理論力學(xué) 學(xué)習(xí)指南

第一章基本概念及基本原理[學(xué)習(xí)要求]一、熟悉力、力矩、力偶等基本概念及其基本性質(zhì)，能熟練地計算力的投影、力對點的矩和力對軸地矩。二、熟悉各種常見約束的性質(zhì)，對單個物體及物體系統(tǒng)，能熟練地取分離體并畫出受力圖。三、熟悉將工程實際問題抽象成為力學(xué)模型的方法，能將簡單的工程問題作成計算簡圖。[內(nèi)容要點]一、力的概念1.力是物體間的相互機械作用，這種作用使物體的運動狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產(chǎn)生變形。在剛體靜力學(xué)里，力是滑動矢量。作用于物體的若干個力，總稱為力系。2.共點的兩個力可以合成為一個合力，合力等于這兩個力的矢量和。用矢量方程表示為(1-1)3.一個力可以分解成兩個或兩個以上的分力。最常用的是將一個力分解成為沿直角坐標軸的分力。即(1-2)其中是沿坐標軸正向的單位矢量，Ｆｘ、Ｆｙ、Ｆｚ分別是力在ｘ、ｙ、ｚ軸上的投影。4.力在任一軸上的投影。設(shè)有一軸ξ，沿該軸正向的單位矢量為ｎ，則力Ｆ在ξ軸上的投影為＝Ｆ·ｎ。(1-3)又設(shè)ｎ在坐標系Oxy中的方向余弦為、、，則(1-4)二、力矩與力偶力對一點的矩在空間力系問題里，力對一點的矩應(yīng)作為矢量。力Ｆ對Ｏ點的矩用矢積Ｍo（Ｆ）=ｒ×Ｆ來表示，即(1-5)就是說，一個力對于任一點的矩等于該力作用點對于矩心的矢徑與該力的矢積。

如過矩心Ｏ取直角坐標系oｘｙｚ，并設(shè)力Ｆ的作用點Ａ的坐標為（ｘ，ｙ，ｚ），如圖1－1，則式（1－5）可表示為(1-6)或者用行列式表示為(1-7)圖1－1力對一點的矩的矢積表示對于平面力系問題，取各力所在平面為ｘｙ面，則任一力的作用點坐標ｚ＝０，力在ｚ軸上的投影Fz＝０，于是公式（1－6）及（1－7）退化成為只與ｋ相關(guān)的一項。這時，將Ｆ對Ｏ點的矩作為代數(shù)量，就得到(1-8)2.力對一軸的矩一個力對于某一軸的矩等于這個力在垂直于該軸的平面上的投影對于該軸與該平面的交點的矩。于是得到，在下面兩種情況下力對于一軸的矩等于零：力與矩軸平行。力與矩軸相交。這兩種情況，也可以用一個條件來表示：力與矩軸在同一平面內(nèi)。力對一軸的矩也可以用力在直角坐標軸上的投影及其作用點的坐標來計算,有

(1-9)3.力對點的矩與對軸的矩的關(guān)系一個力對于一點的矩在經(jīng)過該點的任一軸上的投影等于該力對于該軸的矩。設(shè)有通過坐標原點Ｏ的任一軸ξ，沿該軸的單位矢量ｎ在坐標系oxyz中的方向余弦為、、，則(1-10)4.力偶的性質(zhì)力學(xué)上把大小相等、方向相反、作用線不同的兩個力作為一個整體來考慮，稱為力偶。力偶具有以下性質(zhì)：(1)力偶沒有合力，即不能用一個力代替，因而也不能和一個力平衡。(2)力偶對于任一點的矩就等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)。(3)力偶矩相等的兩力偶等效。據(jù)此，又可得到以下推論：（a）只要力偶矩保持不變，力偶可在其作用面內(nèi)及彼此平行的平面內(nèi)任意搬動而不改變其對物體的效應(yīng)。（b）只要力偶矩保持不變，可將力偶的力和臂作相應(yīng)的改變而不致改變其對物體的效應(yīng)。力偶矩是自由矢量。三、約束與約束反力阻礙物體運動的周圍物體稱為約束。確定約束力方向的原則是：約束力的方向總是與約束所能阻止的運動方向相反。1.柔索柔索給予所系物體的約束力作用于接觸點，方向沿柔索中心線而背離物體。2.光滑接觸面光滑接觸面的約束力通過接觸點，沿接觸面在該點的公法線，并為壓力（指向物體內(nèi)部）。3.固定鉸支座固定鉸支座的約束力在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)，通過銷釘中心，方向不定。通常用兩個互相垂直的力表示。4.鉸連接鉸連接處的約束力通常表示為兩個互相垂直的力。5.活動鉸支座或輥軸支座輥軸支座的約束力通過銷釘中心，垂直于支承面，指向不定(即可能是壓力或拉力)。6.連桿連桿的約束力沿著連桿中心線，但指向不定。7.滑移支座滑移支座的約束力可表示為垂直于支承面方向的一個力和一個力偶。8.球鉸支座球鉸支座的約束力通過球心，可取空間任何方向，可用三個相互垂直的分力來表示。9.徑向軸承其約束力可用垂直于軸線的兩個相互垂直的分力表示。10.止推軸承與徑向軸承相比，其約束力增加了沿軸線方向的分力。11.固定支座或固定端平面固定支座的約束力為一個方向未定的力和一個力偶?？臻g固定支座的約束力為空間內(nèi)一個方向未定的力和方向未定的力偶矩矢。12.固定連接固定連接對桿端的約束力和固定支座的約束力相同。四、計算簡圖和示力圖1.根據(jù)要求將工程上的結(jié)構(gòu)物或機械適當(dāng)簡化，以抽象成為合理的力學(xué)模型，將這力學(xué)模型用圖形表示出來，所得圖形就叫做計算簡圖。2.將一個實際問題抽象成為力學(xué)模型并做成計算簡圖時，一般須從三方面加以簡化：構(gòu)件尺寸、荷載(力)和約束。3.將所要考察的物體單獨取出來，并畫上別的物體作用于它的力(包括主動力和約束力)，這樣構(gòu)成的圖形稱為示力圖或受力圖。