高一數(shù)學(xué)課件 二次函數(shù)

第六節(jié)二次函數(shù)第六節(jié)二次函數(shù)基礎(chǔ)梳理1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：.(2)頂點(diǎn)式：.(3)交點(diǎn)式：.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠

0)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)基礎(chǔ)梳理1.二次函數(shù)解析式的三種形式f(x)=a(x-x1解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)圖象定義域值域單調(diào)性在x∈______時(shí)單調(diào)遞減在x∈______時(shí)單調(diào)遞減在x∈______時(shí)單調(diào)遞增在x∈______時(shí)單調(diào)遞增RR

解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+奇偶性______時(shí)為偶函數(shù)，______時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)對(duì)稱性圖象關(guān)于直線________成軸對(duì)稱圖形

b≠0b=0奇偶性______時(shí)為偶函數(shù)，______時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系如下表所示：?=b2-4ac?>0?=0?<0y=ax2+bx+c的圖象(a>0)方程ax2+bx+c=0的解x1=，x2=______ax2+bx+c>0的解集________________________ax2+bx+c<0的解集________________________無(wú)解{x|x<x1或x>x2}

{x|x≠x0}

R

{x|x1<x<x2}??3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式?=b2-4ac基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修1P25練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=(x-1)2-1，x∈[0,2]的值域?yàn)開(kāi)_______．2.(必修1P44習(xí)題9改編)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函數(shù)，則m=________.1.

解析：0≤x≤2時(shí)，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1，故值域?yàn)閇-1,0]．[-1,0]2.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，則m=-2.-2基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修1P25練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=(x-13.f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為[4，+∞)，則a=________.4.二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)為(2,4)且過(guò)點(diǎn)(3,0)，則f(x)=________________.3.解析：由題意知增區(qū)間為[a，+∞)，∴a=4.4

4.解析：設(shè)f(x)=a(x-2)2+4過(guò)(3,0)，故0=a(3-2)2+4，∴a=-4.∴f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.-4x2+16x-123.f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為[4，+∞)，則a5.(2011揚(yáng)州中學(xué)期中考試)若不等式x2+bx+c＜0的解集是(-1,2)，則b+c=________.-3解析：由已知條件得解得，∴b+c=-3.5.(2011揚(yáng)州中學(xué)期中考試)若不等式x2+bx+c＜0經(jīng)典例題【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，試求此二次函數(shù)的解析式．題型一求二次函數(shù)解析式分析：由題目條件知二次函數(shù)過(guò)(2，-1)，(-1，-1)兩點(diǎn)，且知其最大值，所以可應(yīng)用一般式、頂點(diǎn)式或兩根式解題．經(jīng)典例題題型一求二次函數(shù)解析式分析：解：方法一：利用二次函數(shù)一般式．設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．由題意得解得∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-4x2+4x+7方法二：利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式．設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)．∵f(2)=f(-1)，∴拋物線對(duì)稱軸為x=，∴m=.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值f(x)max=8，∴.∵f(2)=-1，即，解得a=-4.解：方法一：利用二次函數(shù)一般式．方法二：利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式．方法三：利用兩根式．由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2，x2=-1，故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a10)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值f(x)max=8，即=8，解得a=-4，或a=0(舍去)．∴所求函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7.方法三：利用兩根式．

如圖是一個(gè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象．(1)寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)當(dāng)實(shí)數(shù)k在何范圍內(nèi)變化時(shí)，g(x)=f(x)-kx在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)．變式1-1變式1-1解析：(1)由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為-3，1.(2)設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x-1)，由點(diǎn)(-1，4)在函數(shù)圖象上，得a=-1，則y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-.當(dāng)-≤-2，即k≥2時(shí)，g(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減；當(dāng)-≥2，即k≤-6時(shí)，g(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)k≤-6或k≥2時(shí)，g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)．解析：(1)由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為-3，1.【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫(xiě)出h(t)的表達(dá)式．題型二求二次函數(shù)最值分析：在對(duì)稱軸確定的情況下，對(duì)區(qū)間[t，t+1]進(jìn)行討論．【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-，(1)當(dāng)t+1≤-，即t≤-時(shí)，h(t)=f(t+1)=t2+5t-1；(2)當(dāng)t<-＜t+1，即-＜t＜-時(shí)，h(t)=

