2023屆福建省莆田市七中數(shù)學高三上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是等差數(shù)列的前項和,,,則()A.85 B. C.35 D.2.某網店2019年全年的月收支數(shù)據如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元3.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知實數(shù),,函數(shù)在上單調遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.6.若直線經過拋物線的焦點,則()A. B. C.2 D.7.已知在平面直角坐標系中,圓:與圓:交于,兩點,若,則實數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-28.在正方體中,球同時與以為公共頂點的三個面相切,球同時與以為公共頂點的三個面相切,且兩球相切于點.若以為焦點,為準線的拋物線經過,設球的半徑分別為,則()A. B. C. D.9.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術數(shù)之源,其中河圖的排列結構是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對值為5的概率為A. B. C. D.10.已知曲線,動點在直線上,過點作曲線的兩條切線,切點分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.11.已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-12.已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等,是的中點,則所成的角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正方體的棱長為2,是它的內切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是______.14.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么此四棱錐的體積為______.15.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.16.根據如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數(shù)的單調區(qū)間.18.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點D,E分別在邊,上);再取的中點M,建造直道(如圖).設,,(單位:百米).(1)分別求,關于x的函數(shù)關系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.19.(12分)某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃,需了解年研發(fā)資金投入量x(單位:億元)對年銷售額y(單位:億元)的影響.該公司對歷史數(shù)據進行對比分析,建立了兩個函數(shù)模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據,i=1,2,?,12,并對這些數(shù)據作了初步處理,得到了右側的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)設ui和yi的相關系數(shù)為r1,xi和(2)(i)根據(1)的選擇及表中數(shù)據,建立y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(ii)若下一年銷售額y需達到90億元,預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關系數(shù)r=i=1n(xi-x②參考數(shù)據:308=4×77,90≈9.4868,e20.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系.已知點的直角坐標為,過的直線與曲線相交于,兩點.(1)若的斜率為2,求的極坐標方程和曲線的普通方程;(2)求的值.21.(12分)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求,的值;(2)證明函數(shù)存在唯一的極大值點,且.22.(10分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設,,求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將已知條件轉化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設公差為,則,所以,,,.故選:B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和的計算,屬于基礎題.2、D【解析】

直接根據折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學生的理解能力和應用能力.3、C【解析】

先從函數(shù)單調性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)單調性和不等式的基礎知識,屬于中檔題.4、D【解析】

根據題意,對于函數(shù)分2段分析:當,由指數(shù)函數(shù)的性質分析可得①,當,由導數(shù)與函數(shù)單調性的關系可得,在上恒成立,變形可得②,再結合函數(shù)的單調性,分析可得③,聯(lián)立三個式子,分析可得答案.【詳解】解:根據題意,函數(shù)在上單調遞增,

當,若為增函數(shù),則①,

當,若為增函數(shù),必有在上恒成立,

變形可得:,

又由,可得在上單調遞減,則,

若在上恒成立,則有②,

若函數(shù)在上單調遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③

聯(lián)立①②③可得:.

故選:D.【點睛】本題考查函數(shù)單調性的性質以及應用,注意分段函數(shù)單調性的性質.5、A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點:函數(shù)的定義域.6、B【解析】

計算拋物線的交點為,代入計算得到答案.【詳解】可化為,焦點坐標為,故.故選:.【點睛】本題考查了拋物線的焦點,屬于簡單題.7、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結合圓的性質可知O在兩個圓心的連線上,從而可求.【詳解】因為,所以O在AB的中垂線上,即O在兩個圓心的連線上,,,三點共線,所以,得,故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質應用,幾何性質的轉化是求解的捷徑.8、D【解析】

由題先畫出立體圖,再畫出平面處的截面圖,由拋物線第一定義可知,點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離因此球內切于正方體,設,兩球球心和公切點都在體對角線上,通過幾何關系可轉化出,進而求解【詳解】根據拋物線的定義,點到點的距離與到直線的距離相等,其中點到點的距離即半徑,也即點到面的距離,點到直線的距離即點到面的距離,因此球內切于正方體,不妨設,兩個球心和兩球的切點均在體對角線上,兩個球在平面處的截面如圖所示,則,所以.又因為,因此,得,所以.故選:D【點睛】本題考查立體圖與平面圖的轉化,拋物線幾何性質的使用,內切球的性質,數(shù)形結合思想,轉化思想,直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)9、A【解析】

