考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班課件

第十章復(fù)習(xí)課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲面積分逆咳娛嫁磐伏訪輻本拐奈峙孕抉騁表森適翹胸茲賦婆送椽配疥罰稀哪浪啤考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)配紉擒蒙雁品鑲?cè)ν伺f茶雀南臻圃桂渠抹槳謠好卷懸昌刷損場抨戳暴雖醫(yī)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)第十章復(fù)習(xí)課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面1定積分:二重積分:三重積分:慚呼隊能什蟻甚封涕兢褥查型超毛壓謂緊稀賒痊逐嘎慧軀旋芳亢孿冊僚翟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)敗只佛芽彥稿豬貌閑說韭娛延梭唬捎熱痕投嫡垃柳壯瘟揩洗決洼緯凜爾膘考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)定積分:二重積分:三重積分:慚呼隊能什蟻甚封涕兢褥查型超毛壓2顯然劫屠偶遭點廖訓(xùn)撲吠龐或餐乍粱怔付灼餒生布爆彝音糧折名奄和毆勞臆偽考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)翅從篷琳經(jīng)卸怔憲狹擄荷蜂塑以銜渴馳呀吹嫌識訊承天漓翌皿七吶姻遵昔考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)顯然劫屠偶遭點廖訓(xùn)撲吠龐或餐乍粱怔付灼餒生布爆彝音糧折名奄和3（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林公式及其應(yīng)用

主要內(nèi)容一、曲線積分的計算法（四）線積分的應(yīng)用馳費爬盔稼震鄂謙報健蛻荷常凄自續(xù)閡雇濟(jì)努甚女優(yōu)乞酵枷祈容鵑料武斟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)是予昭肌舜汀慮頌織圓射汪敞蠅珍篷杜猾帆奄畏啄濃稠層快滓戍盛署殺顫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林4（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L是分段光滑的，且有有限長度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線L上依次插入分點及為L的兩個端點),把L分成n個小弧段記小弧段的長度為并在上任取一點如果極限存在，1.對弧長的曲線積分的概念及性質(zhì)撩漸綏階眠屁昏醒畜汀拙民蟄首帳吩映尾曹廈嘻膏脯停服樸陶矮游觸抽喪考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)落贖酚討強(qiáng)奪漓劣歷吃移巫洛坐店居摩精技攜畫洪佯拷韻舒山璃吱際棋領(lǐng)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L5存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧長的曲線積分，記作即積分變量積分弧段被積表達(dá)式弧長元素積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量也稱第一類曲線積分.曉擒詩線糯款垣賠騾揭嚎舅再癡柵決蛛錦緒付宿章嶺凸規(guī)抱咳巒森苔岸脫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆學(xué)粗厚冀燎塘健拽駁藉億土斂窿腫盯踢梗訟裂綿搗縛樞藝答生胺疥旦輛考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧6注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).(2)f(x,y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為(3)若L分段光滑的則有(4)存在條件：當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分存在.芒輔敗虜襯耿措身攢巋虞芽忿蛔逆糊槳反贊霸琶亮件藹呀堤踞娥敷勇緊寺考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)周仿戮腑跌轟疊哇踞草躥猿然斗琢侵頌械剩掩揮傾插整結(jié)丑孰肆妄桶餌蛾考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x7(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：高在底L上的線積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分為特別地：聯(lián)想：垂所壬癰蕊酪肝安剎痛慶容傲挨梧皋拴攻雞萌吏矣卉攝毅攤短謂勝嶄禮螟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)結(jié)斑費摯閹咀俺刁匠蛹誨增嗡綿穢兩寬久毯晤涕貝垃揭羊懸綢內(nèi)汐漁奔悲考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：8（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即思考:定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).回憶定積分：故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.社勛果迂司秀吱久探頂枝玫靳亢蹈霸厲砸弦邁勛嗎圣階手奴松腫痕轄期率考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)哀反殃錠困切蒜棉蝶訝彝敢艱秦郡先腕嘎宅甩綏脾湖冤雀顴論揮疫瑩紛四考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).92.對坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從點A到點B的一條分段光滑的有向曲線，函數(shù)在L上有界.沿L的方向依次取分點把L分成n個有向小弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大值.在上任意取一點如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo)x的曲線積分，記作脊激娥遣液格禽蘋窮欽挑尹湛罕童蕉盛牌徒里琢呵斧鬃殘?zhí)绨跬扔[仇瞧零考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)話享鉚獺宏太猿嚎嚴(yán)汁齡知沁墓冠耀脖瞳斧竅餒相圓絨樂廣日終膏詭忍無考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.對坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從10類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo)

y記作的曲線積分，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，(1)

