戰(zhàn)地黃花考研數(shù)學(xué)講座

(1)“木桶原理”已經(jīng)廣為人所知曉。但真要在做件事時(shí)找到自身的短處,下意識(shí)地有針對(duì)性地采取措施,以求得滿意的結(jié)果。實(shí)在是一件不容易的事。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生與數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生的最基本差別,在于概念意識(shí)。 數(shù)學(xué)科學(xué)從最嚴(yán)密的定義出發(fā),在準(zhǔn)確的概念與嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上層層尚疊，不斷在深度與廣度上發(fā)展。形成一棵參天大樹。在《高等數(shù)學(xué)》中,出發(fā)點(diǎn)處就有函數(shù)，極限，連續(xù),可導(dǎo)，可微等重要概念。在《線性代數(shù)》的第一知識(shí)板塊中，最核心的概念是矩陣的秩。而第二知識(shí)板塊中，則是矩陣的特征值與特征向量。在《概率統(tǒng)計(jì)》中，第一重要的概念是分布函數(shù)。不過，《概率》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要學(xué)生有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生大多沒有概念意識(shí)，記不住概念。更不會(huì)從概念出發(fā)分析解決問題。基礎(chǔ)層次的概念不熟,下ー層次就云里霧里了。這是感到數(shù)學(xué)難學(xué)的關(guān)鍵。大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)目的,通常只是為了滿足相關(guān)本科專業(yè)的需要。教師們?cè)谑谡n時(shí)往往不會(huì)太重視，而且也沒時(shí)間來進(jìn)行概念訓(xùn)練。考研數(shù)學(xué)目的在于選拔，考題中基本概念與基本方法并重。這正好擊中考生的軟肋。在考研指導(dǎo)課上,往往會(huì)有學(xué)生莫名驚詫，“大一那會(huì)兒學(xué)的不一樣?！痹蚓驮谟趯W(xué)過的概念早忘完了。做考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，首先要在基本概念與基本運(yùn)算上下足功夫。按考試時(shí)間與分值來匹配,ー個(gè)4分的選擇題平均只有5分鐘時(shí)間。而這些選擇題卻分別來自三門數(shù)學(xué)課程，每個(gè)題又至少有兩個(gè)概念。你可以由此體驗(yàn)選拔考試要求你對(duì)概念的熟悉程度。從牛頓在碩士生二年級(jí)的第一篇論文算起，微積分有近四百年歷史。文獻(xiàn)浩如煙海，知識(shí)千錘百煉。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生們所接觸的，只是初等微積分的一少部分。方法十分經(jīng)典，概念非常重要。學(xué)生們要做的是接受，理解，記憶，學(xué)會(huì)簡單推理。當(dāng)你面對(duì)ー個(gè)題目時(shí)，你的自然反應(yīng)是，“這個(gè)題目涉及的概念是ー--”,而非“在哪兒做過這道題”,才能算是有點(diǎn)入門了。你要考得滿意嗎?基點(diǎn)不在于你看了多少難題，關(guān)鍵在于你是否對(duì)基本概念與基本運(yùn)算非常熟悉。陽春三月風(fēng)光好，抓好基礎(chǔ)正當(dāng)時(shí)?？佳袛?shù)學(xué)講座(2)筆下生花花自紅在愛搞運(yùn)動(dòng)的那些年代里，數(shù)學(xué)工作者們經(jīng)常受到這樣的指責(zé)，“ー支筆，ー張紙,一杯茶,鬼畫桃符，脫離實(shí)際?！卑l(fā)難者不懂基礎(chǔ)研究的特點(diǎn)，不懂得考慮數(shù)學(xué)問題時(shí)“寫‘‘與“思”同步的重要性。也許是計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的影響，今天的學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),也不太懂得“寫”的重要性?？佳械膶W(xué)生們，往往拿著一本厚厚的考研數(shù)學(xué)指導(dǎo)資料,看題看解看答案或看題想解翻答案。動(dòng)筆的時(shí)間很少。數(shù)學(xué)書不比小說?？磾?shù)學(xué)書和照鏡子差不多，鏡子ー拿走,印象就模糊?？茖W(xué)的思維是分層次的思維。求解ー個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，你不能企圖一眼看清全路程。你只能踏踏實(shí)實(shí)地考慮如何邁出第一步?；颉耙罁?jù)已知條件，我首先能得到什么?”(分析法)：或“要證明這個(gè)結(jié)論，就是要證明什么?”(綜合法)。在很多情形下，寫出第一步與不寫的感覺是完全不同的。下面是ー個(gè)簡單的例?！斑B續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和會(huì)怎樣?”寫成“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”后就可能想到，只有兩個(gè)答案，分別填出來再說。(窮盡法)。如果，“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”移項(xiàng),則“連續(xù)Cー連續(xù)A=不連續(xù)B”這與定理矛盾。所以有結(jié)論:連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。有相當(dāng)一些數(shù)學(xué)定義，比如“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”,其中包含有計(jì)算式。能否掌握并運(yùn)用這些定義,關(guān)鍵就在于是否把定義算式寫得滾瓜爛熟。比如，題面上有已知條件概念深,寫得熟的人立刻就會(huì)先寫出h趨于〇時(shí)，lim(f(l+h)-f(l))/h>0然后由此自然會(huì)聯(lián)想到,下ー步該運(yùn)用極限的性質(zhì)來推理。而寫不出的人就抓瞎了。又比如《線性代數(shù)》中特征值與特征向量有定義式Aa=Xa,即〇,要是移項(xiàng)寫成(A-XE)a=0,aナ〇,這就表示a是齊次線性方程組(A一九E)X=0的非零解,進(jìn)而由理論得到算法。數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)之一是“發(fā)散性’ー個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可能有幾個(gè)轉(zhuǎn)換方式,也許從其中一個(gè)方式會(huì)得到ー個(gè)新的解釋,這個(gè)解釋將導(dǎo)引我們邁出下ー步。車到山前自有路,你得把車先推到山前啊。望山跑死馬。思考一步寫ー步,觀測分析邁下步。路只能一步步走。陳景潤那篇名揚(yáng)世界的“1+2”論文中有28個(gè)“引理”，那就是他艱難地走向輝煌的28步。對(duì)于很多考生來說，不熟悉基本計(jì)算是他們思考問題的又一大障礙?！陡叩葦?shù)學(xué)》感覺不好的考生,第一原因多半是不會(huì)或不熟悉求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算差,討論函數(shù)的圖形特征，積分,解微分方程等,反應(yīng)必然都慢?！毒€性代數(shù)》中矩陣的乘法與矩陣乘積的多種分塊表達(dá)形式，那是學(xué)好線性代數(shù)的訣竅。好些看似很難的問題,選擇ー個(gè)分塊變形就明白了?！陡怕式y(tǒng)計(jì)》中，要熟練地運(yùn)用二重積分來計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的各類問題。對(duì)于考數(shù)學(xué)三的同學(xué)來說，二重積分又是《高等數(shù)學(xué)》部分年年必考的內(nèi)容。掌握了二重積分，就能在兩類大題上得分。要考研嗎,要去聽指導(dǎo)課嗎，一定要自己先動(dòng)筆，盡可能地把基本計(jì)算練一練。我一直向考生建議，臨近考試的一段時(shí)間里，不仿多自我模擬考試。在限定的考試時(shí)間內(nèi)作某年研考的全巻。中途不翻書，不查閱，憑已有能力做到底?？纯闯煽兌嗌?。不要以為你已經(jīng)看過這些試卷了。就算你知道題該怎么做,你ー寫出來也可能會(huì)面目全非。多動(dòng)筆啊，“寫”“思”同步步履輕，筆下生花花自紅?？佳袛?shù)學(xué)講座（3）極限概念要體驗(yàn)極限概念是微積分的起點(diǎn)。說起極限概念的歷史，學(xué)數(shù)學(xué)的都多少頗為傷感。很久很久以前，西出陽關(guān)無蹤影的老子就體驗(yàn)到，“一尺之竿，日取其半，萬世不竭?！苯鼉汕昵?祖氏父子分別用園的內(nèi)接正6n邊形周長替帶園周長以計(jì)算園周率;用分割曲邊梯形為n個(gè)窄曲邊梯形，進(jìn)而把窄曲邊梯形看成矩形來計(jì)算其面積。他們都體驗(yàn)到，“割而又割，即將n取得越來越大，就能得到越來越精確的園周率值或面積?！眹藰銓?shí)的體驗(yàn)延續(xù)了一千多年，最終沒有思維升華得到極限概念。而牛頓就在這一點(diǎn)上率先突破。極限概念起自于對(duì)“過程”的觀察。極限概念顯示著過程中兩個(gè)變量發(fā)展趨勢的關(guān)聯(lián)。自變量的變化趨勢分為兩類，ー類是XTXO:ー類是XT8,“當(dāng)自變量有一個(gè)特定的發(fā)展趨勢時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是否無限接近于ー個(gè)確定的數(shù)a?”如果是,則稱數(shù)a為函數(shù)的極限?！盁o限接近”還不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)語言。但這是理解極限定義的第一步,最直觀的一步。學(xué)習(xí)極限概念,首先要學(xué)會(huì)觀察,了解過程中的變量有無一定的發(fā)展趨勢。學(xué)習(xí)體驗(yàn)相應(yīng)的發(fā)展趨勢。其次オ是計(jì)算或討論極限值。自然數(shù)列有無限增大的變化趨勢。按照游戲規(guī)則，我們還是說自然數(shù)列沒有極限。自然數(shù)n趨于無窮時(shí)，數(shù)列1/n的極限是0;x趨于無窮時(shí)，函數(shù)1/x的極限是〇;回顧我們最熟悉的基本初等函數(shù)，最直觀的體驗(yàn)判斷是,x趨于正無窮時(shí),正指數(shù)的裏函數(shù)都與自然數(shù)列一樣，無限增大,沒有極限。x趨于正無窮時(shí),底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都無限增大，沒有極限。X—O+時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)Inx趨于ー〇〇;x趨于正無窮時(shí),Inx無限增大，沒有極限。Xー〇〇時(shí),正弦sinx與余弦conx都周而復(fù)始,沒有極限。在物理學(xué)中，正弦y=sinx的圖形是典型的波動(dòng)。我國《高等數(shù)學(xué)》教科書上普遍都選用了“震蕩因子"sin（l/x）o當(dāng)x趨于〇時(shí)它沒有極限的原因是震蕩。具體想來，當(dāng)x由0.01變?yōu)?.001時(shí)，只向中心點(diǎn)x=0靠近了一點(diǎn)點(diǎn)，而正弦sinu卻完成了140多個(gè)周期。