陽數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù),最后計算相應概率.【詳解】因為陽數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有:個,滿足差的絕對值為5的有:共個,則.故選:A.【點睛】本題考查實際背景下古典概型的計算,難度一般.古典概型的概率計算公式:.10、C【解析】

設,根據導數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進而得到切線方程,將點坐標代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設,則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點,所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點,即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系,拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵,屬于中檔題.11、A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復數(shù)共軛的概念,屬于基礎題.12、C【解析】試題分析:設的交點為,連接,則為所成的角或其補角;設正四棱錐的棱長為,則,所以,故C為正確答案.考點:異面直線所成的角.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出,即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接,如下圖所示:設球心為,則當弦的長度最大時,為球的直徑,由向量線性運算可知正方體的棱長為2,則球的半徑為1,,所以,而所以,即故答案為:.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算,正方體內切球性質應用,屬于中檔題.14、【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀,然后通過三視圖的數(shù)據求解幾何體的體積.【詳解】如圖:此四棱錐的高為,底面是長為,寬為2的矩形,所以體積.所以本題答案為.【點睛】本題考查幾何體與三視圖的對應關系,幾何體體積的求法,考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關鍵是準確理解幾何體的定義,真正把握幾何體的結構特征,可以根據條件構建幾何模型,在幾何模型中進行判斷.15、2【解析】

設切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設,因為,所以,即,又,.所以,即,.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.16、【解析】

算法的功能是求的值,根據輸出的值,分別求出當時和當時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當時,,可得:,或(舍去);當時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點睛】本題考查了選擇結構的程序語句,根據語句判斷算法的功能是解題的關鍵,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】

(1)對函數(shù)進行求導,可以求出曲線在點處的切線,利用直線的斜截式方程可以求出曲線的切線方程;(2)對函數(shù)進行求導,對實數(shù)進行分類討論,可以求出函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】(1)當時,函數(shù)定義域為,,所以切線方程為;(2)當時,函數(shù)定義域為,在上單調遞增當時,恒成立,函數(shù)定義域為,又在單調遞增,單調遞減,單調遞增當時,函數(shù)定義域為,在單調遞增,單調遞減,單調遞增當時,設的兩個根為且,由韋達定理易知兩根均為正根,且,所以函數(shù)的定義域為,又對稱軸,且,在單調遞增,單調遞減,單調遞增【點睛】本題考查了曲線切線方程的求法,考查了利用函數(shù)的導數(shù)討論函數(shù)的單調性問題,考查了分類思想.18、(1),.,.(2)當百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關于x的函數(shù)關系式;在和中,利用余弦定理,可得關于x的函數(shù)關系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計算即得.【詳解】解:(1),是邊長為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長度關于x的函數(shù)關系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因為M為的中點,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長度關于x的函數(shù)關系式為,.法2:因為在中,,所以.所以,直道長度關于x的函數(shù)關系式為,.在中,因為M為的中點,所以.所以.所以,直道長度關于x的函數(shù)關系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為(當且僅當即時取“”).故當百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問也可以利用三角形中的向量關系進行求解,屬于中檔題.19、(1)模型y=eλx+t的擬合程度更好;(2)(i)v=0.02x+3.84【解析】

(1)由相關系數(shù)求出兩個系數(shù),比較大小可得;(2)(i)先建立U額R0關于x的線性回歸方程,從而得出y(ii)把y=90代入(i)中的回歸方程可得x值.【詳解】本小題主要考查回歸分析等基礎知識,考查數(shù)據處理能力、運算求解能力、抽象概括能力及應用意識,考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想,考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據分析等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎性、綜合性與應用性.解:(1)r1r2則r1<r(2)(i)先建立U額R0由y=eλx+t,得lny=t+λx由于λ=i=1t=所以U額R0關于x所以lny=0.02x+3.84(ii)下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84又e4.4998≈90,所以所以x≈4.4998-3.84所以預測下一年的研發(fā)資金投入量約是32.99億元【點睛】本小題主要考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、直線與拋物線的位置關系、導數(shù)幾何意義等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想等,考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎性、綜合性與應用性20、(1):,:;(2)【解析】

(1)根據點斜式寫出直線的直角坐標方程,并轉化為極坐標方程,利用,將曲線的參數(shù)方程轉化為普通方程.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,結合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關系,求得的值.【詳解】(1)的直角坐標方程為,即,則的極坐標方程為.曲線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為的傾斜角),代入曲線的普通方程,得.設,對應的參數(shù)分別為,,所以,在的兩側.則.【點睛】本小題主要考查直角坐標化為極坐標,考查參數(shù)方程化為普

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