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高微作業(yè)第二章1-13 金融系2006級博 15620060153078證x(p,y)的平衡性與齊次性是不相關(guān)n如果x(p,y)是消費者的需求函數(shù),平衡性則說明在每個價格和收nypixi(p,對于所有的p與y,這個等式成立。知道如果任何單個價格或消費者的收由于vpyv(tp 對所有t
u(x(p,y))u(x(tp,
對所有t由于在(p,y)與(tp,ty)處的集是相同的,當其他的消費束被選擇時xp,yx(tpty中的每個均是可行的。因此,先前的等式與u的嚴格擬凹性就說xpyx(tpty)對所有t因此,這表明x(p,y)的平衡性與奇次性在它們彼此并不隱含對方的意義xp,yRnsatisfiesbudgetbalancednessandhomogeneity
Rnn xj(p,y)x(p,y),n
xj(p,
1,xtp,tyx(p,pj
pj Theijitemins(p,y)
xi(p,y)x(p,y)xi(p,j jsp,yp中的項為
p[xi(p,y)x(p,y)xi(p,njjnj
f(tx(tp,tyforallt>0,ft
xi(p,y)
xi(p,y).y t
n
jjypjxjpy
p
px(p,y) 0
jnn所以pj
xi(p,
xj(p,
xi(p,
]即對所有pyRn1spy).p設(shè)y=1,則直接效用函數(shù)為u(x,x)minp s.t.pxpx1 1 2根 日法
Lpp+(p
p
p1p
1 2 Lp
p
1
1 2
,p2
所以
1[ 1?e(tp,u)
x(tp,e(tp,
i?(tp i?e(p,u)
x(p,e(p,
i?(p i因為e(tp,u) e(p,
xi(tp,e(tp,u
xi(p,e(
根據(jù)平衡性有p.xi(p,e(p,u))=e(由(4)(5)(6)e(tp,u)=te(p,
即epupxi(tp,e(tp,u
xi(p,e(
e(tp,u)=te(p,
所以由(1)(2)xi(tp,tep,u即x(p,y)關(guān)于(p,y)
xi(p,e(p和效用水平vp,y e(p,v(p,y))v(p,y)p1p2 e(p,v(p,y)) v(p,y)p1p2p3 v(p,y)yp1p2 v(p,y)p
p3 v(p,y)p1p2p3
1 v(p,y)/p1p1v(p,y)/ 1根據(jù)Shephard 1xh(p,u)e(p,u)p1up 1
1 1 1x(p,y)xh(p,v(p,y))p1p1p2p3yp 1 1v(p,y)/p1x(p,v(p,y)/ 同理,可證vpyp2xpyvpyp3xpyv(p,y)/
v(p,y)/ y1,則有vp,1p1p2 對于任何價格p和收入水平y(tǒng),由于一個收入水于e(p,u),有 v(p,e(p,u))e(p,u)p1p2 1.8有vpepu)) e(p,u)p1p2p3 即ep,u)up1p2 由Shephard引理和需求與需求之間的對偶性,ix(p,y)i
y,i1,2,2.3
由支出函數(shù)與間接效用函數(shù)之間的關(guān)系及e(p1,p2,u)up1p2/(p1p2e(p1,p2,v(p1,p2,y))v(p1,p2,y)p1p2/(p1p2)v(p1,p2,y)y(p1p2)/u(x1,x2)minv(p1,p2 px 日乘數(shù)法1pp1
p2
(pp
x1
1 11pp1
p2
(pp)2
x2
1 1pxx
1p*1
,p* 22將二者代入v(p1,p21 1x2由于ux
Ax
, x
uuxjuxjp1x
Axx1A1x Ax
2px12Theconsumerbuysbundlexiatpricespi,i=0,1.Separayforparts(a)to(d),statewhethertheseindicatedchoicessatisfyWARP:p0=(1,3),x0=(4,2);p1=(3,5),x1=6p0x1p0x0=6 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=22 Yes,satisfiesp0=(1,6),x0=(10,5);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=32 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=55 Yes,satisfiesp0=(1,2),x0=(3,1);p1=(2,2),x1=5586p0x1p0x0=5 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=8 Yes,satisfiesp0=(2,6),x0=(20,10);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=60 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=110 Yes,satisfiespx1(p,y)px1(p, p p2 21p
p
x2x2
p2 21y 1p
2p
x2x2p2 21y 2
1 5 1
X09 P0時選擇X0P0X042P0X148P0X2P2X0P2X所以X0顯示偏好于XP1時選擇X1P0X1所以X1顯示偏好于XP2時選擇X2P2X250P2X148所以X2顯示偏好于X由(1)(2)(3)
xpyRn關(guān)于p,y+xx+p.xpyp.xpyxpyxpp'.xp,y)p'.xp',y')p.xpyp.xp
p.x(p,y)p.x(p,y)
.x(p,y)y
.x(p,y
,1) 由p,1pRn上 ,1)p ,1)p ,1)p'x(p,y)p'x(p',y' x(p,y)滿足其次平pT.sxp,y滿足(充要條件)x(p,y)滿足齊次,平衡,連續(xù)可xp,y滿足WARP<=dp)T.spy)dp對于任何從p,y到p',y的補償性價格變化有p'
x(p',y')x(p,x(p,y)x(p',y'
p.x0,dxxpdpxydys(p,p1與p0不成比例,總有p1)
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