函數(shù)的圖形在+1與-1之間上下波動(dòng)140多次。在x=0的鄰近，函數(shù)各周期的圖形緊緊地“擠”在ー起，就好象是“電子云”。當(dāng)年我研究美國各大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》教材時(shí),曾看到有的教材竟然把函數(shù)y=sin（1/x）的值整整印了一大頁,他們就是要讓學(xué)生更具體地體驗(yàn)它的數(shù)值變化。x趨于〇時(shí)（1/x）sin（1/x）不是無窮大,直觀地說就是函數(shù)值震蕩而沒有確定的發(fā)展趨勢。1/x為虎作依，讓震蕩要多瘋狂有多瘋狂。更深入一步,你就得體驗(yàn)，在同一個(gè)過程中，如果有多個(gè)變量趨于0,（或無限增大。）就可能有的函數(shù)趨于0時(shí)（或無限增大時(shí)）“跑得更快”。這就是高階，低階概念。考研數(shù)學(xué)還要要求學(xué)生對(duì)極限有更深刻的體驗(yàn)。多少代人的千錘百煉，給微積分鑄就了自己的倚天劍。這就是一套精密的極限語言，（即￡-5語言）。沒有這套語言,我們沒有辦法給出極限定義,也無法嚴(yán)密證明任何一個(gè)極限問題。但是,這套語言是高等微積分的內(nèi)容,非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生很難搞懂。數(shù)十年來,考研試卷上都沒有出現(xiàn)過要運(yùn)用E-5語言的題冃。研究生入學(xué)考題中，考試中心往往用更深刻的體驗(yàn)來考查極限概念。這就是“若X趨于〇〇時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值f(x)有正的極限，則當(dāng)|x!充分大時(shí)，(你不仿設(shè)定一點(diǎn)xO,當(dāng)IxI>xO時(shí)，)總有f(x)>0"，’若x趨于xO時(shí),相應(yīng)函數(shù)值f(x)有正的極限,則在xO的一個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi),f(x)恒正”這是已知函數(shù)的極限而回頭觀察。逆向思維總是更加困難。不過,這不正和“近朱者赤，近墨者黑’’ー個(gè)道理嗎。除了上述苻號(hào)體驗(yàn)外,能掌握下邊簡單的數(shù)值體驗(yàn)則更好。若x趨于無窮時(shí)，函數(shù)的極限為〇,則x的絕對(duì)值充分大時(shí)，(你不仿設(shè)定一點(diǎn)xO,當(dāng)|x|>xO時(shí),)函數(shù)的絕對(duì)值恒小于1若x趨于無窮時(shí)，函數(shù)為無窮大，則x的絕對(duì)值充分大時(shí),(你不仿設(shè)定一點(diǎn)xO?當(dāng)|x|>xO時(shí),)函數(shù)的絕對(duì)值全大于1?若x趨于〇時(shí)，函數(shù)的極限為〇,則在〇點(diǎn)的某個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，或x的絕對(duì)值充分小時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值全小于1(你不仿設(shè)定有充分小的數(shù)8>0,當(dāng)〇くIx|<3時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值全小于1)沒有什么好解釋的了,你得反復(fù)領(lǐng)會(huì)極限概念中“無限接近''的意義。你可以試著理解那些客觀存在，可以自由設(shè)定的點(diǎn)xO,或充分小的數(shù)5>0,并利用它們?？佳袛?shù)學(xué)講座(4)“存在”與否全面看定義，是數(shù)學(xué)的基本游戲規(guī)則。所有的定義條件都是充分必要條件。即便有了定義,為了方便起見，數(shù)學(xué)工作者們通常會(huì)不遺余力地去尋覓既與定義等價(jià)，又更好運(yùn)用的描述方式。討論極限的存在性，就有如下三個(gè)常用的等價(jià)條件。.海涅定理觀察x趨于xO的過程時(shí),我們并不追溯x從哪里岀發(fā);也沒有考慮它究竟以怎樣的方式無限靠近x.O:我們總是向未來，看發(fā)展。因而最直觀的等價(jià)條件就是海涅定理:定理(1)極限存在的充分必要條件是，無論x以何種方式趨于xO,相應(yīng)的函數(shù)值總有相同的極限A存在。這個(gè)定理?xiàng)l件的“充分性'’沒有實(shí)用價(jià)值。事實(shí)上我們不可能窮盡x逼近xO的所有方式。很多教科書都沒有點(diǎn)出這ー定理,只是把它的“必要性”獨(dú)立成為極限的一條重要性質(zhì)。即唯一性定理:“如果函數(shù)(在某一過程中)有極限存在,則極限唯一。’’唯一性定理的基本應(yīng)用之一,是證明某個(gè)極限不存在。.用左右極限來描述的等價(jià)條件用￡で語言可以證得一個(gè)最好用也最常用的等價(jià)條件：定理(2)極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。這是在三類考研試題中出現(xiàn)概率都為1的考點(diǎn)。考研數(shù)學(xué)年年考連續(xù)定義,導(dǎo)數(shù)定義。本質(zhì)上就是考査極限存在性。這是因?yàn)楹瘮?shù)在一點(diǎn)連續(xù)，等價(jià)于函數(shù)在此點(diǎn)左連續(xù),右連續(xù)。函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，等價(jià)于函數(shù)在此點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等。由于初等函數(shù)有較好的分析性質(zhì)?？碱}往往會(huì)落實(shí)到分段函數(shù)的定義分界點(diǎn)或特殊定義點(diǎn)上。考生一定要對(duì)分段函數(shù)敏感，一定要學(xué)會(huì)在特殊點(diǎn)的兩側(cè)分別考察函數(shù)的左右極限。(3)突出極限值的等價(jià)條件考數(shù)學(xué)ー,二的考生，還要知道另ー個(gè)等價(jià)條件：定理(3)函數(shù)f(x)在某ー過程中有極限A存在的充分必要條件是，f(x)-A為無窮小。從“距離'’的角度來理解，在某一過程中函數(shù)f(x)與數(shù)A無限接近，自然等價(jià)于： 函數(shù)值f(x)與數(shù)A的距離 |f(x)—Al無限接近于0如果記a=f(x)-A,在定理?xiàng)l件下得到ー個(gè)很有用的描述形式轉(zhuǎn)換：f(x)=A+a(無窮小)考研題目經(jīng)常以下面三個(gè)特殊的“不存在''為素材?！按嬖?’與否全面看。有利于我們理解前述等價(jià)條件。我用exp()表示以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù),〇內(nèi)填指數(shù)。例1X趨于〇時(shí),函數(shù)exp(1/x)不存在極限。分析在原點(diǎn)x=O的左側(cè),x恒負(fù),在原點(diǎn)右側(cè),x恒正。所以x從左側(cè)趨于0時(shí),指數(shù)1/x始終是負(fù)數(shù),故左極限f(0-0)=0,x從右側(cè)趨于0時(shí)，函數(shù)趨向+oo,由定理(2),函數(shù)不存在極限。也不能說，x趨于〇時(shí)，exp(1/x)是無窮大。但是，在這種情形下,函數(shù)圖形在點(diǎn)x=0有豎直漸近線x=0例2x趨于〇時(shí),“震蕩因子”sin(1/x)不存在極限。俗稱震蕩不存在。分析 用海涅定理證明其等價(jià)問題,“x趨于+8時(shí)，sinx不存在極限?！狈謩e取x=n兀及x=2n?t兩個(gè)數(shù)列，n趨于+8時(shí)，它們都趨于+〇〇,相應(yīng)的兩列正弦函數(shù)值卻分別有極限〇與1,不滿足唯一性定理(定理(1))。故sinx不存在極限。(構(gòu)造法!)例3x趨于〇〇時(shí)，函數(shù)y=arctgx不存在極限。分析把〇〇視為ー個(gè)虛擬點(diǎn),用定理(2)。由三角函數(shù)知識(shí)得,x趨于+00時(shí),函數(shù)極限為兀/2,x趨于一8時(shí)，函數(shù)極限為ーを2,故，函數(shù)y=arctgx不存在極限。請(qǐng)注意，證明過程表明，函數(shù)y=arctgx的圖形有兩條水平漸近線。即一〇〇方向有水平漸近線y=-n/2；+oo方向則有有y=n/2例4當(dāng)x—>1時(shí)，函數(shù)f(x)=(exp(l/(x—l)))(x平方一IMx—l)的極限(A)等于2 (B)等于〇(C)為〇〇(D)不存在但不為〇〇b］分析考查X—1時(shí)函數(shù)的極限,通常認(rèn)為x不取1:而x円時(shí),可以約去分母(x-1),讓函數(shù)的表達(dá)式化為 f(x)=(x+l)exp(l/(x-1))左極限f(1-0)=0,x從右側(cè)趨于1時(shí)，函數(shù)趨向+00, (選(D))(畫外音:多爽啊。這不過是“典型不存在1”的平移。)例5f(x)=(2+exp(1/x))/(1+exp(4/x))+sinx/IxI,求x趨于〇時(shí)函數(shù)的極限。分析絕對(duì)值函數(shù)y=|x|是典型的分段函數(shù)。x=0是其定義分界點(diǎn)。ー看就知道必須分左右計(jì)算。如果很熟悉“典型不存在む，這個(gè)5分題用6分鐘足夠了。實(shí)際上x-0ー時(shí)，limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1x—?0+時(shí)，exp(1/x)—>+oo,前項(xiàng)的分子分母同除以exp(4/x)再取極限

limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1由定理(2)得xtO時(shí),limf(x)=1例6曲線y=exp(l/x平方)arctg((x平方+x+l)イx-l)(x+2))的漸近線共有(A)1條.(B)2條。(C)3條。(D)4條。 選(B)分析先觀察x趨于〇〇時(shí)函數(shù)的狀態(tài)，考查曲線有無水平漸近線;再注意函數(shù)結(jié)構(gòu)中，各個(gè)因式的分母共有三個(gè)零點(diǎn)。即0,1和-2;對(duì)于每個(gè)零點(diǎn)xO,直線x=xO都可能是曲線的豎直漸近線,要逐個(gè)取極限來判斷。實(shí)際上有x—>oo時(shí),limy=it/4, 曲線有水平漸近線y=n/4其中，x—>oo時(shí)，limexp(l/x平方)=1 ；im((x平方+x+l)イx—l)(x+2))=1 (分子分母同除以“x平方”)考査“嫌疑點(diǎn)”1和一2時(shí),注意運(yùn)用“典型不存在3”，f(1-0)=-ejt/2；f(1+0)=eit/2,x=1不是曲線的豎直漸近線。類似可以算得x=-2不是曲線的豎直漸近線。x-0時(shí),前因式趨向+00i后因式有極限arctg(-1/2),x=0是曲線的豎直漸近線。啊,要想判斷準(zhǔn)而快,熟記“三個(gè)不存在”?？戳松厦鎺桌?，你有體會(huì)嗎??還有兩個(gè)判斷極限存在性的定理(兩個(gè)充分條件)：定理(4)夾逼定理——若在點(diǎn)xO鄰近(或|x|充分大時(shí))恒有g(shù)(x)Wf(x)Wh(x),且x—xO(或x一〇〇)時(shí)limg(x)=limh(x)=A則必有 !imf(x)=A定理(5)單調(diào)有界的序列有極限。(或單增有上界有極限，或單減有下界有極限。)加上講座(3)中的““近朱者赤,近墨者黑“定理”。共計(jì)六個(gè),可以說是微分學(xué)第一組基本定理。考研數(shù)學(xué)講座(5)無窮小與無窮大微積分還有一個(gè)名稱,叫“無窮小分析’.