第一課數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用

第一課

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模的含意數(shù)學(xué)模型：由實際問題歸結(jié)為的數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)建模：對實際問題加以簡化、抽象，提出假設(shè)，歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，解決，并加以檢驗的全過程數(shù)學(xué)建模的一般步驟準備假設(shè)建模解模驗證和討論應(yīng)用數(shù)學(xué)建模是不同層次數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容大學(xué)普遍開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程中國大學(xué)生數(shù)模競賽和美國大學(xué)生數(shù)模競賽上海市的中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式自主學(xué)習(xí)體驗知識的聯(lián)系，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣提高應(yīng)用、創(chuàng)新能力、綜合能力、團隊精神數(shù)學(xué)建模與解應(yīng)用題的不同處假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的一部分由實際檢驗數(shù)學(xué)建模的結(jié)論數(shù)學(xué)建模教學(xué)的功能更多綜合性應(yīng)用知識創(chuàng)新意識的培養(yǎng)團隊精神的培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的簡單例子沖洗蔬菜上殘留農(nóng)藥的方法太陽系行星位置的數(shù)學(xué)模型沖洗蔬菜上殘留農(nóng)藥的方法剛從田里采摘下來的蔬菜上有殘留的農(nóng)藥，需要用水清洗現(xiàn)在有4公斤的水，要沖洗一袋蔬菜有兩種沖洗方案：一種是將4公斤的水一次沖洗；另一種是分兩次沖洗，每次沖洗用水2公斤已知1公斤的水沖洗一次，可使蔬菜上殘留農(nóng)藥為原來的1/2問哪種沖洗方案可使蔬菜上殘留農(nóng)藥量比較少？

分析用于沖洗的水越多，洗掉的農(nóng)藥也越多，但總還有殘留農(nóng)藥在蔬菜上沖洗次數(shù)越多，洗掉的農(nóng)藥也越多關(guān)鍵所在：殘留農(nóng)藥與沖洗用水量之間的函數(shù)關(guān)系殘留農(nóng)藥y與沖洗用水量x的關(guān)系

y是沖洗前后農(nóng)藥殘留量之比

y隨x增大而減小

y（1）=0.5，y（0）=1已知的信息還不足以確定殘留農(nóng)藥與沖洗用水量之間的函數(shù)關(guān)系可以假設(shè)某些函數(shù)關(guān)系加以討論取兩種函數(shù)形式討論函數(shù)形式不同滿足函數(shù)要求結(jié)輪相同討論函數(shù)相同，自變量范圍不同可能結(jié)輪不同不排除其他形式的函數(shù)可能有不同的結(jié)輪要通過實踐檢驗太陽系行星位置的數(shù)學(xué)模型行星水星金星地球火星木星土星距離3.97.210.015.252.095.3分析上述數(shù)據(jù)，你會得到什么結(jié)論？動畫假設(shè)在太陽系中尚有未發(fā)現(xiàn)的行星太陽系的行星離太陽的距離可以用簡單的數(shù)列表示博德公式（1766年）理論公式和實際對比行星n理論距離實際距離水星例外43.9金星277.2地球31010.0火星41615.2小行星52827.6木星65252.0土星710095.3天王星8192192海王星9388301冥王星107723961782年1801年1846年1903年太陽系八大行星

曾經(jīng)作為太陽系第九大行星冥王星，在2006年8月24日于布拉格舉行的第26屆國際天文聯(lián)會中通過的第5號決議中被劃為矮行星，并命名為小行星134340號，從太陽系九大行星中被除名。現(xiàn)在太陽系只有八大行星。所有涉及“九大行星”的內(nèi)容應(yīng)改為“八大行星”。

第二課足球最佳射門位置問題的提出張角的概念張角公式的推導(dǎo)

