高考調(diào)研二輪復習數(shù)學理

第4講

不等式、向量、解三角形熱點調(diào)研【典例1】(不等式的性質(zhì)與解法)(1)(2014·山東)已知實數(shù)x，y

滿足ax<ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是(

)A.

1

>

1

x2＋1

y2＋1C．sinx>sinyB．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)D．x3>y3調(diào)研一 不等式一對選項進行斷，A

中，當x＝1，y＝0y＝－1

時，ln1<ln2，B

不成立．C

中＝siny＝0，C

不成立．D

中，因為函數(shù)

y＝x

在故選

D.【答案】

D(2)(2014·

三模)已知函數(shù)

f(x)＝x，x≥0，2x

，x<0，則關(guān)于x

的不等式

f(x2)>f(3－2x)的解集是

．式f(x2)>f(3－2x)，即不等式f(x2)>f(3－2x)，即為

x2>3－2x，上可得原不等式的解集為(－∞，－3)∪(1,3)．【答案】

(－∞，－3)∪(1,3)(3)已知關(guān)于＋∞)，則

a＝

.【解析】

方法一ax－1x＋1

<0?(ax－1)(x＋1)<0，又其解集為2(－∞，－1)∪(－1

∞)，可知a<0，故(ax－1)(x＋1)<0，∴(x，＋1

1

1－a)(x＋1)>0，結(jié)合原不等式的解集，有a＝－2，∴a＝－2.11ax－1x＝－2是方程x＋1

＝0

的根，∴ax－1方法二 ∵

x＋1

<0

的解集是(－∞，－1)∪(－2，＋∞)，∴1－2a－11－2＋1＝0，得a＝－2.【答案】

－2【對點練

1】

(1)若

x>y，a>b，則在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，

a

b

這五個式子中，恒成立的所⑤y>x.有不等式的序號是

．【解析】

令

x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合題設(shè)條件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又∵y＝a

3b

2－3

－2＝－1，x＝

＝－1，a

b∴y＝x，因此⑤不成立．由不等式的性質(zhì)可推出②④成立．【答案】

②④【解析】1【答案】

(0，2)(3)(2013·)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為12xx|x<－1或x>

，則

f(10

)>0

的解集為(){x|x<－1

或x>－lg2}{x|－1<x<－lg2}{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}2【解析】

依題意知

f(x)>0

的解為－1<x<1，x1

1故－1<10<2，解得x<lg2＝－lg2.【答案】

D【典例

2】

(基本不等式)(1)(2014·山東六校聯(lián)考)已知正實數(shù)

x，y，z

滿足

x2＋y2＋z2＝4，則

2xy＋yz

的最大值為

．【xy＋21yz＝2

3(3

3當z＝x＝

y36

，

33y時取等號，故2xy＋yz

的最大值【答案】

2

3(2)(2014·濰坊五校期中考試)曲線3

4

1(x>0，y>0)上的點

P＋

＝x

y到直線

l：3x＋4y＝1

的距離的最小值為

．【3x＋4y＝1

的距離d＝3＋4y)(3 4

＝25＋12(

＋)．因為

x>0，＋

)

y

xx

y

x

yx

y

x

y

x＋y≥2

x×y＝2(當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝y(tǒng)

時等號成立)．＋12×2＝49，故3x＋4y－1≥48，所以d＝|3x＋4y－1|548≥5

，即點P

到直線l：3x＋4y＝1

的距離最小值為485

.【答案】485三模)設(shè)二次函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c

為?！窘馕觥?/p>

由二次函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c

為常數(shù))得a≠0，其導函數(shù)為f′(x)＝2ax＋b.不等式f(x)≥f′(x)即為ax2＋(b—

2a)x

＋

c

－

b≥0

對

任

意

x

∈

R

恒

成

立

，

則a>0，2b－2a

－4ac－b≤0，則0≤b2≤4ac－4a2，所以c≥a>0，則ca≥1，所以b222≤4ac－4a2a

＋c a

＋c2

2＝4ca

－4ca1＋

2c.令t＝a－1≥0，當t＝0

時，b2a2＋c2＝0；當

t>0

時，b222≤2＝

2a

＋c

1＋t＋1

t

＋2t＋2＝

4t

4t

4

2tt＋

＋22

2＋2≤

4

＝2a2－2，當且僅當c＝2＋1

時取等號，綜上可得b2a2＋c2的最大值為

2

2－2.【答案】

2

2－2【對點練2】的最小值是(

)A．3(1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2yB．49C.211D.