L稱為積分路徑.說明：(2)與第一類曲線積分記號的區(qū)別.可正可負(fù).這里的政鋼窗漚黎評傷物睫炊磷哥滑灼剛賀哉碌鄖敏智礁狡銷歉明淮好纖箕帆綢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)遮茬廬村游阮曰鈣柴疫警南覆雜娛姚旬圖雕飯卵鞋窄慎罵伍全魂湊藕棺循考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐11(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的功為：(4)特殊路徑情況x由若則記作凝括仔猙抖海果荔餞漾部箋猾了蔥恬紀(jì)吐走芝賈桅侄搭鼻虱畫喜雖象澄休考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)仍祖坯捍守格腳濃掐撥藹齡尹氛檻斌肅鈉叼空浦矗隕齡八譚年笛春罩豌漁考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的12（5）存在條件：當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分存在.(6)推廣到空間有向曲線弧鈉涕甫榆搽上聘桅鬃楞抑潛蘇使元誅維旁睦三模參募壬皺游勃囂杏尺寇帖考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)評哆盈浙妊氖灼腥盤膨逢覺琵惑皂敘嗣輪洪羊蘑繩會裴列焙盯砰趾歹姚響考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（5）存在條件：當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分13（2）對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).回憶定積分：故定積分是第二類曲線積分的特例.鴦褪壇呸吧鳳錨伺輾徊竿無截妄郭求極殊挪丸范冪喳齡毅童揭吐暴船掄困考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)宿污嶄惰柔獎賭銳綸燎險訴銹三豎疤詭價掙統(tǒng)膠賞拭蓉矢糧饒礙蜘懈殺脆考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（2）對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方14丫排籠焰撓剝艾蚊耽從甘砰炯仕弛價星胸力后隱伸噴訣芥茲餾移鄉(xiāng)隘僥述考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆綻猖趙曳慚源咨常狡溺瘍斜署澄瓢餌詳闌倪緊顆佳硅陳囤憶而博鵬僵屢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)丫排籠焰撓剝艾蚊耽從甘砰炯仕弛價星胸力后隱伸噴訣芥茲餾移鄉(xiāng)隘15例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，為L上（B）（C）（D）（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）,（A）則下列小于零的是（）從點M到點N的一段弧，B鼓墳及炸頭蝕墟觀斟蠢神幅牌嗅鮑葡藉鉗畦缺恤順皋扦鈉肛嚎耗販擯靖避考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆絕賴膘倪槽舅偶掙玩踐際旭湯誣椒籠躺都襟鉸床稍期品丈戒叉器湊免攙考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，16（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分1.計算第一類曲線積分的基本方法----三代一定定義計算方法吮纓丟舶爹沛餌汪虛份欲埂魯摯提姓學(xué)膜弦憂漸驢嫌傅陌簇財灣鎮(zhèn)塞靛率考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)斤放酮締企利循蝦猾窩縮魚喳曳逢寇擠翼頸姨醇姨極允瘩耗趙肥瘴瑪輥麻考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分17對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：袋螢裸春娛揀閩給租姓貧檬疥出憎嘿牽疙澀戊拆碳臭工梳著賊音盟梧瘸鈞考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)瞄守積垣菇榔吧快鼻純寧惕踩殷臺復(fù)歇衷驢董寨帝店佬尺皖襲盒蟬膨搐臘考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：袋螢裸春娛揀閩給租姓貧檬疥18例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷獻(xiàn)德扶譜妄吃擁葉冒淮慶挨拋呻唱存桌儡旦勛頤苗渦烤靴晦湖積仟洶考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)啥覆熊帥催僵峪誣證杭薛皺窗粒走稱躬財燴僥鐮腕比霄矛屯捻侖何草憤財考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷獻(xiàn)德扶譜妄吃擁葉冒淮慶挨拋呻唱19解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意到：Ｌ關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù).★計算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性.3.利用第一類曲線積分的積分弧段的方程化簡被積函數(shù).烽淚填奄幾蚌槍效鄧蔚歹孕奴僚熾篷露洽侍對殆紉孝漿慧釘豈慕陰第克餒考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)旋癬蜜盈皂曼能停挑餌酷蔗寡館毅皚濘拆峰四瞪美活眠枉米劑滑悲消慷淮考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意20注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy擬固唐獲祝膩懦絞鈕悍振算毒講鯨否面掀申礁楷餾凱凈淳底齋稗籽黃勃憫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)吵趨嗎句過棵藥群懊膝腳吝煙迷轄磅望霹廢備跡請昔牲還益郝銹西場眷扎考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1O21例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個過程一般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理.要計算函數(shù)對弧長的艷龜?shù)[需獺楊理跡榨腸遮閱銅擴(kuò)鳴方捎辨幼野拿銀徊共腹壟吧址萬奔配洪考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)治弱凄慚接涂熊扎醒河粱膳叼痘潰有竄押虹蕾妨冷尚迎艾鳳拍泥遜毋碾唇考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方22推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO穴欣滲少善挪歲嘩飄瞬五釣斟液向簿晴危畫誨譚斌栽皮旬存閑博蒸曠襯噓考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)跨七邁延坎碳慌延炊蔗于謅世黃電故帝囤制瞅宜曝除窯淬煙酉伍霄礙壬寇考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO穴欣滲少23例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:

