圓周角 公開課課件

第二十四章圓24.1.4圓周角24.1

圓的有關性質九年級數(shù)學·上新課標[人]第二十四章圓24.1.4圓周角24.1圓1〔解析〕

欲證AF=CF，只需證明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是

所對的圓周角.而由條件可知

，因此只需找出

所對的圓周角是否與∠ACF相等即可.而構造

所對的圓周角需要連接BC，此時恰好構造了直徑所對的圓周角∠ACB,也可以延長CD交圓于點H,由垂徑定理可得

，則問題得解;還可以連接OC，根據(jù)CD⊥AO，CO⊥AE得到∠DCO=∠DAE，進而得到∠FCA=∠CAF，則可得AF=CF.圓周角定理的綜合應用考查角度1

利用圓周角定理證明兩線段(或兩弧)相等如圖24-47所示，AB是☉O的直徑,C是

的中點，CD⊥AB于點D，交AE于點F，連接AC.求證AF=CF.〔解析〕欲證AF=CF，只需證明∠ACF=∠CAF，其中∠2證法1:連接BC,如圖24-48所示.∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.又∵點C是

的中點,∴

∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.證法1:連接BC,如圖24-48所示.∵AB是☉O的直徑3證法2:如圖24-49所示，延長CD交☉O于點H.∵AB是直徑,CD⊥AB,∴

又∵點C是

的中點,∴，∴

，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.證法2:如圖24-49所示，延長CD交☉O于點H.∵AB4證法3:連接OC，如圖24-50所示.∵

，OC過圓心，∴CO⊥AE，∴∠COD+∠OAE=90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠DAE.∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.【解題歸納】

(1)在圓中通過“連接”構造同弧或等弧所對的圓周角是常用的輔助線作法.(2)在已知條件中,若有與半徑或直徑垂直的線段,常延長此線段與圓相交,這樣可利用垂徑定理得線段相等或弧相等.證法3:連接OC，如圖24-50所示.∵5證明:(1)

∵AD為直徑，AD⊥BC，∴由垂徑定理得

，∴BD=CD.1.如圖所示，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD.(1)求證BD=CD；(2)請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上，并說明理由.證明:(1)∵AD為直徑，AD⊥BC，1.如圖所示，AD為6解:(2)

B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.理由如下:如圖67所示，由(1)知

，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠4=∠5，∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE.由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.解:(2)B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.7考查角度2

圓周角與平面直角

坐標系的綜合應用例2如圖24-51所示,已知CO,CB是☉O'的弦，☉O‘與平面直角坐標系的x軸、y軸分別相交于點B,O和A，O，若∠COB=45°，∠OBC=75°,點A的坐標為(0，2)，求☉O'的直徑.〔解析〕

連接AB,由平面直角坐標系的性質可知∠AOB=90°,所以AB是圓的直徑,利用三角形的內角和定理易求得∠C=60°,再根據(jù)圓周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°,從而可以在Rt△AOB中求出AB的長.解:連接AB，如圖24-51所示.∵∠AOB=90°，∴AB是圓的直徑，∵∠BOC=45°，∠OBC=75°,∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,∵A點坐標為(0，2)，∴AO=2.在Rt△AOB中，AB=2OA=4，∴☉O'的直徑AB的長度為4.【解題歸納】

本題考查了三角形的內角和定理和圓周角定理的運用,解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形,并且利用圓周角定理確定AB是圓的直徑.考查角度2圓周角與平面直角例2如圖24-51所示,已知8[提示:如圖68所示,連接BC，∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8，OC=6.∵∠BOC=90°，∴=10，且BC為直徑，則☉A的半徑為5.]2.(自貢中考)如圖所示，在平面直角坐標系中，☉A經過原點O，并且分別與x軸、y軸交于B，C兩點，已知B(8，0)，C(0，6)，則☉A

的半徑為 (

)A.3

B.4

C.5

D.8C[提示:如圖68所示,連接BC，2.(自貢中考)如圖所示，在9圓內接四邊形與垂徑定理的綜合應用例3如圖24-52所示，四邊形ABCD的四個頂點都在☉O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求證2OF=CD.〔解析〕作直徑AG,再連接BG,利用三角形中位線定理可得2OF=BG,只需證明BG=CD.證明:如圖24-52所示，過A點作直徑AG，連接BG，CG.∵AG為☉O的直徑，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，∴

，∴DC=BG.∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，∴OF是△ABG的一條中位線，∴2OF=BG.∴2OF=CD.【解題歸納】

在圓中遇到中點,且要證一條線段的長度是另一條線段長度的2倍時,常作的輔助線是三角形的中位線.圓內接四邊形與垂徑定理的綜合應用例3如圖24-52所示，10證明:(1)

∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴

，∴BD=DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=ID.∴BD=DC=DI.

