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文檔簡介

近世代數(shù)第二章群論§9群同態(tài)、同構(gòu)10/10/一、定義1若存在群到群同態(tài)滿射，則稱群與群同態(tài)；

若存在群到群同構(gòu)映射，則稱群與群同構(gòu).

假定是集合到一個滿射，，稱為在之下象；，稱為在之下逆象.為10/10/二、群同態(tài)性質(zhì)群與同態(tài)，是到同態(tài)滿射，則(1)(2)(3)(4)(5)定理1(6)是循環(huán)群，則也是循環(huán)群.10/10/定理2兩個代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)，與若是群，則也是群.證實(shí)：，是群，有結(jié)合律，則也有結(jié)合律；是同態(tài)滿射，有是左單位元；是左逆元也是群.10/10/例1證實(shí)關(guān)于做成群.證實(shí)：取是到同態(tài)滿射，而是群，所以是群.10/10/例2是到同態(tài)滿射，{全體正負(fù)奇數(shù)}，代數(shù)運(yùn)算均為數(shù)普通乘法正奇數(shù)1負(fù)奇數(shù)-1是群，而不是群.10/10/三、同態(tài)核思索題1：，，那么例1

與

同態(tài)10/10/定義3設(shè)是群到群同態(tài)映射,是單位元.稱在中全部核,記作逆象組成集合為同態(tài)映射例3是到同態(tài)映射{全體偶數(shù)}10/10/引理1若是群到群同態(tài)映射是單射，則證實(shí)：而是單射若，則是單射.10/10/引理2若是群到群同態(tài)滿射，則證實(shí)：10/10/四、群同態(tài)基本定理定理3群同它每個商群定義4稱群到商群同態(tài)滿射為自然同態(tài).同態(tài).到注：10/10/定理4（群同態(tài)基本定理）群與同態(tài)，是到滿射，則同態(tài)證實(shí)：取10/10/說明：定理3說明任何群都同它商群同態(tài)；同另一個群同態(tài)，在同構(gòu)意義下是一個商群.定理4說明一個群則這個群所以，在同構(gòu)意義下，定理3與定理4意思是：每個群能而且只能同它商群同態(tài).10/10/推論1：設(shè)與是有限群，且，則推論2：循環(huán)群商群也是循環(huán)群.整除10/10/五、群同構(gòu)定理定理5設(shè)是群

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