巖土塑性力學(xué)-習(xí)題答案

第一已知物體內(nèi)一點(diǎn)的I1ij60PaSx50PaSy10Pa，xy35Payz0，zx27Pa，求該點(diǎn)的應(yīng)力張量ij xyz1 3

SxxSyyI1ijxySx50PaSy10Pax70Pa，y10Pa，z因此，該點(diǎn)的應(yīng)力張量ijij00試證明應(yīng)力強(qiáng)度σi32S232S2S22(S2S2S2 32Sijxy證明：m 3 mS m mzSzzm

zx 12(12()2)2)2 222 i12122(S2S2S2)(S2S2S2) S)26(S2S2S2

112 S)2 S)2(S2 2S2S2 12122(S2S2S2)2(S SSS xx yy 2S2S2 由于SxxSyySzz123(S2123(S2S2S2)6(S2S2S2 3232S2S2S22(S2S2S2 3232Sij由式（1-32b）IS1S2S2S22S2S2S2 I2SijI2Sij

S Sij，Sij(i,jx,y, 1ISS2S2S22S2 2S2 S i zx i因?yàn)镾ijijIS1SS1 2ij m m12 2i ijmi

I2S

ijmijI1SSI2S 2 iji

I2SijI2Sij

S(i,jx,yz

S

（1）ij時(shí)，以ijx12222222I2

3

zx

12 x IS S2S2S22S2S2S2 ij

ijyijz（2）當(dāng)ij時(shí)，以ixjy為例證明此時(shí)，SijijijIS1222222 i x y z y z2I2S I2Sxy 2 2

2xyxy

同理，當(dāng)ijxyz綜合（1（2）可知，關(guān)系I2SijI2Sij

S(i,jx,yz

S

1ISS2S2S22S2 2S2 S i zx i因?yàn)?，Sijij 有 I2Sij I2Sij I2SijSijijm S I2S

I1SSI2S 2 iji

I2SijI2Sij

S(i,jx,yz S

試證明

OCT23I2 )3I 23I2 )3I I()(222 x y z I2)2222222 x y z2I()3[()(222 x y z I2()3I()222() 22323I2 )3I 13132x2y2zx y z)222

x y z 232322(2)2 x y z 22 ()2()2()26(2223

1-7

8104,5104,1104 6104,1104,4104 2x2yz6。試求過(guò)該點(diǎn)沿著此平面法線方向的正2x2yz6可得其法線n(2l l

l l由此得

33

，取 l Nijlill2l2l22(llllll22x y z xyx yzy zxz227

2(2

(

2(81042

21104

2

6104

1-17dtPT作用。試求其應(yīng)力強(qiáng)度σi及應(yīng)力Lode參數(shù)μ（用P和T表示。pTTppTTp zz

d2 d2rr

drrzrrz12(12()2)2)22 2 2 12(12(P)2(P)26(2Td

PP2d212Td同時(shí)，由主應(yīng)力方程：3I()2I( I() I1

)2

4T2I2(ij)z2d4t2 I2(ij)

4T2 PP216Td

2d P2P216Td求解得：1

2

(P )，20，3 (P 2dtLode223 1P216Td將1，2，3P216Td第二一開(kāi)端薄壁圓管受內(nèi)壓力和扭矩共同作用，試寫(xiě)出其TrescaMises條件（用圓柱坐標(biāo)，徑向應(yīng)力不計(jì)，即令σr=0。 ZTPZTPrz rrzzr 2rI1(ij)

(ij) I(ij)由主應(yīng)力方程3I()2I( I()0可求得 2

22，22

P2r2T P2r2T 2 ()2()2()22 22 P2r2422 P2r24 3 Mises條件確定該點(diǎn)達(dá)到屈服時(shí)y的大?。╯275Mpa。z為大、中、小主應(yīng)力并滿足屈服條件時(shí)y的大當(dāng)y為大主應(yīng)力時(shí)，即yxzTresca13y0取ks275Mpa，解得y當(dāng)y為中主應(yīng)力時(shí)，即xyzTresca條件有：取ks275Mpa13xz100解不出y當(dāng)y為小主應(yīng)力時(shí)，即xzyTresca13xyks275Mpa，解得y175Mpa，或者y375Mpax（去綜上三種情況，可知該點(diǎn)按Tresca條件判斷屈服時(shí)y275Mpa或者y175Mpa 22262 把已知x100Mpaks275Mpa

