人教課標(biāo)版高中數(shù)學(xué)選修4第一講 不等式和絕對值不等式一 不等式教案2

高中數(shù)選4-5教案第一備人：姚雪艷第一講

不等式和對值不等式課題：第02時基本等式教學(xué)目：知識與能：會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；過程與法：夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。情感、度與價值觀通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學(xué)重：值不等式定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難：號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。教學(xué)過：一、知學(xué)習(xí)：定理如果a、∈R，那么a2

＋b2

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)＝時“＝”號）證明：a2＋2－ab＝（－b）當(dāng)a≠時－）2＞0，當(dāng)a＝時－）2＝0所以－b）

≥0

即a2

＋b2

≥2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理2基本不式：如果a，是正數(shù)，那么＝b時取“＝”號）證明：∵（a）2＋（b）≥2ab

a＋2

≥ab（且僅當(dāng)a∴a＋≥2ab，即

a＋2

≥ab顯然，當(dāng)且僅當(dāng)＝b，

a＋2

＝ab說明：1）我們稱

a＋2

為a，算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a，的幾何平均數(shù)因而此定理又可敘述為個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a2＋2≥ab和

a＋2

≥ab成立的條件是不同的：前者只要求a，是實數(shù)，而后者要求a，都是正數(shù)3當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件

4）幾何意義.二、例講解：例1已知x，都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy是定值，那么當(dāng)x＝時，和＋y最小值2P；（2）如果和＋y是定值，那么當(dāng)x＝時，積xy有最大值

14

S證明：因為x，都是正數(shù)所以

x＋2

≥xy（1）積xy為定值P時，有

x＋2

≥P

∴x＋≥2P上式當(dāng)x＝時，取“＝”，因此，當(dāng)x＝時，和＋y有最小值2P.S1（2）和x＋為定值S，有xy≤∴xy≤24

S2上式當(dāng)時取“＝”號，因此，當(dāng)x=y時積xy最大值

14

S2

.說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：ⅰ）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù)ⅱ)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；ⅲ）等號成立條件必須存在。例2：已知a、、、d是正數(shù)，求證：（ab＋＋bd）≥4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識證明：由a、、、d是正數(shù)，得ab＋2

≥ab·＞，

ac＋2

≥ac·＞0，∴

（ab＋）（ac＋）4

≥abcd即（ab＋＋bd）≥4abcd例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池其容積為

3

深為如果池底每

2

的造價為150元，池壁每

2

的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化即建立函數(shù)關(guān)系式然后

求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長度為m，水池的總造價為l，根據(jù)題意，得l＝240000＋（x＋

1600x

）≥240000＋720×2

x·

1600x＝240000＋720×2×40＝當(dāng)x＝

1600x

，即x＝40時，有最小值297600因此當(dāng)水池的底面是邊長為的正方形時水池的總造價最低最低總造價是297600元.評述此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.三、課練習(xí)：課本P練習(xí)1，2，3，4.91四、課小結(jié)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件。五、課作業(yè)課本P習(xí)題1.1