空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

《空間向的數(shù)量積運(yùn)》教學(xué)設(shè)計(jì)與思一、教學(xué)容解析向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，是溝通代數(shù)（數(shù)）和幾何（形）的橋梁空間向量為處理立體幾何問題提供了一個(gè)新的視角解決空間中圖形位置關(guān)系與度量問題的有效手段.對(duì)實(shí)數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)告訴我們要引進(jìn)一種新的數(shù)研究關(guān)于它的運(yùn)算；引進(jìn)一種新的運(yùn)算要研究相應(yīng)的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積運(yùn)算人教社A版數(shù)學(xué)《選修2-1》繼空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算之后的又一種運(yùn)算，是又一個(gè)從平面到空間推廣的實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，充分體驗(yàn)類比、歸納的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式深刻理解空間向量的數(shù)量積運(yùn)算本質(zhì)逐步體會(huì)數(shù)量積運(yùn)算在解決垂直等問題中的應(yīng)用價(jià)值，為后續(xù)學(xué)習(xí)坐標(biāo)表示下的向量方法解決空間角、長度、垂直等問題奠定重要基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)中的多個(gè)核心素養(yǎng)貫穿本節(jié)課始終數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)尤為凸顯因此本節(jié)課的教學(xué)過程是核心素養(yǎng)落地生根的過程是一次知識(shí)方法、思想、素養(yǎng)的融會(huì)貫通之旅。二、教學(xué)目設(shè)置根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總體設(shè)計(jì)思路，結(jié)合本章內(nèi)容的教學(xué)構(gòu)思和學(xué)情，制定教學(xué)目標(biāo)如下：1.通過小組合作、自主探究、交流分享，在類比中歸納得出：空間任意兩個(gè)向量都是共面的空間任意兩個(gè)向量的數(shù)量積就是平面向量的數(shù)量積學(xué)生能進(jìn)一步理解和掌握空間向量數(shù)量積的相關(guān)概念及運(yùn)算2.經(jīng)歷例12的分析、求解過程，學(xué)生能初步體驗(yàn)空間向量在解決立體幾何有關(guān)問題中的重要價(jià)值基本掌握用數(shù)量積處理空間中線線面垂直問題3.在解決具體問題的過程中，學(xué)生能強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等）的魅力.三、學(xué)學(xué)情分析學(xué)生在經(jīng)歷空間向量的概念及線性運(yùn)算之后初步感受到空間向量與平面向量之間的內(nèi)在聯(lián)系能體會(huì)并運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算明白了

“空間任意兩個(gè)向量都是共面的在平面向量的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到平面向量的數(shù)量積在判定位置關(guān)系（垂直角與距離的計(jì)算中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系及相關(guān)度量提供了類比前提.即在平面向量的夾角和向量長度概念的基礎(chǔ)上類比引入空間向量的夾角長度的概念和表示方法類比平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到空間兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算、運(yùn)算律及其應(yīng)用價(jià)值空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律，代數(shù)形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不這是學(xué)生在類比納中的一個(gè)難點(diǎn)，需要適時(shí)鋪墊引導(dǎo)，逐個(gè)突破.數(shù)量積在解決立體幾何中直線和平面垂直、直線和直線垂直等問題的過程中生對(duì)幾何元素與空間向量之間的對(duì)應(yīng)及如何用空間向量表示所涉及的幾何元素困難較大，這是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題的關(guān)鍵基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)確定如下：重點(diǎn)通過類比歸納得出空間向量數(shù)量積運(yùn)算的概念及運(yùn)算律在運(yùn)用數(shù)量積運(yùn)算解決空間垂直問題的過程中感悟數(shù)量積運(yùn)算及運(yùn)算律的重要價(jià)值難點(diǎn)理解空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律用空間向量表示幾何元素并建立幾何與向量的聯(lián)系將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量計(jì)算問題深刻體“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮四、教學(xué)策略分析王家瑾教授提出的師生課堂互動(dòng)模型，對(duì)教學(xué)的啟示是在教學(xué)中教師、學(xué)生和教學(xué)內(nèi)容之間必須建立聯(lián)系成互動(dòng)達(dá)成協(xié)調(diào)才能共同達(dá)到最佳狀態(tài)，取得滿意的教學(xué)效果教師在教學(xué)中要加強(qiáng)與學(xué)生的互動(dòng)以自己的積極性調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生樂學(xué)、好學(xué)，樂探索，好表達(dá)；再讓學(xué)生的積極狀態(tài)感染自己，促進(jìn)自己理解學(xué)生，調(diào)整教學(xué)思路，提高教學(xué)水平以及責(zé)任心和榮譽(yù)感。“學(xué)習(xí)金字塔”模型是師生課堂互動(dòng)模型的一種有效補(bǔ)充。它很好地回答了應(yīng)采用何種教

