人教版必修二：21 空間點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系課件

點(diǎn).第二章直線.平面之間的位置關(guān)系立體幾何點(diǎn).第二章直線.平面之間的位置關(guān)系立體幾何1本章內(nèi)容2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第二章小結(jié)本章內(nèi)容2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.22空間點(diǎn)、直線、平面2.1之間的位置關(guān)系2.1.1平面2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系2.1.4空間中平面與平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)與提高空間點(diǎn)、直線、平面2.1之間的位置關(guān)系2.1.1平面2.32.1.1平面返回目錄2.1.1平面返回目錄4學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.空間的點(diǎn)、直線、平面有怎樣的位置關(guān)系?2.怎樣畫(huà)出空間的點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系?3.怎樣用字母和符號(hào)表示空間的點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系?4.三個(gè)公理的內(nèi)容是什么?各公理有什么作用?學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.空間的點(diǎn)、直線、平面有怎樣的位置關(guān)系?2.5問(wèn)題1.如圖的空間物體,你認(rèn)為是由一些什么幾何元素組成?它們存在一些什么樣的位置關(guān)系?點(diǎn)、直線、平面是空間圖形的基本元素,它們構(gòu)成了千姿百態(tài)的世界.問(wèn)題1.如圖的空間物體,你認(rèn)為是62.1.1平面問(wèn)題2.你能說(shuō)明平面是一個(gè)什么樣的形狀嗎?你所在的教室中,哪些是平面圖形,它們的位置關(guān)系如何?你能在紙上畫(huà)出這些平面圖形嗎?幾何里的“平面”,是從物體的平面圖形中抽象出來(lái)的,它象水平面一樣給人一種平整的感覺(jué),但可以在空間任意放置,可以向四周無(wú)限延展.2.1.1平面問(wèn)題2.你能說(shuō)明7如何在紙上畫(huà)圖形表示平面呢?通常，用平行四邊形來(lái)表示平面.平面也可用其他平面圖形,如用三角形、梯形等來(lái)表示平面.平面水平放置時(shí),平行四邊形的銳角常畫(huà)成45,橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍.如何在紙上畫(huà)圖形表示平面呢?通常，用平行四邊8平面a平面bbaABCDEF平面AC平面CE平面BCF為了敘述、學(xué)習(xí)、研究的方便，各個(gè)平面要有一個(gè)名稱(chēng)。一般用希臘字母a、b、g等表示。也可用表示平面的平面圖形的頂點(diǎn)字母表示（如下面的圖形）。平面a平面bbaABCDEF平面AC平面CE平面BCF9當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí),應(yīng)把被遮部分的線段畫(huà)成虛線或不畫(huà),這樣,看起來(lái)立體感強(qiáng)一些.畫(huà)如圖的平面與平面相交時(shí),①注意畫(huà)好交線,②注意畫(huà)好被遮部分.兩平面相交,用符號(hào)“∩”表示,如:a∩b=

l.abl當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí),應(yīng)10練習(xí):(補(bǔ)充)1.

畫(huà)一水平放置的平面a.2.

畫(huà)一豎直放置的平面b.3.

畫(huà)一水平放置的平面a與一豎直放置的平面

b相交.4.

畫(huà)兩豎直放置的平面d和g相交.ababdg練習(xí):(補(bǔ)充)1.畫(huà)一水平放置的平面a.2.畫(huà)一11a

2.平面也可以看作是點(diǎn)的集合,即平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)是平面的元素.若點(diǎn)A在平面a內(nèi),記作A∈a

.點(diǎn)B在平面a外,記作B

a.【點(diǎn)與直線,點(diǎn)與平面】●A●B

1.直線可以看作是點(diǎn)的集合,即直線上的每一個(gè)點(diǎn)是直線的元素.若點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l.點(diǎn)B在直線l外,記作B

l.●A●Bl可敘述為:直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.a2.平面也可以看作是點(diǎn)的集合,即12a直線l在平面a內(nèi),記作la.直線l與平面a相交于點(diǎn)P,l∩a=

P.直線l與平面a只有一個(gè)公共點(diǎn),l

a.llaaPl【直線與平面】直線可以看作是平面的子集,它們的元素是點(diǎn).記作或無(wú)公共點(diǎn),稱(chēng)為直線l在平面a外,也可敘述為:平面a經(jīng)過(guò)直線l.記作a直線l在平面a內(nèi),記作la.直線l13例1.如圖,用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.ABablalaabbP(1)(2)解:圖(1)Aa,Ba,Aa,Bb,即a∩a=A,a∩b=B;a∩b=l.圖(2)aa,bb,a∩b=

l,a∩b=

P,a∩l=

P,b∩l=

P.例1.如圖,用符號(hào)表示下列圖形中14【三個(gè)公理】問(wèn)題1.將一把直尺一邊的兩端放在一張桌面上,直尺的這條邊是否都貼在桌面上的?請(qǐng)你對(duì)這一現(xiàn)象歸納出一個(gè)結(jié)論.公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).此公理用來(lái)判斷直線是否在平面內(nèi).al●●AB如圖:A∈l,B∈l,A∈a,B∈a,

l

a.【三個(gè)公理】問(wèn)題1.將一把直尺一邊的兩15

問(wèn)題2.在不太平整的地面上放一張三條腿的桌子和一張四條腿的桌子,哪一張能安放得較穩(wěn)當(dāng)?你能從中歸納出一個(gè)結(jié)論嗎?