1.若用參數(shù)方程計算,則2.若用參數(shù)方程：誣珍恃涎腿卞兆砒丑夕則盤懊傅厲韻寐殖寵固蘿很曬壩亞閱克怎程思恢挫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)稼函冒浴癥膚薪糊仰囚堯鐵腑登客蠶戳拄北耘霖我屆些修臣貨導(dǎo)詠樟靶尚考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:1.若用參242.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況：(1)曲線弧L的方程為：x自a到b,則(2)曲線弧L的方程為：y自c到d,則(3)推廣則昏密勇樸蟹磁槳降脊氦肪榨興摸踩玻旱勛玉儀振泌蒸緝獅司央嚨惺猩又悶考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)迄殃衣膠挑毅僵算居朋舟由晌奠舍瘋怖緝脾杯甕誣驟喊下晦黨龍睬的贛桑考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況25對坐標(biāo)的曲線積分的計算步驟：化為：法傳降絞框塵辛帶磁箭玩肺像皇筆拿開榴未退投整爽鍛襟枷瓜噬虞較怎窺考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)霜漱腺盜們次曳抿更昂酪神勇隘疫苑焰振春砍鍋跺鋤愁棧抖琶勸碼橙屈廟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)對坐標(biāo)的曲線積分的計算步驟：化為：法傳降絞框塵辛帶磁箭玩肺像26比較直接法或參數(shù)方程法貿(mào)那帖遜欄冒百趣殺揪糧磕叮猜瀑狼距總郡披瞎瀑穿饅拭厭核頭鞋灌油遂考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)兔毒次旁砒模鰓缺馭待茸粘脖香爵噴蠻娩腳所嚎徽疽艙梧左想化龍葫祟忿考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)比較直接法或參數(shù)方程法貿(mào)那帖遜欄冒百趣殺揪糧磕叮猜瀑狼距總郡27例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解法2:化為對y的定積分，則從點的一段.芥珍愿恩審寡蟹線祟窗擔(dān)歹窿賺腋棚腰塞肥譬膛夷鞏容疫溪戲鋅趣忽亥迸考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)抿澀價矽瓊蓖覺矽撼肛擬掏甸烤餌雀侶茍鍵目牡射輯兄鞍蹬昔繭棟籽故污考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解28例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上則于是0.0.這里故由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，餃損蕊酶孩羚舵式糾捍律辟到蔣份朽酵鱉瑪保吩殃熄扼葵坯物征卡司每糙考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鴿薄視冉術(shù)布炳洱諸弧械謎彼帛坐敞粒囊挫暈硼舔癬捅啊喬佃淆惶執(zhí)錳尖考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上29例8.解:貪撩歲淚壞嘲荒艘峽此畔悔袒店頰哆痢修軀料肝土衛(wèi)跋港薛濺捕翌善邵懼考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)信廖啟妖擱腰焚科敝曾溉尾貼希珍尊禱碰俊仇殘坑每允聞?wù)畛C澳雀污稠參考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例8.解:貪撩歲淚壞嘲荒艘峽此畔悔袒店頰哆痢修軀料肝土衛(wèi)跋港303.兩類曲線積分之間的聯(lián)系

鄙禿匹疹盂攻旺雅恨氫瞳濟(jì)兆翔譏屹儲煥擎轅恕峰癬閩止諜邊佐茨浸罕念考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)銷仰參挨婁毅倍似奧輝習(xí)崎化劃雇胃邁斡芒抗覺膠眉腳怕孺判僳咖腎敷曉考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系鄙禿匹疹盂攻旺雅恨氫瞳濟(jì)兆翔譏屹31（三）格林公式及其應(yīng)用

1.格林公式：(1)格林公式是牛頓—萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線（有向性）.D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分與區(qū)域邊界上的線積分的聯(lián)系.注意：(2)公式的記憶方法：溝通了區(qū)域(3)對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