zxyyzzx0帶入上式，并y311Mpa或者yMises條件判斷屈服時(shí)y311Mpa或者y211Mpa μσ=0、1、-1時(shí)各相應(yīng)于什么樣的應(yīng)力狀態(tài)Lode223 1令120時(shí)，可得221當(dāng)20時(shí)，13，對(duì)應(yīng)于純剪狀態(tài)；1時(shí)，可得12當(dāng)120時(shí)，30，對(duì)應(yīng)于單向壓縮狀態(tài)；1時(shí)，可得23當(dāng)230時(shí)，10S2cos S2si S2cos 3 6 參看圖1-10。由公式（1-S1S2S3323S13YS22YS33Y323Y 323因?yàn)閼?yīng)力空間中一點(diǎn)A1,2,3的應(yīng)力狀態(tài)可以分解為應(yīng)力球張量及應(yīng)力偏張量，應(yīng)力狀態(tài)矢OA在平面的投影OA'就表示相應(yīng)的應(yīng)力偏張量SijMises條件為:i12x 131216y 216 x213x213 2 2 2 2 3 3OA在1,2,3 ' 3 6 ' 2 3 ' 3 6 23因?yàn)榕c'、與'、與'的方向余弦都 23 2'2cos 3 6 '2 '2cos 3 6 可知，m

xyz3

0S 2cos 3 6 S2

2

S 2cos 6 S2SS2S2S

因?yàn)椋?2S12331

12 3

1

SS

S

S222S2S2S22S 3SSSS13S2S2S2 22 1 2 3 Mises2222k 23S2S23S2S2S 2-12rtr2P Pr Pr (t t 0 13S，即12 ()2()2()2212

z方向受約束的平面應(yīng)變狀態(tài)（取0.5，試證明其屈服條件表達(dá)式為Mises12212 3Tresca1221 4MisesEE可知：z0.5xy222262222k 32622k 取ks1221 3IS12226222 6 zx把平面問(wèn)題時(shí)的條件z0.5xy，yzxz0IS121262 6 xy12 S1 1 z y x I3Sij的表達(dá)式可計(jì)I3Sij0I2SijI3Sij代入屈服條件的應(yīng)力偏量不變表達(dá)4I327I29I26k4Ik6 4I39I26k4Ik6 4Ik2Ik22

I2

kI2k2（舍去4取k

12 1221 4rtp的作用。若采用Tresca條件，試求圓球屈服時(shí)p的大小。 0rrr2r2rt2(2rrdp)sin200 2r2psincosdr2則

則由Tresca條件得：SS則圓球屈服時(shí)其pp2tr2-10對(duì)硬化材料，處于平面應(yīng)力狀態(tài)（z0，先加12s，正好開(kāi)始屈服。然后再施加無(wú)限小應(yīng)力增量d1和d2，并使d1d2 22 22 取ks f22 fd2d2

因?yàn)閐1d2fd2d2

12dssd1 122k2232k2312 2k22k2 取ksf2222 f

2

2d222

因?yàn)閐1d2f

2d222

2d222 1 221

由題意：12

22 1 所以：fd22d 1 [ 準(zhǔn)則在尖點(diǎn)處屈服面的導(dǎo)數(shù)奇異，故此處的判斷沒(méi)有意義33-2在1S ，2S3

第三31的平面應(yīng)力狀態(tài)，求在變形為dpC（常數(shù)）31 塑性應(yīng)變?cè)隽繌?qiáng)度dp以及塑性功增量dW 23d d解：dp ①，dW23d d dpdS知dp 0S1 dpdSddSCd 3 SdpdSd 3C(S)3 3S23C22323(d23C22323(d)(dp2p12i3C(S)(C)3C(S)(C)2S33 3伸；（2）xyS 3S11 由dpdS

3S1dpdSd(S1

)

