式Pt。。)，使得…R，x(t)-，(t)卜Kt-t0『 (5.3.13)則說x(t)在to處的Lipschitz指數(shù)為s,且a之o；若對所有的早towa,b］，(5.3.13)式都可滿足，則說x(t)在區(qū)間kb】上有均勻的Lipschitz指數(shù)儀；x(t)在t。，或在區(qū)間a,b】內的規(guī)則性定義為Lipschitz指數(shù)口的上界12

在to處一次可微，但一階導數(shù)不連續(xù)的分段線性函數(shù)，在拐點處的 a=1,階躍函數(shù)在階躍點的口=0，而5(t-to)在to處的s=-1。由上面的討論可知，a和信號x(t)在to,或在Kb】區(qū)間上的可微性有關。若x(t)在此處的導數(shù)階次越高，相應的口越大。反映在信號的特性上，x(t)在此處越平滑。Daubechies將此規(guī)則性的概念用于尺度函數(shù)平滑性的測量，定義(5.3.14)6(小(5.3.14)時的「的最大值為Wt)的規(guī)則性。式中c為常數(shù)。此式意味著Wt)是m次可微的，r之m。顯然，r越大，領防衰減的越快。其衰減的速度決定了位t)的平滑程度。由圖5.2.1和圖5.2.2，不同的H0(z)所遞推求出的Wt)具有不同的“平滑性”。圖5.2.1中，Wt)是平滑的，當然遞推是收斂的，在圖5.2.2中，遞推是不收斂的，因此得不到平滑的外t),現(xiàn)在從規(guī)則性的角度來討論一下這個現(xiàn)象。由于H0(z)是低通濾波器，所以它在z=一1處至少應有一個零點?，F(xiàn)設H0(z)在z=.1處有p個重零點，如(5.3.6)式所示，對應的頻率響應是pH0?)=cos巴Q儂)，Q@)￥0 (5.3.15)2若H0(z)的階次為N,則Q(z)的階次為N-1-p。由(5.1.13)式.2)Q() .2)Q() (5.3.16)①⑼二(口cos；jij=1 2經(jīng)推導，有13

(5.3.17)sin。/2P(5.3.17)①(co)= Q(o)012式中第一項sin|/|是Sinc函數(shù)，隨著。的增大它是衰減的，P越大，衰減的越快。從而6(M衰減的也越快。若式中(5.3.18)supQ(0)<2P，(5.3.18)0兔延冗則可保證由ho(n)遞推卷積求出的Wt)是收斂的。如果Q?)再滿足supQ(?supQ(?)<2pR°0曲M江則遞推求出的M)是m次連續(xù)可微的。因此,(5.3.19)(5.3.19)式可作為?、乓?guī)則性的一個測量2 .一 對圖5.2.1中的兒“y},我們可以結構出1z、3一，、Ho(z)=42( )3Q(z),2 ，顯然p=3,Q(z)=1。這樣Q儂)在0?2元內恒為1,它小于23」=4。所以該圖中的欠t)收斂于一連續(xù)曲線。2 對圖12.2.2中的h°(n)=*{-1,3,3,—1},我們可結構出4Ho(z)=&(^-)Q(z),Q(z)=-1-4z，+z”]/2