學(xué)手段達(dá)到教師學(xué)生和教學(xué)內(nèi)容之間更好的聯(lián)系互動(dòng)與協(xié)調(diào)并對(duì)各種手段給出了一定的量化標(biāo)準(zhǔn)，更有利于教師對(duì)教學(xué)結(jié)果的控制。在這兩個(gè)模型引領(lǐng)下強(qiáng)調(diào)以學(xué)定教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，踐“學(xué)生先行交流呈現(xiàn)教師斷后的教學(xué)理念突“以學(xué)生為主體的教，在教師引導(dǎo)下的學(xué)”的授課模式通過問題引入、閱讀理解、表格填寫、交流分享等途徑，讓學(xué)生“動(dòng)起來課堂“活起來”.概念、運(yùn)算律的建構(gòu)中，始終堅(jiān)持讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行類比與歸納；在例題賞析中，注重引導(dǎo)學(xué)生建立“已知”與“待求”間的“關(guān)聯(lián).借助向量工具適時(shí)轉(zhuǎn)化難點(diǎn)，設(shè)置問題串適時(shí)突破難點(diǎn)，注重滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.通課堂小結(jié)與感悟，讓學(xué)生能對(duì)課堂所學(xué)有持續(xù)的思考，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，進(jìn)一步增強(qiáng)教師引領(lǐng)的輻射作用五、教過程1．教學(xué)主為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)本節(jié)課設(shè)置了一明一暗兩條教學(xué)主線按教學(xué)環(huán)節(jié)推進(jìn)設(shè)置“問題引入提出概念作探究辨析概念應(yīng)用概念感運(yùn)算”；歸納總結(jié)，作業(yè)鞏固”四個(gè)板塊，按知識(shí)能力方法的獲得進(jìn)程設(shè)置了“做類比、抓本質(zhì)、悟方法、會(huì)應(yīng)用”四個(gè)層次.2.程實(shí)錄2.1問題引入，提出概念峰會(huì)向世界展示了杭州的無窮魅力些別致的建筑和設(shè)計(jì)令人印象深刻！設(shè)計(jì)、制造這些宏偉的建筑、精美的造型，都會(huì)遇到許多立體幾何問題，比如建筑和地面垂不垂直不要垂直？構(gòu)成建筑的部件長度多少？彼此成多少角度比較合適等等。怎么樣才能解決這些問題呢，必須要有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具！問題在所學(xué)的數(shù)學(xué)工具中哪些可以用來研究垂直問題計(jì)算長度角度問題？問題在《必修》中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量，并深刻地體會(huì)到平面向量在

解決垂直、長度、角度等問題中的應(yīng)用。我們還學(xué)習(xí)了空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算，那么空間向量中，怎么樣的運(yùn)算能支持判斷垂直問題，長度、角度計(jì)算問題？追問：空間向量有數(shù)量積嗎？為什么？是怎么樣的？【設(shè)計(jì)圖空間向量的數(shù)量積運(yùn)算不是憑空產(chǎn)生的引導(dǎo)學(xué)生在與平面向量的類比中驗(yàn)空間向量數(shù)量積運(yùn)算存在的必然性而自然地引出學(xué)習(xí)內(nèi)容同時(shí)激活學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)歷和知識(shí)儲(chǔ)備在例證中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)任意兩個(gè)空間向量都是共面的以任意兩個(gè)空間向量的數(shù)量積質(zhì)上就是平面向量的數(shù)量積2.2合作探究，辨析概念小組合作，自主探究問題3請(qǐng)同學(xué)們四人1小組，借助小組的力量，對(duì)照表格中的信息，結(jié)合桌上的學(xué)習(xí)任務(wù)單，一起探究：空間向量的數(shù)量積到底是怎么樣的？【設(shè)計(jì)意】類比平面向量的數(shù)量積，暗示學(xué)生從定義、幾何意義、運(yùn)算律等方面學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積學(xué)生自主探究空間向量的數(shù)量積運(yùn)算提供方向選擇.分組：4小組，確定1名組長.組長責(zé)組織討論，記錄、匯報(bào)討論結(jié)果引導(dǎo)：呈現(xiàn)研究平面向量數(shù)量積運(yùn)算的幾個(gè)維度，暗示學(xué)生探究的方向.巡視、點(diǎn)撥：確認(rèn)組長，對(duì)討論過程中個(gè)別疑難處進(jìn)行指導(dǎo).提醒：對(duì)照表格進(jìn)行填寫，梳理空間向量數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識(shí).【設(shè)計(jì)圖】

