線性代數(shù)：第四章-向量

第四章n維向量

本章要點流程:

首先介紹向量的基本概念及運算進一步了解向量組的線性相關性重點學習向量組的秩及極大線性無關組

對線性方程組的解作討論認識向量空間§1n

維向量及其線性運算★n維向量的線性運算第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算★n

維向量的概念一、n

維向量的概念

定義1：n個有序的數(shù)x1

,x2

,…,xn

所組成的有序數(shù)組稱為n維向量，記為第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算a=(x1,x2,…,xn)或——n維行向量；——n維列向量;其中稱為向量的第i個分量或坐標．1.習慣上向量用小寫的希臘字母a、b等表示。2.若向量的所有分量都等于0，則稱該向量為零向量，在不引起混淆的情況下，簡記為0.注：第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算3.設向量,,若則稱向量與相等，記作例4.1

三維空間

R3={a=(x,y,z)

|x,y,z∈R}例4.2

n維空間

Rn={a=(x1,x2,…,xn)

|xi∈R,i=1,2,…,n}第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算是由3維向量構成的集合.是由n維向量構成的集合.二、向量的線性運算定義：設向量a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn).則a+b=(x1+y1,

x2

+y2,…,

xn+yn)ka=(kx1,

kx2,…,

kxn)注：向量的加法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算向量的線性運算的性質：

(2)結合律:(a+b)+g=a+(b+g)

(3)存在零向量:a+0=0+a=a

(4)存在負向量:a+(-a)=0

(1)

交換律：a+b=b+a(5)1a=a(6)k(la)=(kl)a(7)

(k+l)a=ka+la(8)k(a+b)=ka+kb

設a、b

、g為n

維向量,k,l

為實數(shù)，則向量的線性運算滿足：第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算解：由第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算例4.3

設，求解：．例4.4設，，且求.得：對一個m×n矩陣

A=(aij)例4.5矩陣與向量第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算稱為矩陣A

的列向量組。按列分塊得:

按行分塊得：第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算稱為矩陣A

的行向量組。構成一個n×m矩陣m個n

維列向量所組成的向量組m個n維行向量所組成的向量組構成一個m×n

矩陣

反之，由有限個向量所組成的向量組可以構成一個矩陣。第四章n維向量

§1n

維向量及其線性運算§2向量組的線性相關性★向量組的線性組合與線性表出★向量組的線性相關與線性無關第四章n維向量

§2向量組的線性相關性稱為向量組T的一個線性組合，k1,k2,…,km

稱為這個線性組合的系數(shù)。給定向量組T:a1,a2,…,am，對任何一組實數(shù)k1,k2,…,km

,向量實數(shù)k1,k2,…,km

,使則稱向量b可由向量組T線性表出或線性表示一、向量組的線性組合k1a1+k2a2+…+kmam

給定向量組T:a1,a2,…,am和向量b,如果存在一組b=k1a1+k2a2+…+kmam定義4.3：第四章n維向量

§2向量組的線性相關性例4.6若記則任意n維向量a=(a1,a2,

…,an),均可表示為：稱e1,e2,…,en為n維單位坐標向量。e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,

…,0)，

…，en=(0,0,

…,1)a=a1e1+a2e2+

…+anen零向量可表為任意同維向量組的線性組合。向量組a1,a2,…,am中的任一向量都可由這個向量組線性表出例4.7例4.8第四章n維向量

§2向量組的線性相關性例4.9

線性方程組與向量可寫成

線性方程組第四章n維向量

§2向量組的線性相關性即其中第四章n維向量

§2向量組的線性相關性能由n個m維向量有解。且表示系數(shù)就是該方程組的解。定理4.1：m維向量線性表示的充要條件是非齊次線性方程組第四章n維向量

§2向量組的線性相關性例4.10給定向量組問b能否由a1,a2,a3線性表出？若能，求出表示系數(shù)。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性例4.11：給定向量組問b能否由a1,a2線性表出？若能，求出表示系數(shù)。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性定義4

給定向量組a1,a2,

…,am(m≥2),如果向量組中至少存在一個向量可以表示為其余向量的線性組合，則稱該向量組線性相關。否則稱該向量組線性無關。規(guī)定：由一個向量組成的向量組線性相關當且僅當它是零向量．