[復(fù)習(xí)討論題]1–1多跨梁如圖1–1（a）所示。D、E為鉸鏈，在D鉸鏈上作用一鉛直垂向下的集中力F1，K處作用一水平向右的集中力F2，梁上LK段作用著集中度為q的分布荷載。AH=HD=CK=EK=LE=LD=a。不計各構(gòu)件的自重。試繪制整體及各構(gòu)件的受力圖。 解思路：在作受力分析時，首先要觀察清楚結(jié)構(gòu)中的各種約束。本題中有三種約束，它們是：固定鉸支座A、C，圓柱鉸鏈D、E，和可動鉸支座B。嚴格按照約束的類型解除約束，畫出相應(yīng)的約束反力。 (1)選取整體為研究對象，解除A、B、C三處的約束，注意AC兩處為固定鉸支座，其約束反力可以用兩個正交分力表示，而B處為一可動鉸支座，只能提供一個鉛直方向的約束反力。受力分析結(jié)果如圖1–1（b）所示；(2)解除D、E兩處的鉸鏈約束，將整體拆分為三個研究對象，AD、DBE、ECK。并將D鉸鏈中的銷釘帶在DBE上，因此集中力F1就作用在DBE上，分布荷載隨著結(jié)構(gòu)從E處拆開也分為兩部分，它們分別作用在DBE的LE段和ECK的EK段。應(yīng)特別注意到：D、E處的圓柱鉸鏈的約束反力在不同的研究對象上畫出時，它們的方向要滿足作用與反作用定律。受力分析結(jié)果如圖1–1（c）、（d）、（e）所示。圖1–11–2圖1–2（a）所示構(gòu)架由三根桿子和一個滑輪鉸接而成。今在AB桿的下端B作用一水平力F，跨過滑輪的繩索上掛一重量為G的物塊。不計摩擦及各構(gòu)件的自重，試繪制整體及各構(gòu)件的受力圖。圖1–21–3平面承重結(jié)構(gòu)如圖1–3所示。不計各構(gòu)件的自重，試繪制出每一構(gòu)件及整體的受力圖。1–4平面結(jié)構(gòu)如圖1–4所示，不計各構(gòu)件的自重，試繪制出各構(gòu)件及整體的受力圖。 圖1–3 圖1–41–5畫出圖1–5示各題中各構(gòu)件及整體的受力圖，銷釘A（銷釘A穿透各構(gòu)件）的受力圖。未畫重力的物體的重量不計，（d）圖中B、D處為光滑接觸。圖1–5第二章力系的簡化[學(xué)習(xí)要求]一、熟悉力系的分類及各種力系的特點。二、熟悉力的平移定理，掌握共平面的力與力偶的合成方法。三、掌握各種類型力系的簡化方法，熟悉簡化結(jié)果；能熟練地計算力系的主矢量和主矩。四、熟悉重心和形心的概念，掌握計算物體重心和形心的各種方法。五、熟悉平行分布力簡化得出的結(jié)論，掌握簡單的平行分布力的簡化方法。[內(nèi)容要點]一、力的平移定理：作用在剛體上的力，可以等效地平移到剛體上任一指定點，但必須同時在該力與指定點所確定的平面內(nèi)附加一個力偶，該附加力偶的力偶矩等于原力對指定點的力矩。力的平移定理是力系簡化的基礎(chǔ)。二、根據(jù)力的平移定理的逆過程可知，共面的一個力和一個力偶總可以合成為一個力，此力的大小和方向與原力相同，但它的作用線卻要相距一定的距離。三、匯交力系的簡化1.匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，它等于原力系各力的矢量和，合力作用線通過力系匯交點。以表示匯交力系的合力，則（2－1）2.匯交力系合成的解析計算取直角坐標系，各力用解析式表示為代入（2－２）式可得單位矢量ｉ，ｊ,ｋ前面的系數(shù)就是合力在三個坐標軸上的投影，于是得到(2-2)(2-3)四、力偶系的簡化1．力偶系合成的結(jié)果是一個合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的矢量和。即(2-4)力偶系合成的解析計算取直角坐標系，則有其中、、及、、分別是及在、、軸上的投影。于是得到（2-5）而合力偶的大小及方向余弦為(2-6)五、任意力系的簡化１.空間任意力系向一點簡化空間任意力系向一點（簡化中心）簡化的結(jié)果一般是一個力和一個力偶，這個力作用于簡化中心，等于原力系中所有各力的矢量和，稱為原力系的主矢量；這個力偶的矩等于原力系中所有各力對于簡化中心的矩的矢量和，稱為原力系對于簡化中心的主矩。即有(2–7)(2－8)由式(2–7)、(2－8)可見，一個力系的主矢量是一常量，與簡化中心位置無關(guān)；而力系對于簡化中心的主矩一般隨簡化中心位置的不同而改變。對于不同的兩個簡化中心及，力系對于它們的主矩之間存在如下的關(guān)系：(2－11)其中及分別是力系對于及的主矩，是由引向的矢徑，而是作用于的力對于的矩。2．空間任意力系主矢量和主矩的解析計算過簡化中心取直角坐標系，得到(2-12)而的大小及方向余弦為(2–13)（2－14）主矩Ｍo的大小及方向余弦為(2–15)3．平面任意力系的簡化平面任意力系向一點簡化得到的主矢量和主矩，由下式計算：(2–16)位于平面內(nèi)，即原力系所在的平面內(nèi)，而垂直于該平面，與互相垂直。對平面任意力系問題，力系的主矩可用代數(shù)式計算：(2–17)4．任意力系簡化結(jié)果討論空間任意力系向一點簡化，得到的一般結(jié)果是一個力和一個力偶。但這并不是最后的或最簡單的結(jié)果，還須區(qū)別幾種可能的情形，作進一步的探討。圖2－１８共面的一個力和一個力偶（１）若＝０，≠０，則原力系簡化為一個力偶，力偶矩等于原力系對于簡化中心的主矩。