高中物理競(jìng)賽 剛體課件

1剛體競(jìng)賽內(nèi)容1剛體競(jìng)賽內(nèi)容2一、剛體運(yùn)動(dòng)的描述1、剛體的平動(dòng)

可以用任一點(diǎn)（通常選質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)來代表。2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（1）

角量描述角坐標(biāo)

：=(t)角位移：角速度：角加速度：2一、剛體運(yùn)動(dòng)的描述1、剛體的平動(dòng)可以用任一點(diǎn)（通常選質(zhì)心33、角速度矢量方向:與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。大?。?/p>

（2）勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律33、角速度矢量方向:與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。大?。海?）勻4定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平行，稱作剛體的平面（平行）運(yùn)動(dòng)。4、剛體的平面（平行）運(yùn)動(dòng)車輪滾動(dòng)木梯下滑處理方法：可看作隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞過基點(diǎn)軸（⊥固定平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。剛體由1→2可分為4定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平5剛體∥固定平面的截面B——基點(diǎn)（任?。?duì)剛體上A點(diǎn)：——平面運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度5剛體∥固定平面的截面B——基點(diǎn)（任取）對(duì)剛體上A點(diǎn)：——平65、車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支撐面接觸的瞬時(shí)，與支撐面無相對(duì)滑動(dòng)，則稱車輪作無滑滾動(dòng)（純滾動(dòng)）。車輪（中心）前進(jìn)的距離與轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系：則——無滑滾動(dòng)的條件或xCr65、車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支撐面接7▲對(duì)無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對(duì)于支撐面的瞬時(shí)速度為0.車輪上任一點(diǎn)的速度：G點(diǎn)：B點(diǎn)：A點(diǎn)：xC例1、求圖示純滾動(dòng)中G、B、A相對(duì)支撐面的速度。7▲對(duì)無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對(duì)于支撐面的瞬時(shí)8例2、半徑為R的圓環(huán)靜止在水平地面上，t=0時(shí)刻開始以恒定的角加速度沿直線純滾動(dòng)。任意t>0時(shí)刻，環(huán)上最低點(diǎn)的加速度大小為＿＿＿＿，最高點(diǎn)的加速度大小為＿＿＿＿＿。(2001第18屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽試題)CR質(zhì)心參考系：圓環(huán)上任一點(diǎn)地面參考系：最低點(diǎn)：最高點(diǎn)：8例2、半徑為R的圓環(huán)靜止在水平地面上，t=0時(shí)刻開始以恒定9rc×C······mi·z·riyxo質(zhì)心C的位矢為（

）二、剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1、剛體的質(zhì)心質(zhì)量分立分布：分量形式：9rc×C······mi·z·riyxo質(zhì)心C的位矢為（10×rrcdmComzxy質(zhì)量連續(xù)分布：分量形式：10×rrcdmComzxy質(zhì)量連續(xù)分布：分量形式：11（1）只要質(zhì)量分布和幾何形狀有相同的對(duì)稱軸，質(zhì)心必在此對(duì)稱軸上。（2）若剛體有多條這樣的對(duì)稱軸，質(zhì)心必位于對(duì)稱軸的交點(diǎn)。勻質(zhì)半圓盤：質(zhì)心在x軸上非均勻圓錐體，密度=Ay：質(zhì)心在y軸上如勻質(zhì)圓柱體:x、y為其對(duì)稱軸質(zhì)心在o點(diǎn)11（1）只要質(zhì)量分布和幾何形狀有相同的對(duì)稱軸，質(zhì)心必在此對(duì)12（3）若剛體由若干部分組成，剛體質(zhì)心與各部分質(zhì)心的關(guān)系為：2、剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可沿用至剛體：——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（適用于慣性系）12（3）若剛體由若干部分組成，剛體質(zhì)心與各部分質(zhì)心的關(guān)系為13R例3、如圖所示，CxCO″rO′rddxyO均質(zhì)圓盤求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。由對(duì)稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)在x軸上。解：