，

。

求射門的最佳位置

q的表達式含有反三角函數(shù)，直接求最值有困難

tanq

是q的增函數(shù)求tanq

的最大值求tanq

的最大值討論1當(dāng)球員在沿平行于邊線且離邊線距離為d的直線上向?qū)Ψ角蜷T進攻時，他最佳的射門位置在何處?。討論2如果足球運動員是沿一條和球門中心連線成某一個角度的斜線進攻，他在何處射門最有利?第三課家具進屋問題例1.商店一輛送貨推車,長2.2米,寬1米,能否拐進居民大樓1.5米寬的直角走廊?問題例2.一條直角走廊寬1.3米,一件水平截面如右圖所示的直角家具ABCDE,是否能拐進這條直角走廊?家具移動問題的假設(shè)家具可以連續(xù)移動：平行移動、旋轉(zhuǎn)；家具不能折卸、翻轉(zhuǎn)，即不能改變家具的外形推車問題分析（動畫）關(guān)鍵點是：在推車轉(zhuǎn)彎過程中點M到直線AB的距離是否始終大于推車的寬度1m？寫出M點到直線AB的距離公式求M點到直線AB的距離的極值直角家具問題分析（動畫）關(guān)鍵點是：在家具轉(zhuǎn)彎過程中點M到直線BE的距離是否始終大于線段CG的長度？寫出點M到直線BE的距離家具問題小結(jié)家具連續(xù)移動，盡可能地化為比較簡單的移動；表示這樣的移動可以引進參數(shù)；要找出移動中的關(guān)鍵位置；能否順利移動到指定的位置，往往取決于某些點到家具特定邊的距離的大??；在實際問題中借助于數(shù)值計算，也可以得到正確的結(jié)論。思考題第四課噴灌頭的間距問題背景噴灑灌溉系統(tǒng)和噴漆設(shè)備：被噴灑的物體面要求受液均勻假設(shè)單個噴頭噴灑均勻，范圍是一個圓域要求確定噴頭間距，使地塊各點受水最均勻假設(shè)噴頭圓內(nèi)灑水均勻沒有一個點同時受到三個或三個以上噴頭的噴灑怎樣刻畫地塊點的受水量？設(shè)想地塊平移，噴水管不動的情況原先在(x,y)處的一點只有當(dāng)該點移動到噴頭的噴灑圓內(nèi)時受到噴灌該點受水量與過該點且平行于y軸的直線與噴灑圓所交的弦長成正比在這條直線上的各點受水量相同怎樣刻畫地塊的受水量的均勻性？一點受水量可用弦長表示，該函數(shù)只是變量x的函數(shù)C(x)求C(x)的最值用最大值與最小值之差表示受水不均勻度，該指標(biāo)與兩個噴頭的間距d有關(guān)，記為f(d)選擇d使f(d)達到最小受水量C(x)的表達式視d為常數(shù)由對稱性，只考慮x的范圍在0到d/2之間C(x)是一個以d-R為界的分段函數(shù)C(x)的最值先求C(x)在兩個小區(qū)間最值比較大小后可得C(x)在[0,d/2]上的最值在[0,d-R]上C(x)的最值是x的減函數(shù)：弦長單調(diào)減小在[d-R，d/2]上C(x)的最值是x的增函數(shù)：二條弦長之和，增多減少在整個區(qū)間上[0，d/2]上C(x)的最值比較兩個小區(qū)間上最值大小最值與d有關(guān)，此時d為變量M(d)的討論M(d)的值是AD(＝2R)的長度與2|ST|長度中大者先看|ST|＝R的情況此時AD＝2ST由此位置兩圓圓心相離時(即d增大),AD>2ST由此位置兩圓圓心相近時(即d減小),AD<2STM(d)是一個分段函數(shù)M(d)和f(d)的表達式求f(d)在[R,2R]內(nèi)的最小值結(jié)論第五課降低成本的裝箱方法

學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)論文問題提出問題實際背景裝箱方法引起疑問：看來裝滿，為什么實際數(shù)目不多？研究的問題不同的裝箱方法怎樣影響草莓總數(shù)？有沒有節(jié)約裝箱成本的方法已知信息和假設(shè)紙箱的長、寬、高的規(guī)格有下列三種36cmX36cmX36cm、54cmX24cmX36cm、72cmX18cmX36cm假設(shè)草莓為球形，大小一樣，平均3cm觀察果農(nóng)裝箱方法層與層之間：“迭裝”和“錯裝”每層草莓?dāng)?shù)：類型1和類型2裝兩層草莓的高度“迭裝”方法：2d“錯裝”方法：兩種類型每層的草莓總數(shù)將紙箱的尺寸表示為：adXbdXcd紙箱的底面為矩形：adXbd