公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.aiAiBiC如圖:A、B、C三點(diǎn)不共線,則過(guò)點(diǎn)A、B、C有且只有一個(gè)平面.在生活中,三點(diǎn)確定平面的應(yīng)用很廣.問(wèn)題2.在不太平整的地面上放一張三條16茶幾、坐椅茶幾、坐椅17

問(wèn)題3.(1)過(guò)一直線和直線外一點(diǎn),是否可以確定一個(gè)平面?(2)過(guò)兩條相交直線是否可以確定一個(gè)平面?

(3)過(guò)兩條平行線是否可以確定一個(gè)平面?問(wèn)題3.(1)過(guò)一直線和直線外一點(diǎn),18問(wèn)題4.如圖的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們還有其它公共點(diǎn)嗎?如果沒(méi)有,為什么?如果有,那么這些點(diǎn)在什么地方?你能根據(jù)你的判斷歸納出一個(gè)結(jié)論嗎?●ablP平面是向四周無(wú)限延展的,當(dāng)平面a延展后,與平面b就不止一個(gè)公共點(diǎn)了.

公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.Pa∩ba∩b=

l,且Pl.這里“a∩b=

l”,表示平面a與b相交于直線l.問(wèn)題4.如圖的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),19l1l2ablP問(wèn)題5.

如圖,平面a和平面b相交于直線

l,如果a內(nèi)的直線l1與b內(nèi)的直線l2會(huì)相交于一點(diǎn)P,問(wèn)P點(diǎn)是否一定在直線

l上？為什么？l1∩l2

=

P,?P∈l1,P∈l2,l1

a,

?

P∈a,l2

b,

?

P∈b,∴P

a∩b,則點(diǎn)P應(yīng)在a和b的交線上,∴點(diǎn)P一定在直線l上.(如圖)l1l2ablP問(wèn)題5.如圖,平面a20【課時(shí)小結(jié)】1.

點(diǎn)、線、面的關(guān)系符號(hào)點(diǎn)在(不在)直線上,點(diǎn)在(不在)平面內(nèi):,直線在(不在)平面內(nèi):,相交符號(hào):∩l1∩l2=P,l∩a=Q,a∩b=l兩直線相交:直線與平面相交:平面與平面想交:2.

畫(huà)圖要點(diǎn)①被遮線條畫(huà)虛線或不畫(huà);②在平面內(nèi)的直線要畫(huà)在表示平面的圖形內(nèi);③兩平面相交,先確定交線.【課時(shí)小結(jié)】1.點(diǎn)、線、面的關(guān)系符號(hào)點(diǎn)在(不在)直線上,21【課時(shí)小結(jié)】3.

三個(gè)公理公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.(確定直線上的點(diǎn)在平面內(nèi))(確定一個(gè)平面)

三推論:①兩相交直線確定平面;②兩平行直線確定平面;③直線外的點(diǎn)與直線確定平面.(兩平面的公共點(diǎn)在交線上)【課時(shí)小結(jié)】3.三個(gè)公理公理1如22練習(xí):(課本43頁(yè))第1、2、3、4題.習(xí)題2.1A組第1、2題.練習(xí):(課本43頁(yè))第1、2、3、4題.習(xí)題2.1A23練習(xí):(課本43頁(yè))1.下列命題正確的是()(A)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面(B)經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面(C)四邊形確定一個(gè)平面(D)兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面分析:(A)三點(diǎn)共線時(shí)不成立.(B)點(diǎn)在直線上時(shí)不成立.如圖的四邊形ABCDABCD(C)不是平面.(D)ABCl1l2l3如圖,

設(shè)l1∩l2確定平面a,則Ba,Ca,l3a.D練習(xí):(課本43頁(yè))1.下列命題正確的是(242.(1)不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?(2)共點(diǎn)的三條直線可以確定幾個(gè)平面?·C平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD.···ABD解:(1)四點(diǎn)不共面,則無(wú)三點(diǎn)共線,如圖.經(jīng)過(guò)每三點(diǎn)都能確定一個(gè)平面,則可確定4個(gè)平面.如圖:2.(1)不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?·C平面ABC252.(1)不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?(2)共點(diǎn)的三條直線可以確定幾個(gè)平面?解:(2)當(dāng)三條直線共面時(shí),能確定1個(gè)平面(如圖);當(dāng)三條直線不共面時(shí),如圖,每經(jīng)過(guò)兩條都能確定一個(gè)平面,所以能確定3個(gè)平面.即經(jīng)過(guò)共點(diǎn)的三條直線可以確定1個(gè)或3個(gè)平面.l1l2l3l3l2l1abg2.(1)不共面的四點(diǎn)可以確定幾個(gè)平面?解:(2)當(dāng)三263.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)劃“√”,錯(cuò)誤的劃“×”.(1)平面a與平面b相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).()(2)經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.()