2【解析】

方法一

(拼湊)：∵x＋2y＋2xy＝8，∴(x＋1)(2y＋1)＝9.又x>0，y>0，∴x＋2y＝(x＋1)＋(2y＋1)－2≥2

x＋12y＋1－2＝6－2＝4.當且僅當x＝2，y＝1

時取“＝”號．方法二

(消元)：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝8－x2x＋2>0，∴－1<x<8.∴x＋2y＝x＋2·8－x2x＋2＝(x＋1)＋

9

x＋1－2x＋1≥2

x＋1·

9

－2＝4.當且僅當x＋1＝9x＋1時“＝”成立，此時x＝2，y＝1.方法三

(輪稱法則)：在x＋2y＋2xy＝8

中，x

與2y

互換位置等式不變，x＋2y

也不變．∴可以應用輪稱法則．令x＝2y，得2x＋x2＝8.∵x>0，∴x＝2，此時x＋2y＝4.【答案】

Bsin2αsin2α＋4cos2α的最大值為π

(2)(2014·濰坊模擬)若α∈(0，2)，則

．【解以2tanαtan2α＋4＝2tanα＋tanα≤

4

2以原式的最大值為12.【答案】12(3)(2014·合肥質(zhì)檢)關(guān)于x

不等式ax2－|x＋1|＋3a≥0

的解集為

R，則實數(shù)

a

的取值范圍是

．【解析】

因為不等式

ax2－|x＋1|＋3a≥0

的解集為(－∞，＋∞)，即

ax2－|x＋1|＋3a≥0

在R

上恒成立，將參數(shù)

a

分離得

4

|x＋1|＋|x＋x2＋3＝x＋12－2x＋1＋4

2x＋1—1|

|x＋1||x＋1|

|x＋1|

1

a≥

＝ ，所以|x2x＋1

4

4

4

＋1|＋|x＋1|－|x＋1|

最小應為|x＋1|＋|x＋1|－2.又|x＋1|＋|x＋1|－2≥2，所以14|x＋1|＋|x＋1|－21

1≤2，所以

a∈[2，＋∞)．21【答案】

[

，＋∞)(4)(2014·點

P(3,0)在圓

C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0

內(nèi)，動直線

AB

過點

P

且交圓于

A，B

兩點，若△ABC的面積的最大值為

16，則實數(shù)

m

的取值范圍為

．所以(3－m到直線AB

的距離為12

2＝2×2 32－d

×d＝

32－d

d＝4

時取等號，所以

4≤|PC|＝

m－32＋m≤3－2

3，與①取交集可得實數(shù)

m

的取值范圍是2

7)∪(3－2

7，3－2

3]．【答案】

[3＋2

3，3＋27)∪(3－2

7，3－2

3]1．一般在數(shù)的大小比較中有如下幾種方法．(1)作差比較法和作商比較法，前者是與零比較大小，后者是與1

比較大??；(2)找中間量，往往找1

或0；(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法，畫出相應的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等．2．解一元二次不等式的步驟．(1)將二次項系數(shù)化為正數(shù)；(2)解相應的一元二次方程；(3)根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合不等號的方向畫圖；(4)寫出不等式的解集．段解，再取并4．在運用基本不正——各項都是正數(shù)；二定—能否取得”，求最值時，為了創(chuàng)造條件式子進行恒等變形．運用基本不等式求最值“和”與“積”，并且在湊配過程中就應考慮等號成立的注意：“1”的代換，為使用基本不等式創(chuàng)造條件．①若

a＋b＝m，則a＋bm＝1；②x＋(1－x)＝1；③sin2x＋cos2x＝1.5．要記住幾個常見的有關(guān)不等式恒成立的等價命題．(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立?a<f(x)min；(3)a>f(x)有解?a>f(x)min；(4)a<f(x)有解?a<f(x)max.【典例3】(1)(2014·(平行與垂直))設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數(shù)