一層類型1草莓的總數(shù)為aXb個一層類型2草莓的總數(shù)為（a-1）X（b-1）個計算草莓總數(shù)調(diào)整相對位置，使得若干層類型1的裝法集中在底層，以后往上類型1和類型2交錯出現(xiàn)。這樣調(diào)整后草莓層數(shù)不變，總數(shù)不變草莓總數(shù)計算1~n層為類型1裝法往上類型1和類型2裝法交錯出現(xiàn)。從類型2開始出現(xiàn)（含）以上設(shè)總有m層裝滿箱時草莓總數(shù)和箱高cd的關(guān)系計算草莓總數(shù)公式計算草莓總數(shù)步驟取n為不大于c的整數(shù)求滿足不等式的最大整數(shù)m按公式計算草莓總數(shù)具體計算結(jié)果解釋對裝箱數(shù)目的疑惑對紙箱尺寸的建議在相同的周長條件下，底越接近正方形，可裝的草莓越多第六課那契印地安人婚配制度用數(shù)學(xué)模型研究歷史事實的案例探索那契印第安人婚配制度崩潰原因數(shù)學(xué)模型幫助探索歷史假設(shè)是數(shù)學(xué)模型成功與否的關(guān)鍵假設(shè)要合理、繁簡恰當(dāng)，與建立模型相呼應(yīng)那契印第安人婚配制度這種婚配制度為什么會崩潰？能否用數(shù)學(xué)模型方法來解釋？對問題的思考等級人數(shù)發(fā)生問題定性不能解決的疑惑假設(shè)男女人數(shù)相等（全族、各等級）一對夫妻育有一對子女，男女各一只和同代人結(jié)婚，一夫一妻制、只結(jié)婚一次問題歸結(jié)為差分方程組結(jié)論總?cè)藬?shù)不變，上等人的人數(shù)隨世代更替而無限增加，必然因下等人數(shù)不能符合婚配制度的要求導(dǎo)致這種婚配制度的崩潰第七課概率和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用一、這為什么是騙局？有人在街角設(shè)賭：20枚簽（其中10枚標(biāo)有5分分值、10枚標(biāo)有10分分值）讓過路人從中抽出10枚，以10枚簽的分值總和為獎、罰依據(jù)。具體獎罰金額見下表：分值獎罰金額50,100獎100元55,95獎10元60,65,85,90不獎不罰70,75,80罰1元用概率分析輸贏值是隨機的記一次獎罰額為XX取值：100，10，0，－1X為離散的隨機變量求X的分布列計算X的分布列這是古典概型，基本事件是從20枚簽中取出10枚基本事件總數(shù)：從20個事物取10個的組合數(shù)“X＝－1”的概率X=-1時對應(yīng)的分值：70，75，80包含的基本事件：6X5分和4X10分，5X5分和5X10分，4X5分和6X10分基本事件數(shù)：絕大多數(shù)被罰“X＝100”的概率X=100時包含的基本事件：全10或全5基本事件數(shù)：2比一年全國自行車遇車禍的概率還小(1/5000)

“X＝10”的概率X=10時對應(yīng)的分值：55，95包含的基本事件：9X5分和1X10分，9X5分和1X10分基本事件數(shù)：平均1000人只有一個人得10元“X＝0”的概率X=0時對應(yīng)的分值：60，65，85，90包含的基本事件：8X5分和2X10分，7X5分和3X10分，3X5分和7X10分，2X5分和8X10分基本事件數(shù)：平均約1/5的無獎罰X的分布列計算X的數(shù)學(xué)期望按公式計算結(jié)果為－0.81元這種賭博不公正用數(shù)學(xué)期望的含義解釋結(jié)果：平均每個參賭的人要付給設(shè)賭局者0.81元，參賭的人越多，結(jié)論越準確二、如何減少驗血次數(shù)？1500名同學(xué)參加驗血分組檢驗法：按k個人一組進行分組，對k個人的血混合在一起進行檢驗。如果混合血液呈陰性，可得k個人的血都呈陰性若呈陽性，則再對這k個人的血分別進行化驗是否可以減少總檢驗次數(shù)？k等于多少時，可以使檢驗次數(shù)最少？建立模型－確立隨機變量以X表示一個學(xué)生平均驗血的次數(shù)不分組X＝1:常數(shù)分組：X=1/k或x=1+1/kX是隨機變量計算X的分布列：取兩種值的概率計算X的期望值EX，若EX<1，說明分組驗血有成效分組時X的分布列設(shè)檢出血液陽性率為pX的概率分布列X的數(shù)學(xué)期望EXEX<1的條件取p=0.1,對k取不同數(shù)值計算計算結(jié)果和結(jié)論（p=0.1）第八課風(fēng)險決策的數(shù)學(xué)模型