在這種情況下，主矩（即力偶矩）將不因簡化中心位置的不同而改變。（２）若≠０，≠０，而⊥，表明所代表的力偶與在同一平面內(nèi)，于是可進一步簡化為作用于Ｏ′點的一個合力，如圖2－１８所示。對于空間平行力系、平面任意力系和平面平行力系，當(dāng)和都不等于零時，總是垂直于，所以必能簡化成為一個合力。（３）若≠０，≠０，且與不相垂直，如圖2－19（ａ），則可用下述方法進一步簡化。將分解成垂直于的和平行于的。因所代表的力偶與力位于同一平面（⊥）內(nèi)，可合成為作用于在平面內(nèi)的另一點Ｏ′的一個力。再將平移到Ｏ′與重合，如圖2－19(ｂ)。這時，所代表的力偶位于與垂直的平面內(nèi)，成為如圖2－19(ｃ)所示的情況。這樣的一個力和一個力偶稱為力螺旋，而且，在與力作用線相重合的直線上的所有各點，主矢量和主矩都是和。直線稱為原力系的中心軸。如與同方向，如圖2－１９(ｂ)，則稱為右手螺旋；如與方向相反，則稱為左手螺旋。圖2－１９力螺旋

六、空間任意力系的合力矩定理若空間任意力系可簡化成為一個合力，則合力對任一點（或軸）的矩等于原力系各力對同一點（或軸）的矩的矢量和（或代數(shù)和）。這一結(jié)論稱為合力矩定理。七、重心和形心1.重心由式(2-18)確定的一點C稱為物體的重心，即(2-18)將上式兩邊投影到ｘ、ｙ、ｚ軸上，得(2–19)其中，，及，，分別是及重心Ｃ的位置坐標。2．形心如果物體是均質(zhì)的，由式(2-19)可得(2-20)或(2-21)顯然，均質(zhì)物體的重心就是幾何形體的中心，即形心。3.確定物體重心的方法(1).簡單幾何形體凡具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心的均質(zhì)物體（或幾何形體），其重心(或形心)必定在對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ中心上。(2).組合形體較復(fù)雜的形體，往往可以看作幾個簡單形體的組合,而簡單形體的重心是已知的，那么整個物體的重心即可由式(2-19)求出。如果一個復(fù)雜的形體不能分成簡單形體，則可用負面積法或?qū)嶒灧椒ㄇ笃渲匦模ɑ蛐涡模０?、平行分布力的簡?.沿平面曲線(或直線)分布的平行分布力的合力的大小等于荷載圖的面積，合力通過荷載圖面積的形心。2.平行分布的面力的合力的大小等于荷載圖的體積，合力通過荷載圖體積的形心。[復(fù)習(xí)討論題]2–1力F沿長方體的對頂線AB作用如圖2–1（a）所示。試求該力對EC軸及CD軸之矩。已知：F=1kN，a=18cm，b=c=10cm。解思路：在空間力系情況下，計算力對軸之矩的方法較多，應(yīng)針對具體問題選用。 解法一利用力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系定理來計算。由于CD軸和CE軸均過C點，因此可以先計算力對C點之矩，再將其分別向CD軸和CE軸投影來求解。先將力F分解為沿坐標軸的三個分力如圖2–1（b）所示，其中有代入數(shù)據(jù)可計算出計算力對過C點的三根正交軸之矩，因為有所以力對C點之矩為根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關(guān)系定理有 解法二由力對軸之矩的定義計算。（略）第三章力系的平衡[學(xué)習(xí)要求]一、熟悉各種力系的平衡條件；熟悉靜定與超靜定的概念，能區(qū)分簡單的靜定和超靜定問題。二、能應(yīng)用各種類型力系的平衡條件和平衡方程求解單個物體和簡單物體系統(tǒng)的平衡問題。對平面任意力系的平衡問題，能熟練地選取分離體和應(yīng)用各種形式的平衡方程求解。[內(nèi)容要點]一、匯交力系的平衡匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系的合力等于零，即＝０，亦即（3-1）上式等價于以下三個代數(shù)方程：∑＝０，∑＝０，∑＝０（3－２）即力系中各力在、、三軸中的每一軸上的投影之代數(shù)和均等于零。這三個方程稱為匯交力系的平衡方程。若不平行的三個力成平衡，則三力作用線必匯交于一點。這就是所謂的三力平衡定理。二、力偶系的平衡空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩等于零，即力偶系中所有力偶矩的矢量和等于零，亦即（3-3）將這條件表示為代數(shù)方程，得∑＝０，∑＝０，∑＝０（3－4）即力偶系中各力偶矩在、、三軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和均等于零。對于平面力偶系，取力偶所在平面為平面，則≡０，≡０，≡，而方程（3－５）退化為（3－5） 三、任意力系的平衡1.空間任意力系的平衡空間任意力系成平衡的必要與充分條件是力系的主矢量與力系對于任一點的主矩都等于零，即＝０，＝０（3－6）上述條件可用代數(shù)方程表為（3－7）這六個方程就是空間任意力系的平衡方程。它們表示：力系中所有的力在三個直角坐標軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，所有的力對于每一軸的矩的代數(shù)和等于零。