數(shù)列的概念與簡單表示法 一等獎(jiǎng)-精講版課件

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)的意義．了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，理解an與Sn之間的關(guān)系．2．理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題．考點(diǎn)搜索●數(shù)列的概念●數(shù)列通項(xiàng)公式的求解方法●用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列高考猜想以遞推數(shù)列、新情境下的數(shù)列為載體，重點(diǎn)考查數(shù)列的通項(xiàng)及性質(zhì)，是近年來高考的熱點(diǎn)，也是考題難點(diǎn)之所在.一、數(shù)列的定義1.按

排成的一列數(shù)叫做數(shù)列，其一般形式為a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.2.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊性表現(xiàn)在它的定義域是正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集，因此它的圖象是

.一定順序一群孤立的點(diǎn)二、數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個(gè)公式an=f(n)來表示，我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、數(shù)列的分類1.按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無限來分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2.按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.四、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系：1.Sn=

(用an表示).2.an=

(用Sn表示).Sn(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)a1+a2+a3+…+an1.已知數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式分別是：an=an+2,bn=bn+1(a,b是常數(shù))，且a>b.那么兩個(gè)數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無窮多個(gè)an=bnan+2=bn+1(a-b)n=-1.由于a>b，n∈N*.所以(a-b)n=-1無解.故選A.A2.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，則a5等于()A.B.C.4D.5a1=1，a2=3，an=an-1+(n≥3)A3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5<ak<8，則k等于()A.9B.8C.7D.6因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n,所以，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-10;當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=-8,滿足上式，故an=2n-10(n∈N*).故選B.1．下列說法正確的是()(A)數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}(B)數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列(C)數(shù)列{}的第k項(xiàng)為1＋(D)數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}【解析】選C.由數(shù)列的定義可知A、B錯(cuò)誤；數(shù)列{}的第k項(xiàng)為＝1＋，故C正確；數(shù)列0,2,4,6，…的通項(xiàng)公式為an＝2n－2，故D錯(cuò)．2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，則a5＝()(A)108(B)(C)161(D)【解析】選D.a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝.3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，則an＝()(A)2＋lnn

(B)2＋(n－1)lnn(C)2＋nlnn(D)1＋n＋lnn【解析】選A.因?yàn)閍n+1＝an＋ln(1＋)，從而有an＝an-1＋lnan-1＝an-2＋lna2＝a1＋ln2累加得an+1＝a1＋ln(·

·

·…·)＝2＋ln(n＋1)，∴an＝2＋lnn，故應(yīng)選A.4.數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝an＋2n，則{an}的通項(xiàng)公式an＝_______.【解析】由已知，an+1－an＝2n，故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．答案:n(n－1)5．?dāng)?shù)列，，，，…中，有序數(shù)對(a，b)是_______．【解析】由前4項(xiàng)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，各項(xiàng)分子的被開方數(shù)與分母之差成等差數(shù)列，所以，解得.答案：(,-)題型1：根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式1.寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：(1)，-，，-；(2)0,1,0,1；(3)-，-(-)，-，-(-)．點(diǎn)評：根據(jù)有限的幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的變化規(guī)律，然后歸納成項(xiàng)an與n的函數(shù)關(guān)系式．但這只是不完全歸納，其結(jié)論可能不準(zhǔn)確．寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an=2n+1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an=.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式含因子(-1)n；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2-1，偶數(shù)項(xiàng)為2+1，所以an=(-1)n.也可寫為(4)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式必含因子(-1)n+1；觀察各項(xiàng)絕對值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成，而分子則是32+1,42+1,52+1,62+1，按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫為，-，所以an=(-1)n+1.(5)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，，，,….分母都是3，而分子分別是10-1,102-1,103-1,104-1，…，所以an=(10n-1)．

題型2：運(yùn)用an與Sn的關(guān)系解題2.(原創(chuàng))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，分別在下列條件下求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)an+Sn=2；(2)(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1+a1=2，解得a1=1.當(dāng)n≥2時(shí)，由an+Sn=2，得an-1+Sn-1=2.此兩式相減得2an-an-1=0，即所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，即由于n=1時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是

(n∈N*).(2)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，所以Sn-Sn-1=Sn·Sn-1，所以所以數(shù)列為等差數(shù)列.所以，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1所以an=

(n∈N*，且n≥2).設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，分別在下列條件下求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)Sn=3n-2;(2)Sn=n2+2n.(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n-1-2)=2·3n-1.由于a1=1不適合上式，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1(n=1)2·3n-1(n∈N*，且n≥2).(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.因?yàn)閍1=3滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1(n∈N*).【點(diǎn)評】：由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn得an的關(guān)系是：an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n∈N*，且n≥2).一般分n=1與n≥2進(jìn)行討論，如果n=1時(shí)的通項(xiàng)公式也符合n≥2的式子，則可以合并成一個(gè)通項(xiàng)公式，如果不能合并，則按分段形式寫結(jié)論.3.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.依題意得a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n/3，①a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=