概念在某ー過程中,函數(shù)f（x）的極限為0,就稱f（x）（這ー過程中）為無窮小。為了回避￡苜語言,一般都粗糙地說，無窮小的倒數(shù)為無窮大。無窮小是個(gè)變量，不是〇;y=0視為“常函數(shù)''，在任何一個(gè)過程中都是無窮小。不過這沒啥意義。依據(jù)極限定義，無窮大不存在極限。但是在變化過程中變量有絕對(duì)值無限增大的趨勢。為了記述這個(gè)特點(diǎn)，歷史上約定，"非法地''使用等號(hào)來表示無窮大。（潛臺(tái)詞:并不表示極限存在。）比如x從右側(cè)趨于〇時(shí)，limInx=—〇〇!x從左側(cè)趨于n/2時(shí)，limtgx=+oo無窮大與無界變量是兩個(gè)概念。無窮大的觀察背景是過程，無界變量的判斷前提是區(qū)間。無窮小和無窮大量的名稱中隱含著它們（在特定過程中）的發(fā)展趨勢。在適當(dāng)選定的區(qū)間內(nèi),無窮大量的絕對(duì)值沒有上界。y=tgx（在x-k/2左側(cè)時(shí)）是無窮大。在（0,兀/2）內(nèi)y=tgx是無界變量x趨于0時(shí)，函數(shù)y=（1/x）sin（1/x）不是無窮大,但它在區(qū)間（0,1）內(nèi)無界。不仿用高級(jí)語言來作個(gè)對(duì)比。任意給定一個(gè)正數(shù)E,不管它有多大,當(dāng)過程發(fā)展到一定階段以后，無窮大量的絕對(duì)值能全都大于E:而無界變量只能保證在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)至少能找到?點(diǎn)，此點(diǎn)處的函數(shù)絕對(duì)值大于E。.運(yùn)算與比較有限個(gè)無窮小量的線性組合是無窮小;“8—8”則結(jié)果不確定。枳的極限有三類可以確定;有界變量?無窮小=無窮小無窮小?無窮小=（高階）無窮小 無窮大?無窮大=（高階）無窮大其它情形都沒有必然的結(jié)果，通通稱為“未定式”。例10作數(shù)列x=1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---y=0,1,0,2,0,3,0,—,0,n,0,—兩個(gè)數(shù)列顯然都無界,但乘積xy是零數(shù)列。這表示可能會(huì)有無界?無界=有界兩個(gè)無窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算,又有深刻的理論意義。即“無窮小的比較”。如果極限為!,分子分母為等價(jià)無窮?。粯O限為〇，分子是較分母高階的無窮??；極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無窮小。無窮大有類似的比較。無窮?。o窮大）的比較是每年必考的點(diǎn)。x趨于0時(shí),a=xsin（1/x）和p=x都是無窮小，且顯然有丨aIW|。|；但它們的商是震蕩因子sin（1/x）,沒有極限。兩個(gè)無窮小不能比較。這既說明了存在性的重要，又顯示了震蕩因子sin（1/x）的用途。能夠翻閱《分析中的反例》的同學(xué)可以在其目錄頁中看到，很多反例都用到了震蕩因子?；氐交境醯群瘮?shù),我們看到x趨于+8時(shí)，y=x的卩次方，指數(shù)n>0的裏函數(shù)都是無窮大。且習(xí)慣地稱為M階無窮大。（潛臺(tái)詞;這多象汽車的1檔,2檔,一ー,啊。）X趨于+00時(shí)，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)都是無窮大；底數(shù)小于1的都是無窮小。X趨于+00或x趨于0+時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)是無窮大。X趨于8時(shí),sinx及cosx都沒有極限。正弦,余弦,反三角函數(shù)（在任何區(qū)間上）都是有界變量。請(qǐng)?bào)w驗(yàn)一個(gè)很重要也很有趣的事實(shí)。x—+00時(shí),lim（x的n次方）/fexp（x）=0,這表明:“x趨于—時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的’幕函數(shù)都還要高階的無窮大。’’或者說，“X趨于+00時(shí),函數(shù)exp（―X）是任意高階的無窮小?！痻t+8時(shí)，limlnx/（x的6次方）=0；6是任意取定的ー個(gè)很小的正數(shù)。這表明:“x趨于+00時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)Inx是比x的6次方都還要低階的無窮大。'’在數(shù)學(xué)專業(yè)方向，通常稱裏函數(shù)（x的n次方）為“緩增函數(shù)”；稱exp（-X）為“速降函數(shù)"。只需簡單地連續(xù)使用洛必達(dá)法則就能求出上述兩個(gè)極限。它讓我們更深刻地理解了基本初等函數(shù)。如果只知道極限值而不去體驗(yàn)，那收獲真是很小很小。例1I函數(shù)f（x）=xsinx（A）當(dāng)x—?oo時(shí)為無窮大。（B）在（一〇〇,+〇〇）內(nèi)有界。（C）在（ー〇〇,+00）內(nèi)無界。（D）在時(shí)有有限極限。分析這和y=（1/x）sin（1/x）在x趨于〇時(shí)的狀態(tài)ー樣。 （選（〇）例12設(shè)有數(shù)列Xn,具體取值為若n為奇數(shù),Xn=（n平方+<n）/h!若n為偶數(shù),Xn=1/h則當(dāng)n—8時(shí)，Xn是（A）無窮大量（B）無窮小量（C）有界變量（D）無界變量分析ー個(gè)子列（奇下標(biāo)）為無窮大,ー個(gè)子列是無窮小。用唯一性定理。選（D））請(qǐng)與“典型不存在了’對(duì)比。本質(zhì)相同。例!3已知數(shù)列Xn和Yn滿足n—?〇〇時(shí)，limXnYn=0,則（A）若數(shù)列Xn發(fā)散,數(shù)列Yn必定也發(fā)散。（B）若數(shù)列Xn無界，數(shù)列Yn必定也無界。（C）若數(shù)列Xn有界，數(shù)列Yn必定也有界。 （D）若變量lAn為無窮小量，則變量Yn必定也是無窮小分析盡管兩個(gè)變量的積為無窮小，我們卻無法得到其中任何一個(gè)變量的信息。例10給了我們ー個(gè)很好的反例。對(duì)本題的（A）（B）（C）來說，只要Yn是適當(dāng)高階的無窮小，就可以保證limXnYn=0無窮小的倒數(shù)為無窮大。故（D）中條件表明Xn為無窮大。要保證limXnYn=0,Yn必須為無窮小量。應(yīng)選答案（D）?？佳袛?shù)學(xué)講座（6）微觀分析始連續(xù)微分學(xué)研究函數(shù)。函數(shù)是描述過程的最簡單的數(shù)學(xué)模型。由六類基本初等函數(shù)通過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合所生成的,且由一個(gè)數(shù)學(xué)式子所表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。大學(xué)數(shù)學(xué)還讓學(xué)生學(xué)習(xí)兩類“分段函數(shù)”。或是在不同的定義區(qū)間內(nèi),分別由不同的初等函數(shù)來表示的函數(shù):或者是有孤立的特別定義點(diǎn)的函數(shù)。微分學(xué)研究函數(shù)的特點(diǎn)，是先做微觀分析。即討論函數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性,可微性。再通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來宏觀地研究函數(shù)的圖形特征。即單調(diào)性，有界性,奇偶性，周期性等。.函數(shù)的連續(xù)性定義——設(shè)函數(shù)Rx）在點(diǎn)xO的鄰近有定義。當(dāng)x趨于x0時(shí),如果函數(shù)有極限.且極限值等于函數(shù)值f（x0）,就稱函數(shù)f在點(diǎn)xO連續(xù)。否則，稱函數(shù)f在點(diǎn)xO間斷。xO是它的間斷點(diǎn)?！昂瘮?shù)f在點(diǎn)xO的鄰近有定義’’意味著，如果函數(shù)在點(diǎn)xO沒有定義，那xO只是函數(shù)的ー個(gè)孤立的無定義點(diǎn)。也就是函數(shù)的ー個(gè)天然的間斷點(diǎn)。函數(shù)y=l/x在原點(diǎn)就是這樣的?！坝袠O限'’意味著存在。在分段函數(shù)情形，要立即轉(zhuǎn)換成“左右極限存在且相等?！焙瘮?shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義等式,“左極限=右極限=中心點(diǎn)函數(shù)值”，最多可以得出兩個(gè)方程。如果在這里出題:“用連續(xù)定義求參數(shù)值?！眲t函數(shù)可以含ー個(gè)或兩個(gè)參數(shù)。如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)連續(xù),就稱函數(shù)在此區(qū)間上連續(xù)。最值定理——在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大,最小值。“有”，意味著至少有兩點(diǎn)，相應(yīng)的函數(shù)值分別為函數(shù)值域中的最大,最小數(shù)。介值定理——如果數(shù)c能被夾在連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)值之間,則c一定屬于此函數(shù)的值域。請(qǐng)?bào)w會(huì)我的描述方式,這比教科書上寫的更簡明。介值定理的ー個(gè)特殊推論是,連續(xù)函數(shù)取正取負(fù)必取零。從理論上講,求方程F（x）=O的根,可以轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)F的零點(diǎn)。例16試證明，如果函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù),則它的值域也是ー個(gè)閉區(qū)間。分析函數(shù)f在閉區(qū)間上連續(xù)，f必有最大值M=f（xl）,最小值m=f（x2）,閉區(qū)間［m,M］內(nèi)的任ー數(shù)c,自然就夾在f的兩個(gè)最值之間,因而屬于f的值域。即f的值域就是這個(gè)閉區(qū)間。例17試證明連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)間不變號(hào)。（潛臺(tái)詞:沒有零點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)定號(hào)。）分析如果此連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)間變號(hào)。則它取正取負(fù)必取零。與已知矛盾。（潛臺(tái)詞:函數(shù)究竟恒正還是恒負(fù)，選個(gè)特殊點(diǎn)算算。）例18函數(shù)f在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),其值域恰好也是［a,b］,試證方程f（x）=x在區(qū)間［a,b］上有解。分析作F=f（x）-x,它顯然在已知閉區(qū)間上連續(xù)。且有F（a心〇而F（b）<0如果有一等號(hào)成立,則結(jié)論得證。否則，用介值定理。（潛臺(tái)詞:要尋找反號(hào)的兩個(gè)函數(shù)值，當(dāng)然該先把已知點(diǎn)拿去試試。）.間斷點(diǎn)分類連續(xù)的対立面是間斷。人們把函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類。