=-；(3)當(dāng)t≥-時(shí)，h(t)=f(t)=t2+3t-5.解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-，

已知函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求實(shí)數(shù)a的值．變式2-1變式2-1【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用分析：分a>0，a<0，a=0三種情況討論，并使每種情況下在(1,4)上最低點(diǎn)函數(shù)值或最小值大于或等于零，從而求得a的取值范圍．題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用分析：..當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2，f(1)=0，f(4)=-6，不合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2，

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)滿足條件：f(-x+5)=f(x-3)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由．變式3-1解析：(1)f(x)滿足f(-x+5)=f(x-3)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故-=1，b=-2a.又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，則b=1，已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)滿足條件：f(-x∴a=－，∴f(x)=－

x2+x.

(2)由f(x)=－x2+x=－(x-1)2+，在區(qū)間[m，n]上有值域[3m,3n]，則3n≤，n≤，故m<n≤，∴函數(shù)f(x)在[m，n]上為增函數(shù)．∴f(m)=3m，且f(n)=3n，∴m、n是方程f(x)=3x的兩個(gè)不等根．∴-

x2+x=3x，即x2+4x=0，∴x1=0，x2=-4，m<n，∴m=-4，n=0.∴a=－，∴f(x)=－x2+x.(2)鏈接高考(2010天津)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2，(x∈R)，f(x)=則f(x)的值域?yàn)開(kāi)__________．知識(shí)準(zhǔn)備：1.會(huì)解一元二次不等式；2.熟練求解二次函數(shù)的值域；3.理解、掌握分段函數(shù)的值域的含義．鏈接高考(2010天津)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2，(x∈R)解析：當(dāng)x<g(x)時(shí)，即x<x2-2，∴x2-x-2>0，(x-2)(x+1)>0，∴x>2或x<-1，同理x≥g(x)?-1≤x≤2；當(dāng)x>2或x<-1時(shí)，f(x)=x2+x+2>(-1)2+(-1)+2=2；當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，f(x)=x2-x-2，-≤f(x)≤0，∴f(x)的值域?yàn)椤?2，+∞)．解析：當(dāng)x<g(x)時(shí)，即x<x2-2，當(dāng)x>2或x<-1時(shí)2.(2010全國(guó)Ⅰ)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．知識(shí)準(zhǔn)備：1.會(huì)畫(huà)分段函數(shù)y=的圖象；2.會(huì)解一元二次不等式．2.(2010全國(guó)Ⅰ)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a解析：y=作出圖象，如圖所示．此曲線與y軸交于(0，a)點(diǎn)，最小值為a-，要使y=1與其有四個(gè)交點(diǎn)，只需a-＜1＜a，∴1＜a＜.解析：y=作出圖感謝大家觀看最新學(xué)習(xí)可編輯資料感謝大家觀看最新學(xué)習(xí)可編輯資料第六節(jié)二次函數(shù)第六節(jié)二次函數(shù)基礎(chǔ)梳理1.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：.(2)頂點(diǎn)式：.(3)交點(diǎn)式：.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠

0)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)基礎(chǔ)梳理1.二次函數(shù)解析式的三種形式f(x)=a(x-x1解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)圖象定義域值域單調(diào)性在x∈______時(shí)單調(diào)遞減在x∈______時(shí)單調(diào)遞減在x∈______時(shí)單調(diào)遞增在x∈______時(shí)單調(diào)遞增RR

解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+奇偶性______時(shí)為偶函數(shù)，______時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂點(diǎn)對(duì)稱性圖象關(guān)于直線________成軸對(duì)稱圖形

b≠0b=0奇偶性______時(shí)為偶函數(shù)，______時(shí)為非奇非偶函數(shù)頂3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系如下表所示：?=b2-4ac?>0?=0?<0y=ax2+bx+c的圖象(a>0)方程ax2+bx+c=0的解x1=，x2=______ax2+bx+c>0的解集________________________ax2+bx+c<0的解集________________________無(wú)解{x|x<x1或x>x2}

{x|x≠x0}

R

{x|x1<x<x2}??3.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式?=b2-4ac基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修1P25練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=(x-1)2-1，x∈[0,2]的值域?yàn)開(kāi)_______．2.(必修1P44習(xí)題9改編)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函數(shù)，則m=________.1.