λ＝

.調(diào)研二 向量【解析】

通過向量的線性運算列方程求解．由題意，得(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.【答案】

±3(2)(2014·陜1)，若

a∥b，則

tanθ＝

.【解析】

利用向量平行列出關(guān)于

θ

的三角等式并利用倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系式變形求解．因為a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.21因為

0<θ<π

cosθ>0，得

2sinθ＝cosθ，tanθ＝

.，所以

2【答案】12【對點練

3】

(1)(2014·重慶)已知向量

a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)

k＝(

)9A．－2

B．0C．3D.152【3(1,4)＝(2k－3，－6)．因為－6)·(2,1)＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.故選C【答案】

C且a∥b，若x，y

均A.53C．8B.83D．24【解析】因為a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，a∥b，所以

2x＋3y＝3

3

2

1

3

2

1

9y

4x，則x＋y＝3(x＋y)(2x＋3y)＝3(12＋x

＋y

)≥8，當且僅當9y2＝4x2，2x＋3y＝3，即y＝13x＝4，23

2時等號成立，所以x＋y的最小值為8，故選C.【答案】

C【典例

4】

(向量運算)(1)(2014·新課標 Ⅰ)設(shè)

D，E，F(xiàn)

分別為△ABC

的三邊

BCCA，AB

的中點，則→

＋

→

＝(

)EB

FCA.

→

1

→BC

B.2ADC.

→

1

→AD

D.2BC【解析】利用向量的加法法則求解．如圖，→→

→

→

→

→

→

→

1

→

→EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝2(AC＋AB)＝2·21

→

→AD＝AD.【答案】

C(2若→

→OC＝λOA＋μOB位置區(qū)域正確的是()【x＝3λ＋μ，y＝λ＋3μ，解得μ＝3y－8.≥3y－x83x－y－8≥0，≥1，即x－3y＋8≤0，x≥y，故選D.【答案】

D【對點練4】(1)(2014·福建)設(shè)M

為平行四邊形ABCD

對角線的交點，O

為平行四邊形ABCD

所在平面內(nèi)任意一點，則→＋OA→

→

→OB＋OC＋OD等于(

)A.

→

→OM

B．2OMC．3

→

D．4

→OM

OM【解析】

因為點

M

為平行四邊形

ABCD

對角線的交點，所以點

M

是

AC

和

BD

的中點，由平行四邊形法則知→

＋

→

＝OA

OC2

→

→

→

→

→

→

→

→

→OM，OB＋OD＝2OM，故OA＋OC＋OB＋OD＝4OM.【答案】

D(2)(2014·馬鞍山聯(lián)考)在直角梯形

ABCD

中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，動點

P

在直角梯形ABCD

內(nèi)運動(含邊界)，設(shè)→AP→

→＝α·AD＋β·AB，則

α＋β

的最大值是(

)A.4

B.13

4C．1

D.13【答題模板】本題與2013

年卷第9

題類似，把向量運算與線性規(guī)劃結(jié)合，綜合考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，解題時注意建立適當?shù)淖鴺讼?，先把問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，再進行求解．【解析】

建立 的直角坐標系，則

B(3,0)，C(1,1)，(0,1)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，所以x3β，y＝α，所以

α＋β＝x＋y，則α＋β

的幾何意義是直線y＝－3x＋(α＋β)在y

軸上的截距，利用線性規(guī)劃的知識，顯然在點

C

處＋β

取得最大值，這個最大值是1

1

43＋

＝3.【答案】

A(3)(2014·鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖，在△ABC

中，BO

為邊AC上的中線，

→

＝2

→

→

→

→

1

→

→BG GO，若CD∥AG，且AD＝5AB＋λAC(λ∈R)，則

λ

的值為

．【解析】

因為

→

∥

→

，所以存在實數(shù)

k，使得

→

＝→CD

AG

CD

kAG.又→

→

→

1

→

→CD＝AD－AC＝5AB＋(λ－1)AC，又由

BO

是△ABC

的邊AC

上的中線，

→

＝2

→

，得點

G

為△ABC

的重心，所以→

1(

→＋BG

GO AG＝3

AB→

1

→

→

k

→

→AC)，所以5AB＋(λ－1)AC＝3(AB＋AC)．由平面向量基本定理可得1

k5＝3，k3λ－1＝

，6解得λ＝5.【答案】65【典例

5】

(向量的數(shù)量積)(1)(2014·洛陽綜合訓練)已知△ABC

的外接圓半徑為1，圓心→

＋

→

＋為

O，且

3OA

4OB

5OC→

＝0，則

→

·→

的值為(

)OC

AB1A．－51B.56C．－56D.5【答題模板】 本題主要考查平面向量的線性運算、數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查考生的運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，解題時，根據(jù)平面向量的知識進行求解．【解→5OC，兩端平方，得9＋16＋→