若函數(shù)在某點(diǎn)間斷,但函數(shù)在這點(diǎn)的左右極限都存在。就稱此點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn)。若函數(shù)在某點(diǎn)間斷,且至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在,就稱此點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)。第一類間斷又分為兩種。左右極限不相等，跳躍間斷;左右極限相等，可去間斷。若考題要求你去掉某個(gè)可去間斷點(diǎn)時(shí)，你就規(guī)定極限值等于此點(diǎn)的函數(shù)值,讓其連續(xù)。對(duì)于第二類間斷，我們只學(xué)了兩個(gè)特例。即x=0是震蕩因子y=sin(1/x)的震蕩間斷點(diǎn)。(畫外音:請(qǐng)聯(lián)想’‘典型不存在(2)つx=0是函數(shù)y=exp(l/x)的無窮間斷點(diǎn)。(畫外音:請(qǐng)聯(lián)想“典型不存在(1)”)只要函數(shù)在xO的ー個(gè)單側(cè)為無窮大，xO就是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)。x=xO是圖形的豎直漸近線。考題中經(jīng)常把問題平移到別的點(diǎn)去討論。例19確定y=exp(l/x)arctg((x+1)/(x-l))的間斷點(diǎn)，并說明其類型。分析函數(shù)的解析表達(dá)式中，分母有零點(diǎn)0,1 (潛臺(tái)詞：兩個(gè)嫌疑犯啊。)在點(diǎn)0,前因子的右極限為正無窮，后因子連續(xù)非零，故。點(diǎn)是無窮間斷點(diǎn).在點(diǎn)1,前因子連續(xù)非零，后因子的左極限是一R2,右極限為內(nèi)2,第一類間斷。三個(gè)特殊的“不存在”記得越熟,計(jì)算左右極限就越快。要有一個(gè)基本材料庫,典型的知識(shí)首先在基本材料范圍內(nèi)滾瓜爛熟，你就會(huì)走得踏實(shí)走得遠(yuǎn)。例20設(shè)函數(shù)f(x)=x4a+exp(bx))在(一〇〇,+oo)內(nèi)連續(xù)，且x一—〇〇時(shí)，極限limf(x)=0:則常數(shù)a,b滿足(A)a<0,b<0 (B)a>0,b>0 (C)a<0,b>0 (D)a>0,b<0分析初等函數(shù)的表達(dá)式中若有分母，則分母的零點(diǎn)是其天然沒有定義的點(diǎn),也就是函數(shù)的ー個(gè)天然間斷點(diǎn)。已知函數(shù)連續(xù)，則其分母不能為〇,而指數(shù)函數(shù)exp(bx)的值域?yàn)?0,+oo),故aNO又，xt-〇〇時(shí)，極限limf(x)=0表明，f(x)分母是較分子x高階的無窮大,即要指數(shù)函數(shù)exp(bx)為無窮大，只有b<0,應(yīng)選(D)。(畫外音：ー個(gè)4分題,多少概念與基礎(chǔ)知識(shí)綜合!典型的考研題!漂亮的考研題!)?例21 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上處處有定義，且單調(diào)。若f(x)有間斷點(diǎn)，則只能是第一類間斷點(diǎn)。分析(構(gòu)造法)不仿設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上單增，但是有間斷點(diǎn)xO:我們得證明f在點(diǎn)xO的左右極限都存在。已設(shè)f在區(qū)間單增,余下的問題是尋找其上界或下界。事實(shí)上有x一xOー時(shí),f單增，顯然f(b)是它的ー個(gè)上界。故左極限存在。xtx0+時(shí)，自變量從右向左變化，相應(yīng)的f值單減。顯然f(a)是其ー個(gè)下界。右極限也存在。構(gòu)造法是微積分自己的方法。它的要點(diǎn)是，實(shí)實(shí)在在地梳理函數(shù)的構(gòu)造及其變化，由此推理獲得所要結(jié)果?？佳袛?shù)學(xué)指導(dǎo)(7)導(dǎo)數(shù)定義是重點(diǎn)選定一個(gè)中心點(diǎn)xO,從坐標(biāo)的角度講，可以看成是把原點(diǎn)平移;從物理角度說,是給定一個(gè)初始點(diǎn);從觀察角度議,是選好一個(gè)邊際點(diǎn)。微量分析考慮的問題是：在xO點(diǎn)鄰近，如果自變量x有一個(gè)增量Ax,則函數(shù)相應(yīng)該有增量Ay=f(xO+Ax)-f(xO),我們?nèi)绾伪硎?研究及估計(jì)這個(gè)公y呢?最自然的第一考慮是“變化率’中國大把除法稱為“歸一法"。無論Ax的絕對(duì)值是多少,Ay/Ax總表示，“當(dāng)自變量變化ー個(gè)單位時(shí)，函數(shù)值平均變化多少。”定義令A(yù)x趨于零，如果增量商Ay/Ax的極限存在,就稱函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)。稱極限值為函數(shù)在點(diǎn)xO的導(dǎo)數(shù)。記為AxtO,lim(Ay/Ax)=ff(xO)或 Ax—?0,lim((f(xO+Ax)—f(xO))/(x—xO))=f'(xO)或 x—>xO,lim((f(x)—f(xO))/(x—xO))=f*(xO)理解1 你首先要熟悉“增量’’這個(gè)詞。它代表著ー個(gè)新的思維方式。增量Ay 研究好了,在xO鄰近,f(x)=f(xO)+Ay,函數(shù)就有了一個(gè)新的表述方式?；仡^用‘‘增量’‘語言說連續(xù),則“函數(shù)在點(diǎn)xO連續(xù),’等價(jià)于“Ax趨于0時(shí),相應(yīng)的函數(shù)增量Ay一定趨于0"理解2要是以產(chǎn)量為自變量x,生產(chǎn)成本為函數(shù)y,則Ay/Ax表示,在已經(jīng)生產(chǎn)xO件產(chǎn)品的狀態(tài)下,再生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均成本。導(dǎo)數(shù)則是點(diǎn)xO處的“邊際成本”。(畫外音:“生產(chǎn)'’過程中諸元素的磨合,自然會(huì)導(dǎo)致成本變化。)如果用百分比來描述增量,則(Ay/y)/(Ax/x)表示,在xO狀態(tài)下，自變量變化ー個(gè)百分點(diǎn),函數(shù)值平均變化多少個(gè)百分點(diǎn)。如果Ax趨于零時(shí)極限存在,稱其(絕對(duì)值)為y對(duì)x的彈性。理解3如果函數(shù)f在區(qū)間的每一點(diǎn)處可導(dǎo),就稱f在此區(qū)間上可導(dǎo)。這時(shí),區(qū)間上的點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)。稱為f的導(dǎo)函數(shù)。筒稱導(dǎo)數(shù)。函數(shù)概念由此得到深化。用定義算得各個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),稱為“求導(dǎo)公式”。添上"和，差,積，商求導(dǎo)法則"與“変合函數(shù)求導(dǎo)法則"，我們就可以計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例24設(shè)函數(shù)fi[x)=(n->oo)lim((1+x)/(1+x2n)),討論函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，其結(jié)論為(A)不存在間斷點(diǎn) (B)存在間斷點(diǎn)x=l (C)存在間斷點(diǎn)x=0 (C)存在間斷點(diǎn)x=-l分析這是用極限定義的函數(shù),必須先求出f(x)的解析表達(dá)式,再討論其連續(xù)性。任意給定一點(diǎn)x,(視為不變。)此時(shí),把分母中的x2n項(xiàng)看成是(x2)n,這是自變量為n的指數(shù)函數(shù)。令nー〇〇求極限計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值。鑒于指數(shù)函數(shù)分為兩大類，要討論把x給定在不同區(qū)間所可能的影響。(潛臺(tái)詞:函數(shù)概念深化,就在這變與不變。哲學(xué)啊!)算得-1<X<1時(shí)，Rx)=l+x；f(l)=l；f(-l)=o而X<-1或x>1時(shí)，恒有イx)=0,觀察得X—1時(shí),limfi[x)=2;應(yīng)選(B)?理解4運(yùn)用定理(2),“極限存在的充分必要條件為左、右極限存在且相等。"則“函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)"等價(jià)于“左,右導(dǎo)數(shù)存在且相等"。討論分段函數(shù)在定義分界點(diǎn)xO處的可導(dǎo)性,先看準(zhǔn),寫下中心點(diǎn)函數(shù)值f(xO),然后分別在xO兩側(cè)算左導(dǎo)數(shù),右導(dǎo)數(shù)。例25h趨于0+時(shí),lim(ah)—風(fēng))))/h存在不等價(jià)于函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo),因?yàn)樗皇怯覍?dǎo)數(shù)。h趨于。時(shí),lim(f(2h)-f(h))/h存在不等價(jià)于函數(shù)在〇點(diǎn)可導(dǎo),因?yàn)榉肿又械暮瘮?shù)増量不是相對(duì)于中心點(diǎn)函數(shù)值的増量。請(qǐng)對(duì)比:如果f(x)函數(shù)在0點(diǎn)可導(dǎo),則h―0時(shí),lim(f(2h)-f(h))/h=lim(f(2h)-f(0)+f(O)-f(h))/h=21im(f(2h)-f(O))/2h-lim(f(h)-f(O))/h=2f'(0)-f'(0)=fr(0)(畫外音:我把上述恒等變形技術(shù)稱為“添零項(xiàng)獲得增量’考試中心認(rèn)為你ー定會(huì)這個(gè)小技術(shù)。(2)中的不等價(jià)，要點(diǎn)在于,即便(2)中的極限存在,f(x)在0點(diǎn)也可能不可導(dǎo)。你可以作上述恒等變形，但是,你無法排除“不存在ー不存在=存在”的可能性。)例26若函數(shù)f(x)滿足條件f(1+x)=af(x),且「(0)=b,數(shù)a和,b和,則(A)f(x)在x=l不可導(dǎo)。(B)f,(l)=a (C)ff(l)=b (D)fr(l)=ab分析將已知f'(O)=b還原為定義 lim(f(O+h)一f(0))/h=b,要算f'(l),考查lim(fO+h)-f(l))/h如何向f'(O)的定義式轉(zhuǎn)化?!只能在已知恒等式上功夫。顯然 1+h)=af(h);而f(1)=f(1+0)=af(0)lim(f(l+h)-f(1))/h=lima(鼬)一f(〇))/h=ab 應(yīng)選(D)。?理解5 可導(dǎo)的定義式,是兩個(gè)無窮小的商求極限，自然也就是兩個(gè)無窮小的比較。于是可以說,連續(xù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO可導(dǎo)的充分必要條件是，x->xO時(shí),函數(shù)增量Ay是與Ax同階,或較Ax高階的無窮小?？佳械男☆}目中，經(jīng)常在原點(diǎn)討論可導(dǎo)性，且往往設(shè)函數(shù)在原點(diǎn)的值為零。我稱這為“雙特殊情形’‘。這時(shí)，要討論的增量商簡化為f(x)/x,聯(lián)想一下高低階無窮小知識(shí)，可以說,“雙特殊情形''下函數(shù)在原點(diǎn)可導(dǎo)，等價(jià)于x趨于〇時(shí),函數(shù)是與自變量x同階或比x高階的無窮小。