2022年電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算

..精選可編輯文本精選可編輯文本.精選可編輯文本6.2.5電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算在本知識(shí)點(diǎn)中，我們將給大家介紹使用迭加原理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的方法。重點(diǎn)是微積分的使用。使用微積分計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的步驟大致有：1、建立坐標(biāo)系：目的是便于表示場(chǎng)強(qiáng)的方向和選擇積分的變量；2、選取元電荷：即對(duì)連續(xù)帶電體進(jìn)行微分；3、寫出元電荷在考察點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小；4、分析元電荷在考察點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的方向：目的是為寫分量做準(zhǔn)備；5、寫出元電荷在考察點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的各個(gè)分量：目的是為對(duì)各個(gè)分量積分做準(zhǔn)備；6、分別對(duì)各個(gè)分量積分，并在積分過(guò)程中選擇恰當(dāng)?shù)姆e分變量和統(tǒng)一變量?！纠?】求電偶極子中垂線上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。電偶極子的電場(chǎng)【解】如上圖所示。設(shè)電偶極子的電量分別為+q和-q，用l表示從負(fù)電荷指向正電荷的矢量。設(shè)中垂線上任意一點(diǎn)P相對(duì)于+q和-q的位置矢量分別為r+和r-，而r+=r-。+q和-q在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為以r表示電偶極子中心到P點(diǎn)距離，那么在距離電偶極子甚遠(yuǎn)時(shí)，即r＞＞l時(shí)，取一級(jí)近似有。而P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)為式中p=ql是電偶極子的電矩，這樣上述結(jié)果又可以寫成此結(jié)果說(shuō)明，電偶極子在其中垂線上距電偶極子中心較遠(yuǎn)處各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與電偶極子的電矩成正比，與該點(diǎn)離電偶極子中心的距離的三次方成反比，方向與電矩的方向相反?！纠?】試求一均勻帶電直線外任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)直線長(zhǎng)為L(zhǎng)〔見以下圖〕，電荷線密度〔即單位長(zhǎng)度上的電荷〕為〔設(shè)〕。設(shè)直線外場(chǎng)點(diǎn)P到直線的垂直距離為，P點(diǎn)與帶電直線的上下端點(diǎn)的連線與垂線的夾角分別為和。帶電直線外一點(diǎn)的電場(chǎng)【解】均勻帶電直線可以理解為實(shí)際問(wèn)題中一根帶電直棒的抽象模型，如果我們僅限于考慮離棒的距離比棒的截面尺寸大得多的地方的電場(chǎng)，那么該帶電直棒就可以看作一條帶電直線。P點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)可以通過(guò)微積分來(lái)求解。在帶電直線上任取一長(zhǎng)為的元電荷，其電量。以P點(diǎn)到帶電直線的垂足O為原點(diǎn)，取如以下圖坐標(biāo)軸，。元電荷dq在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)dE沿兩個(gè)軸方向的分量分別為和。因而由于，從而〔此式在幾何上表示，當(dāng)很小時(shí)，對(duì)P點(diǎn)張開的角度與的關(guān)系〕，并且，所以由于對(duì)整個(gè)帶電直線來(lái)說(shuō)，q的變化范圍是從到，所以同理可得P點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)的大小可以由下式得到有幾種特殊情況，討論如下：(1)中垂線上的點(diǎn)

在中垂線上，那么有，將代入，可得此電場(chǎng)的方向垂直于帶電直線而指向遠(yuǎn)離直線的一方?！?〕無(wú)限長(zhǎng)直線外任意一點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)

真實(shí)的生活中沒(méi)有無(wú)限長(zhǎng)，無(wú)限長(zhǎng)只是一個(gè)相對(duì)的概念，在此題中無(wú)限長(zhǎng)的準(zhǔn)確描述是，故有此外，在遠(yuǎn)離帶電直線的區(qū)域，即當(dāng)時(shí)，中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度其中為帶電直線所帶的總電量。此結(jié)果顯示，離帶電直線很遠(yuǎn)處該帶電直線的電場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)?！纠?】求均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)。如以下圖所示，一均勻帶電細(xì)圓環(huán)，半徑為R，所帶總電量為q〔設(shè)q>0〕，圓環(huán)軸線上場(chǎng)點(diǎn)P到圓心的距離為x?！窘狻扛鶕?jù)微積分的思想，我們把圓環(huán)微分成為許多小段，任一小段dl上的帶電量為dq。設(shè)此元電荷dq在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為dE，dE沿平行和垂直于軸線的兩個(gè)方向的分量分別為和。由于圓環(huán)電荷分布對(duì)于軸線對(duì)稱，所以圓環(huán)上全部電荷的分量的矢量和為零，因而P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿軸線方向，且均勻帶電細(xì)圓環(huán)軸上的電場(chǎng)式中積分為對(duì)環(huán)上全部電荷q積分。設(shè)P點(diǎn)與dq的距離為r，由于其中q為與x軸的夾角，所以此式中的積分值即為整個(gè)環(huán)上的電荷q，所以考慮到，而?？蓪⑸鲜礁膶憺镋的方向?yàn)檠刂S線指向遠(yuǎn)方。當(dāng)時(shí)，，那么E的大小為此結(jié)果說(shuō)明，遠(yuǎn)離環(huán)心處的電場(chǎng)也相當(dāng)于一個(gè)點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場(chǎng)。當(dāng)時(shí)，，那么E的大小為即在靠近圓心的軸線上場(chǎng)強(qiáng)大小與x成正比。【例4】試求均勻帶點(diǎn)電圓盤軸線上的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)帶電圓盤半徑為R〔如以下圖〕，電荷面密度〔即單位面積上的電荷〕為〔設(shè)〕，求圓面軸線上距離圓心x處場(chǎng)點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)。均勻帶電圓面軸線上的電場(chǎng)【解】一帶電平板，如果其面積的線度及考察點(diǎn)到平板的距離都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它的厚度，該帶電板就可以看作一個(gè)帶電平面。帶電圓盤可看成由許多同心的帶電細(xì)圓環(huán)組成。取一個(gè)半徑為r，寬度為dr的細(xì)圓環(huán)〔即將圓盤微分成許多圓環(huán)〕，由于此環(huán)的面積為，帶有電荷，所以由上一例題可知，此圓環(huán)電荷在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向沿著軸線指向遠(yuǎn)方。由于組成圓面的各圓環(huán)的電場(chǎng)dE的方向都相同，所以P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)為各個(gè)圓環(huán)在P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小的積分，即其方向也垂直于圓面指向遠(yuǎn)方。當(dāng)時(shí)，此時(shí)相對(duì)于x，可將該帶電圓盤看作“無(wú)限大〞帶電平面。因此，可以說(shuō)，在一無(wú)限大均勻帶電平面外的電場(chǎng)是一個(gè)均勻場(chǎng)，其大小由上式給出。當(dāng)時(shí)，于是式中為圓面所帶的總電量。這