對于空間平行力系，令軸平行于各力，則∑≡０，∑≡０，∑≡０。因而空間平行力系的平衡方程成為，＝０，＝０（3－8）還須說明，方程（3－7）雖然是由直角坐標系導(dǎo)出的，但在解答具體問題時，不一定使三個投影軸或矩軸相互垂直，也沒有必要使矩軸和投影軸重合，而可以分別選取適宜軸線為投影軸或矩軸，使每一平衡方程中包含的未知數(shù)量最少，以簡化計算。此外，有時為了方便，也可減少平衡方程中的投影方程，而增加力矩方程。如取二個投影方程和四個力矩方程(四力矩形式)，或取一個投影方程和五個力矩方程(五力矩形式)，或全部取六個力矩方程(六力矩形式)，而(3－7)式稱為平衡方程的基本形式。不管采用何種平衡方程的形式，最多只能有六個獨立的平衡方程且與空間任意力系平衡的充分與必要條件等價。2.平面任意力系的平衡平面任意力系平衡的充分與必要條件也是力系的主矢量和力系對任一點的主矩都等于零，即＝０，＝０設(shè)力系所在平面為Oｘｙ坐標面，則平衡方程為（3－9）即力系中各力在兩個直角坐標軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和都等于零，所有各力對于任一點的矩的代數(shù)和等于零。方程（3－9）稱為平面任意力系的平衡方程，其中前兩個稱為投影方程，后一個稱為力矩方程。這一組方程雖然是根據(jù)直角坐標系導(dǎo)出來的，但在寫投影方程時，可以任取兩個不相平行的軸作為投影軸，而不一定要使兩軸互相垂直，寫力矩方程時，矩心也可以任意選取，而不一定取在兩投影軸的交點。方程（3－9）是平面任意力系平衡方程的基本形式，除了這種形式外，同樣還可將平衡方程表示為二力矩形式或三力矩形式。四、靜定與超靜定問題物體系統(tǒng)的平衡問題1.靜定與超靜定問題如果所考察的問題的未知力數(shù)目恰好等于獨立平衡方程的數(shù)目，那些未知數(shù)就可全部由平衡方程求得，這類問題稱為靜定問題；如果所考察的問題的未知力的數(shù)目多于獨立平衡方程的數(shù)目，僅僅用平衡方程就不能完全求得那些未知力，這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題。物體系統(tǒng)的平衡對于平面力系問題而言，根據(jù)一個物體的平衡，一般可以寫出三個獨立的平衡方程。如果該系統(tǒng)共有ｎ個物體，則共有３ｎ個獨立的平衡方程，可以求解３ｎ個未知數(shù)。在解答物體系統(tǒng)的平衡問題時，也可將整個系統(tǒng)或其中某幾個物體的結(jié)合作為考察對象，以建立平衡方程。但是，對于一個受平面任意力系作用的物體系統(tǒng)來說，不論是就整個系統(tǒng)或其中幾個物體的組合或個別物體寫出的平衡方程，總共只有３ｎ個是獨立的。因為，作用于系統(tǒng)的力滿足３ｎ個平衡方程之后，整個系統(tǒng)或其中的任何一部分必成平衡，因而，多余的方程只是系統(tǒng)成為平衡的必然結(jié)果，而不再是獨立的方程。至于究竟以整個系統(tǒng)或其中的一部分作為考察對象，則應(yīng)根據(jù)具體問題決定，總以平衡方程中包含的未知數(shù)最少，便于求解為原則。需要注意的是，此３ｎ個獨立平衡方程是就每一個物體所受的力都是平面任意力系的情況得出的結(jié)論，如果某一物體所受的力是平面匯交力系或平面平行力系，則平衡方程的數(shù)目也將相應(yīng)減少；如受的力是空間力系，則平衡方程的數(shù)目要增加。[復(fù)習(xí)討論題]3–1已知：P、l、R，各桿與滑輪自重不計；求固定端A處的約束反力。解分析取整體為研究對象，其受力圖如圖3–1（a）所示，共有五個未知約束反力，由整體看，一個未知力也不能求出，但注意到BC為二力桿，若BC桿給AB桿的力已知，則由AB桿可求出A處三個約束反力。而對CD桿（帶著滑輪），受力圖如圖3–1（b）所示，共有三個未知反力，由ΣMD=0，可求出FCB。由AB桿的受力圖3–1（c），可求出A處三個約束反力。這樣，解題思路就已確定。取CD桿（帶著滑輪），其受力圖如圖3–1（b）所示，由得 取AB桿，其受力圖如圖3–1（c）所示，由圖3–1得 由 得 分析對此題，利用3–1（b）求出FDx、FDy，然后由圖3–1（a）求出A處約束反力，工作量也不比上述解法增加許多。 對此題，先由整體，一個未知力也求不出，考慮到二力桿，先利用局部取得突破，從而求出了A處的約束反力。 注意在解題時，要注意二力桿（構(gòu)件）的判斷，若系統(tǒng)中存在二力桿（構(gòu)件）并能準確迅速判斷出來，將給解題帶來方便。3–2均質(zhì)直角三棱柱ABCDEF重F=1500N，∠ABE=30o，在BCEF平面作用一力偶，其力偶矩M=500N·m，由六根無重桿以球鉸鏈連接，如圖3–2所示，a=1，求每根桿受力。解取三棱柱為研究對象，其受力圖如圖3–2（b）所示。圖3–2分析這是一個空間任意力系問題，可以列出六個方程求解六個未知力。若在圖示坐標系下按常規(guī)列基本式平衡方程，則需解較復(fù)雜的聯(lián)立方程，讀者可以一試。但對此題，利用投影方程也好，取矩方程也好，可以列出六個比較簡單的一元一次方程分別求出六個未知力。