2023屆江蘇省南京師大蘇州實驗學校數(shù)學高三第一學期期末復習檢測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．2．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．803．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或55．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．設，均為非零的平面向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．在復平面內，復數(shù)（，）對應向量（O為坐標原點），設，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉的角為，則，法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導出復數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．168．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．49．若等差數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）．A．21 B．63 C．13 D．8410．設為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．11．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．12．已知為實數(shù)集，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對定義在上的函數(shù)，如果同時滿足以下兩個條件：（1）對任意的總有；（2）當，，時，總有成立.則稱函數(shù)稱為G函數(shù).若是定義在上G函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________.14．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為_____．15．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____．16．若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式各項系數(shù)和為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.18．（12分）已知圓上有一動點，點的坐標為，四邊形為平行四邊形，線段的垂直平分線交于點.（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點作直線與曲線交于兩點，點的坐標為，直線與軸分別交于兩點，求證：線段的中點為定點，并求出面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．20．（12分）已知.（1）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，判斷函數(shù)零點的個數(shù).21．（12分）如圖，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均為正三角形，E為AB的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積．22．（10分）近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫(yī)院隨機的對入院人進行了問卷調查得到了如下的列聯(lián)表：患心肺疾病不患心肺疾病合計男女合計已知在全部人中隨機抽取人，抽到患心肺疾病的人的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為患心肺疾病與性別有關？請說明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的位男性中，有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導市民盡可能地減少因霧霾天氣對身體的傷害，現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中，選出人進行問卷調查，求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考：（參考公式，其中）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

根據二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據，可得結果.【詳解】由題可知：當時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當時，所以項系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎題.3、B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎題4、B【解析】

根據漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.5、D【解析】

根據為等腰三角形，可求出點P的坐標，又由的斜率為可得出關系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于中檔題.6、B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．7、D【解析】

根據復數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復數(shù)的新定義題目、同時考查了復數(shù)模的求法，解題的關鍵是理解棣莫弗定理，將復數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎題.8、A【解析】

根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．9、B【解析】

由已知結合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求，，然后結合等差數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】解：因為，，所以，解可得，，，則．故選：B．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應用，屬于基礎題．10、D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算．【詳解】．故選：D．【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．11、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當時，.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎題.12、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【詳解】為實數(shù)集，，，或，．故選：．【點睛】本題考查交集、補集的求法，考查交集、補集的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：對任意的恒成立，解得，又在，恒成立，即，所以，從而可得.【詳解】因為是定義在上G函數(shù)，所以對任意的總有，則對任意的恒成立，解得，當時，又因為，，時，總有成立，即恒成立，即恒成立，又此時的最小值為，即恒成立，又因為解得.故答案為：【點睛】本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學生分析理解能力，屬于中檔題.14、【解析】

利用復數(shù)的乘法求解再根據純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復數(shù)為純虛數(shù),解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據復數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎題.15、2.【解析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點，利用點到直線的距離公式求解即可．【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結果：【點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質，涉及到點到直線距離公式的考查，屬于基礎題．16、1【解析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為：【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結果，需要掌握解題方法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉化為關于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因為橢圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設直線的斜率為，則，設，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設，所以，，因為，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查在直線與橢圓的位置關系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標準方程，屬于難題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）先畫出圖形，結合垂直平分線和平行四邊形性質可得為一定值，，故可確定點軌跡為橢圓（），進而求解；（Ⅱ）設直線方程為，點坐標分別為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，分別由點斜式求得直線KA的方程為，令得，同理得，由結合韋達定理即可求解，而，當重合交于點時，可求最值；【詳解】（Ⅰ），所以點的軌跡是一個橢圓，且長軸長，半焦距，所以，軌跡的方程為.（Ⅱ）當直線的斜率為0時，與曲線無交點.當直線的斜率不為0時，設過點的直線方程為，點坐標分別為.直線與橢圓方程聯(lián)立得消去，得.則，.直線KA的方程為.令得.同理可得.所以.所以的中點為.不妨設點在點的上方，則.【點睛】本題考查根據橢圓的定義求橢圓的方程，橢圓中的定點定值問題，屬于中檔題19、（1）；（2）【解析】

（1）,對函數(shù)求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.20、(1)(2)三個零點【解析】

(1)由題意知恒成立,構造函數(shù)，對函數(shù)求導，求得函數(shù)最值，進而得到結果；（2）當時先對函數(shù)求導研究函數(shù)的單調性可得到函數(shù)有兩個極值點，再證，.【詳解】（1）由得，由題意知恒成立，即，設，，時，遞減，時，，遞增；故，即，故的取值范圍是.（2）當時，單調，無極值；當時，，一方面，，且在遞減，所以在區(qū)間有一個零點.另一方面，，設，則，從而在遞增，則，即，又在遞增，所以在區(qū)間有一個零點.因此，當時在和各有一個零點，將這兩個零點記為，，當時，即；當時，即；當時，即：從而在遞增，在遞減，在遞增；于是是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點.下面證明：，由得，即，由得，令，則，①當時，遞減，則，而，故；②當時，遞減，則，而，故；一方面，因為，又，且在遞增，所以在上有一個零點，即在上有一個零點.另一方面，根據得，則有：，又，且在遞增，故在上有一個零點，故在上有一個零點.又，故有三個零點.【點睛】本題考查函數(shù)的零點，導數(shù)的綜合應用．在研究函數(shù)零點時，有一種方法是把函數(shù)的零點轉化為方程的解，再把方程的解轉化為函數(shù)圖象的交點，特別是利用分離參數(shù)法轉化為動直線與函數(shù)圖象交點問題，這樣就可利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性與極值，從而得出函數(shù)的變化趨勢，得出結論．21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接，交于點M，連接ME，證明；（Ⅱ）由題意可知點到平面ABC的距離等于點到平面ABC的距離，根據體積公式剩余部分的體積是.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接，交于點M，連接ME，則．因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為平面ABC，所以點到平面AB