(3)經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面.()(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面重合.()3.判斷下列命題是否正確,正確的在274.用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形:(1)點(diǎn)A在平面a內(nèi),但點(diǎn)B在平面a外;(2)直線a經(jīng)過(guò)平面a外的一點(diǎn)M;(3)直線a既在平面a內(nèi),又在平面b內(nèi).解:(1)Aa,Ba.a·AB·(2)aa,Ma,Ma.aMa·4.用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形:解:(1284.用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形:(1)點(diǎn)A在平面a內(nèi),但點(diǎn)B在平面a外;(2)直線a經(jīng)過(guò)平面a外的一點(diǎn)M;(3)直線a既在平面a內(nèi),又在平面b內(nèi).解:(3)aa,ab.baa或a∩b=a.4.用符號(hào)表示下列語(yǔ)句,并畫(huà)出相應(yīng)的圖形:解:(3291.畫(huà)出滿(mǎn)足下列條件的圖形:

a∩b=

l,ABa,CDb,AB//l,CD//l.labABCD解:畫(huà)圖如下:習(xí)題2.1A組1.畫(huà)出滿(mǎn)足下列條件的圖形:labABCD解:畫(huà)圖如下:302.

如圖,試根據(jù)下列要求,把被遮擋的部分改為虛線:

(1)

AB沒(méi)有被平面a遮擋;

(2)

AB被平面a直擋.ABa解:如圖:(1)ABa(2)ABaa2.如圖,試根據(jù)下列要求,把被遮擋的部分改為312.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系返回目錄2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系返回目錄32學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.空間中的兩條直線有幾種位置關(guān)系?2.什么叫兩直線共面?什么叫兩直線異面?3.公理4的內(nèi)容是什么?其作用是什么?4.什么叫兩異面直線所成的角?范圍有多大?5.空間兩直線垂直是怎樣規(guī)定的?一定有垂足嗎?學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.空間中的兩條直線有幾種位置關(guān)系?2.什么33問(wèn)題1.在如圖的長(zhǎng)方體中,AB和AB所在的直線在一個(gè)平面內(nèi)嗎?它們會(huì)相交嗎?AB和BC在一個(gè)平面內(nèi)嗎?它們會(huì)相交嗎?AB和BC呢?ABCDABCDAB與AB在平面AB內(nèi),且互相平行;AB與BC不在任何一個(gè)平面內(nèi),它們既不平行,也不相交,我們把這樣的直線叫做AB與BC在平面AC內(nèi),它們是相交直線.異面直線;問(wèn)題1.在如圖的長(zhǎng)方體中,AB34空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種:(1)相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);(2)平行直線——在同一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);(3)異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).平行直線、相交直線屬共面直線.共面空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種:(1)相交直線——35問(wèn)題2.如圖的兩條直線是什么位置關(guān)系?怎樣畫(huà)才能使我們看出它們是異面直線?b可能是相交的,也可能是異面的.aa為了表示直線a、b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.aababab問(wèn)題2.如圖的兩條直線是什么位置關(guān)系?36問(wèn)題3.如圖是一個(gè)正方體表面的展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條直線相互是什么位置關(guān)系?ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH底底AB與CD異面,AB與EF相交,AB與GH異面,CD與EF平行,CD與GH相交,EF與GH異面.問(wèn)題3.如圖是一個(gè)正方體表面的展開(kāi)圖37ABCDABCD問(wèn)題4.在如圖的長(zhǎng)方體中,在平面AD

內(nèi),AD//AD,在平面AC

內(nèi),AD//BC,問(wèn)AD與BC是否平行?

公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行.AD//AD,BC//AD,AD//BC.此公理表明:空間同平行于一已知直線的所有直線都互相平行.ABCDABCD問(wèn)題4.在如38

問(wèn)題5.已知平面a∩b=l,分別在a、b內(nèi)畫(huà)直線a、b,請(qǐng)問(wèn)怎樣畫(huà)才能使a∥b.balba在平面a內(nèi)畫(huà)直線a//l,在平面b內(nèi)畫(huà)直線b//l,根據(jù)公理4即得a//b.問(wèn)題5.已知平面a∩b=l,39例2.如圖,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH是平行四邊形.DABCEFGH證明:連結(jié)對(duì)角線BD,

∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),∴在△ABD和△CBD中,EH//BD,FG//BD,∴四邊形EFGH是平行四邊形.?

EH

FG,例2.如圖,空間四邊形ABC40例2.如圖,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),求證:四邊形EFGH是平行四邊形.DABCEFGH問(wèn)題:如果在條件中加上,AC=BD,四邊形EFGH是∴四邊形EFGH是菱形.已證得

EFGH是平行四邊形.什么圖形?由AC=BD可證得EH=EF,(請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出證明過(guò)程).例2.如圖,空間四邊形ABC41練習(xí):(補(bǔ)充)1.