如，若考慮所有力在y軸投影，則只有力F6在此軸有投影，可得F6=0；所有力對z軸取矩可求F4；所有力對n1軸取矩可求F5；所有力對n2軸取矩可求F3；在求得F5的前提下，所有力對n3軸取矩可求F1；在求得F4的前提下，所有力對x軸取矩可求F2；這樣，用六個一元一次方程而求得六個未知力，從而避開解聯(lián)立方程，由此，解題思路已經(jīng)確定。對圖3–2（b），由得 F6=0由 得 （壓）由 得 （拉）由 得 （壓）由 得 （壓）由 得 （壓）技巧當(dāng)在空間問題中遇到力偶時，若對軸的矩容易計算，則不一定用矢量表示，但當(dāng)對軸的矩難以確定時，則應(yīng)把力偶矩以矢量表示，然后考慮其在軸上的投影。3–3如圖所示構(gòu)架，A、B、C處均為鉸鏈連接，構(gòu)件自重不計，在AB構(gòu)件上作用一矩為M的力偶，求A、C處的約束反力。若將此力偶移至BC構(gòu)件上，再求A、C處的約束反力。在此情況下，力偶能否在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)？力偶對任意點取矩是否還等于力偶矩？3–4由不計自重的桿AB、CD、CE、BF鉸接而成的構(gòu)架上，有一鉛垂力P作用，求支座A與D處的約束反力。 圖3–3 圖3–43–5不計圖示各構(gòu)件的自重，尺寸a及矩為M的力偶已知，求支座A處的約束反力。圖3–53–6不計圖示各構(gòu)件的自重，求支座A和鉸鏈E處的約束反力。3–7不計圖示各構(gòu)件的自重，求支座A、C處的約束反力。 圖3–6 圖3–73–8平面構(gòu)架由AB、BC、CD三桿用鉸鏈B、C連接，其他支承及載荷如圖4–4（a）所示。力G作用在CD桿的中點E。已知G=8kN，q=4kN/m，a=1m，各桿自重不計。試求支座A處的約束反力。3–9平面構(gòu)架如圖所示。A、C、D、E處均為鉸鏈連接，BD桿上的銷釘B置于AC桿的光滑槽內(nèi)，力F=200N，力偶M=100N·m，不計各構(gòu)件重量，AB=BC=0.8m，求A、B、C處所受的力。 圖3–8 圖3–93–10平面機構(gòu)如圖所示，已知：OA=b，，3CE=d，弧形滑道半徑R=b，直角曲桿上作用一力偶M，弧形滑道的D端作用一水平力F。不計摩擦及各構(gòu)件的自重，試求當(dāng)AB恰好通過滑道圓心時（圖示位置），若要使系統(tǒng)平衡，力F與M力偶之間的關(guān)系，以及E、K兩軸承處的約束反力。圖3–103–11一開有圓孔的方形薄板如圖所示。已知：方板的邊長為a=40cm，b=15cm，圓孔的半徑R=10cm，板重量為G=100N，A為一球形鉸鏈，B為一蝶形鉸鏈。CD為柔軟的細繩，θ=30o。薄板位于水平面內(nèi)，試求平衡時作用在A、B鉸鏈和繩上的力。圖3–113–12圖3–12（a）所示為水輪機渦輪轉(zhuǎn)動軸結(jié)構(gòu)。已知大錐齒輪D上受的嚙合反力可分解為：圓周力Ft、軸向力Fa、徑向力Fr；且有比例關(guān)系：Ft:Fa:Fr=1:0.32:0.17；轉(zhuǎn)動所需扭矩Mz=1.2kN·m。轉(zhuǎn)動軸及附件的總重為G=12kN；錐齒輪的平均半徑為DE=r=0.6m，其余尺寸如圖。試求兩軸處的約束反力。圖3–12第四章靜力學(xué)應(yīng)用專題[學(xué)習(xí)要求]一、熟悉桁架結(jié)構(gòu)的受力特點，能用結(jié)點法、截面法計算桿件的內(nèi)力。二、熟悉桁架結(jié)構(gòu)中零桿的判別方法。三、理解滑動摩擦的概念和摩擦力的特征，掌握摩擦力變化規(guī)律和求解有摩擦的平衡問題。四、能求解考慮滑動摩擦?xí)r簡單的物體系統(tǒng)平衡問題。五、了解滾動摩擦的概念。[內(nèi)容要點]一、桁架1.桁架結(jié)構(gòu)的基本假設(shè)：（１）桿端用光滑鉸連接，鉸的中心就是結(jié)點的位置，各桿的軸線都通過結(jié)點。（２）所有外力（包括荷載和支座反力）都集中作用于結(jié)點。如需計算桿件自重，亦將桿件自重平均分配到兩端結(jié)點上。對于平面桁架，還假設(shè)所有荷載都在各桿軸線所在的平面內(nèi)。

2.桁架內(nèi)力分析的結(jié)點法結(jié)點法就是假想將某一結(jié)點周圍的桿件截斷，取該結(jié)點（包括被截斷的桿件）作為考察對象。該部分在外力和被割斷的那些桿件的內(nèi)力作用下保持平衡。那些外力和桿件內(nèi)力組成一平衡的匯交力系（對于平面桁架，為平面匯交力系；對于空間桁架，為空間匯交力系），由平衡條件可以求出未知的桿件內(nèi)力。對桁架的所有結(jié)點逐個進行考察，便可求得所有桿件的內(nèi)力。3.根據(jù)觀察判定零桿判斷平面桁架零桿的準則是：（1）如果某一結(jié)點有三根桿件相交，其中兩根在一直線上，且該結(jié)點不受外力作用，則第三根桿件（不必一定與另兩根桿件垂直）必為零桿。(2)如一結(jié)點只有兩根不共線的桿件，又別無外力，該兩桿件必然都是零桿。判斷空間桁架零桿的準則是：(1)匯交于一節(jié)點的各桿中，除某一桿外，其余各桿都在同一平面內(nèi)，且該節(jié)點不受外力，或者外力也與其余各桿共面，則不共面的那一直桿必為零桿。