充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，踐行“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)理念，突顯“以學(xué)生為主體的教，在教師引導(dǎo)下的學(xué)”的授課模式，讓學(xué)生“動(dòng)起來讓課堂“活起來”.

交流分享，辨析概念傾聽不同小組代表的回答在與平面向量數(shù)量積類比過程中逐步歸納出空間向量的數(shù)量積定義、幾何意義、運(yùn)算律，并猜想：兩者完全一樣！在對(duì)話和碰撞中，逐步呈現(xiàn)“疑慮平面向量中的投影、分配律，在空間向量中仍然適用嗎？（小組合作探究）空間向的投影回顧平面向量中投影的概念及作法溫兩種作法平移轉(zhuǎn)化直接作垂線，為后續(xù)研究提供類比基礎(chǔ)。問題類比平面向量投影的得到過程空間中一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，該怎么作呢？【設(shè)計(jì)圖】學(xué)生通過類比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、論證后得到空間向量的投影概念及作法.在此過程中，進(jìn)一步體會(huì)空間向量和平面向量的內(nèi)在聯(lián)系領(lǐng)“空間任意兩個(gè)向量都是共面的空間向量的投影可以轉(zhuǎn)化為平面向量的投影同時(shí)還學(xué)會(huì)了空間向量投影的直觀作法，體悟了數(shù)形結(jié)合的思想.空間向數(shù)量積運(yùn)算分配律由于空間任意兩個(gè)向量都是共面的以空間兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算就是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算此平面向量數(shù)量積的許多運(yùn)算律都適用于空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.是注意到a)問題5這三個(gè)向量一定共面嗎？如果不是，這條運(yùn)算律還成立嗎？【設(shè)計(jì)圖】引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察分析能利用數(shù)學(xué)直覺和邏輯推理從數(shù)量積定義和投影概念出發(fā)，對(duì)分配律是否成立進(jìn)行論證

追問：同學(xué)們能否借助投影來證明分配律？結(jié)合學(xué)習(xí)任務(wù)單，試作c,ca向上的投影【設(shè)計(jì)圖】學(xué)生在理解了“空間向量的投影”的概念之后，對(duì)投影的認(rèn)識(shí)有進(jìn)一步提升的需要.另外，從定義出發(fā)論證分配也需要借助投影來實(shí).比平面向量以幾何體為背景的空間向量圖示能直觀呈現(xiàn)空間位置和向量投影達(dá)到“此時(shí)無聲勝有聲”的奇效，是本節(jié)課的一處亮點(diǎn)書本90思考題析問題：理清了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律之后，請(qǐng)同學(xué)辨析一下書本90頁思考題中的三個(gè)問題.【設(shè)計(jì)圖通過回答表格的問題學(xué)生進(jìn)一步理解了空間向量數(shù)量積的概念及相關(guān)運(yùn)算律有效地完善了空間向量數(shù)量積運(yùn)算的知識(shí)建構(gòu)為后續(xù)使用空間向量工具解決立體幾何問題提供了運(yùn)算支持.3.應(yīng)用概念，感悟“運(yùn)算”學(xué)習(xí)一個(gè)新的量就要研究它的運(yùn)算究完運(yùn)算就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律；整個(gè)體系完善后，我們就要研究它的實(shí)際應(yīng)用。例1.在平面內(nèi)的一條直線果和這個(gè)平面的一條斜線