選擇題:

(1)

如果直線a與b沒(méi)有公共點(diǎn),那么a與b()(A)異面.(B)平行.(C)共面.(D)平行或異面.(2)設(shè)直線a、b分別是長(zhǎng)方體的相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線,則a與b()(A)平行.(B)相交.(C)異面.(D)相交或異面.DABCDA1B1C1D1abD練習(xí):(補(bǔ)充)1.選擇題:(2)設(shè)直線a、b分別42【異面直線所成的角】

問(wèn)題6.

在如圖的三棱柱中,D、D分別是BC、BC的中點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)∠ADB與∠ADB的兩邊分別平行嗎?這兩個(gè)角有什么關(guān)系?∠ADB與∠ADC呢?由此你能類(lèi)似地找出其它角的這種關(guān)系嗎?ABCDABCDAD//AD,DB//DB,∠ADB=∠ADB.AD//AD,DB//DC,∠ADB+∠ADC=180.

定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).【異面直線所成的角】問(wèn)題6.在如圖的三43a問(wèn)題7.兩直線異面時(shí),它們構(gòu)成有角嗎?我們用什么來(lái)刻劃兩異面直線交叉的程度?規(guī)定:已知兩異面直線a,b.經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a//a,b//b,我們把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).·Oabab(1)點(diǎn)O常取在兩異面直線中的一條上較為簡(jiǎn)便.bOO(2)常找圖形中已存在的平行線.ABCDABCD如圖中,AB與BC所成的角為∠ABC.aa問(wèn)題7.兩直線異面時(shí),它們構(gòu)成44問(wèn)題8.在如圖的三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面都是正方形.

(1)異面直線AB與BC的夾角是多少?(2)異面直線AA與CB所成的角是多少?

(3)異面直線AC與BB所成的角是多少?ABCABC(1)∵AB//AB,∴∠ABC就是AB與BC的夾角,∠ABC=60,即AB與BC的夾角是60.問(wèn)題8.在如圖的三棱柱中,底面是45(2)∵BB//AA,∴∠BBC就是AA與CB的夾角,∠BBC=45,即AA與CB的夾角是45.問(wèn)題8.在如圖的三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面都是正方形.

(1)異面直線AB與BC的夾角是多少?

(2)異面直線AA與CB所成的角是多少?

(3)異面直線AC與BB所成的角是多少?ABCABC(2)∵BB//AA,∴∠BBC就是AA與CB的夾46(3)∵AA//BB,∴∠AAC就是AC與BB的夾角,∠BBC=90,即AC與BB的夾角是90.如果兩條異面直線所成的角是直角,就說(shuō)這兩條直線互相垂直,用符號(hào)“⊥”表示.問(wèn)題8.在如圖的三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面都是正方形.

(1)異面直線AB與BC的夾角是多少?

(2)異面直線AA與CB所成的角是多少?

(3)異面直線AC與BB所成的角是多少?ABCABC(3)∵AA//BB,∴∠AAC就是AC與BB47例3.如圖,已知正方體ABCD-ABCD.(1)哪些棱所在直線與直線BA是異面直線?(2)直線BA和CC的夾角是多少?(3)哪些棱所在的直線與直線AA垂直?ABCDABCD解:(1)與直線BA異面的直線有DD,CC,DC,DC.BC,AD,(2)∵BB//CC,∴∠BBA為BA與CC的夾角,而∠BBA=45,∴直線BA和CC的夾角是45.(3)與直線AA垂直的直線有AB,BC,CD,DA,AB,BC,CD,DA.例3.如圖,已知正方體ABCD-ABCD48練習(xí):(課本48頁(yè))第1、2題.練習(xí):(課本48頁(yè))第1、2題.49ba練習(xí):(課本48頁(yè))1.填空題.(1)如圖,AA是長(zhǎng)方體的一條棱,長(zhǎng)方體中與AA平行的棱共有

條.(2)如果OA//OA,OB//OB,那么∠AOB和∠AOB

.AADCDCBB3OABOABA相等或互補(bǔ)ba練習(xí):(課本48頁(yè))1.填空題.AADCDC502.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD

中,AB

=

AD

=

AA=2.(1)

BC和AC所成的角是多少度?(2)

AA和BC所成的角是多少度?AADCDCBB解:(1)∵BC//BC,則∠ACB就是BC和AC所成的角,在Rt△ABC中,AB=AB=

BC=AD=∴∠ACB=45.答:BC和AC所成的角是45度.2.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD512.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD

中,AB

=

AD

=

AA=2.(1)

BC和AC所成的角是多少度?(2)

AA和BC所成的角是多少度?AADCDCBB解:(2)∵BB//AA,則∠BBC就是AA和BC所成的角,在Rt△BBC中,BB=AA

=2,BC=AD=則tan∠BBC=答:AA和BC所成的角是60度.得∠BBC=60,2.如圖,已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD52【課時(shí)小結(jié)】1.