(n≥2)，②由①-②得所以驗(yàn)證n=1時(shí)也滿足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(n∈N*).數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=n2·an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=n2·an.所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，所以所以由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式【例3】(1)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=(1+)an+，設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=(n+1)an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．3【自主解答】(1)由已知可得b1=a1=1，且，即bn+1=bn+，從而有bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+++…+=2-(n≥2)，又因?yàn)閎1=a1=1，故所求的通項(xiàng)公式為bn=2-.(2)∵an+1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.∴＝n，＝n－1，＝3，＝2，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1＝n！.故an＝n！.【規(guī)律方法】由a1和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般常利用“累加法”、“累乘法”等.(1)已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右兩邊分別相加，代入a1得an.(2)已知a1且=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，即=f(n),=f(n-1),…,=f(3),=f(2)，所有等式左右兩邊分別相乘，代入a1得an.【變式訓(xùn)練】分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*)(2)a1=1,an=an-1(n≥2,n∈N*)【解析】(1)an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(n-1)2.(2)n≥2,n∈N*時(shí)，an=a1×××…×=1×××…×××=n,所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n.1.根據(jù)數(shù)列的前面幾項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵在于找出這些項(xiàng)(a1，a2，a3，…)與項(xiàng)數(shù)(1，2，3，…)之間的關(guān)系，常用方法有觀察法、逐項(xiàng)法、轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等.2.利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)是一個(gè)重要內(nèi)容，應(yīng)注意Sn與an間關(guān)系的靈活運(yùn)用，同時(shí)要注意a1并不一定能統(tǒng)一到an中去.3.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解此類題型的方法一般是將已知的遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差或等比數(shù)列)的方法求通項(xiàng)公式.4.數(shù)列中有兩個(gè)重要變形，在適當(dāng)條件下，注意使用：(1)an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1);(2)1．(2011·福州模擬)把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖)．則第7個(gè)三角形數(shù)是()(A)27(B)28(C)29(D)30【解題提示】觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算即可.【解析】選B.根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28．2.(2010·陜西高考)對于數(shù)列｛an｝，“an+1>|an|(n=1，2…)”是“｛an｝為遞增數(shù)列”的()(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解題提示】解決本題的關(guān)鍵是處理絕對值問題，證明充分性時(shí)可以把原式中的|an|轉(zhuǎn)化為|an|≥an處理，證明必要性時(shí)可以考慮特值處理.【解析】選B.當(dāng)an+1>|an|(n=1,2,…)時(shí)，∵|an|≥an，∴an+1>an，∴{an}為遞增數(shù)列.當(dāng){an}為遞增數(shù)列時(shí)，若該數(shù)列為-2,0,1，則由a2>|a1|不成立，即知：an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立.綜上知，“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.3．(2011·蘇州模擬)數(shù)列{an}中，an=-2n2+29n+3，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是()(A)103(B)108(C)103(D)108【解析】選D.根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：an=-2n2+29n+3=-2(n2-n)+3=-2(n-)2+3+.∴n=7時(shí)，an=108為最大值．4．(2011·海淀模擬)已知數(shù)列A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性質(zhì)P：對任意i，j(1≤i≤j≤n),aj+ai與aj-ai兩數(shù)中至少有一個(gè)是該數(shù)列中的一項(xiàng)．現(xiàn)給出以下四個(gè)命題：①數(shù)列0,1,3具有性質(zhì)P；②數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P；③若數(shù)列A具有性質(zhì)P，則a1=0；④若數(shù)列a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性質(zhì)P，則a1+a3=2a2．其中真命題有()(A)4個(gè)(B)3個(gè)(C)2個(gè)(D)1個(gè)【解題提示】解決本題的關(guān)鍵是正確理解性質(zhì)P，然后抓住性質(zhì)P的特點(diǎn)進(jìn)行代入驗(yàn)證.【解析】選B.①∵1+3=4,1-3=-2，都不在數(shù)列中，∴數(shù)列0,1,3不具有性質(zhì)P；②容易驗(yàn)證數(shù)列0,2,4,6具有性質(zhì)P；③取i=j=n，則aj-ai=0在數(shù)列中，而數(shù)列中最小的數(shù)a1≥0，因此a1=0；④由對③的分析可知，a1=0．由于a2>a1=0，a3+a2>a3不在數(shù)列中，因此a3-a2必然在數(shù)列中．又a3>a2，故a3-a2>0=a1，于是a3-a2=a2，∴a1+a3=2a2成立．5．(2011·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}中，a1=，an+1=1-(n≥2)，則a16=_______．【解析】由題可知a2=1-=-1，a3=1-=2，a4=1-=，∴此數(shù)列為循環(huán)數(shù)列，a1=a4=a7=a10=a13=a16=．答案：

【例】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n，n∈N*.(1)設(shè)bn=Sn-3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若an+1≥an，n∈N*,求a的取值范圍.【審題指導(dǎo)】(1)根據(jù)題目中的已知的關(guān)系式進(jìn)行整理找到Sn+1-3n+1與Sn-3n的關(guān)系，從而求得bn的通項(xiàng)公式.(2)根據(jù)bn的通項(xiàng)公式求得Sn，從而求得an，根據(jù)已知即可求得a的取值范圍.【規(guī)范解答】(1)依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即:Sn+1=2Sn+3n，由此得:Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).即:bn+1=2bn,又b1=S1-3=a-3,因此，所求通項(xiàng)公式為bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.①(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2·［12·()n-2+a-3］,當(dāng)n≥2時(shí)，an+1≥an?12·()n-2+a-3≥0?a≥-9.又a2=a1+3＞a1綜上，所求的a的取值范圍是［-9,+∞).答案

C

答案

an＝4n－21.(2010年湖州模擬)已知數(shù)列2011,2012,1，－2011，－2012，…，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2012項(xiàng)之和S2012等