二、向量組的線性相關性1.線性相關的定義第四章n維向量

§2向量組的線性相關性兩個n維向量a=(a1,a2,…,an)

與b=(b1,b2,…,bn)

線性相關的充要條件是：對向量組T:a1,a2,

…,an,

若存在T的部分組線性相關，則向量組T含有零向量的向量組注：（1）（2）（3）對應分量成比例.若向量組

T線性無關，則T的任一部分組必線性無關。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性一定線性相關．一定線性相關；(1)向量組T線性相關的充要條件是：2.向量組的線性相關性的判定定理存在一組不全為零的數(shù)k1，k2,

…，km,使

k1a1+k2a2+

…+kmam=0第四章n維向量

§2向量組的線性相關性定理4.2：設T:是由m個n維的向量組成的向量組，則有下列結論成立：(2)向量組T線性無關的充要條件是：對任意一組不全為零的數(shù)k1，k2,

…，km,

k1a1+k2a2+

…+kmam≠0或如果

k1a1+k2a2+

…+kmam=0,則

k1=k2=

…=km=0.例4.12已知向量組

a1,a2,a3

線性無關，證明：a1+a2,a2+a3,a3+a1

也線性無關.第四章n維向量

§2向量組的線性相關性證明：假設解得：由定理4.2得，也線性無關．

整理得：因為向量組線性無關，所以例4.13

討論向量組，，的線性相關性．解：設，于是我們得到關于k1,k2,k3的方程組:解方程組得：所以由定理4.2得，線性無關．

第四章n維向量

§2向量組的線性相關性系數(shù)矩陣R(A)<m.定理4.3

設是n維列向量組，,則線性方程組AX=0有非零解;線性相關;第四章n維向量

§2向量組的線性相關性矩陣存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得適合具體向量組適合抽象向量組R(A)=m.線性方程組AX=0僅有零解;線性無關;注：如果

k1a1+k2a2+

…+kmam=0,則

k1=k2=

…=km=0.第四章n維向量

§2向量組的線性相關性例4.13

討論向量組，，的線性相關性．解：以為列向量作矩陣A,所以A的秩為3(等于向量的個數(shù)）.因此線性無關．

則第四章n維向量

§2向量組的線性相關性推論1

：

若m>n，即向量組中向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，第四章n維向量

§2向量組的線性相關性則該向量組一定線性相關．是m個n維向量構成的向量組。設例4.14(1)n+1個n維的向量一定線性相關。(2)問a,b,c為何值時，向量組線性相關。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性

推論2

：若m=n,即向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時，推論1

：

若m>n，即向量組中向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，第四章n維向量

§2向量組的線性相關性|A|=0列向量組線性相關則該向量組一定線性相關．是m個n維的向量構成的向量組。設例4.16設問t為何值時該向量組一定線性相關。例4.15證明：n維單位坐標向量e1,e2,…,en

線性無關。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性推論3

:

設m個n維向量組a1,a2,…,am

線性無關，則在每個向量ai上添加s個分量后，所得的n+s維

推論2

：若m=n,即向量的個數(shù)等于向量的維數(shù)時，推論1

：

若m>n，即向量組中向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)時，向量組b1,b2,…,bm仍線性無關。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性|A|=0列向量組線性相關則該向量組一定線性相關．是m個n維向量構成的向量組。設練習1用各種方法判別線性無關.練習2已知是否線性相關。試討論向量組第四章n維向量

§2向量組的線性相關性解法一：施行行初等變換變成行階梯形矩陣，即可看出矩陣A的秩，利用定理4.3，即可得出結論。對矩陣第四章n維向量

§2向量組的線性相關性可見故向量組線性無關。解法二：由于行列式所以向量組線性無關。=16≠0(向量的個數(shù)等于維數(shù))第四章n維向量

§2向量組的線性相關性解法三：設有一組數(shù)x1,x2,x3

使即方程組只有零解x1=x2=x3=0，所以向量組線性無關。第四章n維向量

§2向量組的線性相關性小結給定m個n維向量構成的向量組：

是抽象向量組，是具體向量組，當m>n時,當m=n時,若當m<n時，若一定線性相關；線性相關；線性相關。線性相關.若存在不全為零的數(shù)k1,…，km使k1a1+k2a2+