→

1

→

→

→

→

1OC·AB＝－5(3OA＋4OB)·(OB－OA)＝－5(－3＋【答案】

A(2)(2014·濟南四校聯(lián)考)上的動點，點Q

是邊AC

上的動點，且→＝λ

→，AQAP

AB→

＝(1－λ)AC→

，λ∈R，則→

·→

的最大值為

．BQ

CP【λ)·

→

→

→AC]·(CA＋λAB)＝A(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－2·(1

→

→

3λ＝2時，BQ·CP取得最大值－8.3【答案】

－8(3)(2014·淮北五校四次聯(lián)考)在面積為

2

的等腰直角三角形ABC

中，E，F(xiàn)

分別為直角邊

AB，AC

的中點，點

P

段

EF上，則→

·→

的最小值為

．PB

PC【解析】

易知

AB＝AC＝2，EF＝22，斜邊高的一半為

2

.方法一 設(shè)

PE＝x，則

PF＝

2－x，于是→

·

→

＝(

→

＋PB

PC

PE→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→EB)·(PF＋FC)＝PE·PF＋PE·FC＋EB·PF＋EB·FC＝－x(

2－x)－

2

22

x－

2

×(22－x)＋0＝x

－2x－1，當

x

2

→

·→

最小，＝

2

時，PB

PC此時→

→

3PB·PC＝－2.方法二 以點

A

為原點，AB，AC

所在的直線分別為

x，y

軸，建立則→

→PB＝(2－x，－y)，PC＝(－x,2－y)．因為點P(x，y)在直線EFPB·PC上，故

x＋y＝1(0≤x≤1)，即

y＝1－x.于是→ →

＝(2－x)(－x)－1y(2－y)＝2x2－2x－1，所以當

x＝2時，PB·PC→

→最小，此時→·→＝PB

PC3－2.3【答案】

－2【對點練5】(1)(2014·濟南訓練)，則→

→)AD·BC＝(A．3

B．4C．5 D．不能確定【解→

→

→

→BC＝AC－AB，所以AD·BC＝21＝2(9－1)＝4.【答案】

B)在△ABC

中，角A＝60°，M

是AB

的中點，段AC

上運動，則DB·DM的最小值【解析】

在△ABC

中，設(shè)角

A，B，C

的對邊分別為

a，b，c，根據(jù)余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccosA，即12＝b2＋4－2b，即2b

－2b－8＝0，解得

b＝4.設(shè)AD＝λAC(0≤λ≤1)，則→

·DM

(ABDB→

→ →

＝

→—

→

→

→

→

→

1

→

→2

→

23

→

→AD)·(AM－AD)＝(AB－λAC)·(2AB－λAC)＝λ|AC|

－2λAB·AC＋1

→

222|AB|

＝16λ

－6λ＋2，當23

23λ＝16時，16λ

－6λ＋2

最小，最小值為16.【答案】2316段AB

上運動，則EM·EC的取值范圍是【解析】如圖，將正方形放入直角坐標系中，則設(shè)E(x,0)，0≤x≤1.2則M(1，1

，C(1,1)，所以→＝(1－x)

EM1

→，2)，EC＝(1－x,1)，2所以

→

→

1

1EM·EC＝(1－x，2)·(1－x,1)＝(1－x)＋2.因為0≤x≤1，所以21

1

3→

→

1

32≤(1－x)＋2≤2，即EM·EC的取值范圍是[2，2]．1

3【答案】

[2，2]【典例

6】

(向量的模)(1)(2014·濰坊五校聯(lián)考)已知向量

a，b

滿足|b|＝ab·

＝2，〈a3π－b，a〉＝

，則|a|＝

.【解析】

設(shè)|a|＝x，則|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2－2×2＋22＝x2，故|a－b|＝x；(a－b)·a＝a2－a·b＝x2－2.又(a－b)·a＝|a－b|×|a|cos〈a－b，a〉＝x×xcosπ＝1x2，所以x2－2＝

