機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)資料

、填空題.用最速下降法求f(x)=10(X2-X1)+(1—\\最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x(0)=[—0.5,0.5卜，第一步迭代的搜索方向?yàn)?機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長(zhǎng)，二是搜索方向.當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題是凸規(guī)劃的情況下，在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。.應(yīng)用外推法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn)和終點(diǎn)，他們的函數(shù)值形成趨勢(shì)高低高。.包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為 n 維優(yōu)化問(wèn)題。—-16.函數(shù)一xtHx+Btx+c的梯度為 HX+B 。21.與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的丕變方向。.設(shè)G為n義n對(duì)稱(chēng)正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d0,d1，滿足(do)Gdi=0，則d0，d1之間存在共在關(guān)系。.設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。.對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù)f(X1,X2)，若在X0=(X12,X3J點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是在X0點(diǎn)的梯度為0,充分條件是在X0點(diǎn)的海條矩陣正定。.處T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。.用黃金分割法求一元函數(shù)f(x)=X2-10x+36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)間LT=L10,1。]，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到新區(qū)間[2.3610] 。.優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。.牛頓法搜索方向dk=-(V2f(xk))-1Vf(xk)，其計(jì)算量大，且要求初始在級(jí)極小點(diǎn)附近位置。.將函數(shù)f(X)=x2+x2-xx-10x-4x+60表示成—XTHX+BTX+C的形式1 2 12 1 2 21「 ，2-11「 ，2-1-lxX-212-12X1+D10X2」fXI-4-1+60X22」.存在矩陣H,向量d1,d2，當(dāng)滿足卑Hd=0向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛方向。.采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有—單調(diào)遞增特點(diǎn)。.采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最佳步長(zhǎng).對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為[〃/]，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a,b,a<b，計(jì)算出f(a)<f(b)，則縮短后1111 1 1的搜索區(qū)間為L(zhǎng)a,bj。

.由于確定搜索方向和最佳步長(zhǎng)的方法不一致，派生出不同的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題過(guò)程中，懲罰因子具體有趨于。變化規(guī)律。.尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題的方法有消元法和拉格朗日乘子法.優(yōu)化問(wèn)題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變小.優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。.方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率.設(shè)f（%）為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（Q在R上為凸函數(shù)充分必要條件是海賽矩陣G（%）在R上處處大于0.在n維空間中互相共軛的非零向量是個(gè)數(shù)最多有n個(gè)。.約束優(yōu)化問(wèn)題在可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。.外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過(guò)程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊界或等式約束曲面、選擇題.下面C__方法需要求海賽矩陣。%(%(2)=根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷％（i）=h,i1為d.內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解—B—優(yōu)化問(wèn)題。.拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一種經(jīng)典法，它是一種_D—。.對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為［〃/］，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1，b1，a1<bj計(jì)算出f（a）<f（4），則縮短后的搜索區(qū)間為—D—。.―D―不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。.變尺度發(fā)的迭代公式為%k+1=%-aHVfQJ，下列不屬于H必須滿足的條件是—C。kk k.函數(shù)f（%）在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的___A。.下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中，—D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。.設(shè)f（%）為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（%）在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G（%）在R上處處_A。.通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B.一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度_A—。.下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法 黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是CD，假設(shè)要求在區(qū)間［a,b］插入兩點(diǎn)ai，a2，ai<a2。.與梯度成銳角的方法為函數(shù)值_A方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值—B__方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的C方向。.二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是A―。.最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量_B。.下列關(guān)于共軛梯度法的敘述，錯(cuò)誤的是A。.下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A―。.設(shè)fG）是定義在凸集D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則fG）在D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是—B:.下列幾種無(wú)約束問(wèn)題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣—A—。.關(guān)于正交方向和共軛方向之間的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是B。.多元函數(shù)的海賽矩陣是其B__偏導(dǎo)數(shù)所形成的對(duì)稱(chēng)矩陣。.關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣Ak，下列說(shuō)法不正確的是C。.關(guān)于梯度，下列說(shuō)法不正確的是B―。.與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值___A方向。三、判斷題.二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（X）.海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（J）.