蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《第七章銳角三角函數(shù)》單元測(cè)試卷-附答案

蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第七章銳角三角函數(shù)單元測(cè)試卷一、單選題（共10題；共29分）1.在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，tanA=1，sinB=22A.

等腰三角形

B.

等腰直角三角形

C.

直角三角形

D.

銳角三角形B【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值解：由題意得：∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°．故B．

【分析】由特殊角的銳角三角函數(shù)值可得∠A=45°，∠B=45°，再由三角形內(nèi)角和定理可得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=90°。2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，則sinB=ACAB=（

）

A.

35

B.

45

C.

37

D.

3A【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，

∴AB=5，

∴sinB=ACAB=35，

故A．3.游客上歌樂山山有兩種方式：一種是如圖，先從A沿登山步道走到B，再沿索道乘座纜車到C，另一種是沿著盤山公路開車上山到C，已知在A處觀鍘到C，得仰角∠CAD=3l°，且A、B的水平距離AE=430米，A、B的豎直距離BE=210米，索道BC的坡度i=1：1.5，CD⊥AD于D，BF⊥CD于F，則山篙CD為（

）米；（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.6．cos3l°≈0.9）A.

680

B.

690

C.

686

D.

693B【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題解：∵索道BC的坡度i=1：1.5，∴CF：BF=1：1.5，

設(shè)CF=x，則BF=1.5x，

∵∠CAD=3l°，且A、B的水平距離AE=430米，A、B的豎直距離BE=210米，

∴tan∠CAD=CDAD=x+210430+1.5x，

∵tan31°≈0.6，

∴x+210430+1.5x4.若α是銳角，tanα?tan50°=1，則α的值為（

）A.

20°

B.

30°

C.

40°

D.

50°C【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系解：∵tanα?tan50°=1∴α+50°=90°

∴α=40°．

故選C．

【分析】互為余角的兩個(gè)角的正切值互為倒數(shù)．5.某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角∠ACB的余弦值為45，則坡面AC的長(zhǎng)度為（）

A.

8

B.

9

C.

10

D.

12C【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題【分析】在Rt△ABC中，通過已知邊和已知角的余弦值，即可計(jì)算出未知邊AC的長(zhǎng)度．由在Rt△ABC中，cos∠ACB=BCAC=45，

設(shè)BC=4x，AC=5x，

則AB=3x，

則sin∠ACB=ABAC=36.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，點(diǎn)M，N分別在AB，AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2，則sin∠MCN=（

）A.

3313

B.

3314

C.

35

D.

B【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，

連接MN，連接AC，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°

在Rt△ABC與Rt△ADC中，

{AB=ADAC=AC，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），

∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，

∴BC=12AC，

∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，

3BC2=AB2，

∴BC=23，

在Rt△BMC中，CM=BM2+BC2=27，

∵AN=AM，∠MAN=60°，

∴△MAN是等邊三角形，

∴MN=AM=AN=2，

過M點(diǎn)作ME⊥CN于E，設(shè)NE=x，則CE=27﹣x，

∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（27）2﹣（27﹣x）2，

解得：x=77，

∴EC=27﹣77=1377，

由勾股定理得：ME=MC2?CE2=7.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB=35A.

45

B.

35

C.

3A【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系解：

∵sin2B+cos2B=1，cosB=35，

∴sin2B=1﹣（35）2=1625，

∵∠B為銳角，

∴sinB=45，

故選A．

【分析】根據(jù)sin2B+cos28.如圖，在反比例函數(shù)y=32x的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=kxA.

﹣3

B.

﹣6

C.

﹣9

D.

﹣12B【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解：如圖，連接OC，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，∵由直線AB與反比例函數(shù)y=32x的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，

∴AO=BO．

又∵AC=BC，

∴CO⊥AB．

∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，

∴∠AOE=∠COF，

又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，

∴△AOE∽△COF，

∴AECF=OEOF=AOCO，

∵tan∠CAB=OCOA=2，

∴CF=2AE，OF=2OE．

又∵AE?OE=32，CF?OF=|k|，

∴k=±6．

∵點(diǎn)C在第二象限，

∴k=﹣6，9.如圖，小敏同學(xué)想測(cè)量一棵大樹的高度．她站在B處仰望樹頂，測(cè)得仰角為30°，再往大樹的方向前進(jìn)4m，測(cè)得仰角為60°，已知小敏同學(xué)身高（AB）為1.6m，則這棵樹的高度為（）（結(jié)果精確到0.1m，≈1.73）．

A.

3.5m

B.

3.6m

C.

4.3m

D.

5.1m.D【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題設(shè)CD=x，

在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，

則tan30°=CD：AD=x：AD

故AD=x，

在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，

則tan60°=CD：ED=x：ED

故ED=x，

由題意得，AD-ED=x-x=4，

解得：x=2，

則這棵樹的高度=2+1.6≈5.1m．

故選D.

