應(yīng)用統(tǒng)計(jì)之?dāng)?shù)據(jù)整理與抽樣

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)之?dāng)?shù)據(jù)整理與抽樣數(shù)據(jù)的整理與抽樣

§4、數(shù)據(jù)的描述性指標(biāo)頻數(shù)分布所給定的是一個(gè)分布形狀，要進(jìn)一步描述和刻畫(huà)其分布的數(shù)量特征，則需要計(jì)算數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和。它們是反映數(shù)據(jù)分布數(shù)量規(guī)律的一對(duì)代表值。若所描述的數(shù)據(jù)是所觀察研究的總體，則稱(chēng)這些代表值為參數(shù)；若所描述的數(shù)據(jù)僅是總體中隨機(jī)抽取的一個(gè)樣本，則稱(chēng)這些代表值為統(tǒng)計(jì)量。數(shù)據(jù)的整理與抽樣

一、集中趨勢(shì)

集中趨勢(shì)亦稱(chēng)趨中性。它表示同類(lèi)現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)條件下所達(dá)到的一般水平與大量單位的綜合數(shù)量特征。集中趨勢(shì)有三個(gè)特點(diǎn)：①它用一個(gè)代表值綜合反映總體各單位(所有個(gè)體)某種標(biāo)志值的一般水平或代表水平；②它抽象掉了各個(gè)個(gè)體之間標(biāo)志值的差異；③它一般用單位的數(shù)值表示，其計(jì)量單位與標(biāo)志值的計(jì)量單位相一致。數(shù)據(jù)的整理與抽樣

集中趨勢(shì)的作用：①可方便地比較若干總體的某種標(biāo)志值的平均水平，說(shuō)明它們?cè)谀骋粩?shù)量標(biāo)志上的差異。如平均成績(jī)、平均身高等；②可研究總體某種標(biāo)志值的平均水平隨時(shí)間的變化，說(shuō)明其發(fā)展趨勢(shì)和規(guī)律。如人均收入的變化、勞動(dòng)生產(chǎn)率的變化等；③可分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象間的依存關(guān)系，為此必須采用分組的方法。數(shù)據(jù)的整理與抽樣4、可作為評(píng)價(jià)事物優(yōu)劣的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)。如各批產(chǎn)品合格率；5、可用以計(jì)算和估算其他重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)(如由人均收入估算社會(huì)購(gòu)買(mǎi)力)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣

統(tǒng)計(jì)學(xué)上對(duì)集中趨勢(shì)有以下幾種主要測(cè)度值：

1、均值均值又稱(chēng)算術(shù)平均數(shù)。是數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的主要測(cè)度值。對(duì)于未經(jīng)整理的原始數(shù)據(jù)，一般用以下公式：數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑴簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

如平均工資、平均身高、平均成績(jī)等的計(jì)算。均值觀察值容量總體N樣本n數(shù)據(jù)的整理與抽樣例：某班級(jí)28名學(xué)生的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

72856492767387829666776557907169707468796053758872786167計(jì)算該班學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的平均成績(jī)。解：數(shù)據(jù)的整理與抽樣簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)較準(zhǔn)確地描述了總體與個(gè)體之間的數(shù)量關(guān)系，其描述方式同時(shí)考慮了變量值的次數(shù)和變量值的大小對(duì)集中趨勢(shì)的影響，數(shù)列中任何數(shù)值和次數(shù)的變化都會(huì)引起算術(shù)平均數(shù)的改變，它是最靈敏、對(duì)資料運(yùn)用最充分的指標(biāo)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵加權(quán)算術(shù)平均數(shù)當(dāng)數(shù)據(jù)是已經(jīng)分組的頻數(shù)分布資料時(shí)，計(jì)算算術(shù)平均數(shù)需要用加權(quán)平均法。“權(quán)”即占總次數(shù)的比重。近似算法如下：數(shù)據(jù)的整理與抽樣均值組中值組數(shù)總體K樣本k數(shù)據(jù)的整理與抽樣成績(jī)分組組中值人數(shù)50～6055211060～7065852070～80751182580～9085434090～100953285合計(jì)—282080數(shù)據(jù)的整理與抽樣在使用組中值作為第i組的代表值時(shí)，假設(shè)各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)分布均勻，但實(shí)際上并非如此，所以計(jì)算的均值會(huì)產(chǎn)生誤差。均值不僅受組中值大小的影響，而且也會(huì)受權(quán)數(shù)的影響，權(quán)數(shù)越大，則該組數(shù)值對(duì)均值的影響就越大。由均值的計(jì)算公式很容易看出這一點(diǎn)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣

月工資(元)員工數(shù)(人)各組平均工資工資總額

fxx·f

1600以下401550620001600～170010016501650001700～180020017503500001800～190040018507400001900～200045019508750002000～220025021005250002200以上602300138000合計(jì)1500—2855000數(shù)據(jù)的整理與抽樣=2855000/1500=1903.33元算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)：

⑴各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于0，即⑵各變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小值(相對(duì)于其他任何數(shù))，即數(shù)據(jù)的整理與抽樣

例如，為分析某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭生活水平與家庭人口的關(guān)系，則需按人均月收入對(duì)該鄉(xiāng)農(nóng)戶(hù)分組。也可按戶(hù)人口數(shù)分組。人均月收入(分組)調(diào)查戶(hù)數(shù)人口數(shù)戶(hù)均人口數(shù)250以下9546.0250～3009495.4300～350311625.2350～400964034.2400～600692393.5600以上12352.9合計(jì)2269424.2數(shù)據(jù)的整理與抽樣2、幾何平均數(shù)它是與算術(shù)平均數(shù)不同的另一種平均數(shù)，主要用于環(huán)比發(fā)展速度或比率均值的計(jì)算。⑴簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)這是在資料未分組情況下采用的一種計(jì)算方法。其中，是第i期的發(fā)展速度或比率。數(shù)據(jù)的整理與抽樣某企業(yè)“九五”期間產(chǎn)品銷(xiāo)售額的年增長(zhǎng)速度為因，所以可用對(duì)數(shù)計(jì)算幾何平均數(shù)。年份199519961997199819992000增長(zhǎng)速度(%)2718231625相對(duì)前一年(%)127118123116125相對(duì)1995(%)100127149.9184.3213.8267.3數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵加權(quán)幾何平均數(shù)在資料已經(jīng)分組，每個(gè)變量值出現(xiàn)次數(shù)或比重不等時(shí)，應(yīng)使用加權(quán)幾何平均。即對(duì)數(shù)計(jì)算公式為數(shù)據(jù)的整理與抽樣假設(shè)投資銀行某項(xiàng)投資的年利率按復(fù)利計(jì)算，25年的年利率分配為：有1年3%，有4年4%，有8年8%，有10年10%，有2年15%，求平均年利率。（單利：）數(shù)據(jù)的整理與抽樣3、中位數(shù)將一組變量值按大小順序排列，位于數(shù)列中間位置的變量值即為中位數(shù)。由于中位數(shù)居于數(shù)列正中，所以它可以作為代表一般水平和集中趨勢(shì)的代表值。在標(biāo)志變異度較大的情況下，可避免極端數(shù)值(不穩(wěn)健)的影響。⑴單項(xiàng)變量數(shù)數(shù)列

中位數(shù)為為中位數(shù)的位置。數(shù)據(jù)的整理與抽樣例：某班級(jí)28名學(xué)生的應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

72856492767387829666776557907169707468796053758872786167計(jì)算該班學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)。解：N=28，Me=(N+1)/2=(28+1)/2=14.5對(duì)成績(jī)順序排列后，X14=72，X15=73

數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵組距變量數(shù)列①確定中位數(shù)所在組計(jì)算公式為N/2或，N和為總次數(shù)；②計(jì)算中位數(shù)下限公式含有中位組均勻分布的假設(shè)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣其中，L—中位數(shù)所在組的下組限；—數(shù)值在L之下各組的累計(jì)次數(shù)；—中位數(shù)所在組的次數(shù)；

d—中位數(shù)所在組的組距。上限公式數(shù)據(jù)的整理與抽樣例：成績(jī)分組組中值人數(shù)50～6055211060～7065852070～80751182580～9085434090～100953285合計(jì)—282080數(shù)據(jù)的整理與抽樣解：N=28，L=70，Sm-1=10，=11，d=10顯然，數(shù)據(jù)的整理與抽樣例：

年收入額(元)農(nóng)戶(hù)數(shù)百分比(%)2600～280024082800～3000480163000～32001050353200～3400600203400～360027093600～380021073800～400012044200～4400301