當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（J）.外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（J）.梯度法求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的迭代過(guò)程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬曹棥＃╔）.數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長(zhǎng)。（J）.海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（X）.拉格朗日乘子法師求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的一種方法。（X）.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（J）.一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（X）.二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（J）.海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（X）.外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問(wèn)題（X）.變尺度法求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣（X）.梯度法求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的迭代過(guò)程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（J）四、問(wèn)答題.什么是一維搜索問(wèn)題？答：當(dāng)方向dk給定時(shí)，求最佳步長(zhǎng)a就是求一元函數(shù)f（%k+i）=f1xk+adk）=w（a）的極值問(wèn)題，它k k k稱(chēng)為一維搜索。.試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：(1)、試探法：給定的規(guī)定來(lái)確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法(2)、插值法：沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來(lái)函數(shù)的近似值。這種方法稱(chēng)為插值法，又叫函數(shù)逼近法。.共軛梯度法是利用梯度求共軛方向的，那共軛方向與梯度之間有什么關(guān)系？f(X)=1XtGX+bTX+c對(duì)于二次函數(shù)， 2 ，從Xk點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軛方向dk作一維搜索，到達(dá)。(x,r,r)=f(x)+r2^G(g(x))+r￡〃(h(x))Xk+卜點(diǎn)，則Xk+1點(diǎn)處的搜索方向打應(yīng)滿足 12 j, 2k=i k,(gk+i-gk)=0，即終點(diǎn)Xk+1與始點(diǎn)Xk的梯度之差gk+i一gk與dk的共軛方向d正交。.懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的不等式和等式約束優(yōu)化函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)----懲罰函數(shù)，即求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小值，以期得到原問(wèn)題的約束最優(yōu)解。.與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)。答：牛頓法對(duì)于二次正定函數(shù)只需作一次迭代就得到最優(yōu)解，特別是在極小點(diǎn)附近，收斂性很好、速度快，而最速下降法在極小點(diǎn)附近收斂速度很差。但牛頓法也有缺點(diǎn)，它要求初始點(diǎn)在最優(yōu)點(diǎn)附近，否則牛頓法不能保證其收斂，甚至也不是下降方向。因此，變尺度法就是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計(jì)算量、存儲(chǔ)量大的特點(diǎn)基礎(chǔ)上而發(fā)展起來(lái)。.試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過(guò)反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長(zhǎng)因子的近似值..寫(xiě)出應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義，并說(shuō)明迭代公式的意義。X1=x0+a0d0.答：意義是從X0出發(fā)沿某一規(guī)定方向d0求函數(shù)的極值點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為X1，再?gòu)腦1出發(fā)沿d1方向求函數(shù)的極值點(diǎn)X2,如此繼續(xù)。.變尺度矩陣的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點(diǎn)處逼近什么矩陣？并寫(xiě)出其初始形式。答：搜索方向是擬牛頓方向S(0)=-A(0)Vf(X(k))，條件：(1)為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求變尺度矩陣中的每一個(gè)矩陣都是對(duì)稱(chēng)正定的。(2)要求矩陣之間具有簡(jiǎn)單的形式:Hk+i=Hk+Eko(3)要求矩陣必須滿足擬牛頓條件。變尺度矩陣在極小點(diǎn)處逼近海塞矩陣的逆矩陣。初始形式Hk=I(單位矩陣)。.在變尺度法中，變尺度矩陣Hk為什么要求都是正定對(duì)稱(chēng)的？答：因?yàn)槿粢笏阉鞣较?=-Hg為下降方向，即要求g：dk<0，也就是一gT^gk<0，這樣gTHkgk>0,即Hk應(yīng)為對(duì)稱(chēng)正定。.什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？答：共軛方向是若干個(gè)方向矢量組成的方向組，具有某種共同的性質(zhì)，之間存在特定的關(guān)系。存在矩陣H,,一dd ，一d1T ,一d,一d一，, , , 、, 、 、一，向量d1，d2，當(dāng)滿足 Hd2=0，向量d1和向量d2是關(guān)于H共軛方向。共軛是正交的推廣，正交是共軛的特例。.請(qǐng)寫(xiě)出應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本步驟。答：(1)編寫(xiě)定義目標(biāo)函數(shù)的M文件 如：functionf=ws331(x)f=1000-x(1)人2-2*x(2)人2-x(3)人2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3)(2)編寫(xiě)定義約束方程函數(shù)的M文件 如：function[c,ceq]=ws332(x)C(小于等于0)=[-x(1);-x(2);-x(3)];Ceq(等于0)=[x(1)人2+x(2)人2+x(3)人2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56];(3)在窗口調(diào)用求解命令求解.。求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],[],[],@con)12.試述求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。.何為優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)？答:可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱(chēng)作可行域。在可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)可以叫做可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。.無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫(xiě)乂文件，functionf=fun1(x)如f=xA4-5*xA3+4*xA2-6*x+60目標(biāo)函數(shù)文件。(2)在命令窗口中調(diào)用無(wú)約束線性函數(shù)fminunc求解。(單變量用fminbnd)求解格式為：x0=[-1,1][x,fval]=fminunc(@fun1,x0)五、解答題.試用牛頓法求fG)=(5—2、+(\—2x)\的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)M。)=12,1"。.設(shè)有函數(shù)f(X)=x2+2x2-2xi七-4q，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。.試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x2+0.5x2-xix2-2%的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[-2,4]，迭代精度8=0.02(迭代一步)。.求目標(biāo)函數(shù)f(X)=x2+2x2+xj2+4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。.試證明函數(shù)f(X)=2x2+/r/