工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件-第一章

例如24232221a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

444241141211a

aaa

a

aM

23

a31

a32

a342323A

123

M

M

23

.定理３.1

n階行列式D=|aij|n等于它的任意一行式乘積之（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)和。即D

ai

1,2證anna1na11

a12

an1

an2D

aa11

a12

ai

1ann

ann

an1

an

2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

0

0

annainan1

an

2a1nan1

an

2a11

a12

0

0

i

1,2,,

n定理3.2

n階行列式D中某一行（列）的各個元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)

式乘積之和等于零。即ak1

Ai1

ak

2

Ai2

akn

Ain

0,

i

k.

j

k0a1k

A1

j

a2k

A2

j

ank

Anj或證明只證第一個式子。等號左端的表達(dá)式可視為一個行列式按第i行的展開式，該行列式的特點(diǎn)

是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行與D的第i行對應(yīng)的元素有相同的代數(shù)

式。于是知該行列式為an1

an2

annak1

ak

2

aknak1

ak

2

akna11

a12

a1nB

ik由于B中第i行與第k行相同，則B＝0，故i

k.ak1

Ai1

ak

2

Ai2

akn

Ain

0,j

k.a1k

A1

j

a2k

A2

j

ank

Anj

0,同理可證證畢把定理3.1及定理3.2結(jié)合起來,便得到了兩個重要公式：設(shè)n階行列式D，則nt

1kt

it

0,當(dāng)i

k;a

A

D

,當(dāng)i

k,nt

1tk

tj

0,當(dāng)j

k;a

A

D

,當(dāng)j

k,例1

計算行列式

D

0

0

解D

0

0

10

0

10

0

20

42

12

2

00

2

1

25

20r3

r1r2

2r1例2

計算行列式D=|aij|n，其中aij=|ij|.解：寫出此行列式觀察其特征n

2=(1)n+1(n

1)2n-2.例3計算n階行列式xx100x10Dn

00x1anan1

a2

a1

解按第1列展開nn1

n1Dn

xDn1

a

(1)

(1)

xDn1

an

x(xDn2

an1)

ann2

n1

n

x2

D

a

x

anx

an11

2

xn1D

a

xn2

aD1

a1

xnn1而所以

D

xn

a

xn1

a

xn2

a

x

an 1

2練習(xí)：計算1

aa00011

aa00011

aa00011

aa00011

a行列式的展開定理3.1可以進(jìn)一步推廣。為此我們將元素的

式和代數(shù)

式的概念加以推廣。定義在n階行列式D中選取k行、k列(1k

n)，由這些行、列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式，稱為D的k階子式。記作N。在行列式D中去掉k階子式N所在行、列以后得到的nk階行列式稱為該k階子式的式。記作M。若N所在的行序數(shù)為i1,i2,·,ik，所在的列序數(shù)為j1,j2,·,jk，那么1)(1稱做N的代數(shù)

k

1

iijjkM式。定理3.3

[拉 斯(Laplace)定理]設(shè)在n階行列式D中任意選取k個行（列）

(1kn-1)，找出位于這k行（列）中的一切k階子式N1,N2,

·,

Nt及其對應(yīng)的代數(shù)

式A1,A2,

·,

At，則有ti1NttA

NiiA

,D N

A其中N

A2211

nt

Ck

.例4計算五階行列式5

6

0

0

01

5

6

0

0D

0

1

5

6

00

1

5

60

0

0

1

5解利用定理3.3，把行列式D按前二行展開，前二行共有

C52=10

個二階子式，但其

中不為0的只有三個N1

50

366

19

N

5 0

30

N

62

31

5

1

6

5

6與N1,

N2,

N3對應(yīng)的代數(shù)

式分別為15

6

05 6

65,0

1

5A

(1)1212

1D

N1A1

N

2

A2

N3

A319

653019

665所以,23121A

)1(30606500,5101)1(223A

例5計算2n階行列式dcdca

bc

dbabaD2n

解法1按第一行展開有a

bc

dac0b

0d

0

0

dD2n

ada

bc

db

o0

cc

00

a

b(1)12n

adD2(n

1)

bc(1)2n11

D2(n

1)

(ad

bc)D2(n

1)以此作遞推公式，即可得D2n

(ad

bc)D2(n

1)

(ad

bc)2

D2(n

2)

(ad

bc)n1

D2bc

d

(ad

bc)n1

a

(ad

bc)n解法2利用定理3.3，按第n,n+1行這兩行展開行列式，立即可得c

db

D2(n

1)D2n

a

(ad

bc)D2(n

1)

(ad

bc)2

D2(n

2)

(ad

bc)n1

D2

(ad

bc)n例6

計算n階行列式1222223222n例7

計算2n階行列式112nann

.c11

c1n

a11

a1n

cnn

a1n

b

b1n

0

0

bn1

bnn

0

0D

cn1例3

證明n

cos

n

.D

cos10

0012cos1

00012cos

00

000

1000

12cos證明2

2cos2

1

cos

2

,D

cos

11

cos

2對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法因?yàn)镈1

cos

,所以,當(dāng)n

1,n

2時,結(jié)論成立.假設(shè)對階數(shù)小于n