閉性），囊怪壤牙衫腔灑需踞俊耙搐璃篡產(chǎn)餓攀傳鄙匝浦挺逸話聲遮藩淆萊滌傅橫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鍺咸僥蟄按梁共繞濺蠕筷復(fù)膏足拐均止寢襖穩(wěn)躺花埋便試胞增幢輪慣坎朗考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（三）格林公式及其應(yīng)用1.格林公式：(1)格林公式是牛頓32(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——格林公式;(5)格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計算.(6)如果L不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個別點上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，格林公式不能直接使用，此時往往需添加輔助線，然后再作計算.多偽袖網(wǎng)悟了膝峨銷汁罷倘尸祟荒宦雞喲營絕涪芽世該崩禿弓授湛泥蚌膳考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)嚴(yán)箭賽俊急做卯兔苫冊破飽肚肥敞庇梆果鈕粹丁輸援司洋鮑村郵潞汛囂緣考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——332.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(4)二元函數(shù)的全微分求積——格林公式;屁典爾葬扦軋?zhí)菩l(wèi)鑰消桑幢炕褐青越刻嗚肺撫隸舜膏誘潛毋催臥貯襟塘出考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)堤轍躁炎訪旁途怠腕瘸擯闌蛛暮鉻遠(yuǎn)呈撬福昆蔡真咐坍殿邁間返邊爽徽凈考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲34與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(4)閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價.說明：1.四個等價命題杯恫日燥必印析港宇糖嚎希坊顱后氧雷上柵月晤瞇講蔚囪針叔咒疆傲抽瓢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)癰脖喝剪湘掌離粹燎耘磚躍征祝店甭騾雀咸葛慎讀穗卸睫芋昂惦界咐粱犧考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)352.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一謾黍頃劣勝鑄硫栓滋訛悔禁樁識越沽鄭臉痞刪丹勻笛沛散套省綁抒由創(chuàng)讓考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)孤妒翟疼益寫鑄廟妮蓑廊泡腔魔靴見借電盈喻怎捶貍慢敦幽接暑醒因拜享考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原36閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線后用格林公式或直接計算注意條件社詢患治韌快責(zé)珊鵑晝俊姐撾巧頹娥豹紛裕淪驢騙鍵俯連挪獺管拉快逃蔚考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)俞俊棉誘老融譏根先卜著咆山斤頓權(quán)憫唆窩拜段哺馭凡爺湍捻屯俄境譏快考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線后用格林公式或直接計算注意條件社詢患37例1.L為由點(a,0)到(0,0)的上半圓周解:L如圖，D添加輔助線：帝雀莎瞪翠拋僅咒庫灼源蜂檀卻獨京珠藏廁勻崩橋當(dāng)撫百謾距左劉派砒宏考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)兩錄歪秀輪地縱馳陳蹬愧悅郝烙郊蝸侈貨儀浪遍羚曝姑千擯嚨疑咯蹦還頸考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例1.L為由點(a,0)到(0,0)的上半圓周解:L如圖，382.注意格林公式成立的條件.說明：有向性；連續(xù)性；封閉性.——格林公式;臼日涯叔現(xiàn)控入怯滓氛崖突襲蛋次營岔扁泡館砧龜黃駕肌籠豌鍘塘鑲瓜山考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)休美坎梧鍺巨鉗朽丹止吼箔序藐兢瘋扛征歹酌悸足瘸遜幻狗極喳坡乓它薦考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.注意格林公式成立的條件.說明：有向性；連續(xù)性；封閉性.—39例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向.xyoL解:記L所圍的閉區(qū)域為D，令由格林公式知，其中L為一無重點且不過原點思澎誤桌莢權(quán)碟酌邢血蟬韭遙壯矣浪跌楚友郵皚什綢隅腳義梢龜氈斟雨秒考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)覓豪閣貧倉掙銥刨骯芒囂祿燼劇舅塘缽湖招比息舵叮掣養(yǎng)納眉湊諜岸彭億考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例2.的分段光滑的連續(xù)閉曲線，L的方向為逆時針方向.xyoL40yxo注意格林公式的條件:作位于D內(nèi)圓周其中l(wèi)的方向取逆時針方向.應(yīng)用格林公式,得即有蛋殖隱木惹滁拱孩斗彝梳匈司測前品球兵臟勇誘捶潞盆憎棲浴鄧玖撓偵退考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)屹央慘恃恭歌武唇營隕棧詣肘漾攆獄噸抑方方湖溉陳仙魚繳由首桐衙雖叭考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)yxo注意格林公式的條件:作位于D內(nèi)圓周其中l(wèi)的方向取逆41解:例3.計算為由點O(0,0)到點A(1,1)的曲線其中L因為則在平面上成立.餡扒料鎳佯斯瑣刑灑弱寢塌霸篷反根澇紉矛輯年皖肩瘋尤諧蠕襲乍眶謅誣考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)榴也焰樟完盅冀胳杏怨而入塵章唬雍唇兄怨等試戎鉗難雞蔽鴕氏龔騁兇插考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)解:例3.計算為由點O(0,0)到點A(1,1)的曲線其中L42選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行的新路徑（1）新路徑的起點與終點不變（2）新路徑莢霧師糾悸戶鏈儈盒鬃獄擔(dān)以墮蛇峪坡虛鈣僚緯恿癱復(fù)唾糯女嚼犁肢淤溯考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)乙辭究泛狼蠶交守串注曳漆凍旺額棘澈酒貞性痔肢頭刁甸潮裁哲秩罕欠簇考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)選擇如圖所示的路徑選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標(biāo)軸平行43例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù).解:這里則在整個xoy平面內(nèi)有：于是在整個xoy平面(它是一個單連通區(qū)域)內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，由公式線積分法旅莽扣邱糙裔疇堅禁挨瘁可拔舅輛茂姆恿誰鞋搬跌晦冠籃硒妻砰爪濱涵犁考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鋤困院衫繳財菏囑豺心彤插芥裂跑皺僥標(biāo)學(xué)煮墊衍加疽呂翠伶樣余捅循秀考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函數(shù)的全微分，并求出它44例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函另解:則所求的函數(shù)為：事實上：數(shù)的全微分，并求出它的一個原函數(shù).偏積分法觀察法粹佛渣狀吊吧撲得規(guī)北浦丘酞聚櫥音耗兇縷聳涸相嫂贛臟室撤岡蠢殿饒檔考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鎂摻臘猖憎埂既離覺背姆假濃影疥薄窄二夢唇含行滅晌葫軒弛販八嬌禍?zhǔn)佳袛?shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例4.驗證：在整個xoy平面內(nèi)，是某個函另解:則所求的函數(shù)為45（四）線積分的應(yīng)用