2 ，式中p=1?？梢郧蟪鯭(。)在o?2元內的最大值為2北，顯然272>21，=1,所以該例的Q(e儂)不滿足(5.3.19)式。因此該圖中的巾⑴不收斂。14

3.支撐范圍由(5.2.1)式，巾⑴和中(t)均可由h°(n)、h1(n)遞推得到，所以，小⑴、中(t)的支撐范圍取決于ho(n)和hi(n)的長度。若ho(n)和hi(n)均是FIR的，則巾⑴和中(t)是有限支撐的。下面的定理更準確地回答了這一問題。定理5.2如果ho(n)(或hi(n))是有限支撐的，則尺度函數(shù) 4⑴和小波函數(shù)中(t)均是有限支撐的。若ho(n)和hi(n)的支撐范圍是卜1,21，則欠t)的支撐范圍也是瓦.],而中(t)的支N1N1-N2 1撐范圍是122N2-N112證明：因為(；)=.2'ho(n)(t-n) (5.3.20a)2 nRS)W尺)，*。-2) (5.3.2Ob)所以，如果Wt)是緊支撐的，則eg)也必然是緊支撐的，由(5.3.2Ob)式，ho(n)是緊支撐的。反之，若ho(n)是有限支撐的，由(5.3.2Oa)式，位t)也必然是緊支撐的。由于％(n)和h°(n)有著同樣的長度，由(5.2.1b)式，中(t)也必然是緊支撐的。若ho(n)在后1小2】的范圍內非零，幅)在卜1/21的范圍內非零，則欠；)應在上《,2K2】的范圍內非零。但(5.3.2Oa)式右邊的求和范圍是卜+M,K2+N2]。由于(5.3.2Oa)式兩邊的支撐范圍應該一樣，所以必有K1=N1,K2=N2o所以。⑴和二⑻有著相同的支撐范圍。由(5.2.1b)和(4..5.6)式，有(5.3.21)J)=.2%(-1)nho(1-n)(t-n)2 n(5.3.21)15因為ho(n)和*(t)的支撐范圍都是卜142］，所以(5.3.21)式右邊求和后的范圍是Ni-n2+1,m-Ni+1］?？紤]到該式右邊是中(J),所以中(t)的支撐范圍是4尸,"N^L于是定理得證。5.4Daubechies 正交小波構造Daubechies提出了一類正交小波的構造方法， 其思路即是本章前三節(jié)所述的內容。 具體地說，即首先由共扼正交濾波器組出發(fā)， 先設計出符合要求的H°(z),然后由H°(z)構造Wt)和巴t)。Wt)和巴t)要有限支撐，且中(t)有高的消失矩和高的規(guī)則性。將這些要求落實到H0(z),則是要求：H。⑵是FIR的，且H0(z)小=J2；H0(z)在z=.1處應有P階零點，從而彳^證中(t)具有P階消失矩。為做到這一點，假定H0(z)可作如下式的分解：Ho(z)=2(1—^)pQ(z) (5.4.1)⑶上式中Q(z)是輔助函數(shù)，要求：Q(z)z=T#0；Q(z)z=i=1;sup Q(ej")M2p1；0e缶<2Q(z)的系數(shù)是實的，即Q(e產)=Q(ej°)16

現(xiàn)在的問題是，如何求出具有最小階次 m且滿足上述要求的多項式Q(z),使得H0(”|2+|H0e+n)2=2 (5.4.2)這樣，H0(z)的階次N=m+p。Daubechies證明了滿足要求的Q(z)的最小階次m=p―1這樣，h0(n)將有N=2p個非零系數(shù)。現(xiàn)證明這一結論導出的過程。由(5.4.1)式，有Ho(ejHo(ej)2 2……2 2Q(ej?)22cos!Q(ej”)由于H°由于H°(e叼的系數(shù)是實的，所以.一2 H0(ejW)是②的偶函數(shù)，因此,；八2 , ， ，，H0(e)可以表為cosw的 一一、 _2 ...- - . … , c … …2函數(shù)。那么，Q(ej°)當然也可表為8秒的函數(shù)。由于(1—cosco)/2=sinco/2,所以Q(ej。)可， - - 2改為Q(sin2o/2)的形式。這樣，繼續(xù)上式的推導，有Ho(ejHo(eje)222i1-sin—I2一P2。Q(sin2-)(5.4.3)(5.4.4a)(5.4.4b)(5.4.4a)(5.4.4b)ysin2() 0,112并記2