令

為質(zhì)量的面密度，則

質(zhì)心坐標(biāo)為：挖空

·系統(tǒng)可看作虛線圓盤＋剩下部分13R例3、如圖所示，CxCO″rO′rddxyO14yoxR例4、一均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓，求其質(zhì)心。dldy解：由對(duì)稱性，C任取線段元dl,其質(zhì)量dm=dl,

為質(zhì)量線密度。思路：先取微元，再積分技巧：統(tǒng)一積分變量14yoxR例4、一均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓，求其質(zhì)心。d15三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）2、剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若質(zhì)量分立分布：若質(zhì)量連續(xù)分布：J取決于剛體的質(zhì)量及其分布以及轉(zhuǎn)軸的位置。或15三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)16▲常見幾種勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

薄圓環(huán)（筒）對(duì)中心軸圓盤（柱）對(duì)中心軸細(xì)桿對(duì)過端點(diǎn)⊥桿的軸對(duì)過中點(diǎn)⊥桿的軸實(shí)球體薄球殼對(duì)任意直徑對(duì)任意直徑16▲常見幾種勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：薄圓環(huán)（筒）對(duì)中心軸圓17（1）平行軸定理：二軸平行，其中一軸過質(zhì)心C，對(duì)另一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：m——?jiǎng)傮w質(zhì)量；d——兩軸距離。（2）垂直軸定理：厚度不計(jì)的剛體（連續(xù)分布、分立分布均可）對(duì)一與它⊥的坐標(biāo)軸（z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于對(duì)它平面內(nèi)另二直角坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和：17（1）平行軸定理：二軸平行，其中一軸過質(zhì)心C，對(duì)另一軸的18證明：例5、均勻薄圓環(huán)：由對(duì)稱性，由垂直軸定理，由平行軸定理，18證明：例5、均勻薄圓環(huán)：由對(duì)稱性，由垂直軸定理，由平行軸19——微分形式對(duì)定軸剛體，——積分形式3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理角沖量（沖量矩）19——微分形式對(duì)定軸剛體，——積分形式3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角20（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1、力矩的功對(duì)剛體，內(nèi)力矩不作功：角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用于慣性系和質(zhì)心系！對(duì)非剛體，20（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)212、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)非剛體：3、剛體的重力勢(shì)能一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。（適用于慣性系）212、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（22五、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)——可視作隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。通常選質(zhì)心為基點(diǎn)。剛體∥固定平面的截面1、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程若剛體受力均在oxy面內(nèi)，則有慣性系質(zhì)心系，可以是非慣性系22五、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)——可視作隨基點(diǎn)的232、作用于剛體上的力（1）作用于剛體上的力對(duì)剛體，力的三要素：大小、方向、作用線。使質(zhì)心有加速度使剛體有角加速度（若力過質(zhì)心，則無此項(xiàng)）（2）力偶和力偶矩力偶——大小相等方向相反的一對(duì)力。力偶矩——力偶對(duì)某軸的力矩之和。232、作用于剛體上的力（1）作用于剛體上的力對(duì)剛體，力的三24▲力偶對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。力偶矩：d——力偶臂（3）剛體受力的等效處理等效為24▲力偶對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。力偶矩：d——力偶臂（3）剛體受253、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。——科尼希定理（證明略）六、剛體在平面力系作用下的平衡條件設(shè)各力均在oxy面內(nèi)，則剛體靜止平衡（或作勻速直線平動(dòng)）的充要條件為：其中，通常寫成分量形式：253、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)26七、質(zhì)心參考系中的角動(dòng)量：剛體慣性系質(zhì)心系(可以是非慣性系)剛體對(duì)慣性系中某定點(diǎn)的角動(dòng)量等于質(zhì)心對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量加上剛體對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量（證明略）。26七、質(zhì)心參考系中的角動(dòng)量：剛體慣性系質(zhì)心系(可以是非慣性27例、