合計(jì)3000100數(shù)據(jù)的整理與抽樣解：N=3000，L=3000，Sm-1=720，=1050，d=200顯然，數(shù)據(jù)的整理與抽樣4、四分位數(shù)四分位數(shù)是將數(shù)據(jù)排序后，將數(shù)據(jù)四等分的三個(gè)數(shù)值，其中中間的數(shù)值是中位數(shù)。在中位數(shù)與最大值和中位數(shù)與最小值之間再找到兩個(gè)數(shù)值，即可將數(shù)據(jù)四等分。四分位數(shù)的三個(gè)分割點(diǎn)的位置分別為數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑴上四分位數(shù)若上四分位數(shù)為Xi，則⑵下四分位數(shù)若下四分位數(shù)為Xj，則其中，表示向上取整。數(shù)據(jù)的整理與抽樣

在資料分組的情況下，四分位值的三個(gè)點(diǎn)分別以N/4、2N/4和3N/4定位，之后求3個(gè)四分位數(shù)。第i個(gè)四分位點(diǎn)的值為其中，—第i個(gè)分位值所在組的下限；—其前各組的累計(jì)次數(shù)；—其所在組的次數(shù)；—其所在組的組距。數(shù)據(jù)的整理與抽樣5、眾數(shù)眾數(shù)是將數(shù)據(jù)按大小順序排隊(duì)后，出現(xiàn)次數(shù)明顯最多或最有明顯集中趨勢(shì)的點(diǎn)的數(shù)值。它是指在總體中最常遇到的現(xiàn)象，即在一個(gè)數(shù)列中出現(xiàn)最多的標(biāo)志值。例如，大多數(shù)工人可完成的工作量、大多數(shù)人的收入、最一般的身高等。它不受變量數(shù)列極值的影響，用具有次數(shù)最多的標(biāo)志值描述集中趨勢(shì)，代表的范圍最廣。但是，眾數(shù)的取得必須在個(gè)體數(shù)足夠多且又有明顯集中趨勢(shì)時(shí)才有意義。數(shù)據(jù)的整理與抽樣如果分布沒(méi)有明顯的最高點(diǎn)，則眾數(shù)不存在。如果有兩個(gè)相同的最高點(diǎn)，也可有兩個(gè)眾數(shù)。M0M0M0M0數(shù)據(jù)的整理與抽樣眾數(shù)的確定方法⑴若為單項(xiàng)變量數(shù)列，則變量出現(xiàn)次數(shù)最多(頻率最高)的變量值就是眾數(shù)。

日班次平均加工零件數(shù)量(個(gè))x工人數(shù)(人)f5020553060806510705

合計(jì)145數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵若為等組距變量數(shù)列，則分兩步：年收入額(元)農(nóng)戶(hù)數(shù)百分比(%)2600～280024082800～3000480163000～32001050353200～3400600203400～360027093600～380021073800～400012044200～4400301

合計(jì)3000100數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑴確定眾數(shù)組頻次最高的一組為眾數(shù)組。3000～3200元之間；⑵計(jì)算眾數(shù)與眾數(shù)組相鄰的兩組數(shù)頻次的多少有關(guān)：①若相鄰兩組數(shù)的頻次相等，則眾數(shù)組的中值就是眾數(shù)；數(shù)據(jù)的整理與抽樣②若相鄰兩組數(shù)的頻次不等，則眾數(shù)為其中：L—眾數(shù)組的下限值；—眾數(shù)組與其下限相鄰組的頻次差；—眾數(shù)組與其上限相鄰組的頻次差；

d—眾數(shù)組的組距。(下限公式)數(shù)據(jù)的整理與抽樣在本例中，L=3000d=3200-3000=200=1050-480=570或=35%-16%=19%=1050-600=450或=35%-20%=15%則或上限公式為數(shù)據(jù)的整理與抽樣

例：計(jì)算全班學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的眾數(shù)。成績(jī)分組人數(shù)50～60260～70870～801180～90490～1003合計(jì)28數(shù)據(jù)的整理與抽樣

解：L=70，，，d=10

數(shù)據(jù)的整理與抽樣在度量集中趨勢(shì)的幾種均值指標(biāo)中，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)最為重要。三者之間存在如下關(guān)系：當(dāng)次數(shù)分布完全對(duì)稱(chēng)時(shí)，當(dāng)次數(shù)分布為偏態(tài)時(shí)，數(shù)據(jù)的整理與抽樣6、集中趨勢(shì)分析應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題⑴只有同質(zhì)總體才能計(jì)算平均值，各個(gè)體之間僅存在數(shù)量差異；⑵在分組的條件下，總體的均值不僅受組的均值大小的影響，同時(shí)還受總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)變動(dòng)的影響。當(dāng)總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化時(shí)，總體均值就不能全面、準(zhǔn)確地反映現(xiàn)象的特征和規(guī)律；數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑶應(yīng)以分布數(shù)量和典型事例作補(bǔ)充說(shuō)明總體的集中趨勢(shì)；⑷應(yīng)與離散趨勢(shì)分析相結(jié)合，以全面反映現(xiàn)象個(gè)體的差異。數(shù)據(jù)的整理與抽樣二、離散趨勢(shì)1、問(wèn)題的提出