…+kmam=0則判別線性相關的方法如下：1)為列向量作矩陣A.則2)，則，則以第四章n維向量

§2向量組的線性相關性且表示式是唯一的。

命題：設向量組

線性無關，而線性相關，則向量必能由向量組線性表示，向量組第四章n維向量

§2向量組的線性相關性§3向量組的秩★向量組的極大線性無關組★向量組的秩第四章n維向量

§3向量組的秩引例：考察線性方程組：注意到方程組中：11111?12?23?15?3B=x+y+z=1①x?y+2z=?2②3x?y+5z=?3③(1)(2)第四章n維向量

§3向量組的秩則有a1與a2,線性無關但a1+2a2=a3考查方程組(1)所對應的矩陣B,若記B的三個行向量分別為a1,a2,a3,①+2②=③，這說明方程組(1)同解于方程組一、向量組的極大線性無關組與秩(2)向量組T中任意一個向量都可由定義5

若向量組T中由r個向量組成的向量組滿足:(1)向量組

線性無關；線性表出.則稱是向量組A的一個極大線性無關組。1.向量組的極大線性無關組第四章n維向量

§3向量組的秩注：

由定義知，若T本身線性無關，則T的極大線性無關組就是它自己。例4.17全體n維坐標向量構成的向量組記為Rn，則n維單位坐標向量e1,e2,…,en是Rn的一個極大線性無關組。

任意n個n維線性無關的向量都是Rn的一個極大線性無關組事實上，第四章n維向量

§3向量組的秩例4.18

求向量組極大線性無關組。

因為a1≠0,所以a1線性無關；又因為a1，a2對應分量不成比例，所以a1

、a2線性無關；又因為解第四章n維向量

§3向量組的秩所以a1

，a2

，a3線性相關；又因為所以a1

，a2

，a4線性無關。

因而a1

，a2

，a4是該向量組的一個極大線性無關組。同理可得：a2,a3,a4也是該向量組的極大線性無關組。第四章n維向量

§3向量組的秩定理4.4向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)唯一，即一個向量組若有多個不同的極大線性無關組，則它們包含的向量個數(shù)相同．

第四章n維向量

§3向量組的秩定義6一個向量組的極大線性無關組所含的向量個數(shù)稱為該向量組的秩．2.向量組的秩定義7矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩.二、矩陣的秩與向量組的秩的關系問題矩陣的行秩、列秩與矩陣的秩之間有何關系？如何借助矩陣理論來研究向量組之間的關系？第四章n維向量

§3向量組的秩引例：假設矩陣(1)討論B的列向量組相關性，并求出其一個極大線性無關組;的線性(2)求矩陣B的行秩、列秩及秩.第四章n維向量

§3向量組的秩設mn矩陣經(jīng)過行初等變換化為矩陣，于是存在可逆矩陣P,使得B=PA,

即對任意的r(1≤r≤n)，由于分析第四章n維向量

§3向量組的秩于是這表明:

矩陣的行初等變換不改變列向量之間的線性關系.

第四章n維向量

§3向量組的秩的極大線性無關組；為的極大線性無關組，則為則對應的即如果定理4.5

矩陣的行初等變換不改變矩陣列向量組的線性關系.

并且如果行初等變換定理4.6

矩陣的秩等于它的秩，也等于它的列秩。

另一方面，A的行秩等于AT的列秩。

綜上可得：

A的行秩=A的列秩=A的秩證明設A為mn矩陣，且R(A)=r.并且假設其中B為行標準形矩陣，第四章n維向量

§3向量組的秩則R(B)=R(A)=r.因為B的列向量組的秩等于矩陣B的秩。故由定理4.5可得：A的秩等于A的列向量組的秩等于r.當r=m時，當r<m時，(2)當r=n時，當r<n時，推論設A為mn矩陣，R(A)=r,則第四章n維向量

§3向量組的秩A的行向量組線性無關；A的行向量組線性相關。A的列向量組線性無關；A的列向量組線性相關。定理4.6

矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。例4.19設向量組（1）求向量組的秩，并討論它的線性相關性；（2）求向量組的一個極大線性無關組；（3）把其余向量表示成極大線性無關組的線性組合.第四章n維向量