一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量m、半徑R，在水平外力F作用下，在粗糙水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與中心軸線的垂直距離為l，如圖。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：不妨設(shè)靜摩擦力f的方向向左，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：純滾動(dòng)條件：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為FaC則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：27例、一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量m、半徑R，在水平外力F作用下，28討論：l<R/2,f

>0,方向向左；l>R/2,f<0,方向向右；l=R/2,f=0.聯(lián)立以上四式，解得FaC28討論：l<R/2,f>0,方向向左；l>R/2,29例、兩均質(zhì)圓柱輪子如圖。移動(dòng)兩輪使它們接觸，求轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定后兩輪的角速度。設(shè)兩輪間摩擦力大小為f，穩(wěn)定后兩輪角速度分別為由角動(dòng)量定理，有穩(wěn)定后兩輪邊緣線速度大小相等：選⊙為正(1990第7屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)29例、兩均質(zhì)圓柱輪子如圖。移動(dòng)兩輪使它們接觸，求轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)30例、有一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光滑水平面上，可繞過中點(diǎn)O的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿靜止，有一質(zhì)量與桿相同的小球沿與桿垂直的速度

飛來，與桿端點(diǎn)碰撞，并粘附于桿端點(diǎn)上，如圖所示。（1）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（2）若去掉固定軸，桿中點(diǎn)不固定，再求碰后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(1999第16屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)30例、有一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光滑水平面上，可31解：（1）對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，對(duì)O軸合外力矩為0，故角動(dòng)量守恒：碰后系統(tǒng)將以轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）碰后，系統(tǒng)質(zhì)心位置為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。31解：（1）對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，對(duì)O軸合外力矩為0，故角動(dòng)32對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：同時(shí)，對(duì)C軸合外力矩為0，故角動(dòng)量守恒：碰后系統(tǒng)質(zhì)心將以向右運(yùn)動(dòng)，且系統(tǒng)以繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。32對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：同時(shí)，對(duì)C軸33例12、光滑水平桌面上有一半徑為R、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，圓心O沿水平x軸以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓盤繞其圓心O以勻角速0轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與一靜止在x軸上質(zhì)量也是M的質(zhì)點(diǎn)相碰，并粘在圓盤的邊緣上。求：（1）碰后系統(tǒng)質(zhì)心速度；（2）碰后系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；（3）碰撞過程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能。(2010“托普杯”天津市大學(xué)生物理競(jìng)賽)33例12、光滑水平桌面上有一半徑為R、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，34解:(1)對(duì)（圓盤+質(zhì)點(diǎn)）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：(2)碰后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心C的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。系統(tǒng)對(duì)C軸的合外力矩為0，故角動(dòng)量守恒。碰撞前瞬間，系統(tǒng)對(duì)C軸的角動(dòng)量即圓盤對(duì)C軸的角動(dòng)量：34解:(1)對(duì)（圓盤+質(zhì)點(diǎn)）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：35（3）以水平桌面為參考系，系統(tǒng)碰撞前的動(dòng)能為碰撞后的動(dòng)能為損失的機(jī)械能為35（3）以水平桌面為參考系，系統(tǒng)碰撞前的動(dòng)能為碰撞后的動(dòng)能高中物理競(jìng)賽剛體課件37例、質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿，其B端放在桌面上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時(shí)，求桿質(zhì)心的加速度和桿B端所受的力。解：釋放后，桿的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。桌面參考系：質(zhì)心參考系：釋放瞬間，B不動(dòng)，有聯(lián)立求解37例、質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿，其B端放在桌面上，A端用手支38方法2：桌面參考系：釋放瞬間，對(duì)B軸，有質(zhì)心加速度：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有38方法2：桌面參考系：釋放瞬間，對(duì)B軸，有質(zhì)心加速度：由質(zhì)39練習(xí)1：