(2)如果一節(jié)點只有不共面的三根桿件，又別無外力，該三桿都是零桿。4.平面桁架內(nèi)力分析的截面法截面法是用適宜的截面，假想將桁架的某些桿件截斷，取出桁架的一部分(包含兩個及兩個以上結(jié)點)作為考察對象。取出的這一部分在外力和被截斷的桿件的內(nèi)力作用下保持平衡。這些力組成一平衡的任意力系，故可利用任意力系的平衡方程，求解被截斷的桿件中的未知內(nèi)力。因為平面任意力系只有三個獨立的平衡方程，所以對平面桁架被割斷的桿件的未知內(nèi)力一般不應(yīng)超過三個。摩擦及有摩擦的平衡問題1.當(dāng)兩物體接觸處沿著接觸點的公切面有相對滑動或有相對滑動趨勢時，在接觸處的公切面內(nèi)彼此作用著阻礙相對滑動的力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。由于摩擦力阻礙兩物體相對滑動，所以它的方向必與物體相對滑動方向或相對滑動趨勢的方向相反。2.靜摩擦力的大小，由平衡條件決定，但必介于零與極限摩擦力的大小之間，如以表示極限摩擦力的大小，則靜摩擦力的大小的變化范圍為０≤≤3.庫倫摩擦定律極限摩擦力的大小與接觸面之間的法向反力成正比，即＝（４－１）式中比例常數(shù)的量綱為1，稱為靜摩擦因數(shù)。4.物體間有相對滑動時的摩擦力稱為動摩擦力。動摩擦力與法向反力也有與式（４－１）相同的近似關(guān)系。如以′代表動摩擦力′的大小，則有′＝(４－2)其中ｆ也是一個無量綱的比例常數(shù)，稱為動摩擦因數(shù)。5.摩擦角當(dāng)摩擦力達到極限摩擦力時，全約束反力與所成的角稱為靜摩擦角，簡稱摩擦角。根據(jù)式（４－１）有(４－3)即摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。6.摩擦錐若通過接觸點在不同的方向作出在極限摩擦情況下的全約束反力的作用線，則這些直線將形成一個錐面，稱摩擦錐。如沿接觸面的各個方向的摩擦因數(shù)都相同，則摩擦錐是一個頂角為2的圓錐。因為全約束反力與接觸面法線所成的角不會大于，也就是說作用線不可能超出摩擦錐，所以物體所受的主動力的合力的作用線必須在摩擦錐內(nèi)，物體才不致滑動；而只要的作用線在摩擦錐內(nèi)，則不論多大，物體總能保持靜止，這種現(xiàn)象稱為“自鎖”。[復(fù)習(xí)討論題]4-1利用對稱性計算圖示桁架支座A、B的反力。圖4–1解計算RA、RB時可將荷載分為對稱和反對稱兩組，分別作用，并利用對稱性計算，得：RA=R'A+R''A=–P/3，RB=R'B+R''B=P。4–2輪子A、B分別置于光滑斜面上，如圖4–2（a）所示，兩輪的中心用鉸鏈與一直桿連接。設(shè)輪A重量為G，B輪重量為P，桿重略去不計，斜面的傾角分別為α與β，且α+β=90o。求平衡時，桿與水平線的交角θ。解思路：求解平衡問題時，首先應(yīng)明確地選取研究對象。本題有兩種不同的研究對象可供選擇，即：①選取整體，其受力分析如圖4–2（b）所示；②分別選取A輪和B輪及AB桿其受力分析如圖4–2（c）和圖4–2（d）所示。圖4–2（b）的受力分析結(jié)果給出了一個平面一般力系，其平衡條件將在第四章中討論?，F(xiàn)在只能分別取A輪、B輪及AB桿為研究對象，未知數(shù)的總數(shù)為4個，獨立的平衡方程的總數(shù)也為4個，因此，可分別應(yīng)用平面匯交力系的平衡條件求解。因為桿AB為二力桿，所以在圖4–2（c）中有FAB=FBA。分別選取A輪和B輪為研究對象，受力分析如圖4–2（c）所示。建立坐標系Oxy如圖，列平衡方程如下 A輪? ?B輪 ? ?圖4–2由式?、?得式?，由式?、?得式? ? ?因為FAB=FBA，由式?、?可得化簡后可得4–3一個重量為G=196N的圓盤靜置在斜面上，如圖4–3（a）所示。圓盤與斜面間的摩擦系數(shù)為0.2，桿重及滾動摩阻不計。R=20cm，e=100cm，a=40cm，b=60cm。求作用在曲桿AB上而不致引起圓盤在C處發(fā)生滑動的最大鉛垂力F。解思路：首先需要判斷圓盤上C處在臨界狀態(tài)下的滑動趨勢，從而確定其滑動摩擦力的方向。因為當(dāng)力F足夠大時，圓盤的A點將向下運動，所以圓盤上的C點將沿斜面向上滑動。從而可以斷定斜面作用于C點的摩擦力向下。首先選取圓盤為研究對象，受力分析如圖4–3（b）所示，建立坐標系如圖，考慮到C處的滑動摩擦力達到臨界值，列平衡方程圖4–3補充方程 解方程得 再選取曲桿AB為研究對象，受力分析如圖（c）所示，列平衡方程解得 4–4在圖4-4（a）所示的結(jié)構(gòu)中，A物塊重量為P=500N，輪軸B重量為G=1000N。物塊A與輪軸的軸以水平繩連接。在輪上繞以細繩，此繩跨過一光滑的滑輪D在其端點上系一重物C。重物A與水平面間的摩擦系數(shù)為0.5，而輪與水平面間的摩擦系數(shù)為0.2（不計滾阻）。R=2r=5cm。求使物體系統(tǒng)平衡時重物C的最大重量G1。圖4–4解思路：首先物體系統(tǒng)是處在平衡狀態(tài)，其次可由題意判斷物體A有向左滑動趨勢，并且處于臨界平衡狀態(tài)。輪B在E處的滑動趨勢不清楚，該處滑動摩擦力的大小與方向應(yīng)由平衡條件來決定。以物體A為研究對象，受力分析如4-4（c）所示，并選取直角坐標如圖。