空間兩條直線的三種位置關(guān)系相交—有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);平行—在同一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面—不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).共面平行于同一條直線的兩直線互相平行.2.

公理4(判斷空間的兩直線平行)【課時(shí)小結(jié)】1.空間兩條直線的三種位置關(guān)系相交—有且53【課時(shí)小結(jié)】4.

兩異面直線所成的角3.

等角定理

定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(定義異面直線所成角的基礎(chǔ))①角的范圍(0,90].②由定義找角:③垂直相交非鈍角,且兩邊分別平行兩異面直線.異面垂直,無(wú)垂足.【課時(shí)小結(jié)】4.兩異面直線所成的角3.等角定理54習(xí)題2.1B組第1題.A組第3、5、6題.習(xí)題2.1B組第1題.A組第3、5、6題.55

3.判斷下列命題是否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)劃“√”,錯(cuò)誤的劃“×”.

(1)梯形可以確定一個(gè)平面.()(2)圓心和圓上兩點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.()(3)已知a,b,c,d是四條直線,若a//b,b//c,c//d,則a//d.()(4)兩條直線a,b沒(méi)有公共點(diǎn),那么a與b是異面直線.()(5)若a,b是兩條直線,a,b是兩個(gè)平面,且aa,bb,則a,b是異面直線.()兩點(diǎn)在直徑兩端時(shí)不成立baba習(xí)題2.1A組3.判斷下列命題是否正確,正確的在565.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面?答:這三條直線是共面直線(如圖).l1l2lABl1//l2,a確定平面a,l∩l1=A,l∩l2=B,則Aa,Ba,則直線la,∴三條直線共面于a.5.如果一條直線與兩條平行直線都相交,576.如圖,已知AA,BB,CC不共面,且AA//BB,AA=BB,BB//CC,BB=CC,求證△ABC≌△ABC.ABCABC證明:∵AA//BB,AA=BB,ABBA是□,AB=AB;同理得BC

=

BC;又AA//BB,AA=BB,BB//CC,BB=CC,

AACC,即ACCA是□,AC=AC.①②③由①②③得△ABC≌△ABC.6.如圖,已知AA,BB58B組1.選擇題.

(1)如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,則這個(gè)正方體中:①BM與ED平行.②CN與BE是異面直線.③CN與BM成60角.④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中,正確命題的序號(hào)是()(A)①、②、③(B)②、④(C)③、④(D)②、③、④ABCDEFMNABCDEFMN①異面.②平行.①②錯(cuò),排除(A)(B)(D).CB組1.選擇題.ABCDEFMNABCDEFMN①異59(2)如圖,正方體ABCD-ABCD中,AB的中點(diǎn)為M,DD的中點(diǎn)為N,則異面直線BM與CN所成的角是()(A)0(B)45(C)60(D)90ABCDABCDNMN取AA的中點(diǎn)N,則BN//CN,而B(niǎo)M⊥BN,∴應(yīng)選D.D(2)如圖,正方體ABCD-AB60(3)給出三個(gè)命題①若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線互相平行.②若兩條直線都與第三條直線垂直,則這兩條直線互相平行.③若兩條直線都與第三條直線平行,則這兩條直線互相平行.其中不正確的個(gè)數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)3●ABCDABCDAB⊥AA,AD⊥AA,而AB//AD.②與①同.③滿(mǎn)足公理4.C①如圖:(3)給出三個(gè)命題●ABCDABC61之間的位置關(guān)系空間中直線與平面平面與平面2.1.32.1.4返回目錄之間的位置關(guān)系空間中直線與平面平面與平面2.1.32.1.462學(xué)習(xí)要點(diǎn)

1.直線與平面有哪些位置關(guān)系?這些位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)?

2.平面與平面有哪些位置關(guān)系?這些位置關(guān)系各有什么特點(diǎn)?學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.直線與平面有哪些位置關(guān)系?63a問(wèn)題1.在空間,你認(rèn)為直線和平面有哪幾種位置關(guān)系?各種關(guān)系的特點(diǎn)是什么?(1)

直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);(2)

直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)

直線和平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn).我們把直線和平面相交或平行統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外.Pl1l2l3在空間,直線和平面有且只有三種位置關(guān)系:直線l與平面a平行時(shí),記作l//a.2.13空間中直線與平面之間的位置關(guān)系a問(wèn)題1.在空間,你認(rèn)為直線和64

例4.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi),則l//a.②若直線l與平面a平行,則l與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行.③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.④若直線l與平面a平行,則l與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).(A)0(B)1(C)2(D)3分析:長(zhǎng)方體就是一個(gè)空間模型,借助長(zhǎng)方體即可觀察和分析.AADCDCBBla①如圖的反例,②l//a,③AB//AB,AB//a,B則①錯(cuò).②錯(cuò).而l//AD,但AB//a,③錯(cuò).例4.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(65練習(xí):(課本49頁(yè))若直線a不平行于平面a,且aa,則下列結(jié)論成立的是()(A)a內(nèi)所有直線與a異面(B)a內(nèi)不存在與a平行的直線(C)a內(nèi)存在唯一的直線與a平行(D)a內(nèi)的直線與a都相交分析:直線a既不平行平面a,也不在a內(nèi),則一定與a相交.aPall與a不異面,(A)錯(cuò).ll