集中趨勢(shì)反映了總體單位(個(gè)體)標(biāo)志值分布特征的一個(gè)重要方面，但僅用此指標(biāo)描述這些標(biāo)志的一般水平是不夠的。要全面描述總體單位標(biāo)志值的分布特征，必須對(duì)標(biāo)志值的差異性進(jìn)行研究。離中趨勢(shì)是指一組變量值背離分布中心值的特征，它與集中趨勢(shì)共同說(shuō)明總體的分布特征。數(shù)據(jù)的整理與抽樣2、離中趨勢(shì)度量的目的⑴描述總體內(nèi)部差異程度，反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的均衡性，為管理決策提供信息。班級(jí)語(yǔ)文數(shù)學(xué)歷史地理化學(xué)物理總評(píng)甲班82868083838483乙班75898478809283數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵衡量和比較均值指標(biāo)代表性的高低離中趨勢(shì)指標(biāo)數(shù)值的大小和均值代表程度高低有密切關(guān)系。離中趨勢(shì)指標(biāo)數(shù)值越大，均值的代表性就越小；而離中趨勢(shì)指標(biāo)數(shù)值越小，均值的代表性就越大。這充分說(shuō)明，均值代表性的大小必須與離中趨勢(shì)指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用。數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑶為選取樣本單位數(shù)提供依據(jù)。各個(gè)體標(biāo)志值變異度越小，即總體越一致，則為獲取代表性資料，只需選取較少的樣本單位；反之，就需要選取較多的樣本單位。數(shù)據(jù)的整理與抽樣3、離中趨勢(shì)度量方法⑴按總體內(nèi)單位標(biāo)志值差異距離度量。如極差、四分位差等；⑵按異眾比例度量；⑶按個(gè)體標(biāo)志值的平均離差度量。如平均差、標(biāo)準(zhǔn)差等。離中趨勢(shì)的度量由變異指標(biāo)給出，它可以是絕對(duì)數(shù)，也可以是相對(duì)數(shù)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣4、極差極差又稱(chēng)為全距，是數(shù)據(jù)離散或差異程度的最簡(jiǎn)單的測(cè)度值。全距的計(jì)算是數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差。即或數(shù)據(jù)的整理與抽樣例：計(jì)算全班學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)成績(jī)的極差。解：顯然，數(shù)據(jù)越分散，則極差越大。極差易受極端數(shù)據(jù)的影響，而中間數(shù)據(jù)的變化對(duì)它無(wú)任何影響。數(shù)據(jù)的整理與抽樣5、方差和標(biāo)準(zhǔn)差⑴方差①未分組數(shù)據(jù)

—總體方差；—樣本方差；

數(shù)據(jù)的整理與抽樣稱(chēng)n-1為自由度。因?yàn)楫?dāng)樣本確定之后，樣本n個(gè)數(shù)據(jù)中只有n-1個(gè)可以自由變動(dòng)，即樣本數(shù)據(jù)中只有n-1個(gè)誤差的有用信息。另一種解釋是，樣本方差之所以要除以n-1，是為保證樣本方差對(duì)總體方差估計(jì)的無(wú)偏性。數(shù)據(jù)的整理與抽樣②分組數(shù)據(jù)對(duì)于分組數(shù)據(jù)的方差，還要考慮各組的次數(shù)，即對(duì)其離差平方和加權(quán)。數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑵標(biāo)準(zhǔn)差σ、S標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的平方根。即數(shù)據(jù)的整理與抽樣⑶方差與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系方差與標(biāo)準(zhǔn)差的差異在于對(duì)離差的處理不同。①方差不僅便于數(shù)學(xué)上進(jìn)一步計(jì)算，而且其統(tǒng)計(jì)推斷的性質(zhì)也優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)差；②方差與標(biāo)準(zhǔn)差都是以均值為比較中心，它們都是離差的某種平均；③方差的大小不僅可以反映數(shù)據(jù)離