平面與平面平行的性質 省賽獲獎-精講版課件

2．2.3平面與平面平行的性質1．下列四個命題中，假命題是()C

A．如果平面α內有兩相交直線與平面β內的兩條相交直線對應平行，則α∥β

B．平行于同一平面的兩個平面平行 C．如果平面α內有無數條直線都與平面β平行，則α∥β

D．如果平面α內任意一條直線都與平面β平行，則α∥β2．若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則在β內過點B的所有直線中()DA．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數多條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線3．下列命題中，真命題的個數是()D

①如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面；②如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面沒有公共點；③兩個平面平行等價于一個平面內的任意一條直線與另一個平面沒有公共點．A．0個B．1個C．2個D．3個4．下列命題中，真命題的個數是()C

①如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面內存在直線a、b，使a∥b；②如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；③如果兩個平面平行，那么第一個平面內的直線與第二個平面內的直線平行．

B．1個D．3個A．0個C．2個解析：①、②真，③假．重點面面平行的性質定理

1．面面平行的性質(1)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．用符號語言表示為：α∥β，γ∩α

＝a，γ∩β＝b?a∥b.如圖1. 圖1

2．面面平行的性質(2)：α∥β，l?α?l∥β.

特別注意：本定理既是面面平行的性質定理，也是線面平行的判定定理，因此證明線面平行，也可借助于面面平行．難點面面平行的判定及性質中的關系轉換

利用兩個平行平面的性質解題時，要注意常把面面平行的問題轉化成線面平行或線線平行的問題． (1)兩個平面平行，可得其中一平面內的任一直線平行于另一個平面，此性質定理可簡記為：面面平行，則線面平行； (2)兩個平面平行，可得兩個平面與第三個平面相交，它們的交線平行，而不是兩個平面內的任意兩條直線平行，此性質定理可簡記為：面面平行，則線線平行．面面平行的性質定理的應用例1：如圖

2，正方體ABCD－A1B1C1D1

中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF， 求證：EF∥平面BB1C1C.圖2＝＝證法一：連接AF并延長交BC于M，連接B1M，∵AD∥BC，∴AFD∽MFB，∴

AFFMDFBF.又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.∴

AFAEFMB1E，∴EF∥B1M，B1M?平面BB1C1C.∴EF∥平面BB1C1C.證法二：作FH∥AD交AB于H，連接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC?BB1C1C.＝∴FH∥平面BB1C1C.由FH∥AD可得BFBDBH

.

BA

∴EH∥B1B，B1B?平面BB1C1C.

∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H.

∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF?平面FHE.

∴EF∥平面BB1C1C.證法一為了證線面平行，先證線線平行．證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內．

1－1.已知平面α∥平面β，P是α、β外一點，過P點的兩條直線分別交α于A、B，交β于C、D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長為_______.20或4圖3證明：連接BC.取BC的中點E，分別連接ME、NE，則ME∥AC，∴ME∥α.同理：NE∥BD，∴NE∥β.又ME∩NE＝E，∴平面MEN∥平面α.∵MN?平面MEN，∴MN∥α.

面面平行的判定定理與性質定理的綜合應用 例2：如圖3，設平面α∥平面β，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C∈α，B、D∈β.求證：MN∥α.將空間問題轉化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關鍵在于選擇或添加適當的平面或線，并抓住一些平面圖形的幾何性質，如比例線段等．此題通過巧作輔助線，得到所作平面與底面平行，由性質α

∥β，l?α?l∥β易得線面平行，進而轉化為面面平行，突出了平行問題中的轉化思想．圖4證明：如圖20，作EP⊥BB1

于P，連接PF.在正三棱柱ABC

－A1B1C1

的側面ABB1A1

中，易知A1B1⊥BB1，2－1.如圖4，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G是側面對角線上的點，且BE＝CF＝AG.求證：平面EFG∥平面ABC.圖20＝又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且

BEBP

.A1BBB1∴PF∥BC，則PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF?平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理：GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.利用面面平行證線面平行

例3：已知：有公共邊AB的兩個正方形ABCD和ABEF不在同一平面內，P、Q分別是對角線AE、BD上的點，且AP＝DQ，求證：PQ∥平面CBE.＝證法一：如圖(1)，連接AQ并延長交BC于G，連接EG，則AQQGDQ

.QB∵AP＝DQ,PE＝BQ，∴AQQG＝APPE.∴PQ∥EG，

又PQ平面BCE，EG?面BCE，

∴PQ∥面BCE.

?證法二：如圖(2)，分別過P、Q作PK∥AB，

QH∥AB，則PK∥QH，

連接KH，則PKAB＝PEAE，QHCD＝BQBD.

∵CD＝AB，AE＝BD，PE＝BQ，

∴PK＝QH，

∴PQHK是平行四邊形．∴PQ∥KH，又PQ?平面BCE，KH?面BCE，∴PQ∥面BCE.證法三：如圖(3)，過P作PO∥EB，連接OQ，則OQ∥AD∥BC，面POQ∥面BEC，又PQ?平面BCE，故PQ∥面BEC.證明線面平行，關鍵是在平面內找到一條直線與已知直線平行，證法一是作三角形得到的；證法二是通過作平行四邊形得到在平面內的一條直線KH；證法三利用了面面平行的性質定理．證法一：如圖21，連接EF、AC，AC∩BD＝G，圖21顯然四邊形EFAG為平行四邊形，又AF?平面BDE，EG?平面BDE，∴AF∥平面BDE.證法二：取A1B1中點G，連接AG、FG，證明平面AFG∥平面BDE即可．3－1.如圖6，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，點