3.如圖所示，點A，B，C都在☉O上，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I，延長AI交圓O于點D，連接BD，DC.(1)求證BD=DC=DI；(2)若圓O的半徑為10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面積.證明:(1)∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，11又由圓的對稱性可知∠OBD=∠CBD=30°.延長CO交BD于E，則CE⊥BD.由題意知OB=10cm，又∠OBE=30°，∴在Rt△OBE中，OE=OB=×10=5(cm)，∴BE=(cm)，∴BD=2BE=10cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，∴S△BDC=×BD×CE=×10×15=75(cm2).解:(2)

當∠BAC=120°時，△ABC為鈍角三角形，∴圓心O在△ABC外，連接OB,OD,OC，則∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°，∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，∴△BDC為正三角形.又由圓的對稱性可知∠OBD=∠CBD=30°.延長C12如圖24-53所示，在☉O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是

上一點(不與C,D重合),求證∠CPD=∠COB；(2)點P‘在劣弧CD上(不與C,D重合)時，∠CP'D與∠COB有什么數(shù)量關系?請證明你的結論.運用圓心角、圓周角的性質探究角的關系例4〔解析〕本題兩個需證明的結論都是圓心角與圓周角的關系,故可考慮應用同弧(等弧)所對的圓心角、圓周角關系進行證明.如圖24-53所示，在☉O中，AB是直徑，CD是弦，AB13證明:(1)連接OD，如圖(1)所示.∵AB是直徑，AB⊥CD，∴

.∴∠COB=∠DOB=∠COD.又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB.證明:(1)連接OD，如圖(1)所示.∵AB是直徑，AB⊥C14解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如圖(2)所示，連接OD.∵∠CPD+∠CP‘D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP'D+∠COB=180°.解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如圖(154.圓上兩條弦AB,CD所在直線交于點P,則AB,CD之間夾的弧為,.若

所對的圓周角為m°,所對的圓周角為n°,如圖所示三種情況,AB,CD的夾角∠APC與m°,n°之間的關系式是什么?解:①如圖69所示，當AB，CD的交點P在圓內時,連接BC，則有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.4.圓上兩條弦AB,CD所在直線解:①如圖69所示，當AB，16②當AB,CD的交點P在圓上時，點B與點D重合，所對的圓周角的度數(shù)變成0°，即n=0，則∠APC=m°.③如圖70所示，當AB,CD的交點P在圓外時，連接BC(不妨認為m>n)，則有∠ABC=∠APC+∠DCB，∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.

②當AB,CD的交點P在圓上時，點B與點D重合，所對17圓周角定理及其推論的綜合運用例5如圖24-55所示,已知AB是☉O的一條弦,點C為

的中點,CD是☉O的直徑,過點C的直線l交AB所在直線于點E,交☉O于點F.(1)判斷圖中∠CEB與∠FDC的數(shù)量關系,并寫出結論;(2)將直線l繞C點旋轉(與CD不重合),在旋轉過程中,點E、點F的位置也隨之變化,請你在圖24-55的兩個備用圖中分別畫出在不同位置時,使(1)的結論仍然成立的圖形,標上相應字母,選其中一個圖形給予證明.圓周角定理及其推論的綜合運用例5如圖24-55所示,已知18〔解析〕直線l與直線AB的交點E的位置可以分為三類:(1)點E在線段AB上.(2)點E在線段BA的延長線上；(3)點E在線段AB的延長線上.解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下:∵CD是☉O的直徑，點C為

的中點，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直徑，∴∠CFD=90°.∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.〔解析〕直線l與直線AB的交點E的位置可以分為三類:(1)點19(2)如圖24-56所示.答案不唯一.選擇圖(2)證明如下:∵CD是☉O的直徑，點C為