與a不相交,(D)錯(cuò).a內(nèi)找不到與a平行的直線,∴選B.B如圖,(A)的反例,又如圖,練習(xí):(課本49頁(yè))若直線a不平行于平662.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系問(wèn)題1.觀察教室內(nèi)的物體,你認(rèn)為空間中兩個(gè)平面有怎樣的一些位置關(guān)系?空間中,兩個(gè)平面間的位置關(guān)系有且只有兩種:(1)兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn);(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.ababa畫(huà)兩平面平行時(shí),將表示平面的□對(duì)應(yīng)邊畫(huà)平行.平面a與平面b平行,記作a//b.2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系問(wèn)題67問(wèn)題2.已知平面a、b,直線a、b,且a//b,aa,bb,則直線a與直線b具有什么樣的位置關(guān)系?ABCDABCD借助正方體模型,abab平面AC為a,平面AC為b,當(dāng)AB=a,AB=b時(shí),a//b;當(dāng)AB=a,BC=b時(shí),a與b異面.a與b一定不會(huì)相交.問(wèn)題2.已知平面a、b,直線68練習(xí):(課本50頁(yè))練習(xí):(課本50頁(yè))69如果三個(gè)平面兩兩相交,那么它們的交線有多少條?畫(huà)出圖形表示你的結(jié)論.練習(xí):(課本50頁(yè))abgacbabg答:有一條或三條,如圖.如果三個(gè)平面兩兩相交,那么它們的交線有70【課時(shí)小結(jié)】1.

空間中直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)—有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn);直線和平面相交—有且只有一個(gè)公共點(diǎn);直線和平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn).直線在平面外2.

平面與平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交—有一條公共直線.【課時(shí)小結(jié)】1.空間中直線與平面的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)71習(xí)題2.1A組第4、7、8題.B組第2、3題.習(xí)題2.1A組第4、7、8題.B組第2、3題72習(xí)題2.1A組4.填空題.(1)已知a,b,c是三條直線,且a//b,a與c的夾角為q,那么b與c的夾角為

;(2)

AA是長(zhǎng)方體的一條棱,這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA垂直的棱共

條;

(3)如果a,b是異面直線,直線c與a,b都相交,那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有

個(gè);

(4)若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行,則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系是

;

(5)已知兩條相交直線a,b,a//平面a,則b與a的位置關(guān)系是

;

(6)設(shè)直線a,b分別是長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線,則a與b的位置關(guān)系是

.習(xí)題2.1A組4.填空題.73習(xí)題2.1A組4.填空題.(1)已知a,b,c是三條直線,且a//b,a與c的夾角為q,那么b與c的夾角為

;解:∵a//b,∴b與c的夾角就是a與c的夾角.q習(xí)題2.1A組4.填空題.解:∵a/74習(xí)題2.1A組4.填空題.(2)

AA是長(zhǎng)方體的一條棱,這個(gè)長(zhǎng)方體中與AA垂直的棱共

條;AADCDCBB解:由兩直線的夾角知上底面4條棱和下底面4條棱都與AA垂直.8習(xí)題2.1A組4.填空題.75習(xí)題2.1A組4.填空題.AADCDCBB解:(3)如果a,b是異面直線,直線c與a,b都相交,那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有

個(gè);如圖,在長(zhǎng)方體模型中,AB=

a,AD=

b,AA=

c,abc其中只有兩相交的直線能確定平面.即a,c確定一個(gè)平面,b,c確定一個(gè)平面.2習(xí)題2.1A組4.填空題.AADC76習(xí)題2.1A組4.填空題.AADCDCBB解:上底面AC//下底面AC.直線AB//平面AC,直線AB平面AC.(4)若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行,則這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系是

;E又分別取AA,BB的直線EF//平面AC,直線EF//平面AC.或平行在這個(gè)平面內(nèi)BF中點(diǎn)E,F,習(xí)題2.1A組4.填空題.AADC77習(xí)題2.1A組4.填空題.解:只有如圖的兩種情況.(5)已知兩條相交直線a,b,a//平面a,則b與a的位置關(guān)系是

;ababb//a.aabPb∩a=

P.平行或相交.習(xí)題2.1A組4.填空題.解:只有如78習(xí)題2.1A組4.填空題.解:(6)設(shè)直線a,b分別是長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面的對(duì)角線所在的直線,則a與b的位置關(guān)系是