x2，即x213

2

2＝4，解得x＝2

或x＝－2(舍去)．故|a|＝2.【答案】

2(2)(2014·湖南)在平面直角坐標系中，O

為原點，A(－1,0)，B(0，

3)，C(3,0)，動點

D

滿足|

→

|＝1，則|

→

＋

→

＋

→

|的取CD

OA

OB

OD值范圍是(

)A．[4,6]C．[2

3，2

7]B．[ 19－1，

19＋1]D．[ 7－1，

7＋1]【解析】

設(shè)出點

D

的坐標，利用向量的坐標運算公式及向量模的運算公式求解．→設(shè)D(x，y)，則由|CD|2＝1，C(3,0)，得(x－3)＋2y

＝1.→

→又∵→＋OB＋OD＝(x－1，y＋3)，OA∴|

→

→

→OA＋OB＋OD|＝22x－1

＋y＋

3

.∴|

→

→

→OA＋OB＋OD|的幾何意義是點P(1，－23)與圓(x－3)＋|OA

OB

OD|y2＝1

上點之間的距離．由|PC|＝

7，知→＋→＋→的最大值為1＋7，最小值為7－1.故選D.【答案】

D，)【對點練

6】

(1)(2014·大綱(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝(A．2

B.

2C．1

D.22【解析】

由題意知a＋b·a＝0，即a2＋b·a＝0，①22a＋b·b＝0，

2a·b＋b

＝0，②將①×2－②，得2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2.故|b|＝

2.【答案】

B(2)(2014·威海兩校質(zhì)檢)若向量a＝(2,1)和b＝(x－1，y)垂直，則|a＋b|的最小值為(

)A.

5

B．5C．2

5

D.

15【答題模板】 本題主要考查兩向量垂直的坐標表示以及向量的模的求解和最值．首先根據(jù)兩向量垂直的坐標表示求出

x

與y

的關(guān)系式，然后代入向量的模的表達式中，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題進行求解；也可利用向量的模的表達式的幾何意義直接求解最值．【解析】

方法一 由

a⊥b，可得

2(x－1)＋y＝0，整理得2x＋y－2＝0.故y＝－2x＋2.而a＋b＝(x＋1，y＋1)，故|a＋b|＝x＋12＋y＋12

＝

x＋12＋2－2x＋12

＝

5x2－10x＋10

＝5x－12＋5，故當x＝1

時，|a＋b|取得最小值，最小值為5，故選A.方法二 由

a⊥b，可得

2(x－1)＋y＝0，整理得

2x＋y－2＝0.而

a＋b＝(x＋1，y＋1)，故|a＋b|＝

x＋12＋y＋12，其幾何意義為點

P(x，y)到

M(－1，－1)的距離，故|a＋b|的最小值為點M(－1，－1)到直線l：2x＋y－2＝0

的距離d＝|2×－1－1－2|22＋12＝5.故選A.【答案】

A【典例

7】

(向量的夾角)(1)(2014·唐山訓練)已知向量

a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與

b

的夾角為鈍角，則

λ

的取值范圍是

．【答題模板】本題主要考查向量的數(shù)量積與夾角．把a

與

b

的夾角為鈍角轉(zhuǎn)化為a·b<0

且a

與b

不反向，考生需注意不能忽略a

與b

不反向．【解不反向，所以－2λ－1<0

且λ≠2，解21【答案】

(－

，2)∪(2，＋∞)(2)(2014·煙臺強化訓練)已知→＝(1,0)，→＝(－1，3)，→OA

OC

CB＝(cosα，sinα)，則→

與→

的夾角的取值范圍是(

)OA

OBA．

π

5π

π

2π[2，

6

] B．[2，

3

]C．

2π

5π

π

2π[

3

，

6

] D．[6，

3

]【解析】OB

OC

CB設(shè)B(x，y)，則→＝

→＋→＝(－1，3)＋(cosα，sinα)＝(x，y)，整理得x＝cosα－1，y＝sinα＋

3，2即得到(x＋1)＋(y－23)＝1，這是一π個以點(－1，3)為圓心，半徑為1

的圓，且∠BOC＝6，作出圖像

，從圖像可以看出，

→

與→

的夾角的取值范圍是[πOA

OB

2，5π6

]，故選A.【答案】

A(3)(2014·

名校聯(lián)考)已知向量a，b

滿足a⊥b，|a＋b|＝t|a|，2π若

a＋b

與

a－b

的夾角為 ，則

t

的值為(

)3A．1

B.