的中點，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直徑,∴∠CFD=90°.∴∠FDC+

∠

ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.(2)如圖24-56所示.答案不唯一.選擇圖(2)證明如205.如圖所示，△ABC的三個頂點在☉O上，AD⊥BC，D為垂足，E是

的中點，求證∠OAE=∠EAD.(寫出兩種以上的證明方法)證法1:如圖71所示,連接OB，則∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC,∴∠OAB=(180°-∠AOB)=90°-∠AOB=90°-∠ACB=∠DAC.∵E是

的中點，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.5.如圖所示，△ABC的三個頂點在☉O上，證法1:如圖71所21證法2:如圖72所示，連接OE，∵E是

的中點，∴

，∴OE⊥BC.∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD.∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD.證法2:如圖72所示，連接OE，∵E是的中點，22圓周角公開課課件23圓周角公開課課件24圓周角公開課課件25圓周角公開課課件26圓周角公開課課件27圓周角公開課課件28圓周角公開課課件29圓周角公開課課件30第二十四章圓24.1.4圓周角24.1

圓的有關性質九年級數(shù)學·上新課標[人]第二十四章圓24.1.4圓周角24.1圓31〔解析〕

欲證AF=CF，只需證明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是

所對的圓周角.而由條件可知

，因此只需找出

所對的圓周角是否與∠ACF相等即可.而構造

所對的圓周角需要連接BC，此時恰好構造了直徑所對的圓周角∠ACB,也可以延長CD交圓于點H,由垂徑定理可得

，則問題得解;還可以連接OC，根據(jù)CD⊥AO，CO⊥AE得到∠DCO=∠DAE，進而得到∠FCA=∠CAF，則可得AF=CF.圓周角定理的綜合應用考查角度1

利用圓周角定理證明兩線段(或兩弧)相等如圖24-47所示，AB是☉O的直徑,C是

的中點，CD⊥AB于點D，交AE于點F，連接AC.求證AF=CF.〔解析〕欲證AF=CF，只需證明∠ACF=∠CAF，其中∠32證法1:連接BC,如圖24-48所示.∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.又∵點C是

的中點,∴

∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.證法1:連接BC,如圖24-48所示.∵AB是☉O的直徑33證法2:如圖24-49所示，延長CD交☉O于點H.∵AB是直徑,CD⊥AB,∴

又∵點C是

的中點,∴，∴

，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.證法2:如圖24-49所示，延長CD交☉O于點H.∵AB34證法3:連接OC，如圖24-50所示.∵

，OC過圓心，∴CO⊥AE，∴∠COD+∠OAE=90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠DAE.∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.【解題歸納】

(1)在圓中通過“連接”構造同弧或等弧所對的圓周角是常用的輔助線作法.(2)在已知條件中,若有與半徑或直徑垂直的線段,常延長此線段與圓相交,這樣可利用垂徑定理得線段相等或弧相等.證法3:連接OC，如圖24-50所示.∵35證明:(1)

∵AD為直徑，AD⊥BC，∴由垂徑定理得

，∴BD=CD.1.如圖所示，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD.(1)求證BD=CD；(2)請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上，并說明理由.證明:(1)∵AD為直徑，AD⊥BC，1.如圖所示，AD為36解:(2)

B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.理由如下:如圖67所示，由(1)知

，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠4=∠5，∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE.由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.解:(2)B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.37考查角度2

圓周角與平面直角

坐標系的綜合應用例2如圖24-51所示,已知CO,CB是☉O'的弦，☉O‘與平面直角坐標系的x軸、y軸分別相交于點B,O和A，O，若∠COB=45°，∠OBC=75°,點A的坐標為(0，2)，求☉O'的直徑.〔解析〕

連接AB,由平面直角坐標系的性質可知∠AOB=90°,所以AB是圓的直徑,利用三角形的內角和定理易求得∠C=60°,再根據(jù)圓周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°,從而可以在Rt△AOB中求出AB的長.解:連接AB，如圖24-51所示.∵∠AOB=90°，∴AB是圓的直徑，∵∠BOC=45°，∠OBC=75°,∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,∵A點坐標為(0，2)，∴AO=2.在Rt△AOB中，AB=2OA=4，∴☉O'的直徑AB的長度為4.【解題歸納】