.ABCDA1B1C1D1ab如圖,相交或異面習(xí)題2.1A組4.填空題.解:79

7.如圖,三條直線兩兩平行且不共面,每?jī)蓷l確定一個(gè)平面,一共可以確定幾個(gè)平面?如果三條直線相交于一點(diǎn),它們最多可以確定幾個(gè)平面?abgabg答:第一個(gè)問(wèn)能確定三個(gè)平面,如圖;第二個(gè)問(wèn)也能確定三個(gè)平面,如圖.7.如圖,三條直線兩兩平行且不共面808.正方體各面所在平面將空間分成幾部分?ABCDABCD如圖:分析:33=9(個(gè))33=9(個(gè))33=9(個(gè))39=27(個(gè))把空間分成了27個(gè)部分.現(xiàn)在分成了

部分.9現(xiàn)在分成了

部分.18現(xiàn)在分成了

部分.278.正方體各面所在平面將空間分成幾部分?ABCDAB81B組2.如圖,△ABC在平面a外,AB∩a=

P,BC∩a=

Q,AC∩a=

R,求證:P,Q,R三點(diǎn)共線.aABCPQR證明:∵AB∩a=P,AC∩a=R,則P、R就是平面ABC與平面a的公共點(diǎn),即平面ABC與平面a交于過(guò)P、R的一條直線.又BC在平面ABC內(nèi),BC∩a=

Q,則Q為平面ABC與平面a的公共點(diǎn),則Q必在平面ABC與平面a的交線PR上,∴P,Q,R三點(diǎn)共線.B組2.如圖,△ABC在平面82B組3.空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點(diǎn),G,H分別是CD和AD上的點(diǎn),且EH與FG相交于點(diǎn)K.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn).ABCDEFGHK思路:如果點(diǎn)K是平面ABD與平面CBD的公共點(diǎn),則點(diǎn)K必在BD上.B組3.空間四邊形ABCD中,83B組ABCDEFGHK證明:∵EH∩FG=K,則K直線EH,

K直線FG,又GH平面ABD,FG平面CBD,∴K平面ABD,3.空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點(diǎn),G,H分別是CD和AD上的點(diǎn),且EH與FG相交于點(diǎn)K.求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn).K平面CBD,即K是平面ABD與平面CBD的公共點(diǎn).又BD是平面ABD與平面CBD的公共直線,∴BD必經(jīng)過(guò)點(diǎn)K,即EH,BD,FG三條直線相交于同一點(diǎn)K.B組ABCDEFGHK證明:∵EH∩FG=K,則K84復(fù)習(xí)提高與返回目錄復(fù)習(xí)提高與返回目錄851.

位置關(guān)系及符號(hào)表示點(diǎn)在直線上:.點(diǎn)在直線外:.點(diǎn)在平面內(nèi):.點(diǎn)在平面外:.(1)點(diǎn)與線(2)點(diǎn)與面(3)線與線(4)線與面(5)面與面線線平行://.線線相交:∩.線線異面:畫(huà)異面直線,常借助平面.直線在平面內(nèi):,直線在平面外:平行(//),或相交(∩).面面平行://,面面相交:∩.畫(huà)面面相交,其要點(diǎn)是確定好交線.知識(shí)要點(diǎn)1.位置關(guān)系及符號(hào)表示點(diǎn)在直線上:.點(diǎn)在直線外:86知識(shí)要點(diǎn)2.

四個(gè)公理公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

三推論:①兩相交直線確定平面;②兩平行直線確定平面;③直線外的點(diǎn)與直線確定平面.公理4平行于同一條直線的兩直線互相平行.知識(shí)要點(diǎn)2.四個(gè)公理公理1如果一87知識(shí)要點(diǎn)4.

等角定理5.

兩異面直線所成的角空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).①角的范圍(0,90].②由定義找角:③垂直相交非鈍角,且兩邊分別平行兩異面直線.異面垂直,無(wú)垂足.知識(shí)要點(diǎn)4.等角定理5.兩異面直線所成的角88例題選講返回目錄例題選講返回目錄89

例1.已知直線l和點(diǎn)P,Pl.畫(huà)平面a,b,g,使la,lb,Pg,g∩a=m,g∩b=n.·lPabmn解:如圖,已知直線l和點(diǎn)P.(1)過(guò)l分別畫(huà)平面a,b.(2)過(guò)點(diǎn)P分別在平面a,b內(nèi)畫(huà)交線m,n.(3)以m,n為鄰邊畫(huà)平行四邊形表示平面g.g要點(diǎn):

先畫(huà)兩相交平面的交線.例1.已知直線l和點(diǎn)P,P90

例2.給出下面四個(gè)命題①如果直線a//c,b//c,那么a、b可以確定一個(gè)平面;②如果直線a和b都與直線c相交,那么a、b可以確定一個(gè)平面;③如果a⊥c,b⊥c,那么a、b可以確定一個(gè)平面;④直線a過(guò)平面a內(nèi)一點(diǎn)與平面a外一點(diǎn),直線b在平面a內(nèi)不過(guò)該點(diǎn),那么a和b是異面直線.上述命題中,真命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)4B根據(jù)公理4,得a//b,可確定一個(gè)平面.借助正方體,如圖,a,b不共面.ABCDA1B1C1D1aba借助正方體,③也不對(duì).··④如圖,cba,b不可能平行,也不可能相交,則異面是對(duì)的.例2.給出下面四個(gè)命題B根據(jù)公理4,91例3.