解析：0≤x≤2時(shí)，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1，故值域?yàn)閇-1,0]．[-1,0]2.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，則m=-2.-2基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修1P25練習(xí)7改編)函數(shù)f(x)=(x-13.f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為[4，+∞)，則a=________.4.二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)為(2,4)且過(guò)點(diǎn)(3,0)，則f(x)=________________.3.解析：由題意知增區(qū)間為[a，+∞)，∴a=4.4

4.解析：設(shè)f(x)=a(x-2)2+4過(guò)(3,0)，故0=a(3-2)2+4，∴a=-4.∴f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.-4x2+16x-123.f(x)=x2-2ax+3的增區(qū)間為[4，+∞)，則a5.(2011揚(yáng)州中學(xué)期中考試)若不等式x2+bx+c＜0的解集是(-1,2)，則b+c=________.-3解析：由已知條件得解得，∴b+c=-3.5.(2011揚(yáng)州中學(xué)期中考試)若不等式x2+bx+c＜0經(jīng)典例題【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，試求此二次函數(shù)的解析式．題型一求二次函數(shù)解析式分析：由題目條件知二次函數(shù)過(guò)(2，-1)，(-1，-1)兩點(diǎn)，且知其最大值，所以可應(yīng)用一般式、頂點(diǎn)式或兩根式解題．經(jīng)典例題題型一求二次函數(shù)解析式分析：解：方法一：利用二次函數(shù)一般式．設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．由題意得解得∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-4x2+4x+7方法二：利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式．設(shè)f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)．∵f(2)=f(-1)，∴拋物線對(duì)稱軸為x=，∴m=.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值f(x)max=8，∴.∵f(2)=-1，即，解得a=-4.解：方法一：利用二次函數(shù)一般式．方法二：利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式．方法三：利用兩根式．由已知f(x)+1=0的兩根為x1=2，x2=-1，故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a10)，即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值f(x)max=8，即=8，解得a=-4，或a=0(舍去)．∴所求函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7.方法三：利用兩根式．

如圖是一個(gè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象．(1)寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3)當(dāng)實(shí)數(shù)k在何范圍內(nèi)變化時(shí)，g(x)=f(x)-kx在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)．變式1-1變式1-1解析：(1)由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為-3，1.(2)設(shè)二次函數(shù)為y=a(x+3)(x-1)，由點(diǎn)(-1，4)在函數(shù)圖象上，得a=-1，則y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3.(3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-.當(dāng)-≤-2，即k≥2時(shí)，g(x)在[-2,2]上單調(diào)遞減；當(dāng)-≥2，即k≤-6時(shí)，g(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)k≤-6或k≥2時(shí)，g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)．解析：(1)由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為-3，1.【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f(x)的最小值為h(t)，寫(xiě)出h(t)的表達(dá)式．題型二求二次函數(shù)最值分析：在對(duì)稱軸確定的情況下，對(duì)區(qū)間[t，t+1]進(jìn)行討論．【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-，(1)當(dāng)t+1≤-，即t≤-時(shí)，h(t)=f(t+1)=t2+5t-1；(2)當(dāng)t<-＜t+1，即-＜t＜-時(shí)，h(t)=

=-；(3)當(dāng)t≥-時(shí)，h(t)=f(t)=t2+3t-5.解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸x=-，

已知函數(shù)f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在區(qū)間[0,2]上有最小值3，求實(shí)數(shù)a的值．變式2-1變式2-1【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用分析：分a>0，a<0，a=0三種情況討論，并使每種情況下在(1,4)上最低點(diǎn)函數(shù)值或最小值大于或等于零，從而求得a的取值范圍．題型三二次函數(shù)的綜合應(yīng)用分析：..當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2，f(1)=0，f(4)=-6，不合題意，綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2，

已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)滿足條件：f(-x+5)=f(x-3)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n(m<n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的值；若不存在，說(shuō)明理由．變式3-1解析：(1)f(x)滿足f(-x+5)=f(x-3)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故-=1，b=-2a.又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，則b=1，已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)滿足條件：f(-x∴a=－，∴f(x)=－

x2+x.

(2)由f(x)=－x2+x=－(x-1)2+，在區(qū)間[m，n]上有值域[3m,3n]，