§3向量組的秩解第四章n維向量

§3向量組的秩以為列向量作矩陣A,并對A作行初等變換：(1)于是R(A)=3,從而向量組的秩為3.(2)由于向量組的秩小于向量的個數(shù)，所以向量組線性相關.(3)向量組的一個極大線性無關組是，且第四章n維向量

§3向量組的秩練習：設向量組（1）求向量組的秩，并討論它的線性相關性；（2）求向量組的一個極大線性無關組；（3）把其余向量表示成極大線性無關組的線性組合.第四章n維向量

§3向量組的秩解以為列向量作矩陣A,并對A作行初等變換：(1)于是R(A)=3,從而向量組的秩為3.(2)由于向量組的秩小于向量的個數(shù)，所以向量組線性相關.(3)向量組的一個極大線性無關組是，且第四章n維向量

§3向量組的秩§4.5線性方程組的解的結構第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構本節(jié)考慮一般的線性方程組第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構的以下三個問題：(1)方程組在什么條件下有解？(2)當方程組有解時，它有多少解？這些解之間有什么關系？(3)當方程組有解時，怎樣求出它的全部解？記則上面的方程組可寫為：稱方程組為方程組齊次線性方程組，簡稱為導出組．注：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構的導出1.齊次線性方程組解的判別

當R(A)=n時，方程組只有零解；當R(A)<n時，方程組有無窮多個非零解。特別地，當m=n時，若|A|≠0，方程組只有零解；若|A|=0,方程組有無窮多個非零解。第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構一、齊次線性方程組解的結構2.齊次線性方程組解的結構注：方程組AX=0的每個解X=[x1,x2,…,xn]T都可以看成一個n維向量，稱為方程組AX=0的解向量。性質1若

1、

2是方程組AX=0的兩個解向量，則

1+

2也是AX=0的解向量。性質2若是方程組AX=0的解向量，l是任意實數(shù)，則l

也是AX=0的解向量。第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構

定義4.7

稱齊次線性方程組的一組解

1,

2,…,

s為該方程組的一個基礎解系，若滿足:

（1）

1,

2,…,

s線性無關；（2）該齊次線性方程組的任意一個解都可以由

1,

2,…,

s線性表示．注：

由定義知，齊次線性方程組的基礎解系實際上就是該方程組全體解向量所組成的向量組的一個極大線性無關組．于是，解一個齊次線性方程組AX=0，只需求出它的一個基礎解系即可．第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構問題：AX=0的基礎解系中含有幾個解向量？怎么求？引例求方程組的通解。解因為第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構所以方程組的通解為：表示成向量的形式即為：（x3,x4為任意常數(shù)）基礎解系第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構必要時可調整相應未知量的位置若R(A)=r<n,則A行初等變換一般地，對齊次線性方程組Am×nX=0第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構則齊次線性方程組AX=0的解可表示為:其中xr+1、xr+2…、xn為n?r個自由未知量．第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構表示成向量形式為：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構則方程組通解為：令

1.線性無關2.是方程組的解3.任一解都可由他們線性表出基礎解系定理4.7

設齊次線性方程組AX=0的系數(shù)矩陣的秩

R(A)=r<n，則該方程組必存在基礎解系，并且基礎解系中所含的解向量的個數(shù)為n?r．第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構3.齊次線性方程組的解法只有零解N秩(A)<n?行階梯形解AmnX=0初等行變換Y行最簡形解最簡方程組初等行變換A例4.20求齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣A

施行初等行變換變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕旱耐ń夂突A解系.-2r1+r2-r1+r3第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構得原方程組通解為：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構得通解的向量形式：其中為任意實數(shù)?；A解系為：求解齊次線性方程組解例4.21第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構得原方程組通解為：得向量形式的解：其中k是任意常數(shù)。第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構引例

求解下列非齊次線性方程組1.非齊次線性方程組解的判別定理第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構二、非齊次線性方程組解的結構解（1）因為增廣矩陣行初等變換所以方程組有唯一解：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構（2）因為增廣矩陣所以原方程組的通解為：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構行初等變換(x3為任意常數(shù))即（3）因為增廣矩陣所以原方程組的同解方程組為：方程組無解.第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構行初等變換行初等變換行初等變換行初等變換唯一解無窮多解無解方程組AX=B有解B可由A的列向量組線性表出向量組與向量組的秩相等非齊次線性方程組有解的充分必要條件是：定理4.8第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構事實上，第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構注：