如果函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，你一眼就能得出結(jié)論。例27 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)有定義，且恒滿足If(x)|Sx平方,則點(diǎn)x=0必是f(x)的(A)間斷點(diǎn)。(B)連續(xù)而不可導(dǎo)點(diǎn)。 (C)可導(dǎo)點(diǎn)，且「(0)=0 (D)可導(dǎo)點(diǎn)，且「(0)ナ。分析本題中實(shí)際上有夾逼關(guān)系OWlf(x)I<x2,在x=0的某鄰域內(nèi)成立。這就表明f(0)=0,且If(x)/xI<IxI由夾逼定理得，「(0)=0,應(yīng)選(C)。例28 設(shè)有如下定義的分段函數(shù)f(x),x>〇時(shí)，f(x)=(1—cosx/Vx,xWO時(shí)，f(x)=x2g(x)其中,g(x)為有界函數(shù),則f(x)在點(diǎn)x=0 (A)不存在極限(B)存在極限,但不連續(xù)。(C)連續(xù)但不可導(dǎo)。(D)可導(dǎo)。分析 由定義得中心點(diǎn)函數(shù)值f(0)=0;本題在“雙特殊情形’’下討論。x>0時(shí)，顯然f(x)是比x高階的無窮小。右導(dǎo)數(shù)為0x<0時(shí)，f(x)/x=xg(x),用夾逼法可判定左導(dǎo)數(shù)為〇;應(yīng)選(D).?理解6運(yùn)用定理(3),若f(x)函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)，即有已知極限△xtO,lim(Ay/Ax)=f'(xO)于是 Ay/Ax=fXxO)+a(x)(無窮小);即Ay=ff(xO)Ax+a(x)Ax由此即可證明，函數(shù)在點(diǎn)xO可導(dǎo)，則ー定在xO連續(xù)?！叭绻帜甘菬o窮小，商的極限存在，則分子也必定是無窮小?！?jīng)濟(jì)類的考生可以這樣來體驗(yàn)“可導(dǎo)一定連續(xù)考數(shù)學(xué)-,二的同學(xué)則應(yīng)將此結(jié)論作為ー個(gè)練習(xí)題。把導(dǎo)數(shù)定義中的極限算式記得用得滾瓜爛熟,你就既不會(huì)感到它抽象,也不會(huì)感到有多難?？佳械念}目設(shè)計(jì)都很有水平，如果側(cè)重考概念,題目中的函數(shù)結(jié)構(gòu)通常都比較簡單。不要怕定義。就當(dāng)是游戲吧。要玩好游戲，你總得先把游戲規(guī)則熟記于心?？佳袛?shù)學(xué)講座(8)求導(dǎo)熟練過大關(guān)函數(shù)在一點(diǎn)xO可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)值也就是函數(shù)圖形在點(diǎn)(xO,f(xO))處的切線斜率。從這個(gè)意義出發(fā),我們有時(shí)把函數(shù)可導(dǎo)說成是“函數(shù)光滑”。! 典型的不可導(dǎo)可導(dǎo)一定連續(xù)。函數(shù)的間斷點(diǎn)自然是不可導(dǎo)點(diǎn)。這是平凡的。我們感興趣的是函數(shù)連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)。最簡單也最實(shí)用的反例是絕對(duì)值函數(shù)y=IxI?這是ー個(gè)分段函數(shù)。還原成分段形式后,在點(diǎn)x=0兩側(cè)分別用定義計(jì)算，易算得右導(dǎo)數(shù)為1,左導(dǎo)數(shù)是ー1進(jìn)ー步的反例是y=Isinx!在點(diǎn)x=0和y=IInxI在點(diǎn)x=1連續(xù)而不可導(dǎo)。從圖形變化上去看ー個(gè)連續(xù)函數(shù)取絕對(duì)值，那是件非常有趣的事情。連續(xù)函數(shù)在相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間不變號(hào)。如果恒正，每ー個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值就是自己。在這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形不變。如果恒負(fù)，每ー個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值都是它的相反數(shù)。這兩個(gè)零點(diǎn)間的函數(shù)圖形由x軸下面對(duì)稱地反射到了x軸上方。y=sinx在原點(diǎn)的左側(cè)鄰近為負(fù),右側(cè)鄰近為正。它的圖形在原點(diǎn)右側(cè)段不變，將左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面，就是y=IsinxI的圖形。反射使得圖形在原點(diǎn)處形成一個(gè)尖角，不光滑了。這是否是ー個(gè)普遍規(guī)律?不是!比如y=x3與y=|x3|在x=0點(diǎn)都可導(dǎo)。函數(shù)y=x3的圖形叫“立方拋物線”。在點(diǎn)x=0,函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0,圖形有水平的切線橫穿而過。(潛臺(tái)詞:真有特色啊,突破了我們?cè)械那芯€印念。)要是取絕對(duì)值,圖形的原點(diǎn)左側(cè)段對(duì)稱地反射到上半平面,但水平的切線保持不變。新函數(shù)仍然光滑。這里的關(guān)鍵在于，函數(shù)值為0,導(dǎo)數(shù)值也為0,x=0是立方函數(shù)的重零點(diǎn)。綜合上述,在f(x)恒為正或恒為負(fù)的區(qū)間匕曲線y=|f(x)|和曲線y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零點(diǎn)處,オ可能出現(xiàn)曲線y=f(x)光滑而曲線y=|f(x)!不光滑的狀況。數(shù)學(xué)三的考巻上有過這樣的4分選擇題。例31f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)，則!f(x)!在x=a不可導(dǎo)若函數(shù)的充分必要條件是(A)f(a)=OHfr(a)=O (B)f(a)=0且f<a)ナ。(C)f(a)>0且f，(a)>0 (D)f(a)>0且「(a)<0分析如果沒有思路，首先聯(lián)想y=x與y=|x|即可排除(A)；俗語說,連續(xù)函數(shù)”一點(diǎn)大于0,則一段大于0”;相應(yīng)絕對(duì)值就是自己。(C)(D)顯然都錯(cuò):只有選(B)。(畫外音:如果用代數(shù)語言，f(x)可導(dǎo)，f(a)=O,而「(a)M0,則點(diǎn)a是f(x)的單零點(diǎn)。這道題該算擦邊題。).討論深化我在講座(2)中舉例，“連續(xù)A+不連續(xù)B=?”如果,“連續(xù)A+不連續(xù)B=連續(xù)C”則“連續(xù)C一連續(xù)A=不連續(xù)B”這與定理矛盾。所以有結(jié)論:連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)的和一定不連續(xù)。推理的關(guān)鍵在于，逆運(yùn)算減法可行。自然類似有:可導(dǎo)A+不可導(dǎo)8=不可導(dǎo)C。比如y=x+Isinx!在點(diǎn)x=0不可導(dǎo)。例32函數(shù)f(x)=|sinx|+Icosx!的不可導(dǎo)點(diǎn)是(？)分析函數(shù)為“和’‘結(jié)構(gòu)。無論是Isinx|的不可導(dǎo)點(diǎn)或丨cosx|的不可導(dǎo)點(diǎn)，都是f的不可導(dǎo)點(diǎn)。即x=k兀與x=k7t+7t/2,k=0,±1,±2,...更深化的問題是：可導(dǎo)A*(連續(xù))不可導(dǎo)B,是可導(dǎo)還是不可導(dǎo)?比如y=x|x!在點(diǎn)。可導(dǎo)嗎?與“和”的情形相比,積的逆運(yùn)算不一定可行。當(dāng)且僅當(dāng)A和時(shí)，オ有C/A=B所以結(jié)論1,若f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),且f(x0)#0,g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)不可導(dǎo)，則積函數(shù)y=f(x)g(x)在點(diǎn)x0一定不可導(dǎo)。結(jié)論2(?例33)已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo),函數(shù)g(x)在點(diǎn)x=a連續(xù)而不可導(dǎo),試證明函數(shù)F(x)=f(x)g(x)在點(diǎn)x=a可導(dǎo)的充分必要條件是f(a)=0.證明 先證充分性,設(shè)f(a)=0貝リF(a)=0令h—>0, Fr(a)=lim(F(a+h)—F(a))/h=limf(a+h)g(a+h)/h=(lim(f(a+h)—f(a))/h)limg(a+h)=f'(a)g(a)再用反證法證必要性。設(shè)函數(shù)F(x)在點(diǎn)、x=a可導(dǎo)而f(a)ス〇.,則由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a的某鄰域內(nèi)恒不為零。逆運(yùn)算除法可行。由結(jié)論1知矛盾。例34設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=f(x)(1+IsinxI),則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的(A)充分必要條件。 (B)充分而非必要條件。(〇必要而非充分條件。 (D)既非充分又非必要條件。 (選(A))分析!+Isinx!是可導(dǎo)函數(shù)+連續(xù)不可導(dǎo)函數(shù)類型，在在。點(diǎn)仍然連續(xù)但不可導(dǎo)。由上例結(jié)論知應(yīng)選(A)例35函數(shù)y=(x2—X—2)Ix3-x|的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0分析函數(shù)y具“積’‘結(jié)構(gòu)。y=f(x)g(x),可導(dǎo)函數(shù)f(x)=x2—x-2只有兩個(gè)零點(diǎn)x=-l,x=2,而連續(xù)函數(shù)g(x)=|x3-xI有不可導(dǎo)點(diǎn)x=0,x=l,x=-l；(即x3-x的三個(gè)零點(diǎn)。)其中有兩個(gè)不是f(x)的零點(diǎn)。積函數(shù)在這兩點(diǎn)不可導(dǎo)。(選(B))。實(shí)際上,x=-l是積函數(shù)的而重零點(diǎn)。.函數(shù)求導(dǎo)(以下所涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù))函數(shù)求導(dǎo)越熟練,高等數(shù)學(xué)的感覺越好。只要回憶一下，小時(shí)候,九九表你背了用了多少年?!初中時(shí)，有理數(shù)運(yùn)算算了多少年?!中學(xué)里,代數(shù)式運(yùn)算你又算了多少年?!而學(xué)習(xí)微積分,你花了多少時(shí)間作求導(dǎo)計(jì)算?!自己就明白問題之所在了。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第一設(shè)問是，我對(duì)什么類型的函數(shù)求導(dǎo)?對(duì)初等函數(shù)求導(dǎo)，要點(diǎn)是學(xué)會(huì)熟練地對(duì)初等函數(shù)作結(jié)構(gòu)分析。