3C．2D．3【量垂直得到|a＋b|＝|a得到關(guān)于t

的等式，即可求出

t

的值再由所給條件及三角形知識，即可求出t

的值．－b|.∵|a＋2π與a－b

的夾角為3

，入整理可得t2＝4.∵t>0，∴t＝2，方法二

(優(yōu)解)如圖，∵a⊥b，∴四邊形

ABCD

為矩形．又a＋b

與

a－b

2π

∴∠ACB＝π

Rt△ACB

中，AC的夾角為

3

，

6，故在＝2AB，即|a＋b|＝2|a|，t＝2，故選C.【答案】

Cm)．若向量a，b

的夾A．2

3C．0B.

3D．－

3【解析】依據(jù)向量數(shù)量積的定義和坐標運算列出關(guān)于m

的方程求解．∵ab· ＝(1，

3)·(3，m)＝3＋

3m，π又

ab·

＝

12＋

32×

32＋m2×cos6，π∴3＋

3m＝

12＋

32×

32＋m2×cos6.∴m＝

3.【答案】

B(2)(2014·九江二次模擬)已知非零向量a，b

滿足|a＋b|＝|a－b|＝3|b|，則

cos〈a，b－a〉＝(

)A.2

23B.13C．－2

231D．－3【解析】

方法一

(通解)因為非零向量

a，b

滿足|a＋b|＝|a－b|＝3|b|，所以2

2解得ab·

＝0，|a|＝2

2|b|.a·b－a所以

cos〈a，b－a〉＝|a||b－

＝a＋b2＝a－b2，a＋b

＝9b

，－|a|2a|

|a|×3|b|＝－3|b|＝－|a|

2

2|b|3|b|＝2

2—3

，故選C.方法二

(巧解)把非零向量

a，b

的起點移動同一起點

A，依題意，得四邊形ABCD

為矩形，＝|b－a||b|

1＝3，且∠＝2

2，所以cos〈a，b－a〉＝cos32

2—3

，故選C.【答案】

CⅠ)已知A，B，C

為圓O

上的三點，若AO【解析】利用向量加法的法則求解．∵

→

1

→

→AO＝2(AB＋AC)，∴點

O

是△ABC

中邊BC

的中點．AB

AC∴BC

為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈→，→〉＝90°.【答案】

90°起點 好加減，不能忘卻兩法則！已知A，B，C

是平面內(nèi)三個不相同的點，O

是平面內(nèi)任意一點，則向量→，→，→的終點A，B，C

共線的充要條件是OA

OB

OC→

＋存在實數(shù)

λ，μ，使得

→

＝λOA μOB，且

λ＋μ＝1.OC

→點．解決此類問題何知識及向量數(shù)量積的基本概向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化，再利用①求解向量的坐標運算，此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有4．利用向量數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法．①|(zhì)a|2＝a2＝a·a；②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2

a·b＋b2；③若

a＝(x，y)，則|a|＝

x2＋y2.5．求平面向量夾角的方法．【典例8】(1)(2014·(求角))在△ABC

中，角A，B，C

所對的邊分別為a，πb，c.已知A＝6，a＝1，b＝

3，則

B＝

.調(diào)研三 解三角形【解析】先由正弦定理求出

sinB，再求角

B.關(guān)鍵在于對解的個數(shù)的判斷．由正弦定理，得asinA

sinB

6＝

b

.把

A＝π

a＝1，b＝

3代入，解，2得sinB＝

3

因為b>a，所以B>A，結(jié)合題意可知B.π

2π＝3或3

.【答案】π

2π3或3(2)(2014· )在△ABC

中，內(nèi)角

A，B，C

所對的邊分別是a4b，c.已知

b－c＝1

2sinB＝3sinC，則

cosA

的值為

．a(chǎn),【解析】由正弦定理得到邊

b，c

的關(guān)系，代入余弦定理的變式求解即可．由2sinB＝3sinC

及正弦定理，得

2b＝3c，即b3＝2c.4

2

41

1又b－c＝1a，∴c＝

a，即a＝2c.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝2

2

22×2c29

34c

＋c

－4c

－4c23

＝

3c21＝－4.1【答案】

－4(3)(2014·石家莊一模)在△ABC

中，角A，B，C

所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csinA＝

3acosC，則sinA＋sinB

的最大值是(A．1C．3)B.