對非齊次線性方程組Am×n=B，有當時，方程組有無窮解；時，方程組有唯一解．當(1)當時，方程組無解；(2)當時，方程組有解，且特別地，當m=n時，

若|A|≠0，則方程組有唯一解；

若|A|=0,則

(i)時方程組有無窮多解。(ii)時方程組無解。例4.22

判斷下列方程組解的存在性(1)(2)第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構2.非齊次線性方程組解的結構(1)解的性質性質1：若是非齊次線性方程組AX=B的解，則是其導出組AX=0的解。設是方程組AX=B的解。則是其導出組的解，是方程組AX=B的解，性質2：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構定理4.11設h是非齊次線性方程組AX=B的一個任意給定的解（通常稱為特解），則方程組AX=B的任意一個解X都可以表示為：其中g是其導出組AX=0的解.第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構(2)解的結構是AX=0的基礎解系，設h是非齊次線性方程組AX=B的一個特解，則AX=B的通解為：注：3.非齊次線性方程組的解法初等行變換[AB]行階梯形秩(A)=秩([AB])?初等行變換Y無解N

解Amn

x=B

行最簡形解最簡方程組第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構例4.24

求下列非齊次線性方程組的通解和導出組的基礎解系：(1)(2)第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構解(1)因為R(A)=R(A)=2<未知數(shù)個數(shù)，所以原方程組有無窮多解，且其通解為：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構即（x2,x4為任意常數(shù)）導出組的基礎解系為：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構(2)解因為R(A)=R(A)=4=未知數(shù)個數(shù)，所以原方程組有唯一解：第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構例4.23

l為何值時，方程組(1)有唯一解？(2)無解？(3)無窮多解？并求通解。

法一：系數(shù)行列式法解第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構所以，即時,方程組有唯一解；當時，,方程組無解;當,第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構,方程組無解.當時，,第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構,方程組無窮多解.當時，原方程組的通解為：(x2為任意常數(shù))即法二：初等變換法設方程組的增廣矩陣實施行初等變換于是當時,,方程組無解;,,方程組無窮多解.當時,時，當,方程組有唯一解；第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構當時,,方程組無解;,例4.23

l為何值時，方程組有唯一解？無解？無窮多解？第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構解

法一：系數(shù)行列式法所以，即時，方程組有唯一解；當時，,方程組無解;,方程組無窮多解.當,當時，第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構法二：初等變換法設方程組的增廣矩陣實施行初等變換于是當時,,方程組無解;,,方程組無窮多解.當時,時，當,方程組有唯一解；第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構例4.25a,b取何值時，方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)無窮多解并求解.解因為所以當a≠2時，方程組有唯一解；當a=2且b=1時，無窮多解，此時當a=2且b≠1時無解；第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構所以方程組的通解為：即（x3為任意常數(shù)）第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構(2)a,b取何值時，例4.26已知，問(1)a,b取何值時，不能由線性表示；能由惟一地線性表示，可由線性表示，(3)a,b取何值時，并寫出此表達式；但不唯一。第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構解假設，即則問題(1)(2)(3)分別對應于a,b取何值時，線性方程組(*)無解，有唯一解及有無窮多解。(*)第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構

(i)a≠1時，,能由唯一地線性表示，此時

(ii)a=1時，,能由線性表示，但表達式不唯一.所以(1)當b≠2時，方程組(*)無解，不能由線性表示(2)當b=2，方程組(*)有解.第四章n維向量

§4.4線性方程組的解的結構§4.5

n維向量空間

★向量空間的概念、基、維數(shù)第四章n維向量

§4.5n維向量空間

設V是由同維向量所組成的集合，如果集合V對于向量的加法及數(shù)乘兩種運算滿足：定義4.18一、n維向量空間的概念第四章n維向量

§4.5n維向量空間1.向量空間的定義則稱集合V為向量空間.（1）加法封閉（2）數(shù)乘封閉及實數(shù)k，必有必有即對任意的即對任意的例4.28第四章n維