電磁場與波邊值問題的解法

關于電磁場與波邊值問題的解法第1頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五

3.1邊值問題的提法(分類)3.1.1邊值問題的分類1狄利克雷問題：給定整個場域邊界面S上各點電位的（函數(shù)）值2聶曼問題：給定待求位函數(shù)在邊界面上的法向?qū)?shù)值3混合邊值問題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合

另外，若場域在無限遠處，電荷分布在有限區(qū)域，則有自然邊界條件若邊界面是導體，邊界條件轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎徊糠謱w表面的電位或另一部分導體表面的電荷量。第2頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五3.1.2泊松方程和拉普拉斯方程1泊松方程(Poisson‘sEquation)在線性、各向同性、均勻的電介質(zhì)中，稱之為靜電場的泊松方程，它表示求解區(qū)域的電位分布取決于當?shù)氐碾姾煞植肌?拉普拉斯方程(Laplace'sEquation)

電荷分布在導體表面的靜電場問題，在感興趣的區(qū)域內(nèi)多數(shù)點的體電荷密度等于零，即ρV=0，因而有▽2φ=0稱為拉普拉斯方程。第3頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五例1:

已知無限長同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為和，如圖所示，電纜中填充均勻介質(zhì)，內(nèi)外導體間的電位差為，外導體接地。求其間各點的電位和電場強度。解：根據(jù)軸對稱的特點和無限長的假設，可確定電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標系積分由邊界條件則：第4頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五3.2唯一性定理1定理內(nèi)容在靜電場中，每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即靜電場的唯一性定理。2證明過程利用反證法來證明在第一類邊界條件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。設在給定邊界上的電位時，拉普拉斯方程有φ1和φ2兩個解，由于拉普拉斯方程是線性的，兩個解的差φ′=φ1-φ2也滿足方程第5頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五考慮一個由表面邊界S包圍的體積V，由格林第一定理令得φ′及其法向?qū)?shù)在邊界S上的值為零因為又因為邊界條件，得常數(shù)=0在閉合曲面S上，φ1和φ2都滿足給定的邊界條件，即或第6頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五3.1.3靜電場邊界值問題的間接解法唯一性定理邊值問題數(shù)值法解析法分離變量法鏡像法有限差分法第7頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五3.3鏡像法理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。鏡像：暫時忽略邊界的存在，在所求區(qū)域之外放置一個或多個虛設的等效電荷來代替導體表面上感應電荷的作用，此虛擬的電荷被稱為實際電荷的鏡像。這種求解方法稱為鏡像法。原電荷與鏡像電荷共同作用在邊界上保持邊界條件不變。第8頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五

待求場域：上半空間邊界：無限大導體平面邊界條件：點電荷對無限大接地導體平面的鏡像

導體平面導體平面在空間的電位為點電荷q

和鏡像電荷-q

所產(chǎn)生的電位疊加，即電位滿足邊界條件導體平面邊界上：第9頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五上半空間的電場強度：電位：第10頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五導體表面感應電荷導體表面上感應電荷總量導體表面上感應電荷對點電荷的作用力第11頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五2線電荷對無限大接地導體平面的鏡像

將無限長的線電荷看作無數(shù)個點電荷的集合。根據(jù)點電荷對無限大接地導體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應的鏡像電荷仍為平行于導體表面的線電荷，其電荷密度為沿軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導體平面的上方zyy其鏡像電荷仍是無限長線電荷第12頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五在的上半空間中，電位函數(shù)為yz上半空間的電場待求場域中的電位y第13頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五3點電荷對半無限大接地導體角域的鏡像

由兩個半無限大接地導體平面形成角形邊界，當其夾角為，而為整數(shù)時，該角域中的點電荷將有個個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解。當n=4時：該角域外有3個鏡像電荷q1、q2和q3，位置如圖所示。其中第14頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五當n=6時：角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂點的距離。n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。q/3/3q第15頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五4.

點電荷對導體球面的鏡像設一點電荷q位于半徑a為的接地導體球附近，與球心的距離為d，如圖所示。待求場域為r>a區(qū)域，邊界條件為導體球面上電位為零。設想在待求場域之外有一鏡像電荷q′，位置如圖所示。根據(jù)鏡像法原理，q和q′在球面上的電位為零。第16頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五點電荷與接地導體球周圍的電場aa第17頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五在球面上任取一點c，則空間任意點的電位：第18頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五導體球不接地：a—a第19頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五導體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導體球上感應電荷代數(shù)和應為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷

q″=－q′球外任一點電位：

球面上任一點電位：為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷q″應位于球心處。第20頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五例3：有一接地導體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各

有一點電荷q1和q2

，與球心距離分別為d1和d2

，如圖所示。

求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。球殼外：邊界為r=a2的導體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為球殼外區(qū)域任一點電位為解：第21頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五球殼內(nèi)：邊界為r=a1的導體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷的位置和大小分別為球殼內(nèi)區(qū)域任一點電位為球殼中：球殼中為導體區(qū)域，導體為等位體，球殼中的電位為零。用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。第22頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五5線電荷對導體圓柱面的鏡像待求區(qū)域：邊界條件：柱面上電位為零設想鏡像線電荷位于對稱面上，且與圓柱軸線距離為b，則導體柱面外任一點的電位表示為（分別以ρ、ρ’處為坐標系中心）

無限長接地導體圓柱的半徑為a，在距離軸線為d（d>a）處有一無限長線電荷與圓柱平行，計算空間各部分的電位。第23頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五對任意θ成立，第24頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五兩平行線電荷的電位分布第25頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五四、分離變量法理論基礎惟一性定理分離變量法的主要步驟根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當?shù)淖鴺讼?，正確寫出該坐標系下拉普拉斯的表達式，及給定的邊界條件。經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。第26頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五直角坐標系中二維拉普拉斯方程分離變量法本征方程的求解(1)當時本征函數(shù)本征方程本征值第27頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五(2)當時，設或由本征方程為：則：第28頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五(3)當時，設由本征方程為：或則：第29頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五應用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解三種解的特點：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說明它們最多只有一個零點；第二種解中，X(x)為三角函數(shù)，有多個零點，Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個零點；第三種解中，X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個零點，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個零點。第30頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五解:

選直角坐標系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程

邊界條件：例：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。第31頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五設，代入式(1)中得:根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個零點，因此X(x)應為三角函數(shù)形式，又因為X(0)=0，所以X(x)應選取正弦函數(shù)，即由邊界條件(3)得：第32頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五對應的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為此時，電位可表示為由邊界條件(5)知

第33頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五對上式兩邊同乘以，再對x從0到a進行積分，即第34頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五滿足邊界條件的特解為：第35頁，共38頁，2022年，5月20日，11點53分，星期五