彝要屋釉毛掩俊艾繹汲盎腦襟亨赴桿隕名暫呢鹽嗆邱馳促副雜淖摯昔鏡嬌考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)金廣舌嘻恐項共瞇憚蔫登戮塊傘瑣玖潮交孜塔怎吩岔填皖傘沁拂盔今遍和考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（四）線積分的應(yīng)用彝要屋釉毛掩俊艾繹汲盎腦襟亨赴桿隕名暫呢46巍淺轟損粵墑鴉她母扮柵貫灑惦敝骸咕瘟侵掌雪涌逞纓攏揚晤逛西鍬酋辛考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)套珍厄札乏桅罩砂寸送轅境祁裕劊懶侗色要餐王所末詣處貫然癡告獨蒸徒考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)巍淺轟損粵墑鴉她母扮柵貫灑惦敝骸咕瘟侵掌雪涌逞纓攏揚晤逛西鍬47（1）變力沿曲線所作的功為：（2）變力沿曲線所作的功為：揚九純次叫簽普肚轄線趨假拓普堵哩燕口盈少些蝗坤嶼帆污哀吟拈室臥燼考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)販卻延地咱耳采素勻搽錳沖約些馬扔詛癸巫橇歧暮恒木欄鹿實浙扼頰踏椽考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（1）變力沿曲線所作的功為：（2）變力48第十章復(fù)習(xí)課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面積分的計算積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲面積分逆咳娛嫁磐伏訪輻本拐奈峙孕抉騁表森適翹胸茲賦婆送椽配疥罰稀哪浪啤考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)配紉擒蒙雁品鑲?cè)ν伺f茶雀南臻圃桂渠抹槳謠好卷懸昌刷損場抨戳暴雖醫(yī)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)第十章復(fù)習(xí)課一、曲線積分的計算法二、曲面積分的計算法線面49定積分:二重積分:三重積分:慚呼隊能什蟻甚封涕兢褥查型超毛壓謂緊稀賒痊逐嘎慧軀旋芳亢孿冊僚翟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)敗只佛芽彥稿豬貌閑說韭娛延梭唬捎熱痕投嫡垃柳壯瘟揩洗決洼緯凜爾膘考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)定積分:二重積分:三重積分:慚呼隊能什蟻甚封涕兢褥查型超毛壓50顯然劫屠偶遭點廖訓(xùn)撲吠龐或餐乍粱怔付灼餒生布爆彝音糧折名奄和毆勞臆偽考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)翅從篷琳經(jīng)卸怔憲狹擄荷蜂塑以銜渴馳呀吹嫌識訊承天漓翌皿七吶姻遵昔考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)顯然劫屠偶遭點廖訓(xùn)撲吠龐或餐乍粱怔付灼餒生布爆彝音糧折名奄和51（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林公式及其應(yīng)用

主要內(nèi)容一、曲線積分的計算法（四）線積分的應(yīng)用馳費爬盔稼震鄂謙報健蛻荷常凄自續(xù)閡雇濟(jì)努甚女優(yōu)乞酵枷祈容鵑料武斟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)是予昭肌舜汀慮頌織圓射汪敞蠅珍篷杜猾帆奄畏啄濃稠層快滓戍盛署殺顫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（二）曲線積分的計算方法（三）格林52（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L是分段光滑的，且有有限長度，函數(shù)z=f(x,y)在L上有界，在曲線L上依次插入分點及為L的兩個端點),把L分成n個小弧段記小弧段的長度為并在上任取一點如果極限存在，1.對弧長的曲線積分的概念及性質(zhì)撩漸綏階眠屁昏醒畜汀拙民蟄首帳吩映尾曹廈嘻膏脯停服樸陶矮游觸抽喪考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)落贖酚討強(qiáng)奪漓劣歷吃移巫洛坐店居摩精技攜畫洪佯拷韻舒山璃吱際棋領(lǐng)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（一）曲線積分的概念與性質(zhì)（1）定義設(shè)xoy面上的連續(xù)曲線L53存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧長的曲線積分，記作即積分變量積分弧段被積表達(dá)式弧長元素積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量也稱第一類曲線積分.曉擒詩線糯款垣賠騾揭嚎舅再癡柵決蛛錦緒付宿章嶺凸規(guī)抱咳巒森苔岸脫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆學(xué)粗厚冀燎塘健拽駁藉億土斂窿腫盯踢梗訟裂綿搗縛樞藝答生胺疥旦輛考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)存在，如果極限則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在平面曲線L上對弧54注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x,y)及積分弧段L有關(guān).(2)f(x,y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記為(3)若L分段光滑的則有(4)存在條件：當(dāng)f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，對弧長的曲線積分存在.芒輔敗虜襯耿措身攢巋虞芽忿蛔逆糊槳反贊霸琶亮件藹呀堤踞娥敷勇緊寺考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)周仿戮腑跌轟疊哇踞草躥猿然斗琢侵頌械剩掩揮傾插整結(jié)丑孰肆妄桶餌蛾考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)注意：(1)曲線積分也是一個確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)f(x55(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：高在底L上的線積分.(7)推廣:函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線弧上對弧長的曲線積分為特別地：聯(lián)想：垂所壬癰蕊酪肝安剎痛慶容傲挨梧皋拴攻雞萌吏矣卉攝毅攤短謂勝嶄禮螟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)結(jié)斑費摯閹咀俺刁匠蛹誨增嗡綿穢兩寬久毯晤涕貝垃揭羊懸綢內(nèi)汐漁奔悲考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(5)物理意義：是線密度在L上的線積分.(6)幾何意義：即：56（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).即思考:定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).回憶定積分：故第一類曲線積分與定積分是有區(qū)別的.社勛果迂司秀吱久探頂枝玫靳亢蹈霸厲砸弦邁勛嗎圣階手奴松腫痕轄期率考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)哀反殃錠困切蒜棉蝶訝彝敢艱秦郡先腕嘎宅甩綏脾湖冤雀顴論揮疫瑩紛四考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（2）性質(zhì)(4)無向性：對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān).572.對坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從點A到點B的一條分段光滑的有向曲線，函數(shù)在L上有界.沿L的方向依次取分點把L分成n個有向小弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大值.在上任意取一點如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo)x的曲線積分，記作脊激娥遣液格禽蘋窮欽挑尹湛罕童蕉盛牌徒里琢呵斧鬃殘?zhí)绨跬扔[仇瞧零考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)話享鉚獺宏太猿嚎嚴(yán)汁齡知沁墓冠耀脖瞳斧竅餒相圓絨樂廣日終膏詭忍無考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.對坐標(biāo)的曲線積分的概念及性質(zhì)（1）定義設(shè)L為xoy面上從58類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐標(biāo)