列平衡方程，并考慮到物體A 處于臨界平衡狀態(tài)補充條件 解得再選取輪B為研究對象，受力分析如圖4-4（b）所示，列平衡方程解得因為輪B在E處受到的滑動摩擦力的最大值為所以有 FE<FEmax又因為G1=FC所以，使物體系統(tǒng)平衡時物塊C的最大重量為208.3N。4–5圖示系統(tǒng)，物塊A重P1=100N，均質(zhì)輪B重P2=300N，R=0.2m，AB桿自重不計，輪與水平面間的靜滑動摩擦系數(shù)fS=0.4，滾動摩阻不計，斜面光滑，θ=60o，為使系統(tǒng)在圖示位置（β=30o）平衡，在輪B上應(yīng)作用矩為多大的力偶M？此時輪與水平面間的滑動摩擦力為多大？4–6重為P1、P2的兩物體A、B疊放在一起，置于光滑水平面上，兩物塊間的靜滑動摩擦系數(shù)為fS，物塊A用水平繩栓在直桿CD的E點，物塊B用繞過滑輪的水平細繩栓在CD桿的G點，各桿、滑輪、繩重均不計，尺寸如圖。求使物塊A、B產(chǎn)生的相對滑動的鉛直力F的大小。 圖4–5 圖4–6第五章點的運動【學(xué)習(xí)要求】1.掌握點的運動的有關(guān)概念，如位移、速度與加速度等。2.掌握點的運動分析的三種基本方法，即：失量法、直角坐標法、自然坐標法。3．能用合適的方法描述點的運動，并根據(jù)運動方程能熟練地計算點的速度及加速度。4．根據(jù)點的速度及加速度，以及運動的初始條件，能求出點的運動方程。5．根據(jù)不同方法表示的各運動量之間的關(guān)系，能由描述點運動的某種方法轉(zhuǎn)換到另一種方法?！緝?nèi)容要點】本章主要研究點相對某一參考系的運動規(guī)律，包括點的運動方程、運動軌跡、位移、速度、加速度，以及它們之間的關(guān)系。研究點的運動通常有以下幾種方法：矢量表示法選取參考系上某一確定點Ｏ為坐標原點，由Ｏ向動點Ｍ作矢量，稱為動點對于原點Ｏ的位置矢或矢徑。當(dāng)動點Ｍ運動時，矢徑ｒ是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即運動方程（5-1）速度==（5-2）加速度==（5-3）在國際單位制中，位置矢的單位是米（m），速度的單位是米每秒（ｍ／ｓ），加速度的單位是米每秒２（ｍ／ｓ２）。二、直角坐標表示法選取一直角坐標系，動點Ｍ的位置不僅可用它相對于坐標原點Ｏ的矢徑ｒ表示，還可用它的三個直角坐標ｘ，ｙ，ｚ來確定:運動方程x=f(t),y=f(t),z=f(t)（5-4）消去ｔ，可得到點的軌跡方程，如Ｆ(x,y)＝０，Ｆ(x,y)＝０速度==i+j+k（5-5）速度的大小和方向余弦分別=加速度a===（5-6）加速度的大小和方向余弦分別為=三、自然坐標表示法如果點的運動軌跡已知，則點沿軌跡的運動規(guī)律可用弧坐標s表示。運動方程為（5-7）速度（5-8）加速度===（5-9）式中和n分別為運動軌跡在點M處的切向和法向單位矢量,為軌跡的曲率半徑。式中的第一分量稱為切向加速度，為速度大小的變化率；第二分量稱為法向加速度，為速度方向的變化率，二者在與方向的投影分別為：，加速度的大小和方向可由下式?jīng)Q定:可見，建立點的運動方程的關(guān)鍵，是選擇合適的方法，建立相應(yīng)的坐標系，并將點置于一般位置，再根據(jù)問題的約束條件建立運動方程。矢量法運算簡捷，推導(dǎo)理論時常用；點的運動軌跡未知時，運用直角坐標法比較簡便；點的運動軌跡已知時，常用自然坐標法。消去點的運動方程中的參變量，即得到點的軌跡方程。將運動方程對時間求導(dǎo)后，得到速度和加速度的表達式，它們表明點的速度和加速度隨時間的變化規(guī)律。點的運動問題，一般有以下三類：已知點的運動方程，求速度、加速度等。在運動方程建立后，這類問題可通過求導(dǎo)運算得到速度和加速度等植。已知點的速度或加速度變化規(guī)律，求點的運動方程。這類問題可通過積分運算求得運動方程，積分常數(shù)由運動初始條件確定。給出用直角坐標表示的點的運動方程，求點沿軌跡的運動方程，點的切向加速度、法向加速度，全加速度及曲率半徑等。這類問題表明，可用不同方法描述同一點的運動?！緩?fù)習(xí)討論題】5-1飛機M在高度h以速度v沿著一條直線飛行軌跡飛過一個雷達站R。在圖示地面上的坐標系中，飛行軌跡水平面Rxy上的投影用方程y=ax+b表示。若當(dāng)t=0時飛機恰好飛過y軸，請給出其矢徑r(t)。為了把雷達天線對準飛機，角度-時間函數(shù)和應(yīng)該如何表示？題5-1圖題5-2圖5-2在橢圓規(guī)尺BC上固連一半徑為的半圓盤，圓心重合于BC的中點A，如圖所示。已知曲柄OA=，并以的規(guī)律轉(zhuǎn)動，其中k為常量。試求圓盤邊緣上任一點的運動方程、軌跡方程。5-3點的運動方程為x=3t,y=4t–3t2求時點的速度和加速度的夾角。5-4點M運動的軌跡如圖所示，OA段為直線，AB和BC段分別為四分之一圓周，已知運動方程S=30t+5t2(m)求t=0,1,2秒時點M的加速度。題5-4圖5-5點在平面xy內(nèi)作曲線運動，已知某瞬時vx=4m/s，vy=4m/s，ax=2m/s2，ay=0。求點在此位置軌跡的曲率半徑。剛體的基本運動【學(xué)習(xí)要求】熟悉剛體平動、定軸轉(zhuǎn)動的運動特征，能正確、熟練地判斷剛體的基本運動形式。