2D.

3【解析】

∵csinA＝

3acosC，∴sinCsinA＝

3sinAcosC.∵＝sinA＋

2π

A)＝

sisin(

3

－

2π3sin(A＋6)≤

3，π

π

5π

3∴6<A＋6<

6

，∴

2

<為3，故選D.【答案】

D【對點練

8】

(1)(2014·

模擬)設(shè)△ABC

的內(nèi)角

A，B，C23所對的邊分別為a，b，c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，則B＝

.【解析】

由

cos(A－C)＋cosB＝3

B＝π－(A＋C)，得

cos(A2及3－C)－cos(A

＋C)＝

2

，即cosAcosC

＋sinAsinC

－(cosAcosC

－3

3sinAsinC)＝2，所以

sinAsinC＝4.又由b2＝ac，利用正弦定理進行邊角互化，得sin2B＝sinAsinC，故sin2B33＝4.所以sinB＝

2

或sinB3

π

2π2＝－2

(舍去)，所以

B＝3或3

.又由b

＝ac

知b≤a

或b≤c，所以πB＝3.【答案】π3(2)(2014·濟南模擬)在△ABC

中，若sinC

3，b2－a2＝

ac，＝

5sinA

2則cosB

的值為(

)A.1

B.13

21

1C.5

D.4【解析】25由題知，c＝3a，b2－a2＝

ac＝c2－2accosB，所c2以cosB＝52ac＝15－2ac

9－

261＝4.【答案】

Db，c.若3a＝2b，則A.19B.13C．1D.72【解析】

先利用正弦定理轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，再求三角函數(shù)式的值．∵＝a

bsinB

bsinA

sinB，∴sinA＝a.b

3

sinB

3∵3a＝2b，∴a＝2.∴sinA＝2.∴2sin2B－sin2Asin2AsinB

3

7＝2(sinA)2－1＝2×(2)2－1＝2.【答案】

D【(1)(2014·南充模擬)對邊，若2sinB＝sinA＋sinC，B＝30°且S△ABC＝2【解析】

因為

2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理，得

2b＝a1＋c，兩邊同時平方，得

a2＋2ac＋c2＝4b2

①.又

S△ABC＝2ac·s

in30°3＝2，所以

ac＝62②.因為B＝30°，由余弦定理，得a

－2ac·cosB＋c2＝b21.③.聯(lián)立①②③得b2＝4＋2

3＝(

3＋1)2，所以b＝

3＋【答案】

3＋1431(2)(2014·南通聯(lián)考)在△ABC

中，已知

tanA＝，tanB＝5，且△ABC

最大邊的長為

17，則△ABC

最小邊的長為

．【解析1，即tanC＝－1，所以C所以A

最小，即A

所對的邊a

最?。杂烧叶ɡ韆

csinA

sinC＝

，得a＝csinC·sinA＝

22【答案】

2(3)(2014·新課標 Ⅰ)如圖，為測量山高

MN，選擇

A

和另一座山的山頂C

為測量觀測點．從

A

點測得M

點的仰角∠MAN＝60°，C

點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C

點測得∠MCA＝60°，已知山高

BC＝100

m，則山高

MN＝

m.【解析】

利用三角函數(shù)的定義及正弦定理求解．根據(jù)圖示，AC＝100

2

m.在△MAC

中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得ACsin45°

sin60°＝

AM

.∴AM＝100

3

m.AM在△AMN

中，MN＝sin60°，∴MN＝10023×

3

150

m.＝【答案】

150【對點練

9】

(1)(2014· )在△ABC

中，a＝1，b＝2，cosC1＝4，則

c＝

；sinA＝

.在△ABC

中，1把a＝1，b＝2，cosC＝4代入，4因為

cosC＝1

sinC＝，所以1－cos2C＝415.再由正弦定理，得a

csinA

sinC15＝ ，解得

sinA＝

8

.【答案】

2

15

8(2)(2014· )在△ABC

中，角A，B，C

所對應的邊分別為abab，c，已知

bcosC＋ccosB＝2b，則

＝

.【解析】

思路一：利用余弦定理化角為邊，再化簡求值．思路二：利用正弦定理化邊為角，再化角為邊求解．方法一 因為

bcosC＋ccosB＝2b，所以b·＋c·a2＋b2－c2

a2＋c2－b22ab

2ac＝2b.a化簡可得b＝2.方法二 因為

