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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用命題規(guī)律及考向預(yù)測高慧明
一、考向預(yù)計(jì)
綜合分析2022~2022十年高考試題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用涉及的主要考點(diǎn)是:生活中的最優(yōu)化問題;利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立與摸索性問題;利用導(dǎo)數(shù)解、證不等式;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題.
2021年高考在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用方面,仍將以選填壓軸題或解答題壓軸題形式考察不等式恒(能)成立問題與摸索性問題、利用導(dǎo)數(shù)解證不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)或方程解問題,重點(diǎn)考察分類整合思想、分析解決問題能力.
二、新題剖析
例1.
已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex(a∈R),
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有極值,且f(x)+a≤0對(duì)于x∈[0,1]恒成立,求a的取值范圍.
(1)當(dāng)a=1時(shí),由于f(x)=(x-1)ex,所以f
′(x)=xex.
由于f(1)=0,f
′(1)=e,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1),
即ex-y-e=0.
(2)由于f
′(x)=(x-a+1)ex,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上有極值,
所以0當(dāng)x變化時(shí),f
′(x),f(x)的變化狀況如下表:
由于f(x)+a≤0對(duì)于x∈[0,
1]恒成立,
所以f(0)+a≤0,且f(1)+a≤0.
所以
(1-a)e+a≤0,即a≥
.
由于1所以
≤a2時(shí),f(x)與f
′(x)在(0,
+∞)上的變化狀況如下:
所以f(x)在(0,
)、(
,
+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(
,
)內(nèi)單調(diào)遞減.
(3)由(2)可知:
①當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,
)內(nèi)單調(diào)遞增,在(
,
+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,
當(dāng)x=
時(shí),f(x)取得最大值f(
)=-ln2-1-
.
(i)當(dāng)-4ln2-4≤a≤0時(shí),f(
)≤0,
所以f(x)在(0,
+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意.
(ii)當(dāng)a0.
由于f(
)>0,f(1)=-2e且00.
且f(x)在(0,
)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,
)內(nèi)有唯一零點(diǎn).
所以當(dāng)a2時(shí),f(x)在(0,
)、(
,
+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(
,
)內(nèi)單調(diào)遞減.
由于當(dāng)x=
時(shí),f(x)取得極大值f(
)=-lna-1-
0時(shí),f(x)>0;
(3)若f(x)
有且只有兩個(gè)零點(diǎn),求a的值.
(1)由于f
′(x)=
,所以f
′(1)=-
=1,故a=-e.
所以f(1)=1-
=2,所以,所求切線方程為y-2=x-1,即y=x+1.
(2)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=1-
,f
′(x)=
,
當(dāng)x∈(0,
2)時(shí),f
′(x)0.
所以f(x)在(0,
2)單調(diào)遞減,在(2,
+∞)單調(diào)遞增.
所以,f(x)的微小值f(2)=1-
>0,故x>0,f(x)>0.
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)=1-
,a∈R.
(i)當(dāng)a≤0時(shí),f(x)>0,f(x)沒有零點(diǎn);
(ii)當(dāng)a>0時(shí),f
′(x)=
.
當(dāng)x∈(-∞,
0)時(shí),f
′(x)>0,所以f(x)在(-∞,
0)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f
′(x)0,所以f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增;
所以f(0)=1是f(x)的極大值,f(2)=1-
是f(x)的微小值.
由于f(-
)=1-
=1-
=1-
0,即a
,由于f(0)=1,所以f(x)在(0,
2)有一個(gè)零點(diǎn),
由(2)知,當(dāng)x>0時(shí),ex>x2,
所以f(4a)=1-
=1-
>1-
=1-
>0.
故f(x)在(2,
4a)有一個(gè)零點(diǎn).
因此a>
時(shí),f(x)在(0,
+∞)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,當(dāng)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),a=
.
例4.
已知函數(shù)f(x)=x3-x,
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,
f(1))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(3)設(shè)函數(shù)t(x)=
-2,x∈(0,π),試判斷t(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.
(1)由f(x)=x3-x,得f
′(x)=3x2-1.
由于f(1)=0,f
′(1)=2,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,
f(1))處的切線方程為y=2x-2.
(2)令f
′(x)=0,得3x2-1=0,解得x=-
或x=
.
當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f
′(x)變化狀況如下表:
所以,
(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-
,
),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-
),
(
,+∞);
f(x)在x=-
處取得極大值
,在x=
處取得微小值-
.
(3)x∈(0,
π),t(x)=0,即
-2=0,
等價(jià)于x2-1-2sinx=0.
設(shè)g(x)=x2-1-2sinx,x∈(0,π),則g′(x)=2x-2cosx.
當(dāng)x∈[
,
π)時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間[
,
π)上單調(diào)遞增.
又g(
)=
-30,
所以g(x)在區(qū)間[
,
π)
上有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)x∈(0,
)時(shí),設(shè)h(x)=g′(x)=2x-2cosx.
h′(x)=2+2sinx>0,所以g′(x)在區(qū)間(0,
)
上單調(diào)遞增.
又g′(0)=-20,
所以存在x0∈(0,
),使得g′(x0)=0.
所以,當(dāng)x∈(0,
x0)時(shí),g′(x)0,g(x)
單調(diào)遞增.
又g(0)=-1-
時(shí),f(x)≥0;
(2)若g(x)≥2+ax,求a.
(1)分類探討:
①
當(dāng)x∈(-
,
-
],f(x)=ex-
sin(x+
)>0;
②
當(dāng)x∈(-
,
0)時(shí),f
′(x)=ex-cosx+sinx,f
′(0)=0,
f
"(x)=ex+sinx+cosx=ex+
sin(x+
)>0,
則函數(shù)f
′(x)在(-
,
0)上單調(diào)增,則f
′(x)f(0)=0;
③
當(dāng)x=0時(shí),由函數(shù)的解析式可知f(0)=1-0-1=0,
當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),令H(x)=-sinx+x(x≥0),則H′(x)=-cosx+1≥0,
故函數(shù)H(x)在區(qū)間[0,
+∞)上單調(diào)遞增,從而:H(x)≥H(0)=0,
即-sinx+x≥0,-sinx≥-x,
從而函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx≥ex-x-1,
令y=ex-x-1,則:y′=ex-1,
當(dāng)x≥0時(shí),y′≥0,故y=ex-x-1在
[0,
+∞)
單調(diào)遞增,
故函數(shù)的最小值為ymin=e0-0-1=0,
從而:ex-x-1≥0.
從而函數(shù)f(x)=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0;
綜上可得,題中的結(jié)論成立.
(2)當(dāng)x>-
π時(shí),
令h(x)=g(x)-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2﹐
則h′(x)=ex+cosx-sinx-a,h"(x)=f(x)>0,故h′(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)a>2時(shí),
h′(0)=2-a0,
?堝x1∈(0,
ln(a+2))
使得h′(x1)=0,
當(dāng)00,
故?堝x2∈(-
,
0)
使得h′(x2)=0,
當(dāng)-
0,
h(x)
單調(diào)遞增,
故當(dāng)x∈(x2,
0)時(shí),h(x)0時(shí),h′(x)>0,
h(x)
單調(diào)遞增,
此時(shí)h(x)≥h(0)=0﹔
當(dāng)x≤-
時(shí),
h(x)=ex+sinx+cosx-2x-2≥0-
+
π-2>0,
綜上可得,a=2.
注:對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的主要求解策略:
(1)尋常構(gòu)造新函數(shù)
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