應(yīng)該設(shè)問(步步設(shè)問)：“是對(duì)復(fù)合結(jié)構(gòu)求導(dǎo)還是對(duì)四則運(yùn)算結(jié)構(gòu)求導(dǎo)?”對(duì)含有多個(gè)變量(有參變量)的表達(dá)式求導(dǎo),要始終提醒自己:”是對(duì)表達(dá)式中的哪ー個(gè)變?cè)髮?dǎo)?”對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)，各段分別求導(dǎo);定義分界點(diǎn)用定義求導(dǎo).對(duì)哥指型函數(shù)求導(dǎo),視y=f(x)為恒等式,先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo),最后解出y，還有隱函數(shù)的求導(dǎo)法則:參數(shù)式所表述的函數(shù)求導(dǎo);求乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的Leibnitz(萊布尼茲)公式。沒辦法。這是首先必須要苦力干活的。沒有捷徑可循?？佳袛?shù)學(xué)講座(9)“基本推理”先記熟在考研試題中,條件“f(x)連續(xù),x趨于〇時(shí),lim(f(x)/x)=ビ出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高。我們能由這個(gè)已知條件得到哪些信息呢?無論是《高數(shù)》，《線代》或《概率》部分，都還可以找到類似問題。預(yù)先把其間的邏輯推理或計(jì)算程序練熟，在頭腦里形成一個(gè)個(gè)小集成塊。既是深化基本概念的手段,也是應(yīng)對(duì)考試的方法。!條件“f(x)連續(xù),X趨于〇時(shí)，lim(f(x)/x)=ド推理 >信息(1),自變量X,當(dāng)然是X趨于。時(shí)的無窮小。分母是無窮小,商的極限為1(存在),則分子也必定是無窮小。即x趨于。時(shí)，limf(x)=0(潛臺(tái)詞:由極限存在的充分必要條件(3),f(x)/x=1+a(無窮小)，即,f(x)=x(1+a))信息(2),已知f連續(xù),故f(0)=limf(x)=0信息(3),(潛臺(tái)詞:這是“雙特殊情形”啊!) 已知極限表明函數(shù)f(x)與自變量是等價(jià)無窮小。f(x)在原點(diǎn)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)值f'(O)=l信息(4),(“符號(hào)體念，近朱者赤。“)商的極限為正數(shù)1,在。點(diǎn)的一個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，商的符號(hào)恒正。分子與分母同號(hào)。即f(X)與X同號(hào),左負(fù)右正。最后?條沒有進(jìn)ー步的結(jié)論，但這是體驗(yàn)極限符號(hào)的思維素養(yǎng)。對(duì)比:如果把條件中的分母換成“x2”，則后兩條信息就不同了。信息(3)*,函數(shù)是比自變量高價(jià)的無窮小。f(x)在原點(diǎn)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值為。信息(4)*,商的極限為正數(shù)1,在點(diǎn)。的ー個(gè)適當(dāng)小的去心鄰域內(nèi)，商的符號(hào)恒正。分子與分母同號(hào)。x的平方恒正,f(x)恒正。f(0)是函數(shù)的極小值。再對(duì)比:若考題把條件中的分子換成f(x)-x.怎么辦?那你把分子整體看成一個(gè)函數(shù)，寫成F(x)=f(x)—x.先對(duì)F寫出結(jié)論，再寫還原討論f(X)。比如信息(3)得，F(xiàn)(x)在原點(diǎn)可導(dǎo),故f(x)=F(x)+x也在原點(diǎn)可導(dǎo)。……。有了高速路，找到匝道就上去了。例36 已知x—>!時(shí)，lim(x2+bx+cXx_1)=3,求常數(shù)b,c的值。分析 平移到點(diǎn)x=l用基本推理。記f(x)=x2+bx+c,f連續(xù)，由已知極限得x—>1時(shí),limf(x)=0=f(1)?實(shí)際計(jì)算f(1)得方程l+b+c=O再由已知極限與極限定義得 『(1)=3,實(shí)際求導(dǎo)即2+b=3;聯(lián)解之,b=1c=-22.程序化的經(jīng)典題目在考研試卷上有一個(gè)出現(xiàn)概率很高的大分值題,其基本模式為:“求(分段)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，并討論導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性?！@個(gè)題目涵蓋了連續(xù)與可導(dǎo)概念及求極限與求導(dǎo)計(jì)算。考查內(nèi)容相當(dāng)全面。求解過程可以程序化。即用公式及法則求分段函數(shù)各段的導(dǎo)數(shù);用定義算得分界點(diǎn)或特殊定義點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。寫出導(dǎo)函數(shù)的分段式。再討論連續(xù)性。例37設(shè)a為實(shí)常數(shù)，定義函數(shù)Rx)如下x>0時(shí)f(x)=xasin(l/x2),xW0時(shí)，f(x)=O回答下列問題，并簡單說明理由。(1)在什么情況下,f(x)不是連續(xù)函數(shù)。 (2)在什么情況下,f(x)連續(xù)但在點(diǎn)x=0不可微?(3)在什么情況下,f(x)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)「(X)?*(4)在什么情況下,f(x)可微但f，(x)在原點(diǎn)鄰近無界?*(5)在什么情況下,f(x)可微，「(x)在原點(diǎn)鄰近有界，但f，(x)不連續(xù)?分析x<0時(shí),f(x)恒為零，故f(x)在0點(diǎn)左連續(xù)，且左導(dǎo)數(shù)為〇;討論的關(guān)鍵在于:sin(l/x2),cos(l/x2)都是震蕩因子。當(dāng)x-0+時(shí)，必須再乘以一個(gè)無窮小因子オ有極限零存在。(潛臺(tái)詞:有界變量?無窮小量=無窮小量)解(1)a<0時(shí),f(x)不是連續(xù)函數(shù),它在點(diǎn)x=0處有第二類間斷(振蕩間斷)。(2)0<a<!時(shí)，f(x)連續(xù)但在x=0處不可導(dǎo)。實(shí)際上X—>0+時(shí),lim(f(x)/x)=limx(a—1)sin(l/x2)不存在這又表明,僅當(dāng)a>l時(shí),f(x)在〇點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)為〇,從而「(0)=0;反之則右導(dǎo)數(shù)不存在。于是,a>l時(shí),f(x)是可導(dǎo)函數(shù)。且「(x)有分段表達(dá)式:x<0時(shí)，f'(x)=O；x>0時(shí),f'(x)=ax(a—1)sin(l/x2)—2x(a—3)cos(l/x2)(3)僅當(dāng)a>3時(shí)，「(x)的兩項(xiàng)在0點(diǎn)的右極限都存在,且都為〇;「(x)連續(xù)。(潛臺(tái)詞:存在+不存在=不存在;l〈aW3時(shí)，「(x)不連續(xù)。有振蕩間斷點(diǎn)〇。)*(4)觀察「(x)的結(jié)構(gòu),當(dāng)lVa/3時(shí),它之所以會(huì)在原點(diǎn)鄰近無界,顯然是因?yàn)槠浜箜?xiàng)存在有負(fù)基因子。即l<a<3時(shí),「(x)在原點(diǎn)鄰近無界。(5)最后,自然有a=3時(shí),f，(x)在原點(diǎn)鄰近有界，但fix)不連續(xù)。分析法，綜合法,反證法。這都是歐氏幾何的方法。公元前400年就有了。老老實(shí)實(shí)地寫，實(shí)實(shí)在在地看，實(shí)實(shí)在在地說，水到渠成有結(jié)論。這是微積分自家的方法——“構(gòu)造法”。再看一例來體念“實(shí)實(shí)在在’’的“構(gòu)造法''。例38已知函數(shù)f(x)在x>a時(shí)連續(xù)，且當(dāng)X—+00時(shí)f(x)有極限A,試證明此函數(shù)有界。分析(1)用綜合法走ー步:本題即證，|f(x)|<C(2)想用分析法走ー步,有困難。我們只學(xué)過，閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有界。(?!)(3)(試探)隨便選ー個(gè)充分大的數(shù)b,函數(shù)在a與b組成的閉區(qū)間上有界。那無窮的尾巴上怎么估計(jì)函數(shù)的絕對(duì)值呢?(4)需要從數(shù)值上體念已知極限:XI+8時(shí)函數(shù)有極限A,即x-+oo時(shí)函數(shù)的絕對(duì)值無限靠近數(shù)A的絕對(duì)值。這就是說，我們可以取到充分大的數(shù)b,使x>b時(shí)，恒有|f(x)|<|A|+1(5)a與b組成的閉區(qū)間上函數(shù)有最大,最小值。取其絕對(duì)值。三個(gè)正數(shù)相比較，最大的那個(gè)數(shù)就是我們需要的C啊，我們"構(gòu)造''出了函數(shù)的ー個(gè)上界?？佳袛?shù)學(xué)指導(dǎo)(10)微分是個(gè)新起點(diǎn)微分學(xué)研究函數(shù)的方法,是用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)回頭去研究函數(shù)。這和物理學(xué)用速度及加速度去研究物體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)道理。微分則是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的起點(diǎn)。線性關(guān)系是最簡單的函數(shù)關(guān)系。我們?cè)谏钪杏龅降恼壤龁栴}舉不勝舉。而討論非線性問題，總是件很困難的事。到朋友家要上樓,如果他們家的樓梯是非線性的,多半你會(huì)摔個(gè)跟頭。“能否把非線性問題線性化?”這是人們?cè)诮?jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的自然思考。實(shí)際上，非線性問題就是非線性問題,所謂“線性化”,只是用ー個(gè)“合適的'’線性模型去近似非線性模型。即非線性模型=線性模型+尾項(xiàng)(非線性模型ー線性模型)，關(guān)鍵在于表示尾項(xiàng),研究尾項(xiàng)!找到尾項(xiàng)可以被控制的逼近模型。把這個(gè)思想落實(shí)到函數(shù)上,就是，在中心點(diǎn)xO鄰近，能否有Ay=AAx+尾項(xiàng)，尾項(xiàng)=Ay-AAx能否是比公x高階的無窮小?如果能,就稱函數(shù)在點(diǎn)xO可微分。簡稱可微。記dy=AAx,稱為函數(shù)的微分,又稱為函數(shù)的線性主部。將可微定義等式兩端同除以Ax,令A(yù)x趨于零取極限即知,若函數(shù)在點(diǎn)xO可微，則常數(shù)A就是函數(shù)在點(diǎn)xO的導(dǎo)數(shù)「(xO);從而Ay=f*(x0)Ax+o(Ax);其中，o(Ax)表示“比Ax高階的無窮小?！被駻y=dy+o(Ax)；dy=f'(xO)Ax=f'(xO)dx要是需要，我們可以丟去尾項(xiàng)，微局部地得到函數(shù)值的(線性的)近似計(jì)算式。由于丟去的尾項(xiàng)是比Ax高階的無窮小，如果丨Ax|適當(dāng)小,那么,絕對(duì)誤差也能相應(yīng)地適當(dāng)小。