本題考查了三角形的內角和定理和圓周角定理的運用,解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形,并且利用圓周角定理確定AB是圓的直徑.考查角度2圓周角與平面直角例2如圖24-51所示,已知38[提示:如圖68所示,連接BC，∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8，OC=6.∵∠BOC=90°，∴=10，且BC為直徑，則☉A的半徑為5.]2.(自貢中考)如圖所示，在平面直角坐標系中，☉A經過原點O，并且分別與x軸、y軸交于B，C兩點，已知B(8，0)，C(0，6)，則☉A

的半徑為 (

)A.3

B.4

C.5

D.8C[提示:如圖68所示,連接BC，2.(自貢中考)如圖所示，在39圓內接四邊形與垂徑定理的綜合應用例3如圖24-52所示，四邊形ABCD的四個頂點都在☉O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求證2OF=CD.〔解析〕作直徑AG,再連接BG,利用三角形中位線定理可得2OF=BG,只需證明BG=CD.證明:如圖24-52所示，過A點作直徑AG，連接BG，CG.∵AG為☉O的直徑，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，∴

，∴DC=BG.∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，∴OF是△ABG的一條中位線，∴2OF=BG.∴2OF=CD.【解題歸納】

在圓中遇到中點,且要證一條線段的長度是另一條線段長度的2倍時,常作的輔助線是三角形的中位線.圓內接四邊形與垂徑定理的綜合應用例3如圖24-52所示，40證明:(1)

∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴

，∴BD=DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=ID.∴BD=DC=DI.

3.如圖所示，點A，B，C都在☉O上，∠BAC與∠ABC的平分線相交于點I，延長AI交圓O于點D，連接BD，DC.(1)求證BD=DC=DI；(2)若圓O的半徑為10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面積.證明:(1)∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，41又由圓的對稱性可知∠OBD=∠CBD=30°.延長CO交BD于E，則CE⊥BD.由題意知OB=10cm，又∠OBE=30°，∴在Rt△OBE中，OE=OB=×10=5(cm)，∴BE=(cm)，∴BD=2BE=10cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，∴S△BDC=×BD×CE=×10×15=75(cm2).解:(2)

當∠BAC=120°時，△ABC為鈍角三角形，∴圓心O在△ABC外，連接OB,OD,OC，則∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°，∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，∴△BDC為正三角形.又由圓的對稱性可知∠OBD=∠CBD=30°.延長C42如圖24-53所示，在☉O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是

上一點(不與C,D重合),求證∠CPD=∠COB；(2)點P‘在劣弧CD上(不與C,D重合)時，∠CP'D與∠COB有什么數(shù)量關系?請證明你的結論.運用圓心角、圓周角的性質探究角的關系例4〔解析〕本題兩個需證明的結論都是圓心角與圓周角的關系,故可考慮應用同弧(等弧)所對的圓心角、圓周角關系進行證明.如圖24-53所示，在☉O中，AB是直徑，CD是弦，AB43證明:(1)連接OD，如圖(1)所示.∵AB是直徑，AB⊥CD，∴

.∴∠COB=∠DOB=∠COD.又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB.證明:(1)連接OD，如圖(1)所示.∵AB是直徑，AB⊥C44解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如圖(2)所示，連接OD.∵∠CPD+∠CP‘D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP'D+∠COB=180°.解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如圖(454.圓上兩條弦AB,CD所在直線交于點P,則AB,CD之間夾的弧為,.若

所對的圓周角為m°,所對的圓周角為n°,如圖所示三種情況,AB,CD的夾角∠APC與m°,n°之間的關系式是什么?解:①如圖69所示，當AB，CD的交點P在圓內時,連接BC，則有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.4.圓上兩條弦AB,CD所在直線解:①如圖69所示，當AB，46②當AB,CD的交點P在圓上時，點B與點D重合，所對的圓周角的度數(shù)變成0°，即n=0，則∠APC=m°.③如圖70所示，當AB,CD的交點P在圓外時，連接BC(不妨認為m>n)，則有∠ABC=∠APC+∠DCB，∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.

②當AB,CD的交點P在圓上時，點B與點D重合，所對47圓周角定理及其推論的綜合運用例5如圖24-55所示,已知AB是☉O的一條弦,點C為

的中點,CD是☉O的直徑,過點C的直線l交AB所