第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用 課件-高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì),并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究[問題1]在等差數(shù)列{an}中,任意兩項(xiàng)an與am有怎樣的關(guān)系?能否用它們求公差?(其中n>m,m,n∈N*).知識(shí)探究1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及幾何意義(1)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).[做一做1]在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6=

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答案:0[問題2]若數(shù)列{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數(shù)列,則數(shù)列{pan+qbn}(p,q為常數(shù))是等差數(shù)列嗎?提示:由(pan+1+qbn+1)-(pan+qbn)=p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd+qd′可知,數(shù)列{pan+qbn}(p,q為常數(shù))是公差為pd+qd′的等差數(shù)列.2.若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論{c+an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an+an+k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*){pan+qbn}公差為pd+qd′的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))[思考1]等差數(shù)列去掉前面若干項(xiàng)后,剩下的項(xiàng)是否還構(gòu)成等差數(shù)列?提示:是.改變了首項(xiàng),公差不變.[思考2]等差數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)是否分別構(gòu)成等差數(shù)列?提示:是.公差為原來的2倍.C解析:{a3n}為等差數(shù)列,公差為原來的3倍.故選C.[問題3]若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am,an,ap,aq這四項(xiàng)之間有什么樣的關(guān)系?提示:由等差數(shù)列的定義可知,am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,容易發(fā)現(xiàn)am+an=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因?yàn)閙+n=p+q,故有am+an=ap+aq.3.等差數(shù)列“下標(biāo)和”的性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則

.特別的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),則有

.4.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….am+an=ap+aqam+an=2ap解析:(1)因?yàn)?a7=a8+5=a6+a8,因此,a6=5.故選A.[做一做3](1)(2021·四川成都高三月考)在等差數(shù)列{an}中,2a7=a8+5,則a6等于(

)A.5 B.10 C.55 D.60答案:(1)A解析:(2)由a2+a8=a4+a6,得a6=-1.(2)在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,則a6=

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答案:(2)-1師生互動(dòng)·合作探究[例1](1)在等差數(shù)列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值;探究點(diǎn)一等差數(shù)列的性質(zhì)解:(2)法一設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=37,所以a2+a4+a6+a8=4a1+16d=2(2a1+8d)=74.法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a3+a7=a4+a6=a2+a8,所以a2+a4+a6+a8=2(a3+a7)=2×37=74.(2)在等差數(shù)列{an}中,a3+a7=37,求a2+a4+a6+a8的值.方法總結(jié)等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)基本方法:根據(jù)已知條件,列出關(guān)于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)巧用性質(zhì)法:觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào),若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.[針對(duì)訓(xùn)練](1)在等差數(shù)列{an}中,a1+a8+a15=72,則a2+a14的值為(

)A.6 B.12 C.24 D.48解析:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知,2a8=a1+a15=a2+a14,由a1+a8+a15=72,所以a8=24,即a2+a14=2a8=48.故選D.(2)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺,芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺,則冬至的日影子長(zhǎng)為(

)A.4 B.8.5 C.12.5 D.15.5探究點(diǎn)二等差數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)判斷數(shù)列{cn}是否為等差數(shù)列,并說明理由;(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,試求數(shù)列{an}的公差d及通項(xiàng)公式.解:(2)因?yàn)閍1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以兩式相減得13d=-13,所以d=-1.因?yàn)閍1+a3+…+a25=130,所以13a13=130?a13=10?a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.方法總結(jié)解決等差數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng).(2)利用通項(xiàng)公式,得到一個(gè)以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.[針對(duì)訓(xùn)練]已知{an}是等差數(shù)列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;[針對(duì)訓(xùn)練]已知{an}是等差數(shù)列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(2)若從數(shù)列{an}中,依次取出第2項(xiàng),第4項(xiàng),第6項(xiàng),…,第2n項(xiàng),按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn},試求出{bn}的通項(xiàng)公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.當(dāng)n>1時(shí),a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.[例3]某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品,第1年獲利200萬元,從第2年起由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因,利潤(rùn)每年比上一年減少20萬元,按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品,也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略,從哪一年起,該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損?探究點(diǎn)三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用解:由題意可知,設(shè)第1年獲利為a1,第n年獲利為an,則an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an},且首項(xiàng)a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an<0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損,由an=-20n+220<0,解得n>11,即從第12年起,該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.方法總結(jié)(1)在實(shí)際問題中,若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題,可考慮利用數(shù)列方法解決,若這組數(shù)依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí),一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量.[針對(duì)訓(xùn)練]某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km,起步價(jià)為10元,即最初的4km(不含4km)計(jì)費(fèi)10元,如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時(shí)間為0,那么需要支付多少車費(fèi)?解:根據(jù)題意,當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí),每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an}來計(jì)算車費(fèi).令a1=11.2,表示4km處的車費(fèi),公差d=1.2,那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí),n=11,此時(shí)需要支付車費(fèi)a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付車費(fèi)23.2元.備用例題[例1]在兩個(gè)等差數(shù)列2,5,8,…,197與2,7,12,…,197中,求它們的相同項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)公式及相同項(xiàng)的個(gè)數(shù).[例2]在通常情況下,從地面到10km高空,高度每增加1km,氣溫就下降某一個(gè)固定數(shù)值.如果1km高度的氣溫是8.5℃,5km高度的氣溫是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的氣溫.解:用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列,則a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n.所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃,-11℃,-37℃.學(xué)海拾貝等差數(shù)列的函數(shù)特性——單調(diào)性若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為a1,公差為d,則an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).當(dāng)d=0時(shí),an=a1,an是n的常數(shù)函數(shù).當(dāng)d≠0時(shí),an是n的一次函數(shù).此時(shí)點(diǎn)(n,an)落在直線y=dx+(a1-d)(d≠0)上,這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1,函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.當(dāng)d=0時(shí),數(shù)列{an}是常數(shù)列.從函數(shù)角度研究等差數(shù)列可培養(yǎng)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).典例探究:已知在數(shù)列{an}中,a1=32,a17=-32,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解:(1)由題意知,數(shù)列{an}為等差數(shù)列,可設(shè)an=an+b,則a1=a+b=32,①a17=17a+b=-32.②由①②得a=-4,b=36.故an=-4n+36(n∈N*).解:(2)令-4n+36=-88,得n=31.故-88是數(shù)列{an}中的項(xiàng).典例探究:已知在數(shù)列{an}中,a1=32,a17=-32,通項(xiàng)公式是項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).(2)-88是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)?(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)起開始為負(fù)?解:(3)令-4n+36<0,則n>9.故數(shù)列{an}從第10項(xiàng)起為負(fù).當(dāng)堂檢測(cè)D1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2+a5=a6+a3,則a4等于(

)A.28 B.14 C.7 D.2解析:由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得a4+a5=a6+a3,又2+a5=a6+a3,則a4=2.故選D.2.(2022·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a