不丟尾項(xiàng),我們得到函數(shù)的ー個(gè)新的(微局部地)有特定含義的表達(dá)式:f(x)=f(xO)+Ay=f(xO)+fr(xO)Ax+o(Ax)歷史上,這個(gè)表達(dá)式稱為,“帶皮阿諾余項(xiàng)的ー階泰勒公式”。近一步可以證明，可微與可導(dǎo)等價(jià)。例41設(shè)函數(shù)f(u)可導(dǎo),y=f(x平方),當(dāng)自變量x在點(diǎn)x=-1取得增量Ax=-0.1時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量Ay的線性主部為0.1,貝リf'(l)=分析Ay的線性主部即是微分dy,而y((x)=f(u)2x,y")=-2f(l)故dy=y〈x)dx具體為0.1=y，(l)(一0.1),解得「⑴=1/2函數(shù)f(x)在ー個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)時(shí)，我們記微分dy=「(x)dx〇但是不能忘了微分的微局部意義。函數(shù)可微，且「(xO)#)時(shí)，還可以把可微定義等式變形為Ay/fr(xO)Ax=1+o(Axyf'(xO)Ax令取極限,即知Ay和dy是等價(jià)無窮小。為了考試,要盡可能記住一些常用的等價(jià)無窮小,例如在xT〇過程中sinx?x；In(1+x)?x；exp(x)—1?x；Y(l+x)-1?x/2它們都是在原點(diǎn)計(jì)算Ay和dy而獲得的。最好再記住 1一cosx?x平方?2兩條經(jīng)驗(yàn):(1)常用等價(jià)無窮小的拓展——例如,若在x-0過程中,a(x)是無窮小,則sina(x)?a(x)；In(1+a(x))?a(x)；exp(a(x))—1?a(x)4(1+a(x))—1?a(x)/2 ； 1—cosa(x)?a(x)平方?2(2)等價(jià)無窮小的差為高階無窮小。例42設(shè)當(dāng)x—0時(shí),(1-cosx)In(1+x平方)是比xsin(x的n次方)高階的無窮小; 而后式是比exp(x平方)一1高階的無窮小,則正整數(shù)n=?分析xtO時(shí)，(1—cosx)In(1+x平方)為4次方級(jí)的無窮小;xsin(x的n方)是n+1次方級(jí);exp(x平方)-1是2次方級(jí),由已知，2<n+l<4,只有n=2我們還可以學(xué)會(huì)主動(dòng)選定中心點(diǎn)，計(jì)算Ay和dy來獲得等價(jià)無窮小。例43設(shè)在區(qū)間［1/2,1)上,f(x)=l/7tx+l/sin7tx-l/7t(l-x),試補(bǔ)充定義函數(shù)值f(1),使函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。分析(1)點(diǎn)1是右端點(diǎn)，按照連續(xù)的定義，應(yīng)該補(bǔ)充定義f(1)為函數(shù)在點(diǎn)1的左極限。(2)觀察函數(shù)結(jié)構(gòu),第一項(xiàng)是連續(xù)函數(shù)求極限。第二,三項(xiàng)形成“無窮ー無窮’’未定式。(3)“計(jì)算無窮一無窮,能通分時(shí)先通分”。通分后化為〇/〇型未定式。求商的極限是否順利,關(guān)健在于分母。要盡可能先簡化分母。(4)公分母為兀(1—x)simtx,可以考慮在點(diǎn)1計(jì)算sinnx的等價(jià)無窮小因?yàn)閟ink0,故Ay=sinnx:而dy=7tcon7tAx=—it(x—1)作等價(jià)無窮小因式替換,分母變成二次函數(shù)，再用洛必達(dá)法則求極限，一定順利。學(xué)習(xí)本是為了用,該出手時(shí)就出手。你不妨直接用洛必達(dá)法則求通分后的0/〇型未定式極限。作個(gè)對(duì)比。例44設(shè)函數(shù)f(x)在x=O的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的ー階導(dǎo)數(shù),且f(0)#),f@/O,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h-0時(shí)是較h高階的無窮小,試確定數(shù)a和b的值。分析由高階無窮小的定義得h—0時(shí) lim(af(h)+bf(2h)-f(0))/h=0記F(h)=af(h)+bf(2h)-f(0),F連續(xù)。于是(用“基本推理”) 由極限式與連續(xù)性推出 F(O)=limF(h)=(a+b+1)f(0)=0,只有 a+b+1=0同時(shí)(F(h)一F(0))/h=F(h)/h ,再由極限式得F<0)=0實(shí)際上, F'(h)=af'(h)+2bf'(2h),F'(0)=(a+2b)f'(0)=0這就有第二個(gè)方程a+2b=0；聯(lián)解之,a=-2,b=l?分析二換ー個(gè)思考方法,可微分定義式給了函數(shù)一個(gè)新的(微局部意義的)表達(dá)式。試用一下。設(shè)想h充分靠近0,貝リf(x)=f(0)+ff(0)x+o(x) (中心點(diǎn)是原點(diǎn),Ax=x-0=x)故 f(h)=f(0)+f*(0)h+o(h)f(2h)=f(0)+f<0)2h+o(h)從而 af(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-l)f(0)+(a+2b)f'(0)h+o(h)要它在h-0時(shí)是比h高階的無窮小，常數(shù)項(xiàng)和h項(xiàng)系數(shù)必需為〇,獲得兩個(gè)方程。考研數(shù)學(xué)講座(11)洛爾定理做游戲洛爾定理既為中值定理做準(zhǔn)備,又在函數(shù)零點(diǎn)討論方面具有獨(dú)立意義。洛爾定理的證明中,邏輯推理既有典型性，又簡明易懂。因而洛爾定理成為考研數(shù)學(xué)的?個(gè)特色考點(diǎn)。我國的大學(xué)數(shù)學(xué)教材,通常把“費(fèi)爾瑪引理’’的證明夾在洛爾定理的證明中，使得證明顯得冗長。我先把它分離出來。(畫外音:這可是個(gè)難得的好習(xí)題。)! 費(fèi)爾瑪引理——若可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)取得最值，則函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為〇分析我們復(fù)習(xí)ー下“構(gòu)造法”。已知或討論函數(shù)在某ー點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),不仿先寫出導(dǎo)數(shù)定義算式,觀察分析增量商。這是基本思路?！袄侠蠈?shí)實(shí)”地寫:設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)xO取得最大值。寫出增量商(f(x)-f(xO))/(x-xO)“實(shí)實(shí)在在''地想：它有什么特點(diǎn)呢?f(xO)最大，分子函數(shù)增量恒負(fù)，分母自變量增量左負(fù)右正。這樣ー來，增量商在xO左側(cè)恒正,(負(fù)負(fù)得正)。其左極限即左導(dǎo)數(shù)非負(fù)。(潛臺(tái)詞：極限可能為〇)增量商在xO右側(cè)恒負(fù)。故右極限即右導(dǎo)數(shù)非正。函數(shù)可導(dǎo)，左，右極限存在且相等，導(dǎo)數(shù)只能為〇(畫外音：導(dǎo)數(shù)為0,不是直接算出來,而是由邏輯推理判斷得到的。你能否由此體會(huì)到ー點(diǎn)數(shù)學(xué)美呢。)2 洛爾定理——若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且端值相等。則必在(a,b)內(nèi)ー點(diǎn)自處導(dǎo)數(shù)為0分析函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］連續(xù)ー函數(shù)必有最大最小值端值相等ー只要函數(shù)不是常數(shù)，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在區(qū)間內(nèi)。函數(shù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)ー內(nèi)部的最值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為〇請(qǐng)看看，分離證明,前段運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義，符號(hào)推理非常典型。后段邏輯有夾逼味道,敘述十分簡明。運(yùn)用洛爾定理，關(guān)鍵在于要對(duì)各種說法的“端值相等''有敏感性。例47設(shè)函數(shù)f(x)二階可導(dǎo),且函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)。試證明二階導(dǎo)數(shù)f"(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)。分析”函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”,意味著兩個(gè)函數(shù)值相等!它倆組成一個(gè)區(qū)間,就滿足“端值相等”條件。可以應(yīng)用洛爾定理得到函數(shù)的ー階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。設(shè)函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)由小到大依次為xl,x2,x3順次取區(qū)間[xl,x2],[x2,x3],分別在每個(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)用洛爾定理，得到其一階導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，&1,42?且&1<ヌ學(xué),學(xué)客觀存在。它們組成區(qū)間[41，42]?且f'(x)在此區(qū)間上端值相等。又已知二階導(dǎo)數(shù)f"(x)存在，即『(x)可導(dǎo)。對(duì)函數(shù)「(X)用洛爾定理就得本題結(jié)論。本例同時(shí)展示了“逐階運(yùn)用洛爾定理”的思路。不要怕“點(diǎn)4”,不要去想它有多抽象?？陀^存在,為我所用。只是要留心它的范圍。(畫外音:怕啥子嘛,你不是學(xué)了哲學(xué)，學(xué)了辯證法嗎。)“壘寶塔”游戲如果函數(shù)n階可導(dǎo),且函數(shù)有n+!個(gè)互不相同的零點(diǎn)。由此可以得到什么信息?我們可以象上例那樣,先把這n+1個(gè)零點(diǎn)由小到大排序編號(hào)，xl,x2,x3 , xn,xn+1再順次組成n個(gè)區(qū)間， [xl,x2],[x2,x3] ,[xn,xn+1]分別在每個(gè)區(qū)間上對(duì)函數(shù)用洛爾定理,得到其ー階導(dǎo)數(shù)的n個(gè)零點(diǎn)，且有大小排序411<412< <41n同理，順次取區(qū)間[411，412],[412,413] , [41(n-l),41n]共計(jì)n-l個(gè)區(qū)間,分別對(duì)ー階導(dǎo)函數(shù)『(X)用洛爾定理，得到二階導(dǎo)數(shù)的n—l個(gè)零點(diǎn),由小到大依次記為421,422 42(n-1)再一次次逐階運(yùn)用洛爾定理，最后可以得到結(jié)論:函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)。這是微分學(xué)的ー個(gè)經(jīng)典題目，結(jié)論好似ー個(gè)倒置的“楊輝三角形”。就當(dāng)是做游戲吧。ー個(gè)“壘寶塔”游戲。