掌握轉(zhuǎn)動方程，角速度和角加速度的概念。能熟練計算剛體的角速度和角加速度、能熟練剛體上任一點的速度和加速度?！緝?nèi)容要點】一、剛體的平行移動剛體運動時，如其上任一直線始終保持與其初始位置平行，則這種運動稱為平行移動，簡稱為平動或平移。剛體的平動又分為直線平動和曲線平動兩種。剛體的平動是極易判斷的。只要通過對該剛體上若干特殊點（例如它與其它構(gòu)件的兩個連接點）的運動分析，就可確定剛體的運動形式，如果有兩點的軌跡曲線完全相同，該剛體即作平移；如果有兩點的軌跡不相同，一般而言，這一剛體作其它形式的運動。平動的特點是：體內(nèi)各點的軌跡的形狀相同；在同一瞬時，各點具有相同的速度和加速度。因此，只要求得剛體上任意點的運動，就可得知其他各點的運動，也就得知了整個剛體的運動。因此，剛體平動的問題可以歸結(jié)為點的運動問題來研究。圓弧形的曲線平動問題，常應(yīng)用自然坐標法分析運動；作直線或其它曲線平動的問題，一般采用直角坐標法分析運動。二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體運動時，若其上（或其擴展部分）有一條直線始終保持不動，則稱這種運動為定軸轉(zhuǎn)動。這條固定的直線稱為轉(zhuǎn)軸。軸線上各點的速度和加速度均恒為零，其它各點均圍繞軸線作圓周運動。1．剛體的轉(zhuǎn)動方程、角速度和角加速度如果有一剛體相對于參考體繞固定軸轉(zhuǎn)動，如圖2-1。過固定軸作一固定平面，再選一與剛體固連的平面。平面在任一瞬時的位置可由它與固定平面的夾角來確定，角稱為位置角或轉(zhuǎn)角,以弧度（rad）計。由于剛體上各點相對于平面的位置是一定的，因此，只要知道平面P的位置也就知道剛體上各點的位置，亦即知道整個剛體的位置。于是，轉(zhuǎn)角隨時間t的變化描述了剛體的運動，由此得到剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程為：圖6-1（6-1）剛體的角速度ω與角加速度分別為：（6-2）＝（6-3）角速度的單位是弧度每秒（rad/s），角加速度的單位是弧度每秒２（rad/）。轉(zhuǎn)角（或角位移）、角速度與角加速度都是描述剛體整體運動的物理量。上式中，角速度與角加速度均為代數(shù)量。當(dāng)規(guī)定轉(zhuǎn)角以逆時針方向為正時，與均應(yīng)以增加的方向為正，即均按逆時針方向為正，相反則為負。若與同號，則剛體加速轉(zhuǎn)動；若異號，則剛體減速轉(zhuǎn)動。2．轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點的速度、加速度圖6-2當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，體內(nèi)各點都在垂直于轉(zhuǎn)動軸的平面內(nèi)作圓周運動，圓心就在轉(zhuǎn)動軸上。在圖6-1所示的轉(zhuǎn)動剛體的平面內(nèi)任取一點來考察。設(shè)點到轉(zhuǎn)動軸的距離為，則其軌跡是半徑為的一個圓，如圖6-2(ａ)所示。取固定平面與該圓的交點′為弧坐標的原點?？梢婞c的弧坐標與位置角有如下的關(guān)系（6-4）剛體上點M作圓周運動的速度與加速度（包括切向與法向分量）的大小為 ＝＝（6-5）（6-6）（6-7）點的總加速度的大小為（6-8）用表示與（即）之間的夾角，則＝（6-9）這表明，剛體定軸轉(zhuǎn)動時，在同一瞬時，其上各點的速度和加速度大小與點到轉(zhuǎn)軸的距離成正比，剛體內(nèi)所有各點的總加速度與其法向加速度的夾角相同。3．角速度和角加速度的矢量表示與點的速度和加速度矢積表示

圖6-3設(shè)轉(zhuǎn)軸的單位矢為，則剛體角速度與角加速度度可以分別表示為矢量和，稱為角速度矢和角加速度矢（6-10）（6-11）若剛體加速轉(zhuǎn)動，則與同向，若減速轉(zhuǎn)動，則與反向。剛體上某一點M的速度和加速度可以表示為：（6-12）（6-13）其中，，這表明，剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，體內(nèi)任一點的速度等于剛體的角速度矢與該點矢徑的矢積；任一點的切向加速度等于剛體的角加速度矢與該點矢徑的矢積；任一點的法向加速度等于剛體的角速度矢與該點速度的矢積。剛體的定軸轉(zhuǎn)動也容易判斷。在已知定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度與角加速度的條件下，根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系式，就可分析、計算剛體上任一點的速度及加速度?！緩?fù)習(xí)討論題】6-1判斷以下各圖形中的1號剛體和2號剛體各作什么形式的運動。（1）（a）中的1號剛體作（），2號剛體作（）。（2）（b）中的1號剛體作（），2號剛體作（）。圖中，。（3）（c）中的1號剛體作（），2號剛體作（）。圖中。（4）（d）中的1號剛體作（），2號剛體作（）。題6-1圖6-2半徑為R