POA

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的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.【設(shè)計(jì)圖】將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語言表達(dá)是例的難點(diǎn)將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是又一個(gè)難點(diǎn)，解決問題的核心是數(shù)量積運(yùn)算因此設(shè)置如下步驟來突破難點(diǎn)：第一步，用數(shù)學(xué)語言表示：已知：平面l在面，是線PA在射且lOA求PA第二步，構(gòu)建“已知”與“求證”的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第三步，選擇合適的向量表示，利用數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算證明；第四步，根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋幾何結(jié)論（三垂線定理）第五步體驗(yàn)數(shù)量積運(yùn)算的價(jià)值數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫空間線線垂直的位置關(guān)系例如,n是面內(nèi)兩相交線如,n，證【設(shè)計(jì)圖】例2現(xiàn)了數(shù)量積運(yùn)算刻畫空間線面垂直關(guān)系的價(jià)值.l

內(nèi)任意一條直g

是關(guān)鍵，運(yùn)用空間向量共面定理表示

是本題的難點(diǎn)通過設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考求解策略；類比1，促使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)量積運(yùn)在刻畫空間垂直關(guān)系中的應(yīng)用價(jià)值.為此設(shè)置問題串來破難點(diǎn)，并結(jié)合書本展示和課堂解析，請(qǐng)同學(xué)在課后將詳細(xì)的推理過程完成在學(xué)習(xí)任務(wù)單上4.歸納總結(jié)，作業(yè)鞏固4.1知識(shí)、方法、思想

.紅色標(biāo)注容為本節(jié)課未涉到的數(shù)量積運(yùn)算相關(guān)應(yīng)

4.2學(xué)習(xí)感悟沒有運(yùn)的向量只能到路標(biāo)用，有了運(yùn)的向量量無窮！4.3課后作業(yè)：必做作業(yè)：書本92:

練習(xí)1；書本99:B組第題；試證明三垂線定理的逆定理選做作業(yè)：請(qǐng)查閱資料，嘗試發(fā)現(xiàn)空間向量的其他知識(shí)，進(jìn)一步完善空間向量的認(rèn)知體系

教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)從實(shí)際的教學(xué)反饋來看，本節(jié)課的總體架構(gòu)是切實(shí)可行的，收效也非常好。本節(jié)課的亮點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：1.教學(xué)思路的獨(dú)創(chuàng)性：教學(xué)設(shè)計(jì)中突出了“構(gòu)建向量的代數(shù)系統(tǒng)”的思路，尋求達(dá)成“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮的共識(shí)，是本節(jié)課的第一大亮點(diǎn).教學(xué)設(shè)計(jì)合理地解讀了人教版教材的編寫意圖空間向量章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提供了一個(gè)很好的范式本節(jié)課介紹了又一種新的空間向量運(yùn)（數(shù)量積運(yùn)算從定義、幾何意義、運(yùn)算律、應(yīng)用等維度對(duì)這種運(yùn)算進(jìn)行研究。本節(jié)課的重心是數(shù)量積運(yùn)算的認(rèn)知以及價(jià)值體驗(yàn)的過程，而不是解題應(yīng)用2.教學(xué)定位的適切性：教學(xué)重、難點(diǎn)的確定是否適切，直接影響教學(xué)是否有本節(jié)課的定位和預(yù)設(shè)，符合學(xué)生認(rèn)知水平。高二學(xué)生在經(jīng)歷空間向量的概念及線性運(yùn)算之后初步感受空間向量與平面向量之間的內(nèi)在聯(lián)系（空間任意兩個(gè)向量必共面能體會(huì)運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算基于平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到平面向量數(shù)量積在判定垂直關(guān)系中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系提供了類比前提，自然地確定了教學(xué)重點(diǎn)—通過類比歸納得出空間向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，并能利用數(shù)量積運(yùn)算解決空間垂直問題空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律，代數(shù)形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學(xué)生在類歸納中的一個(gè)難點(diǎn)，需要適時(shí)P鋪墊引導(dǎo)，逐個(gè)突學(xué)過程中，充分利用直觀的幾何圖示，幫助學(xué)生建立對(duì)空間向量投影和分配律的幾何內(nèi)涵的認(rèn)知，這是本節(jié)課的又一亮點(diǎn)。

3.教學(xué)過程的探索性：師生課堂互動(dòng)模型“學(xué)習(xí)金字塔模型引領(lǐng)奠定了以學(xué)定教的教學(xué)策略。教