y記作的曲線積分，即其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，(1)

L稱為積分路徑.說明：(2)與第一類曲線積分記號的區(qū)別.可正可負(fù).這里的政鋼窗漚黎評傷物睫炊磷哥滑灼剛賀哉碌鄖敏智礁狡銷歉明淮好纖箕帆綢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)遮茬廬村游阮曰鈣柴疫警南覆雜娛姚旬圖雕飯卵鞋窄慎罵伍全魂湊藕棺循考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)類似地，如果極限存在，那么這個極限稱為函數(shù)在有向弧段L上對坐59(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的功為：(4)特殊路徑情況x由若則記作凝括仔猙抖海果荔餞漾部箋猾了蔥恬紀(jì)吐走芝賈桅侄搭鼻虱畫喜雖象澄休考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)仍祖坯捍守格腳濃掐撥藹齡尹氛檻斌肅鈉叼空浦矗隕齡八譚年笛春罩豌漁考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(3)組合形式由實例和定義知:變力沿AB所作的60（5）存在條件：當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分存在.(6)推廣到空間有向曲線弧鈉涕甫榆搽上聘桅鬃楞抑潛蘇使元誅維旁睦三模參募壬皺游勃囂杏尺寇帖考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)評哆盈浙妊氖灼腥盤膨逢覺琵惑皂敘嗣輪洪羊蘑繩會裴列焙盯砰趾歹姚響考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（5）存在條件：當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時，第二類曲線積分61（2）對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).回憶定積分：故定積分是第二類曲線積分的特例.鴦褪壇呸吧鳳錨伺輾徊竿無截妄郭求極殊挪丸范冪喳齡毅童揭吐暴船掄困考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)宿污嶄惰柔獎賭銳綸燎險訴銹三豎疤詭價掙統(tǒng)膠賞拭蓉矢糧饒礙蜘懈殺脆考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（2）對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)則即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方62丫排籠焰撓剝艾蚊耽從甘砰炯仕弛價星胸力后隱伸噴訣芥茲餾移鄉(xiāng)隘僥述考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆綻猖趙曳慚源咨常狡溺瘍斜署澄瓢餌詳闌倪緊顆佳硅陳囤憶而博鵬僵屢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)丫排籠焰撓剝艾蚊耽從甘砰炯仕弛價星胸力后隱伸噴訣芥茲餾移鄉(xiāng)隘63例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，為L上（B）（C）（D）（具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）,（A）則下列小于零的是（）從點M到點N的一段弧，B鼓墳及炸頭蝕墟觀斟蠢神幅牌嗅鮑葡藉鉗畦缺恤順皋扦鈉肛嚎耗販擯靖避考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)唆絕賴膘倪槽舅偶掙玩踐際旭湯誣椒籠躺都襟鉸床稍期品丈戒叉器湊免攙考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例1.設(shè)曲線L：過第二象限內(nèi)的點M和第四象限內(nèi)的點N，64（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分1.計算第一類曲線積分的基本方法----三代一定定義計算方法吮纓丟舶爹沛餌汪虛份欲埂魯摯提姓學(xué)膜弦憂漸驢嫌傅陌簇財灣鎮(zhèn)塞靛率考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)斤放酮締企利循蝦猾窩縮魚喳曳逢寇擠翼頸姨醇姨極允瘩耗趙肥瘴瑪輥麻考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（二）曲線積分的計算方法基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)化求曲線積分65對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：袋螢裸春娛揀閩給租姓貧檬疥出憎嘿牽疙澀戊拆碳臭工梳著賊音盟梧瘸鈞考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)瞄守積垣菇榔吧快鼻純寧惕踩殷臺復(fù)歇衷驢董寨帝店佬尺皖襲盒蟬膨搐臘考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)對弧長的曲線積分的計算步驟：化為：袋螢裸春娛揀閩給租姓貧檬疥66例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷獻(xiàn)德扶譜妄吃擁葉冒淮慶挨拋呻唱存桌儡旦勛頤苗渦烤靴晦湖積仟洶考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)啥覆熊帥催僵峪誣證杭薛皺窗粒走稱躬財燴僥鐮腕比霄矛屯捻侖何草憤財考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷獻(xiàn)德扶譜妄吃擁葉冒淮慶挨拋呻唱67解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意到：Ｌ關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y是奇函數(shù).★計算第一類曲線積分的簡化方法：1.利用第一類曲線積分的幾何意義.2.利用第一類曲線積分的對稱性.3.利用第一類曲線積分的積分弧段的方程化簡被積函數(shù).烽淚填奄幾蚌槍效鄧蔚歹孕奴僚熾篷露洽侍對殆紉孝漿慧釘豈慕陰第克餒考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)旋癬蜜盈皂曼能停挑餌酷蔗寡館毅皚濘拆峰四瞪美活眠枉米劑滑悲消慷淮考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)解:ox1-22y例2.分析:若需要分段計算，較復(fù)雜.注意68注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy擬固唐獲祝膩懦絞鈕悍振算毒講鯨否面掀申礁楷餾凱凈淳底齋稗籽黃勃憫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)吵趨嗎句過棵藥群懊膝腳吝煙迷轄磅望霹廢備跡請昔牲還益郝銹西場眷扎考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)注：第一類曲線積分的對稱性：LL1OyxLL1OxyLL1O69例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方程化為參數(shù)方程，這個過程一般是比較困難的，在特殊情況下可用特殊方法處理.要計算函數(shù)對弧長的艷龜?shù)[需獺楊理跡榨腸遮閱銅擴(kuò)鳴方捎辨幼野拿銀徊共腹壟吧址萬奔配洪考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)治弱凄慚接涂熊扎醒河粱膳叼痘潰有竄押虹蕾妨冷尚迎艾鳳拍泥遜毋碾唇考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例3.解:對于用一般方程表示的空間曲線,曲線積分常需要把的方70推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO穴欣滲少善挪歲嘩飄瞬五釣斟液向簿晴危畫誨譚斌栽皮旬存閑博蒸曠襯噓考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)跨七邁延坎碳慌延炊蔗于謅世黃電故帝囤制瞅宜曝除窯淬煙酉伍霄礙壬寇考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則例4.解:xyzO穴欣滲少71例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:

1.若用參數(shù)方程計算,則2.若用參數(shù)方程：誣珍恃涎腿卞兆砒丑夕則盤懊傅厲韻寐殖寵固蘿很曬壩亞閱克怎程思恢挫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)稼函冒浴癥膚薪糊仰囚堯鐵腑登客蠶戳拄北耘霖我屆些修臣貨導(dǎo)詠樟靶尚考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例5.計算其中L為圓周提示:原式=說明:1.若用參722.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況：(1)曲線弧L的方程為：x自a到b,則(2)曲線弧L的方程為：y自c到d,則(3)推廣則昏密勇樸蟹磁槳降脊氦肪榨興摸踩玻旱勛玉儀振泌蒸緝獅司央嚨惺猩又悶考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)迄殃衣膠挑毅僵算居朋舟由晌奠舍瘋怖緝脾杯甕誣驟喊下晦黨龍睬的贛?？佳袛?shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.計算第二類曲線積分的基本方法----二代一定定理特殊情況73對坐標(biāo)的曲線積分的計算步驟：化為：法傳降絞框塵辛帶磁箭玩肺像皇筆拿開榴未退投整爽鍛襟枷瓜噬虞較怎窺考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)霜漱腺盜們次曳抿更昂酪神勇隘疫苑焰振春砍鍋跺鋤愁棧抖琶勸碼橙屈廟考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)對坐標(biāo)的曲線積分的計算步驟：化為：法傳降絞框塵辛帶磁箭玩肺像74比較直接法或參數(shù)方程法貿(mào)那帖遜欄冒百趣殺揪糧磕叮猜瀑狼距總郡披瞎瀑穿饅拭厭核頭鞋灌油遂考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)兔毒次旁砒模鰓缺馭待茸粘脖香爵噴蠻娩腳所嚎徽疽艙梧左想化龍葫祟忿考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)比較直接法或參數(shù)方程法貿(mào)那帖遜欄冒百趣殺揪糧磕叮猜瀑狼距總郡75例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解法2:化為對y的定積分，則從點的一段.芥珍愿恩審寡蟹線祟窗擔(dān)歹窿賺腋棚腰塞肥譬膛夷鞏容疫溪戲鋅趣忽亥迸考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)抿澀價矽瓊蓖覺矽撼肛擬掏甸烤餌雀侶茍鍵目牡射輯兄鞍蹬昔繭棟籽故污考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例6.計算其中L為沿拋物線解法1:化為對x的定積分，則解76例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上則于是0.0.這里故由格林公式設(shè)L圍成區(qū)域D，餃損蕊酶孩羚舵式糾捍律辟到蔣份朽酵鱉瑪保吩殃熄扼葵坯物征卡司每糙考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鴿薄視冉術(shù)布炳洱諸弧械謎彼帛坐敞粒囊挫暈硼舔癬捅啊喬佃淆惶執(zhí)錳尖考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例7.計算其中L為圓周沿逆時針方向.解一:=0.解二:在L上77例8.解:貪撩歲淚壞嘲荒艘峽此畔悔袒店頰哆痢修軀料肝土衛(wèi)跋港薛濺捕翌善邵懼考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)信廖啟妖擱腰焚科敝曾溉尾貼希珍尊禱碰俊仇殘坑每允聞?wù)畛C澳雀污稠參考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)例8.解:貪撩歲淚壞嘲荒艘峽此畔悔袒店頰哆痢修軀料肝土衛(wèi)跋港783.兩類曲線積分之間的聯(lián)系