-2°P(y)=Q(sin2-)17這樣42 八 ，…、H0(ej)=2(1-y)pP(y) (5，.4c)同理可得2^.2H0(ej(°"))22ypp(1-y) (544d)將(b),(c)兩式代入(5.4.2),有(1y)pP(y)ypP(1y)=1 (545)該式稱為Bezout方程。顯然，當ywb,l】時，多項式P(y)=|Q(y)2應非負。我們現(xiàn)在的任務是尋求這樣的多項式P(y)。Bezout定理指出，若Qi(y)和Q2(y)是兩個階次分別為小和國的多項式，且二者之間沒有共同的零點，那么，唯一地存在兩個階次分別為電-1,5-1的多項式P,(y)和P2(y),使得Q1(y)P1(y) Q2(y)P2(y)=1 (5.4.6)比較(5.4.6)和(5.4.5)式，若令Qi(y)=(l-y)p,即A=p,令Qz(y)=yp,也即e=p,顯然，Q1(y)和Q2(y)間無共同的零點。那么，必有P(y)=P(y),P?(y)=P(1-y)。且P(y)的階次為p-1,P(1-y)的階次也是p-1o這樣(5.4.5)式左邊兩項的階次都是2p-1。因此，h0(n)至少有2P個非零系數(shù)。Daubechies提出滿足(5.4.5)的多項式P(y)可取如下形式：p1p+nTnP(y)=￡ yn+ypR(1-2y) (5.4.7)n=on18

式中R(y)是一奇對稱多項式，即R(y)=-R(1-y)oR(y)保證P(y)之0對ywb,1］。對R(y)的不同選擇可構造出不同類型的小波，在構造正交小波時， Daubechies選擇R(y)=0,于是p1pn1nP(y)=' yn (5.4.8)TOC\o"1-5"\h\zn=0 n由(5.4.4)式，(5.4.8)式的含意應是C缶2 . 2 . * .Q(sin2—)=Q(eF)=Q(e產)Q(e坤)2p1pn1 2(5.4.9)sin—(5.4.9)n=0 n- 2我們的目的是求出(5.4.1)式中的Q(z),從而得到H°(z)。由(5.4.9)式，有1p1p1p1pQ(z)Q(z1)= "n=0n1 2zz1n 4(5.4.4.)對于給定的p,我們可求出上式右邊的多項式，其所有的零點應共同屬于 Q(z)和Q(z」)此時，我們自然會想到在第七章用過的譜分解。我們可將單位圓內的零點賦予 Q(z),將單位圓外的零點賦予Q(z,)，這樣，Q(z)是最小相位的，于是符合共扼正交條件且具有p階消失矩的H0(z)可以求出。從而巾⑴和平(t)也可遞推求出。現(xiàn)舉例說明Daubechies小波設計的過程。例5.4.1令P=1,求DB小波中(t)及對應的尺度函數(shù)?、?。解：由(5.4.4.)式，因P=1,所以n=0,故Q(z)=1,再由(5.4.1)式，有19

2 1H0(z)=萬(1z1)即h0(0)=何2,h0(1)=何2。由5.2節(jié)由h°(n)求W)的方法，我們有%⑴2(母“101")2Dh°⑵⑺?、泞??』。0,0,1)/)。1,1,1,11L?)"1,"1’由定理5.2,Wt)和h°(n)有著相同的支撐。在本例中，h°(n)的支撐是b,11，所以4(t)的支撐范圍是t=0~1。將h°(J)(n)除以(國⑵、讓t=0~1內的分點數(shù)等于h。⑷(n)的長度，于是得e(t)=0 0e(t)=0 00<t<1其它由(4..5.6)式，可求得hi(n)=?、2 、.2J

2 2,t一二■(-)=?.2'h1(n)(t-n)=(t)-(t-1)2 ni二0Mt<1/21/2<t；1

其它20這正是Haar小波。所以Haar小波是Daubechies正交小波中的一員，但也是最簡單的一員。例5.4.2令P=2,求DB小波中(t)及相應的尺度函數(shù)?、拧＝猓河?5.4.4.)式，有Q(z)Q(zd)-122~z-z=2—1z」z」