研考典型大題考研數(shù)學(xué)有時(shí)在這個(gè)考點(diǎn)上出大題，基本模式為“已知 證明區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)。使得一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)的等式成立。‘'例48設(shè)f(x)在［0,1I上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(1)=0(試證(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)ふ使得 f(《)+&「?=0分析(綜合法)&只是ー個(gè)特殊點(diǎn)。&就是方程f(x)+x「(x)=0的根。方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=f(x)+x「(x)的零點(diǎn)討論。(潛臺(tái)詞:我們有‘‘介值定理''，"洛爾定理''兩件兵器哦。)由于關(guān)系式中有含導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),可以猜想,自應(yīng)當(dāng)是我們對(duì)某個(gè)函數(shù)運(yùn)用洛爾定理后,得到的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。即g(X)是某個(gè)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)?！再仔細(xì)觀察g(x)的結(jié)構(gòu)，它多象是ー個(gè)乘積函數(shù)求導(dǎo)公式啊。(畫外音:求導(dǎo)不熟練，肯定反應(yīng)慢。)實(shí)際上它的確是積函數(shù)F(x)=xf(x)的導(dǎo)函數(shù)，且恰好端值相等。證明時(shí)只需從‘‘作輔助函數(shù)F(x)=xf(x),……”說起。啊,典型的歐氏方法，困難的逆向思維?？佳袛?shù)學(xué)講座(12)中值公式不為算數(shù)學(xué)公式基本上可以分為兩類,ー類用于計(jì)算。一類用于描述。中值定理的公式(有限增量公式)就是描述型的數(shù)學(xué)公式。非數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)生感到數(shù)學(xué)難學(xué)，ー個(gè)基本原因在于觀念。以為數(shù)學(xué)公式都是計(jì)算公式，遇上了描述型的公式，他們毫無思想準(zhǔn)備。描述型的數(shù)學(xué)公式意義深遠(yuǎn)。從根本上說，數(shù)學(xué)科學(xué)企圖描述世界的任何過程。描述型的數(shù)學(xué)公式并不難學(xué)。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。微局部地研究函數(shù)，焦點(diǎn)在于討論增量。我說微分是個(gè)新起點(diǎn)，指的就是，若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO可微，則函數(shù)實(shí)際上就有了一個(gè)(微局部的)新的表達(dá)式:f(x)=f(xO)+fXxOXx—xO)+o(Ax)(尾項(xiàng)，比Ax高階的無窮小)歷史上,這個(gè)表達(dá)式稱為,“帶皮阿諾余項(xiàng)的ー階泰勒公式”。之所以是''微局部'’的描述公式,是因?yàn)橹挥性趚O的充分小的鄰域內(nèi),“高階無窮小''的描述オ有實(shí)際意義。不要認(rèn)為這有多抽象。這是線性化思維的ー個(gè)自然結(jié)果,一個(gè)客觀事實(shí)。知道其存在,能對(duì)幾個(gè)簡單的基本初等函數(shù)按過程寫出來，就算掌握了。比如,在原點(diǎn)鄰近，可以有，sinx=x+o(x),(請(qǐng)對(duì)比sinx?x)。x—sinx=x—(x+o(x))=0(x)(潛臺(tái)詞:表達(dá)式嘛,那就可以代進(jìn)去。)這就是描述型的思路。它告訴我們,x趨于0時(shí),x-sinx是比x高階的無窮小。在求極限時(shí),我們只可以對(duì)(分子或分母)的“無窮小因式’‘作等價(jià)無窮小替換。但是,只要對(duì)運(yùn)算有利,我們就可以把函數(shù)的(帶高階無窮小尾項(xiàng))表達(dá)式代到任何ー個(gè)位置去。在運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的過程中，這個(gè)思路沿著兩個(gè)方向延拓。(1)對(duì)尾項(xiàng)的描述能否更具體?(2)能否提高描述的精度?即能否把函數(shù)寫成f(x)=以xO為中心的n次多項(xiàng)式+尾項(xiàng)(比Ax的n次方高階的無窮小)《高等數(shù)學(xué)》在方向(1)上,講了“拉格郎日公式'':在方向(2)上則講帶有“拉格郎日型尾項(xiàng)的泰勒公式”。(后者只征對(duì)考數(shù)學(xué)ー,二的考生)。拉格郎日公式若函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)備使得 f(b)-f(a)=fW(b-a)教科書上是增量商的形式，我更喜歡用乘積形式。定理說的是區(qū)間，應(yīng)用時(shí)不能太死板。在滿足條件的區(qū)間內(nèi)取任意兩點(diǎn)，實(shí)際上也組成一個(gè)(子)區(qū)間。比如，在區(qū)間內(nèi)任意選定一點(diǎn)xO,對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)x,(潛臺(tái)詞:任給一點(diǎn),相對(duì)不變。)也可以有f(x)-f(xO)=f^)(x-xO),自在x與xO之間,即f(x)=f(xO)+「6)(x-xO)，&在x與xO之間，(畫外音:ー個(gè)x相應(yīng)有一個(gè)〇理論上構(gòu)成一個(gè)函數(shù)關(guān)系。)這樣一來,中值定理也給了函數(shù)一個(gè)新的表達(dá)式。帶自的項(xiàng)是尾項(xiàng)。(拉格朗日尾項(xiàng))。思考題目時(shí),只要看到有導(dǎo)數(shù)條件及函數(shù)增量式,你就可以考慮先用拉格朗日公式轉(zhuǎn)換描述方式,邁出第一步。再考慮如何利用導(dǎo)數(shù)條件及《所屬范圍處理尾項(xiàng)。例51已知f(x)在［0,1］可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)單增，試將f(0),f(l),f⑴-f(0)三個(gè)數(shù)按大小排序。分析導(dǎo)函數(shù)單增，都是導(dǎo)函數(shù)值才能比較大小。f(1)-f(0)是增量式,先用拉格朗日公式得,f(1)一f(O)=f支),0<^<1,寫出這ー步來就啥都明白了。不要怕と它是區(qū)間內(nèi)客觀存在的一點(diǎn)。它的范圍有時(shí)(如上例)也能導(dǎo)出信息。例52已知f(x)在某區(qū)間可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)有界，試證明f(x)例52IAyI<cIAxI分析不知道已知區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間,反正已知有If'(x)|<M(正常數(shù))在區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn),視為常數(shù),運(yùn)用拉格朗日公式f(xl)-f(x2)=f支)(xl—x2),xl〈びx2等式兩端取絕對(duì)值,導(dǎo)函數(shù)有界的條件管住了前取C=M,本題結(jié)論成立多寫才能熟悉。最好的基本練習(xí)是,把上例中的函數(shù)具體取為正弦,余弦，指數(shù)函數(shù),反正切等，自己設(shè)定區(qū)間，求出M值，重復(fù)寫出證明過程。例53 已知當(dāng)x趨于+oo時(shí)，limf(x)=e,求lim(f(x+1)—f(x))分析對(duì)任意給定的x,所求極限的變量式，恰是函數(shù)f(t)在點(diǎn)x與x+1的增量式。先用拉格郎日公式改變其描述方式。(畫外音:分層次思維,走ー步,寫ー步,再觀察。)f(x+1)-f(x)=f支)，X<^<x+1.實(shí)際上§=&(x)顯然，當(dāng)x趨于+8時(shí)，必有自趨于+8:故，原極限=limfn)=e最后的答案來自唯一性定理。(潛臺(tái)詞：無論自(x)以怎樣的方式趨向無窮，唯一性定理都管住了它。)例54試證明x>0時(shí)，In(1+x)<x分析In(1+x)=In(1+x)—Ini=x/&<x,1<^<x+1實(shí)際計(jì)算步驟為,取函數(shù)y(t)=In(t),貝リZ(t)=l/t進(jìn)而y'&)=l/&,得到結(jié)論只用了自>1,”添零項(xiàng)獲得增量’‘。創(chuàng)造條件運(yùn)用拉格郎日公式。考研中心認(rèn)為，你一定會(huì)這個(gè)小技術(shù)?？佳袛?shù)學(xué)講座(13)圖形特征看單調(diào)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù),中值定理是座座橋梁。拉格郎日公式有兩個(gè)推論。使它更好地發(fā)揮橋梁作用。.拉格郎日公式的兩個(gè)推論推論(1)可導(dǎo)函數(shù)恒為常數(shù)的充分必要條件是其導(dǎo)函數(shù)恒為零。推論(2)設(shè)函數(shù)マx)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)「(x)>0,則f(x)在此區(qū)間上單增。推論(1)是一個(gè)很好的“相對(duì)比較”練習(xí)題。即任選一點(diǎn)xO,視為不變。再任給一點(diǎn)x,(潛臺(tái)詞:創(chuàng)造增量形式。)比較兩個(gè)函數(shù)值的差。我們就可以應(yīng)用拉格郎日公式,并聯(lián)系已知條件得到結(jié)論。由推論(1)得到“證明兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)恒等’’的程序:“在某區(qū)間上證明可導(dǎo)函數(shù)出X)三g(x)” >作F(x)=出x)—g(x),F(x)可導(dǎo) >驗(yàn)證f'(x)—g'(x)三〇,證得Rx)—g(x)=常數(shù)ーー>選一個(gè)特殊點(diǎn),計(jì)算驗(yàn)證這個(gè)常數(shù)就是〇你可以試著證明:arcsinx+arccosx=7t/2為什么推論(2)中，"導(dǎo)函數(shù)f，(x)>〇''不是可導(dǎo)函數(shù)単增的充分必要條件呢?這是因?yàn)閱卧龅暮瘮?shù)也可能在若干個(gè)孤立點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)為。。比如,立方函數(shù)單增,而它的導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)為〇〇(潛臺(tái)詞:要注意函數(shù)單增的定義啊，自變量變大,相應(yīng)的函數(shù)值一定也變大。)例57設(shè)函數(shù)f(x)在實(shí)軸上單增，可導(dǎo),則(A)在實(shí)軸上恒有f'(x)>0 (B)對(duì)任意x,fz(-x)<0(C)函數(shù)イ-x)在實(shí)軸上單增。 (D)函數(shù)一R-x)在實(shí)軸上單增。分析由已知信息只能推得f'(x)K),(A)錯(cuò)。f'(―x)是個(gè)復(fù)合函數(shù)。其結(jié)構(gòu)是y=f'(u),u=-x,故f'(-x)K)；(B)錯(cuò)。