一堂《幾何概型》公開課的思考獲獎科研報告論文

一堂《幾何概型》公開課的思考獲獎科研報告論文摘要：重視在實際情境中去體驗和理解有關知識；注重過程，提倡在學習過程中學生的自主活動，培養(yǎng)發(fā)現規(guī)律、探求模式的能力。

關鍵詞：幾何概型；公開課；思考

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最近筆者剛聽完我校一位老師的公開課《幾何概型的高三復習課》，有些許的想法愿和同大家一起分享。學生一般知道幾何概型的概率計算公式，但是幾何測度的選擇卻是模棱兩可，容易混淆。為了突破這一難點因此我們需要辨析學生犯錯的原因，從而促進學生理解幾何概型的實質，準確解決幾何概型問題。對此談如下幾點體會：

背景一：

授課教師先復習古典概型和幾何概型各自的特點和區(qū)別，然后給出題組一：

1、在區(qū)間[1，4]上任意取一個整數，則大于2的概率為：。

2、在區(qū)間[1，4]上任意取一個實數，則大于2的概率為：。

反思：從學生熟悉并且容易解決的一個古典概型問題，稍加修改，轉變成為一個幾何概型的問題，進一步從等可能性、無限性兩方面來區(qū)別古典概型與幾何概型，深化學生對幾何概型意義的體會，同時在學生的思維里呈現長度這一幾何測度。

背景二：

接著授課教師給出題組二：

1、△ABC中，三條邊的長度分別為3、4、5，一只小螞蟻在三角形的三條邊上爬，求小螞蟻到三角形三個頂點的距離分別大于1的概率。

2、△ABC中，三條邊的長度分別為3、4、5，一只小螞蟻在三角形及其內部里爬，求小螞蟻到三角形三個頂點的距離分別大于1的概率。

授課教師設計上面兩個同例變式，我估計是想通過解決2個具體問題，形成梯度，分散難點，逐一呈現公式中的兩個幾何測度：面積與體積，讓學生在測度的選取上產生了認知沖突，從而突破測度選擇的教學難點?？墒墙處熃o出兩個問題后，直接就交給學生了，兩位學生上臺畫圖，一位學生利用長度之比，一位利用面積之比，雖然學生表述上有些問題，答案都對了，后面教師也沒有抓住學生的回答進行針對性的提問和進行辨析總結。

反思：我不知道是不是大部分學生是否真的都懂了，但我覺得這個地方是不是可以分解下本題組的兩個難點。難點一是總事件和基本事件構成的區(qū)域的確定，難點二是幾何測度的優(yōu)化選擇。因為總事件和基本事件會影響到幾何測度的選擇。這兩道題基本事件都是“螞蟻的位置”，轉化為數來刻畫就是點，只不過第一個問題中，總事件的區(qū)域是在三條邊上的點，構成三條線段，因此可以用長度作為測度，而第二個問題中，總事件的區(qū)域是在三角形的內部的點，構成區(qū)域，因此可以用面積作為測度。否則以后遇到下面的例子，學生就容易混淆。

例1、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<300的概率。

例2、等腰Rt△ABC中，∠C=900，在∠CAB內作射線交線段BC于點M，求∠CAM<300的概率。

分析：此題組中的兩個問題，都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣。例1基本事件是“在直角邊BC上任取一點M”，總事件的區(qū)域是在線段BC上的點，所以測度定性為線段長度，所以所求概率等于。而例2基本事件是“在∠CAB內作射線AM”，總事件的區(qū)域是從點A出發(fā)且在∠CAB內的射線，所以測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數條，均勻分布在∠CAB內，∠CAB=450，故而所求概率等于。這兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，結果也不一致。所以教師關鍵是要讓學生能分清總事件構成的區(qū)域和基本事件的子區(qū)域，合理選擇測度。

背景三：

接下來授課教師給出題組三：

1、某人午覺醒來,發(fā)現表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.

2、甲、乙兩人約定在晚上7時到8時之間會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，這時即可離去，那么兩人見面的概率是多少？

反思：對于問題1有個學生回答可以用圓心角之比，得到答案是1/6。我估計學生是聯(lián)想到了教室里的鐘表了，根據鐘表也許學生還可能會選擇弧長、圓心角、甚至扇形面積等作為測度，當然問題都能得到解決，而當以角度作為變量時，弧長和面積均與角度成正比關系，故這三種測度的選擇在本質上是相同的。

如果教室里是個電子鐘呢？教師是不是現場可以點撥一下？這個時候學生更多會想是線段長之比，在數軸上畫一條線段，因此我覺得可以通過教師的啟發(fā)式教學，引導學生認識到弧長、角度、面積這些測度本質上就是時間區(qū)域的長度