函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用命題規(guī)律及考向預(yù)測

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一、考向預(yù)計(jì)

綜合分析2022～2022十年高考試題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用涉及的主要考點(diǎn)是：生活中的最優(yōu)化問題;利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立與摸索性問題;利用導(dǎo)數(shù)解、證不等式;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題.

2021年高考在導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用方面，仍將以選填壓軸題或解答題壓軸題形式考察不等式恒（能）成立問題與摸索性問題、利用導(dǎo)數(shù)解證不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)或方程解問題，重點(diǎn)考察分類整合思想、分析解決問題能力.

二、新題剖析

例1.

已知函數(shù)f（x）=（x-a）ex（a∈R），

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程;

（2）假如函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，且f（x）+a≤0對于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，由于f（x）=（x-1）ex，所以f

′（x）=xex.

由于f（1）=0，f

′（1）=e，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1），

即ex-y-e=0.

（2）由于f

′（x）=（x-a+1）ex，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，

所以0當(dāng)x變化時(shí)，f

′（x），f（x）的變化狀況如下表：

由于f（x）+a≤0對于x∈[0，

1]恒成立，

所以f（0）+a≤0，且f（1）+a≤0.

所以

（1-a）e+a≤0，即a≥

.

由于1所以

≤a2時(shí)，f（x）與f

′（x）在（0，

+∞）上的變化狀況如下：

所以f（x）在（0，

）、（

，

+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（

，

）內(nèi)單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，

）內(nèi)單調(diào)遞增，在（

，

+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)x=

時(shí)，f（x）取得最大值f（

）=-ln2-1-

.

（i）當(dāng)-4ln2-4≤a≤0時(shí)，f（

）≤0，

所以f（x）在（0，

+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

（ii）當(dāng)a0.

由于f（

）>0，f（1）=-2e且00.

且f（x）在（0，

）內(nèi)單調(diào)遞增，所以f（x）在（0，

）內(nèi)有唯一零點(diǎn).

所以當(dāng)a2時(shí)，f（x）在（0，

）、（

，

+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（

，

）內(nèi)單調(diào)遞減.

由于當(dāng)x=

時(shí)，f（x）取得極大值f（

）=-lna-1-

0時(shí)，f（x）>0;

（3）若f（x）

有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

（1）由于f

′（x）=

，所以f

′（1）=-

=1，故a=-e.

所以f（1）=1-

=2，所以，所求切線方程為y-2=x-1，即y=x+1.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1-

，f

′（x）=

，

當(dāng)x∈（0，

2）時(shí)，f

′（x）0.

所以f（x）在（0，

2）單調(diào)遞減，在（2，

+∞）單調(diào)遞增.

所以，f（x）的微小值f（2）=1-

>0，故x>0，f（x）>0.

（3）對于函數(shù)f（x）=1-

，a∈R.

（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）>0，f（x）沒有零點(diǎn);

（ii）當(dāng)a>0時(shí)，f

′（x）=

.

當(dāng)x∈（-∞，

0）時(shí)，f

′（x）>0，所以f（x）在（-∞，

0）單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f

′（x）0，所以f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增;

所以f（0）=1是f（x）的極大值，f（2）=1-

是f（x）的微小值.

由于f（-

）=1-

=1-

=1-

0，即a

，由于f（0）=1，所以f（x）在（0，

2）有一個(gè)零點(diǎn)，

由（2）知，當(dāng)x>0時(shí)，ex>x2，

所以f（4a）=1-

=1-

>1-

=1-

>0.

故f（x）在（2，

4a）有一個(gè)零點(diǎn).

因此a>

時(shí)，f（x）在（0，

+∞）有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=

.

例4.

已知函數(shù)f（x）=x3-x，

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，

f（1））處的切線方程;

（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;

（3）設(shè)函數(shù)t（x）=

-2，x∈（0，π），試判斷t（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

（1）由f（x）=x3-x，得f

′（x）=3x2-1.

由于f（1）=0，f

′（1）=2，

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，

f（1））處的切線方程為y=2x-2.

（2）令f

′（x）=0，得3x2-1=0，解得x=-

或x=

.

當(dāng)x變化時(shí)，f（x）和f

′（x）變化狀況如下表：

所以，

（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

，

），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-

），

（

，+∞）;

f（x）在x=-

處取得極大值

，在x=

處取得微小值-

.

（3）x∈（0，

π），t（x）=0，即

-2=0，

等價(jià)于x2-1-2sinx=0.

設(shè)g（x）=x2-1-2sinx，x∈（0，π），則g′（x）=2x-2cosx.

當(dāng)x∈[

，

π）時(shí)，g′（x）>0，g（x）在區(qū)間[

，

π）上單調(diào)遞增.

又g（

）=

-30，

所以g（x）在區(qū)間[

，

π）

上有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x∈（0，

）時(shí)，設(shè)h（x）=g′（x）=2x-2cosx.

h′（x）=2+2sinx>0，所以g′（x）在區(qū)間（0，

）

上單調(diào)遞增.

又g′（0）=-20，

所以存在x0∈（0，

），使得g′（x0）=0.

所以，當(dāng)x∈（0，

x0）時(shí)，g′（x）0，g（x）

單調(diào)遞增.

又g（0）=-1-

時(shí)，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

（1）分類探討：

①

當(dāng)x∈（-

，

-

]，f（x）=ex-

sin（x+

）>0;

②

當(dāng)x∈（-

，

0）時(shí)，f

′（x）=ex-cosx+sinx，f

′（0）=0，

f

"（x）=ex+sinx+cosx=ex+

sin（x+

）>0，

則函數(shù)f

′（x）在（-

，

0）上單調(diào)增，則f

′（x）f（0）=0;

③

當(dāng)x=0時(shí)，由函數(shù)的解析式可知f（0）=1-0-1=0，

當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，令H（x）=-sinx+x（x≥0），則H′（x）=-cosx+1≥0，

故函數(shù)H（x）在區(qū)間[0，

+∞）上單調(diào)遞增，從而：H（x）≥H（0）=0，

即-sinx+x≥0，-sinx≥-x，

從而函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1，

令y=ex-x-1，則：y′=ex-1，

當(dāng)x≥0時(shí)，y′≥0，故y=ex-x-1在

[0，

+∞）

單調(diào)遞增，

故函數(shù)的最小值為ymin=e0-0-1=0，

從而：ex-x-1≥0.

從而函數(shù)f（x）=ex-sinx-cosx≥ex-x-1≥0;

綜上可得，題中的結(jié)論成立.

（2）當(dāng)x>-

π時(shí)，

令h（x）=g（x）-ax-2=ex+sinx+cosx-ax-2﹐

則h′（x）=ex+cosx-sinx-a，h"（x）=f（x）>0，故h′（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)a>2時(shí)，

h′（0）=2-a0，

？堝x1∈（0，

ln（a+2））

使得h′（x1）=0，

當(dāng)00，

故？堝x2∈（-

，

0）

使得h′（x2）=0，

當(dāng)-

0，

h（x）

單調(diào)遞增，

故當(dāng)x∈（x2，

0）時(shí)，h（x）0時(shí)，h′（x）>0，

h（x）

單調(diào)遞增，

此時(shí)h（x）≥h（0）=0﹔

當(dāng)x≤-

時(shí)，

h（x）=ex+sinx+cosx-2x-2≥0-

+

π-2>0，

綜上可得，a=2.

注：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題的主要求解策略：

（1）尋常構(gòu)造新函數(shù)