2019-2020學(xué)年浙江省紹興市諸暨市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷

第第23頁(共19頁)已過拋物線C:X2=4y的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，以A,B兩點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線，兩條直線交于P點(diǎn).當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；|PA|當(dāng)空=2時(shí)，求直線l的方程.|PB|【解答】解：(1)依題可知F(0,1)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，則l的方程為y=1，x21所以可得A(2,1)，B(—2,1)，又X2=4y可得y二一，y'二-x;422—2所以在A，B處的切線分另U為：y一1=-(x一2)，y一1=—(x+2)，即y=x一1，y=—x一1,22聯(lián)立兩切線可得卩一x—1解得x=0，y=—1，所以P(0,—1)?Iy=—x-1(2)設(shè)l的方程為：y=kx+1，A(x',y')，B(x'',y'')，則聯(lián)立有LC整理得：x2一4kx一4=0，所以x'+x''=4k，x'x''i在A處的切線為：y-4x2=-m-x)，即y=-x'x-4宀同理可得，在B處切線：y-1x''2=-x''(x-x'')，即y=1x''x一4x〃2,1'1'y=xx—x2x+xx+x八解得x=，y=—1，即點(diǎn)P(，—1).1''1''2"2y=x''x一x''224，x'、,x'+x''八1Lzx'、八IPAI=、.1+(—)2I一xI=&'1+(—)2gx''—xI，222飛2同理可得：IPB1=丄「1+(—)2gx〃一x'I,2'2所以—=IPBI1+(f)所以—=IPBI1+(f)21+(T)2紀(jì)=2一x'2+4=4("+4)’又兀0=—4，解得x''2=1.x''=±1，所以?=一1或｛又兀0=—4，3所以直線方程為：y=±3x+1.4已知函數(shù)f(x)=ex+1(1ex+1—ax+a-1)，其中e=2.718...是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，g(x)=f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).

若g(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，求a的值；7當(dāng)a=—時(shí)，求證：若x豐x,且x+x=-2，則f(x)+f(x)>2.8121212【解答】解：(1)g(x)=f'(x)=ex+i(1ex+i一ax一1)，g'(x)=ex+i(ex+i-ax一a一1),由題意g(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，故G(x)=ex+i一ax一a一1..0恒成立，由于G(-1)=0，所以G'(—l)=0，解得a=1.解法1：消元求導(dǎo)：1—11—-(2)f(x)=ex+1(ex+1-x-—)=ex+1(ex+1-(x+1)+)，1—-'令x+1=t，t+1=0，不妨^設(shè)t=x+1>0，h(t)=et(et—t+)，1224841—-1—-令H(t)=h(t)+h(—t)=et(et—t+)+e-t(e-t+t+)，題即證明當(dāng)t題即證明當(dāng)t>0時(shí)，H(t)>21—11—11—1H'(t)=et(et—t—)—e-t(e-t+t—)=(et+e-t)(et—e-t)—t(et+e-t)—(et—e-t)7/=—(et+e-t8[(et7/=—(et+e-t8[(et一e-t)]=(et+e-t)一1...0,22—e-t)—t]+(et—e-t)[(et+e-t)—2]...016因?yàn)镠(0)=2，所以當(dāng)t>0時(shí)，H(t)>2，得證.解法2：切線放縮：1—3化解過程同上，原題即證明當(dāng)t>0時(shí)，H(t)=h(t)+h(-t)>2，h(t)=et(-et--1+-)，841—-注意到h(0)=e0(e0-x0+-)=1，1—-1—1-求出h(t)=et(才et-t+)在(0,1)處的切線方程，則h'(t)=etet--1--)，即h'(0)=,則：切線方程為y=-1+1.-下面證明h(t).t+1恒成立(t>0)；8-令F(t)=h(t)--1-1，81—1-則F'(t)=et(et-t-)-=0nt=0，得F'(t)>0在t>0恒成立，2888第第19頁（共19頁）第/