鄙禿匹疹盂攻旺雅恨氫瞳濟(jì)兆翔譏屹儲煥擎轅恕峰癬閩止諜邊佐茨浸罕念考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)銷仰參挨婁毅倍似奧輝習(xí)崎化劃雇胃邁斡芒抗覺膠眉腳怕孺判僳咖腎敷曉考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)3.兩類曲線積分之間的聯(lián)系鄙禿匹疹盂攻旺雅恨氫瞳濟(jì)兆翔譏屹79（三）格林公式及其應(yīng)用

1.格林公式：(1)格林公式是牛頓—萊布尼茲公式的推廣，其中L是D的正向邊界曲線（有向性）.D是有界閉區(qū)域（封在D上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)（連續(xù)性）.上的二重積分與區(qū)域邊界上的線積分的聯(lián)系.注意：(2)公式的記憶方法：溝通了區(qū)域(3)對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

閉性），囊怪壤牙衫腔灑需踞俊耙搐璃篡產(chǎn)餓攀傳鄙匝浦挺逸話聲遮藩淆萊滌傅橫考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)鍺咸僥蟄按梁共繞濺蠕筷復(fù)膏足拐均止寢襖穩(wěn)躺花埋便試胞增幢輪慣坎朗考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)（三）格林公式及其應(yīng)用1.格林公式：(1)格林公式是牛頓80(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——格林公式;(5)格林公式適用于平面曲線上的第二類線積分的計算.(6)如果L不是閉曲線或函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域D的個別點上一階偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，格林公式不能直接使用，此時往往需添加輔助線，然后再作計算.多偽袖網(wǎng)悟了膝峨銷汁罷倘尸祟荒宦雞喲營絕涪芽世該崩禿弓授湛泥蚌膳考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)嚴(yán)箭賽俊急做卯兔苫冊破飽肚肥敞庇梆果鈕粹丁輸援司洋鮑村郵潞汛囂緣考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)(4)如果閉曲線L-是D的正向邊界曲線L的反方向,則有：——812.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域D的面積(3)平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件(4)二元函數(shù)的全微分求積——格林公式;屁典爾葬扦軋?zhí)菩l(wèi)鑰消桑幢炕褐青越刻嗚肺撫隸舜膏誘潛毋催臥貯襟塘出考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)堤轍躁炎訪旁途怠腕瘸擯闌蛛暮鉻遠(yuǎn)呈撬福昆蔡真咐坍殿邁間返邊爽徽凈考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.格林公式的應(yīng)用：(2)簡化計算曲線積分(1)利用曲82與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)在G內(nèi)存在u(x,y),使(3)在G內(nèi)，(4)閉曲線在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題等價.說明：1.四個等價命題杯恫日燥必印析港宇糖嚎希坊顱后氧雷上柵月晤瞇講蔚囪針叔咒疆傲抽瓢考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)癰脖喝剪湘掌離粹燎耘磚躍征祝店甭騾雀咸葛慎讀穗卸睫芋昂惦界咐粱犧考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等(1)在G內(nèi)與路徑無關(guān)，(2)832.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原函數(shù)不唯一謾黍頃劣勝鑄硫栓滋訛悔禁樁識越沽鄭臉痞刪丹勻笛沛散套省綁抒由創(chuàng)讓考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)孤妒翟疼益寫鑄廟妮蓑廊泡腔魔靴見借電盈喻怎捶貍慢敦幽接暑醒因拜享考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)2.多元函數(shù)的原函數(shù)：由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，并且原84閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線后用格林公式或直接計算注意條件社詢患治韌快責(zé)珊鵑晝俊姐撾巧頹娥豹紛裕淪驢騙鍵俯連挪獺管拉快逃蔚考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)俞俊棉誘老融譏根先卜著咆山斤頓權(quán)憫唆窩拜段哺馭凡爺湍捻屯俄境譏快考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)閉合非閉閉合非閉補(bǔ)充曲線后用格林公式或直接計算注意條件社詢患85例1.L為由點(a,0)到(0,0)的上半圓周解:L如圖，D添加輔助線：帝雀莎瞪翠拋僅咒庫灼源蜂檀卻獨京珠藏廁勻崩橋當(dāng)撫百謾距左劉派砒宏考研數(shù)學(xué)D10考研基礎(chǔ)班(1)考研數(shù)學(xué)D10考研基