均質(zhì)細(xì)棒

m,l,水平光滑軸O,棒由水平靜止釋放，求擺到豎直位置時(shí)質(zhì)心的加速度和軸對(duì)棒的作用力。(1997第14屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)解：由機(jī)械能守恒：.O由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心加速度：39練習(xí)1：均質(zhì)細(xì)棒m,l,水平光滑軸O,棒由水平靜止40練習(xí)2：

一均質(zhì)圓柱體在水平地面上，若沿圓柱體上緣作用以水平拉力F使柱體作加速無滑滾動(dòng)，求地面對(duì)圓柱體的靜摩擦力。不妨設(shè)靜摩擦力f向左，則“-”說明f方向與假設(shè)的相反，應(yīng)為向右。40練習(xí)2：一均質(zhì)圓柱體在水平地面上，若沿圓柱體上緣作用以41練習(xí)3：圓心為O、半徑為R、質(zhì)量為4m的勻質(zhì)圓板，內(nèi)切地割去半徑為R/2的小圓板后，剩余的板塊如圖所示，求其對(duì)過質(zhì)心C且⊥板面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。(2003北京市非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)小圓板質(zhì)量為m，將剩余的板塊再割去一個(gè)同樣大小的小圓板O′(如圖所示)，則剩余部分質(zhì)心在O點(diǎn)，41練習(xí)3：圓心為O、半徑為R、質(zhì)量為4m的勻質(zhì)圓板，內(nèi)切地42剛體競(jìng)賽內(nèi)容1剛體競(jìng)賽內(nèi)容43一、剛體運(yùn)動(dòng)的描述1、剛體的平動(dòng)

可以用任一點(diǎn)（通常選質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)來代表。2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（1）

角量描述角坐標(biāo)

：=(t)角位移：角速度：角加速度：2一、剛體運(yùn)動(dòng)的描述1、剛體的平動(dòng)可以用任一點(diǎn)（通常選質(zhì)心443、角速度矢量方向:與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。大?。?/p>

（2）勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律33、角速度矢量方向:與轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系。大?。海?）勻45定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平行，稱作剛體的平面（平行）運(yùn)動(dòng)。4、剛體的平面（平行）運(yùn)動(dòng)車輪滾動(dòng)木梯下滑處理方法：可看作隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞過基點(diǎn)軸（⊥固定平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。剛體由1→2可分為4定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一固定平面平46剛體∥固定平面的截面B——基點(diǎn)（任取）對(duì)剛體上A點(diǎn)：——平面運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度5剛體∥固定平面的截面B——基點(diǎn)（任?。?duì)剛體上A點(diǎn)：——平475、車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支撐面接觸的瞬時(shí)，與支撐面無相對(duì)滑動(dòng)，則稱車輪作無滑滾動(dòng)（純滾動(dòng)）。車輪（中心）前進(jìn)的距離與轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系：則——無滑滾動(dòng)的條件或xCr65、車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支撐面接48▲對(duì)無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對(duì)于支撐面的瞬時(shí)速度為0.車輪上任一點(diǎn)的速度：G點(diǎn)：B點(diǎn)：A點(diǎn)：xC例1、求圖示純滾動(dòng)中G、B、A相對(duì)支撐面的速度。7▲對(duì)無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對(duì)于支撐面的瞬時(shí)49例2、半徑為R的圓環(huán)靜止在水平地面上，t=0時(shí)刻開始以恒定的角加速度沿直線純滾動(dòng)。任意t>0時(shí)刻，環(huán)上最低點(diǎn)的加速度大小為＿＿＿＿，最高點(diǎn)的加速度大小為＿＿＿＿＿。(2001第18屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽試題)CR質(zhì)心參考系：圓環(huán)上任一點(diǎn)地面參考系：最低點(diǎn)：最高點(diǎn)：8例2、半徑為R的圓環(huán)靜止在水平地面上，t=0時(shí)刻開始以恒定50rc×C······mi·z·riyxo質(zhì)心C的位矢為（