如圖,a,b,c為不共面的三條直線且相交于一點(diǎn)O,點(diǎn)M,N,P分別在直線a,b,c上,點(diǎn)Q是b上異于N的點(diǎn),判斷MN與PQ的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.abcOPQMN解:MN與PQ異面.其理由是:如果MN與PQ共面于a,則M,N,P,Q四點(diǎn)在a內(nèi),∵直線b在a內(nèi),即得點(diǎn)O在a內(nèi),那么OP,OM在a內(nèi),則直線a,b,c都在a

內(nèi)了,這與a,b,c不共面矛盾了,∴MN與PQ不可能共面.例3.如圖,a,b,c為92

例4.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB

=90,側(cè)面AA1C1C,BB1C1C都是正方形,AA1B1B是矩形,求異面直線A1B1與BC1所成的角的大小.解:在矩形AA1B1B中,A1B1//AB,∴A1B1

與BC1

所成的角就是∠ABC1.則△ACC1≌△BCC1≌△ACB,∠ACC1=∠BCC1=∠ACB=90,連結(jié)AC1,即A1B1與BC1所成角的大小為60.ABCA1B1C1在正方形AA1C1C和BB1C1C中,CC1=CA=CB,得AB=AC1=BC1,∴∠ABC1=60.例4.如圖,三棱柱ABC-A1B193

例5.如圖,M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都相交;②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都垂直;③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都相交;④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都平行.其中真命題是()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③·ABCDA1B1C1D1M分析:①過(guò)直線AB和點(diǎn)M作平面a,這樣的a有且只有一個(gè),且a必與直線B1C1相交于唯一點(diǎn),設(shè)為點(diǎn)P,則在a內(nèi),有且只有一條PM必與AB相交.Pa例5.如圖,M是正方體ABCD94

例5.如圖,M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都相交;②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都垂直;③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都相交;④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都平行.其中真命題是()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③·ABCDA1B1C1D1M分析:②過(guò)M點(diǎn)垂直直線AB的直線都在過(guò)M點(diǎn)垂直直線B1C1的直線都在則M點(diǎn)只有在這兩平面的交線DD1上.平面AA1D1D內(nèi).平面CC1D1D內(nèi),例5.如圖,M是正方體ABCD95

例5.如圖,M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都相交;②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都垂直;③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都相交;④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都平行.其中真命題是()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③·ABCDA1B1C1D1M分析:③如圖,可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線AB,

B1C1都相交.例5.如圖,M是正方體ABCD96

例5.如圖,M是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),給出下列四個(gè)命題:①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都相交;②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB,B1C1都垂直;③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都相交;④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB,B1C1都平行.其中真命題是()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③·ABCDA1B1C1D1M分析:④有且只有如圖的一個(gè)平面與AB,

B1C1都平行.C例5.如圖,M是正方體ABCD97練習(xí)題返回目錄(共10題)練習(xí)題返回目錄(共10題)98

1.

AB,CD是表示平面a,b的兩個(gè)平行四邊形的邊,EF是a與b的交線,根據(jù)給出的條件畫(huà)出兩個(gè)相交平面a,b.ABCDEFABCDEF

2.用符號(hào)表示語(yǔ)句:“直線l經(jīng)過(guò)平面a內(nèi)一定點(diǎn)P,但l在a外.”并畫(huà)出圖形.

3.

a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c的位置關(guān)系是()(A)相交、平行或異面(B)相交或平行(C)異面(D)平行或異面

5.下列四個(gè)命題中,假命題的個(gè)數(shù)是()①兩條直線都和同一個(gè)平面平行,則這兩條直線平行.②兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這兩條直線平行.③兩條直線都和第三條直線垂直,則這兩條直線平行.④一條直線和一個(gè)平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線沒(méi)有公共點(diǎn),則這條直線和這個(gè)平面平行.(A)4(B)3(C)2(D)14.回答下列問(wèn)題:(1)過(guò)空間一點(diǎn)有幾條直線與一已知直線平行?

(2)過(guò)空間一點(diǎn)有幾條直線與一已知直線垂直?

(3)過(guò)空間一點(diǎn)有幾個(gè)平面和已知平面平行?(4)過(guò)空間一點(diǎn)有幾個(gè)平面和一已知平面平行?6.平面a與b平行,且aa,下列四個(gè)命題中:①a與b內(nèi)的所有直線平行.②a與b內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行.③a與b內(nèi)的任何一條直線都不垂直.④a與b無(wú)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是()(A)1(B)2(C)3(D)47.若直線l不平行于平面a,且la,則()(A)a內(nèi)的所有直線與l異面(B)a內(nèi)不存在與l平行的直線(C