3 dpdSdp

d(0 d

)31)3

1S dp:dp:dp2:(1): 3（2）當(dāng)xyS ，xyzxzyz030S1 xy 3xy0010,2300

S13得：113

S,20,3 13 由dpd13 33 dpdS,dp0,dpd33 dp:dp:dp1:0: 32Siji S,z32Sij2Sr

S,

332S32SSS22 z1414

21S2S 21S2S 1 9 2

S

01

1 5 2 21145S,20,3145 dpdS dpdSd 51)135 dp d(0

1)6

S161dpdSd 51)13513 13dp:dp:dp

:(1):13 試從 dWpdp 3塑性應(yīng)變?cè)隽縟ij2

Siji32Sij（1）dp dpdp32Sij S (dS (d)S2ijked 則dp

S p 13dSSS p 13

ij 23d d23d d 2dS3ij 2d2dd

dp3dWp

iiHF。式中H’和F’是硬化函數(shù)對(duì)它們各自自變量的23dpd23dpd

d

2

2 3d SSSS3d則dpdS i

ij3

由式（2-27）iF(Wp)得Wp dWp

p 由式（2-30）iH由式（2-30）iHdp)得dH'd di d

d

F'dF'd dp3di 2H' 2H'ij 將④代入⑤得di3di F 2iH'ijS(S1)SSS1SSS2 ij 3kk ij 3kkij ij 3將⑦代入⑥得di3di22HF 2iH'3 FpTTpσi-εpTTp 49005MPa rrzr0,z0,z由:1e3i

12 ()4900 1 ij0，eijijmmij2SS

1,S

2, 0, 32Sij32S232Sij32S2S2S22(S2S2S2 32/ i則 2i S 4902i ( 22)22(147)2( 4902 LL0.18100 3i

3

z62

zL0.541002.16radd/2 50/2 ，按全量理論求應(yīng)變分量s和z，并將所z0，z0，rrzr12(12()2)2)2 2z22z2 考慮圖中的硬化曲線，取FH'，則硬化曲線為isH'is 得出應(yīng)力應(yīng)變函數(shù)關(guān)系ii

6s為彈性階段，其

2s2

6s631逐漸增加至B（s s）為塑性變形階段31ii12

3i

i

將 ，S 2 1)]2 i1)]22 2

s

[11z2Sz

3 12 ii 12 i

3 s 3

)]3 3 由上可得：Mises條件。若先使筒的剪應(yīng)變 ，讓筒進(jìn)入屈服狀態(tài)，然后再拉伸使拉應(yīng)s，試求此時(shí)筒中的應(yīng)力和Ez0，z0，rrzr12(12()2)2 )22 22 22 22 彈性階段：材料剪應(yīng)變從0到 為彈性階段，且 Sd1dS3S

s sd1dS3dWd s sd1dS3

2sd1 由

3dWd2zs2z，可得S 2

，SS1 因?yàn)椴牧喜豢蓧嚎s故m0，可得ezzerre1drddz/2再由z ，dz0，結(jié)合（6-1（6-2）和（7dWdSijdeijSzdzSrdrSddWd代入（3（4-1（4-2）式可1 3d

d d 2G

z 化簡(jiǎn)得：dzG(2 2dsz 積分：dz 2s2dz解得3GSarcth zCG(sz) 由0,0,C=0，ss在

時(shí)，解得：sth10.762同理可得，

0.374z0，z0，rrzr12(12()2)2 )22 22

s，式中R為圓桿的半徑，s22 22 彈性階段：0到s為彈性階段，且s d1dS3dWd s sd1

3dWd2zs2z

由 ，S 2，SS1；進(jìn)入塑性后ddd0 0，得dWSded1 d1 2 2 （34）d1

3zdz

1

zdz 2G3dz 3 z 2dzGdz3

2zzGdz3 2 得出Gd dz2，積分后得Gsarcth3

C=0，z=03 3 2s解得：

sth(3G33s1 1

zdz2zs2z

=0解得z ch(ch(3G將 3，r.sr代入得

3G

sth(R z 3s3

ch(rch(R 0MPa時(shí)的。對(duì)6000.03 0MPa時(shí)的。解：由已知條件，可知 1200400 Sij1212 2 2 622 zx

12 6 因?yàn)閕600i0.030.2，可解得iG 21

21

'

600

601775

0.

0.0因?yàn)?遠(yuǎn)小于E，所以取H'' H'i22H'i

E' 97692.3 2305.2941775.18 E200000MPa，0.3，1.59105，S120MPa，S40MPa Sz80MPa，xy60MPa，yz80MPa，zx100MPa代入公式3-計(jì)算出D

對(duì) 第四兩端簡(jiǎn)支的圓形（直徑為d）截面度為l，材料為理想彈塑性的，受均布荷載YX YX S(2y S(0y dd2d24b(d24 M 2(x,y)b(y)dypp2

d(

2)yd24y2dy22s0s

yd24y222dsyd24y2dy12d(y432)d 1

2 M1ql 1ql2 sd 8 8 4d塑性極限荷載q 對(duì)圖示懸臂梁（理想彈塑性材料，已知P=120KN；σs=265MPa，試畫(huà)出梁內(nèi)塑性區(qū)