）二、剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1、剛體的質(zhì)心質(zhì)量分立分布：分量形式：9rc×C······mi·z·riyxo質(zhì)心C的位矢為（51×rrcdmComzxy質(zhì)量連續(xù)分布：分量形式：10×rrcdmComzxy質(zhì)量連續(xù)分布：分量形式：52（1）只要質(zhì)量分布和幾何形狀有相同的對(duì)稱軸，質(zhì)心必在此對(duì)稱軸上。（2）若剛體有多條這樣的對(duì)稱軸，質(zhì)心必位于對(duì)稱軸的交點(diǎn)。勻質(zhì)半圓盤：質(zhì)心在x軸上非均勻圓錐體，密度=Ay：質(zhì)心在y軸上如勻質(zhì)圓柱體:x、y為其對(duì)稱軸質(zhì)心在o點(diǎn)11（1）只要質(zhì)量分布和幾何形狀有相同的對(duì)稱軸，質(zhì)心必在此對(duì)53（3）若剛體由若干部分組成，剛體質(zhì)心與各部分質(zhì)心的關(guān)系為：2、剛體的動(dòng)量和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可沿用至剛體：——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（適用于慣性系）12（3）若剛體由若干部分組成，剛體質(zhì)心與各部分質(zhì)心的關(guān)系為54R例3、如圖所示，CxCO″rO′rddxyO均質(zhì)圓盤求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。由對(duì)稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)在x軸上。解：

令

為質(zhì)量的面密度，則

質(zhì)心坐標(biāo)為：挖空

·系統(tǒng)可看作虛線圓盤＋剩下部分13R例3、如圖所示，CxCO″rO′rddxyO55yoxR例4、一均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓，求其質(zhì)心。dldy解：由對(duì)稱性，C任取線段元dl,其質(zhì)量dm=dl,

為質(zhì)量線密度。思路：先取微元，再積分技巧：統(tǒng)一積分變量14yoxR例4、一均勻鐵絲彎成半徑為R的半圓，求其質(zhì)心。d56三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）2、剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若質(zhì)量分立分布：若質(zhì)量連續(xù)分布：J取決于剛體的質(zhì)量及其分布以及轉(zhuǎn)軸的位置?；?5三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)57▲常見幾種勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

薄圓環(huán)（筒）對(duì)中心軸圓盤（柱）對(duì)中心軸細(xì)桿對(duì)過端點(diǎn)⊥桿的軸對(duì)過中點(diǎn)⊥桿的軸實(shí)球體薄球殼對(duì)任意直徑對(duì)任意直徑16▲常見幾種勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：薄圓環(huán)（筒）對(duì)中心軸圓58（1）平行軸定理：二軸平行，其中一軸過質(zhì)心C，對(duì)另一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：m——?jiǎng)傮w質(zhì)量；d——兩軸距離。（2）垂直軸定理：厚度不計(jì)的剛體（連續(xù)分布、分立分布均可）對(duì)一與它⊥的坐標(biāo)軸（z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于對(duì)它平面內(nèi)另二直角坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和：17（1）平行軸定理：二軸平行，其中一軸過質(zhì)心C，對(duì)另一軸的59證明：例5、均勻薄圓環(huán)：由對(duì)稱性，由垂直軸定理，由平行軸定理，18證明：例5、均勻薄圓環(huán)：由對(duì)稱性，由垂直軸定理，由平行軸60——微分形式對(duì)定軸剛體，——積分形式3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸的角動(dòng)量定理角沖量（沖量矩）19——微分形式對(duì)定軸剛體，——積分形式3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角61（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1、力矩的功對(duì)剛體，內(nèi)力矩不作功：角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律適用于慣性系和質(zhì)心系！對(duì)非剛體，20（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)622、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理對(duì)非剛體：3、剛體的重力勢(shì)能一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能一樣。（適用于慣性系）212、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（63五、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)——可視作隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。通常選質(zhì)心為基點(diǎn)。剛體∥固定平面的截面1、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程若剛體受力均在oxy面內(nèi)，則有慣性系質(zhì)心系，可以是非慣性系22五、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)——可視作隨基點(diǎn)的642、作用于剛體上的力（1）作用于剛體上的力對(duì)剛體，力的三要素：大小、方向、作用線。使質(zhì)心有加速度使剛體有角加速度（若力過質(zhì)心，則無此項(xiàng)）（2）力偶和力偶矩力偶——大小相等方向相反的一對(duì)力。力偶矩——力偶對(duì)某軸的力矩之和。232、作用于剛體上的力（1）作用于剛體上的力對(duì)剛體，力的三65▲力偶對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。力偶矩：d——力偶臂（3）剛體受力的等效處理等效為24▲力偶對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。力偶矩：d——力偶臂（3）剛體受663、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和?！颇嵯６ɡ恚ㄗC明略）六、剛體在平面力系作用下的平衡條件設(shè)各力均在oxy面內(nèi)，則剛體靜止平衡（或作勻速直線平動(dòng)）的充要條件為：其中，通常寫成分量形式：253、剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)67七、質(zhì)心參考系中的角動(dòng)量：剛體慣性系質(zhì)心系(可以是非慣性系)剛體對(duì)慣性系中某定點(diǎn)的角動(dòng)量等于質(zhì)心對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量加上剛體對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量（證明略）。26七、質(zhì)心參考系中的角動(dòng)量：剛體慣性系質(zhì)心系(可以是非慣性68例、