面對不確定性的決策方法風(fēng)險決策的應(yīng)用面對不確定性的情況例子漁船是否要出海是否要投資房地產(chǎn)學(xué)生如何填報高考志愿幾個概念決策：先于行動前的選擇風(fēng)險決策：面對不確定性的決策風(fēng)險決策解決問題的思路最優(yōu)：在均值的意義下追求最優(yōu)基礎(chǔ)：隨機變量的數(shù)學(xué)期望步驟：選擇目標(biāo)函數(shù)確定隨機變量、隨機空間、概率等確定目標(biāo)依賴于隨機因素的表達式計算在各種決策下目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望選擇達到最大期望值的那個決策例子面包房進貨量的問題填報志愿的問題面包房進貨量的問題每只面包的進貨價為2.50元，售價為4元。當(dāng)天下午6：00以后開始打折，以每只2元的價格處理完剩下的面包面包房每天面包在下午6：00以前售出100、150、200、250、300只的概率分別為0.2、0.25、0.3、0.15和0.1生產(chǎn)廠家每天供貨數(shù)必須是50的倍數(shù)問面包房每天應(yīng)該進多少貨？引進變量以X表示在下午6:00以前賣出的面包數(shù)：這是一個隨機變量以L表示利潤：目標(biāo)函數(shù)以y表示進貨量：這是決策變量L依賴于X和y計算的步驟寫出L依賴于X和y的表達式計算y取不同數(shù)值時的期望值選擇利潤達到最大期望值的進貨數(shù)yL的表達式

有關(guān)信息X取值：100，150，200，250，300分別列如下表所示只考慮y取值：100，150，200，250，300

y=100時L的期望值全部面包都能以正常價格出售

y=150時L的期望值

y=200時L的期望值

y=250時L的期望值

y=300時L的期望值決策當(dāng)y=200或250時L的期望值最大，每天可以進200只或250只面包平均利潤為每天235元學(xué)生填報志愿的問題填報的志愿不能重復(fù)希望喜好程度的期望值最大分析對個人來說填報的效果有偶然性對一群學(xué)生來說，按風(fēng)險決策的方法可以求得最佳的決策：使學(xué)生的喜好得分期望值最高先不考慮學(xué)校不能重復(fù)的限制，如結(jié)果有重復(fù)，再作調(diào)整；否則就是最佳先考慮第三志愿第三志愿應(yīng)該選D學(xué)生進入第三志愿的喜好程度得分期望值為4.2先考慮第二志愿第二志愿應(yīng)該選C學(xué)生進入第二志愿的喜好程度得分期望值為6.1最后考慮第一志愿最終決策依次選B、C、D

喜好程度得分期望值為7.26第九課指派問題合理利用資源、人力的方法典型問題有n件工作要完成有n個人可以調(diào)用每件工作可以指派任何人做，但效率不同；效率用效率表表示一件工作只能由一個人做一個人只能做一件工作如何指派可使效率最高（和最?。┲概傻囊?---通過表格表示每行取一個數(shù)且只取一個數(shù)（一個人做一件工作且只做一件工作）每列取一個數(shù)且只取一個數(shù)（每件工作必須有人做且只由一個人）在表中共取出五個數(shù)，分別在不同行不同列上（指派工作的一種方案）這五個數(shù)的和表示該方案的效率在所有的方案中找到和為最?。ㄐ首詈茫┑姆桨敢磺锌赡芊桨傅目倲?shù)＝n!

工作人員123A457B135C265如果某件工作由任何人完成都要增加（或減少）相同的時間，則最優(yōu)方案不變

工作人員123A457B135C265如果某個人完成任何工作都要增加（或減少）相同的時間，則最優(yōu)方案不變

123A457B135C265

123A013B024C043

123A000B011C030

123A000B011C030A做第2件工作，B做第1件工作，C做第3件工作在不同行、不同列上有三個零，總和為零，對應(yīng)最佳方案

工作人員123A265B356C934203102010203102010

工作人員123A314B657C232203102010102001020

123A000B011C030203102010如何判別效率表中在不同的行、不同的列有三個零更復(fù)雜的情況

工作人員12345A45736B13584C26572D35636E934344573613584265723563693434124030247304350023036010112303023730425002203600011230302373042500220360001表中每行、每列都有零但是沒有不在同一行、同一列的五個零12303023730425002203600011230302373042500020362001要劃去表中所有的零，至少要五條直線段（橫線或豎線）1230302373042500220360001表中有五個在不同行、不同列的零劃去所有零的最少線段數(shù)：412303023730425002203600011010100171242700000180021未劃去的數(shù)減去2在交叉點上的數(shù)加上2劃去的數(shù)但不在交叉點上的數(shù)不變把方法應(yīng)用到更多的問題中去人數(shù)和工作數(shù)不相等求最大值（不是求最小值）人數(shù)和工作數(shù)不相等

待卸車裝卸組12345A45736B13584C26572D35636人數(shù)