4 2 2=1(1 ,3)(1-..3田(1,3)(1-.3)z,14取單位圓內白^零點賦予Q(z),則Q(z)=1(1■..3)-(1-3)zJ1

2由(5.4.1)式，有Ho(z)=—(1zd)2(1 .3)(1-..3)zJ14將該式展開，有h0(0)=0.48296,1^1)=0.83652h0(2)=0.22414,h0(3)=-0.129413可以驗證H°(z)zm=￡h0(n)=V2,且H0(z)的階次為2p-1=3。n=0如同例5.4.1,由5.2節(jié)由h0(n)遞推卷積求?(t)的方法可求出p=2時的@(t)。按同樣的方法則可求出小波中⑴。21

Daubechies按此方法構造了p=2?10時對應的共扼正交濾波器H0(z),H°(z)對應的*(t)及中(t)。表5.4.1給出了P取不同值時ho(n)及中(t)。表5.4.1給出了P取不同值時和"t)的波形5N6N1.52225N6N1.52221 17N0.5-1-2-0.5-2phipsi1.516N0.50-0.50 5 10 15210-1-20 5 10 15圖5.4.1db小波在p=2~9^?(t)及中(t)的波形235.5接近于對稱的正交小波及 Coiflet小波上一節(jié)所構造的DB小波是緊支撐的正交小波，但它們不是對稱的，也即H°(z)和Hi(z)不具有線性相位。因此，這一類小波在圖像、語音及其它一些信號處理領域中的應用將受到一些限制。Daubechies證明了正交緊支撐的小波不可能具有線性相位。和共扼正交FIR濾波器組不可能具有線性相位。這兩個結論其實是互通的，因為Daubechies正交小波即是用正交濾波器組的基本關系一一功率互補關系 (見(5.4.2)式)為基礎來構造的。唯一的例外是Haar小波，其臨⑴=，-^美｝,h(n)=?=,-=:是對稱的。但由于Haar小波的不連續(xù)性使其在實際的信號處理中失去了實用價值。Daubechies在保證正交、緊支撐的前提下構造了一類接近于對稱的小波濾波器及小波。在MATLA中命名為“SymN,N即是上一節(jié)中的p,N=4~10。SymNj、波和DB小波構造的方法基本相同。在由(5.4.4.)式求Q(z)時，DB小波是按最-- - - - 2 . 一 、?一^__…一-小相位原則對Q(z)=Q(z)Q(z」)作分解，即將單位圓內的零點賦予Q(z),單位圓外的零點賦予Q(z」)。我們知道，最小相位序列的能量集中在n=0后的少數(shù)點上，因此造成了該序列嚴重的不對稱性。使序列較為對稱的辦法是令 Q(z)為混合相位系統(tǒng)，即其零點有的在單位圓內，有的在單位圓外。當然，如有復數(shù)零點，應共扼成對選取?，F(xiàn)舉例說明之。24例如，令N=4,也即(5.4.4.)式中的p=4。由該式，有3Q(z)Q(z3Q(z)Q(za)=、、''3+nY2-z-z7=1(2—z—z,)5(2—z—z,)2—(2-z-zJ)38 16=(-5z340z2-131z208-131zJ40z2-5z*/16該多項式有六個零點，它們分別是:Zi=0.3289Z2=3.0407Z3=0.2841j0.2432z4=0.2841-j0.2432Zi=0.3289Z2=3.0407Z3=0.2841j0.2432z4=0.2841-j0.2432Z5=2.0311j1.7390Z6=2.0311-j1.7390DB小波是將Z1、Z3及々賦給Q(z)對Sym4小波，可將Z2、4及々賦給Q(z),再由即可求出刀⑵,H0(z)=.21Z」2、4Q(z)繼而求出恤)和中(t)。Sym*Sym4對應的出⑵的系數(shù)見文獻[5],運行MATLA呼有關SymNj、波的有關命令亦可給出這些系數(shù)。N