一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量m、半徑R，在水平外力F作用下，在粗糙水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與中心軸線的垂直距離為l，如圖。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：不妨設(shè)靜摩擦力f的方向向左，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：純滾動(dòng)條件：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為FaC則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：27例、一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量m、半徑R，在水平外力F作用下，69討論：l<R/2,f

>0,方向向左；l>R/2,f<0,方向向右；l=R/2,f=0.聯(lián)立以上四式，解得FaC28討論：l<R/2,f>0,方向向左；l>R/2,70例、兩均質(zhì)圓柱輪子如圖。移動(dòng)兩輪使它們接觸，求轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定后兩輪的角速度。設(shè)兩輪間摩擦力大小為f，穩(wěn)定后兩輪角速度分別為由角動(dòng)量定理，有穩(wěn)定后兩輪邊緣線速度大小相等：選⊙為正(1990第7屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)29例、兩均質(zhì)圓柱輪子如圖。移動(dòng)兩輪使它們接觸，求轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)71例、有一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光滑水平面上，可繞過中點(diǎn)O的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿靜止，有一質(zhì)量與桿相同的小球沿與桿垂直的速度

飛來，與桿端點(diǎn)碰撞，并粘附于桿端點(diǎn)上，如圖所示。（1）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（2）若去掉固定軸，桿中點(diǎn)不固定，再求碰后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(1999第16屆非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競(jìng)賽)30例、有一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光滑水平面上，可72解：（1）對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，對(duì)O軸合外力矩為0，故角動(dòng)量守恒：碰后系統(tǒng)將以轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）碰后，系統(tǒng)質(zhì)心位置為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。31解：（1）對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，對(duì)O軸合外力矩為0，故角動(dòng)73對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：同時(shí)，對(duì)C軸合外力矩為0，故角動(dòng)量守恒：碰后系統(tǒng)質(zhì)心將以向右運(yùn)動(dòng)，且系統(tǒng)以繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。32對(duì)（桿+小球）系統(tǒng)，合外力為0，故動(dòng)量守恒：同時(shí)，對(duì)C軸74例12、光滑水平桌面上有一半徑為R、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，圓心O沿水平x軸以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓盤繞其圓心O以勻角速0轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與一靜止在x軸上質(zhì)量也是M的質(zhì)點(diǎn)相碰，并粘在圓盤