【分析】設(shè)CD=x，在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CED中求出ED，再由AE=4m，可求出x的值，再由樹高=CD+FD即可得出答案．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，然后再向下平移2個(gè)單位，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（

）A.

（﹣4，﹣2﹣3）

B.

（﹣4，﹣2+3）

C.

（﹣2，﹣2+3）

D.

（﹣2，﹣2﹣3）D【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義，作圖﹣旋轉(zhuǎn)解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后所得△A1BC1，如圖所示．∵AC=2，∠ABC=30°，∴BC=4，∴AB=23，∴AD=AB?ACBC=23×24=3，∴BD=AB2BC=（23）24=3．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3【分析】因本題要求點(diǎn)A′的坐標(biāo)，所以要求出A1D1和OD1的長(zhǎng)度，那我們求出AD和OD的長(zhǎng)度即可。首先，根據(jù)已知題意作出旋轉(zhuǎn)圖形△A1BC1；然后根據(jù)面積相等法求出AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，即可得到A1的坐標(biāo)：最后再根據(jù)題意向下平移2個(gè)單位即可。二、填空題（共10題；共33分）11.已知α、β均為銳角，且滿足|sinα﹣12|+(tanβ?1)2=0，則75°【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根，絕對(duì)值的非負(fù)性由已知sinα-12=0，tanβ-1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0可得這兩個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0可得，sinα-

12=0，tanβ-1=0，sinα=12，tanβ=1，由特殊角的三角函數(shù)值可得α=30°，β=45°，故，α12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分別是∠A、∠B的對(duì)邊，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于________．2：3【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分別是∠A、∠B的對(duì)邊，c為∠C對(duì)的邊，∴sinA=ac，sinB=bc，

∵sinA：sinB=2：3，

∴ac：bc=2：3，

∴a：b=2：3．

故答案為2：3．

【分析】根據(jù)正弦的定義得到sinA=ac，sinB=b13.如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，AB=5，AC=3，則tan∠ADC=________．

34【考點(diǎn)】圓周角定理，解直角三角形解：∵AB是直徑，AB=5，AC=3，∴BC=AB2?AC2=4，∴tan∠ADC=tan∠B=ACBC=34．故3414.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA=13223；2【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)的關(guān)系，互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系解：如圖，∵∠C=90°，sinA=13，∴sinC=BCAB=13，

設(shè)BC=x，則AB=3x，

∴AC=AB2?BC2=22x，

∴cosA=ACAB=22x3x=223，

tanB=ACBC=2215.趙亮同學(xué)想利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，他在某一時(shí)刻立1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為1.2米，同時(shí)旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測(cè)得其長(zhǎng)度為9.6米和2米，則學(xué)校旗桿的高度為________米．

10【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用解：1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為1.2米，即某一時(shí)刻實(shí)際高度和影長(zhǎng)之比為定值11.2，所以墻上的2米投射到地面上實(shí)際為2.4米，即旗桿影長(zhǎng)為12米，因此旗桿總高度為10米．

16.已知一條長(zhǎng)度為10米的斜坡兩端的垂直高度差為6米，那么該斜坡的坡角度數(shù)約為________（備用數(shù)據(jù)：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）37°【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題解：斜坡的坡角的正弦值為：610則斜坡的坡角度數(shù)約為37°，故37°．【分析】根據(jù)解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度數(shù).17.已知菱形的邊長(zhǎng)為3，一個(gè)內(nèi)角為60°，則該菱形的面積是________．93【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義解：如圖所示：連接AC，過點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，

∵菱形的邊長(zhǎng)為3，

∴AB=BC=3，

∵有一個(gè)內(nèi)角是60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AM=ABsin60°=332.

∴此菱形的面積為：3×332=918.小明乘滑草車沿坡比為1：2.4的斜坡下滑130米，則他下降的高度為________

米．50【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用解：∵坡比為1：2.4，

∴BC：AC=1：2.4，

設(shè)BC=x，AC=2.4x，

則AB=AC2+BC2=x2+2.4x2=2.6x，

∵AB=130米，

19.如圖，若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAC=∠PCB=∠PBA，則稱點(diǎn)P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，三角形的布羅卡爾點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被數(shù)學(xué)愛好者法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名，布羅卡爾點(diǎn)的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn)，若PA=3，則PB+PC=________．

1+33【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義作CH⊥AB于H．

∵CA=CB，CH⊥AB，∠ACB=120°，

∴AH=BH，∠ACH=∠BCH=60°，∠CAB=∠CBA=30°，

∴AB=2BH=2?BC?cos30°=3BC，

∵∠PAC=∠PCB=∠PBA，

∴∠PAB=∠PBC，

∴△PAB∽△PBC，

∴PAPB=PBPC=ABBC=3，

∵PA=3，

∴PB=1，PC=33，

∴PB+PC=1+33．20.（貴港）如圖，點(diǎn)P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6，PA=8，PB=10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，連接AP'，則sin∠PAP'的值為________．35【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解：連接PP′，如圖，∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P'C，

∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，

∴△CPP′為等邊三角形，

∴PP′=PC=6，

∵△ABC為等邊三角形，

∴CB=CA，∠ACB=60°，

∴∠PCB=∠P′CA，

在△PCB和△P′CA中

{PC=P'C∠PCB=∠P'CACB=CA，

∴△PCB≌△P′CA，

∴PB=P′A=10，

∵62+82=102，

∴PP′2+AP2=P′A2，

∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，

∴sin∠PAP′=PP'P'A=610=35．

故答案為三、解答題（共8題；共58分）21.（深圳）計(jì)算|2解：原式=2-2-2×22+1+22.

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的絕對(duì)值【分析】根據(jù)二次根式，負(fù)指數(shù)冪，絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值等性質(zhì)計(jì)算即可得出答案.22.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向的B處，求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離．（參考數(shù)據(jù)：6≈2.449，結(jié)果保留整數(shù)）

解：作PC⊥AB交于C點(diǎn)，

由題意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．

在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=403（海里）．

在Rt△PCB中，PB=PCcos∠BPC=40【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題【分析】構(gòu)造直角三角形，作PC⊥AB交于C點(diǎn)；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，則根據(jù)解直角三角形的知識(shí)解答即可．23.（恩施州）如圖，小明家在學(xué)校O的北偏東60°方向，距離學(xué)校80米的A處，小華家在學(xué)校O的南偏東45°方向的B處，小華家在小明家的正南方向，求小華家到學(xué)校的距離．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）

解：由題意可知：作OC⊥AB于C，

∠ACO=∠BCO=90°，∠AOC=30°，∠BOC=45°．

在Rt△ACO中，

∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，

∴AC=12AO=40m，OC=3AC=403m．

在Rt△BOC中，

∵∠BCO=90°，∠BOC=45°，

∴BC=OC=403m．

∴OB=OC2+BC2【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題【分析】作OC⊥AB于C，由已知可得△ABO中∠A=60°，∠B=45°且OA=80m，要求OB的長(zhǎng)，可以先求出OC和BC的長(zhǎng)．24.如圖，某湖心島上有一亭子A，在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹B，在這個(gè)湖心島的湖邊C處測(cè)得亭子A在北偏西45°方向上，測(cè)得樹B在北偏東36°方向上，又測(cè)得B、C之間的距離等于200米，求A、B之間的距離（結(jié)果精確到1米）．

（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，解：過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，

由題意，得∠ACH=45°,∠BCH=36°,BC=200，

在Rt△BHC中，sin∠BCH=BHBC,

∴sin36°=BH200

，

∵sin36°≈0.588，

∴BH≈117.6

，

又cos∠BCH=HCBC，

∴cos36°=HC200，

∵cos36°≈0.809，

∴HC≈161.8

在Rt△AHC中，tan∠ACH=AHHC

∵∠ACH=45°

∴AH=HC

∴AH≈161.8

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，

在Rt△BHC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出BH的值，由余弦函數(shù)得出HC的值，在Rt△AHC中，根據(jù)正切函數(shù)得出AH=HC，從而根據(jù)線段的和差得出AB的值，即A、B之間的距離。25.某海船以(23解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.因?yàn)椤螹AB=40°，∠MAC=70°，所以∠BAC=70°-40°=30°，又因?yàn)椤螻CB=65°，∠NCA=180°-70°=110°，所以∠ACB=45°，所以DB=CD，AD=3BD設(shè)CD=x，則BD=x，AD=3x所以3x+x=5×(2所以BC=102此時(shí)燈塔B到C處的距離是102【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)特殊角的函數(shù)值，表示出邊長(zhǎng)，然后根據(jù)BD+AD=路程，求出BC的長(zhǎng)度。26.（泰州）如圖，地面上兩個(gè)村莊C、D處于同一水平線上，一飛行器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿MN方向水平飛行，航線MN與C、D在同一鉛直平面內(nèi)．當(dāng)該飛行器飛行至村莊C的正上方A處時(shí)，測(cè)得∠NAD=60°；該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí)，測(cè)得∠ABD=75°．求村莊C、D間的距離（3取1.73，結(jié)果精確到0.1千米）解：過B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，

∴∠ADB=45°，

∵AB=6×=4，

∴AE=2．BE=2，

∴DE=BE=2，

∴AD=2+2，

∵∠C=90，∠CAD=30°，

∴CD=AD=1+≈2.7千米．

【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【分析】過B作BE⊥AD于E，三角形的內(nèi)角和得到∠ADB=45°，根據(jù)直角三角形的性