bcosC＋ccosB＝2b，所以sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB.故sin(B＋C)＝2sinB.ba故sinA＝2sinB，則a＝2b，即＝2.【答案】

2(3)(2014·

)如圖，從氣球

A

上測得正前方的河流的

BC

的俯角分別為

67°，30°，此時氣球的高是

46m，則河流的寬度

BC約等于

m．(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)根據(jù)已知的圖形∠BAC＝37°，由正弦定理，得

A

＝sin30°

sin×0.60＝60

m.【答案】

60(1)(2014·齊sinC＝

3cosC，則△ABCA.

3

B.

52

2C.D.7

115

4【答題模板】 本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系以及利用正弦定理求解，通過判斷三角形的形狀計算三角形的面積．先由已知等式sinC＝

3cosC求解出角C，再利用正弦定理以及三角形的兩邊長求出角A，從而得到角B，判斷出三角形的形狀并計算面積．在由正弦定理求角時要注意根據(jù)邊長的大小關(guān)系判斷出角的大小關(guān)系．【解析】由sinC＝3cosC，得

tanC＝

3>0.所以

C

π

根＝3.據(jù)正弦定理可得BC

＝

AB

，即sinA

sinC

sinA31

＝

3

1＝2，所以sinA＝2.因為2AB>BC，所以

A<C，所以

A

π

B

π

所以△ABC

為直角三＝6，即

＝2，角形，所以S△ABC＝2×1

33×1＝

2

.【答案】

A(2)(2014·新課標 Ⅰ)已知

a，b，c

分別為△ABC

三個內(nèi)角A，B，C

的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b) sinC，則△ABC

面積的最大值為

．【解析】

利用正弦定理及余弦定理求解．∵a

bcsinA

sinB

sinC＝

＝

＝2R，a＝2，又(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC

可化為(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.∴b2＋c2－a22bcbc

1＝2bc＝2＝cosA，∴∠A＝60°.∵在△ABC

中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”當且僅當b＝c

時取得)，∴S

1·bc·sinA

1×4

3

3.△ABC＝2

≤2

×

2

＝【答案】

3【對點練

10】

(1)(2014·江西)在△ABC

中，內(nèi)角

A，B，C3π所對的邊分別是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是(

)A．3B.9

323

3C.

2D．3

3【解析】

利用所給條件以及余弦定理整體求解

ab

的值，再利用三角形面積公式求解．∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①π

π2

2

2

2

2∵C＝3，∴c

＝a

＋b

－2abcos3＝a

＋b

－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.1

1

3

3

3∴S△ABC＝2absinC＝2×6×

2

＝

2

.【答案】

C(2)(20三邊長構(gòu)成公差為4

的等差數(shù)列，則△＋8)2＝a2＋(a＋4)—4a

－48

＝

0

，解得a

＝－4(舍×6×10×sin120°＝15

3.【答案】

15

3(3)(2013·

二模)在△ABC

中，內(nèi)角A，B，C

所對的邊分別為a，b，c，其中A＝120°，b＝1，且△ABC

的面積為3，則

a＋b

sinA＋sinB＝(

)B.2

39A.

21C．2

213D．2

7△ABC2【解析】

∵S

＝1bcsin120°＝3，即1c×

3＝2

23，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccos120°＝21，∴a＝

21.∵

a＝

bsinA

sinB＝

a＋b

2RsinA＋sinB7，∴sinA＋sinB

sinA＋sinB＝＝2R2R，∴2R

a

21

2＝sinA＝

3

＝2＝2

7.【答案】

D【典例

11】

(綜合問題)(2014·重慶)已知△ABC

的內(nèi)角A，B，C

滿足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)

1

S

滿足1≤S≤2，記a，b，c

分＋2，面積別為

A