Lyapunov理論基礎課件

第二章Lyapunov理論基礎

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關心的首要問題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處開始運動，且該系統(tǒng)以后將永遠保持在此點附近運動，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。

例如：單擺，飛行器李雅普諾夫的著作《動態(tài)穩(wěn)定性的一般問題》，并于1892年首次發(fā)表。1.線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質得出非線性系統(tǒng)在一個平衡點附近的局部穩(wěn)定性的結論。2.直接法：不限于局部運動，它通過為系統(tǒng)構造一個“類能量”標量函數并檢查該標量函數的時變性來確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質。

第二章Lyapunov理論基礎穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關心的首要1§2.1穩(wěn)定性概念幾個簡化記法：令表示狀態(tài)空間中由定義的球形區(qū)域，表示由定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性

定義：如果對于任何，存在，使得對于所有的，如果，就有，則稱平衡點是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點是不穩(wěn)定的。

或者：對于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。

§2.1穩(wěn)定性概念幾個簡化記法：令表示狀態(tài)空間中由2圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對于范德堡方程轉換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點處有一個平衡點。并且是不穩(wěn)定的。圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性轉換成3從任何一個非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的為足夠小，使得半徑為的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內，那么在靠近原點處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個圓,因此原點是不穩(wěn)定的。從任何一個非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個極限環(huán)。42、漸近穩(wěn)定性與指數穩(wěn)定性

在許多工程應用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個平衡點0是穩(wěn)定的，而且存在某一，使得，當時，，那么稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。

平衡點的吸引范圍是指：凡是起始于某些點的軌線最終都收斂于原點，這些點組成的最大集合所對應的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖）2、漸近穩(wěn)定性與指數穩(wěn)定性在許多工程應用中，僅有穩(wěn)定性是不5定義：如果存在兩個嚴格正數和，使得圍繞原點的某個球內，那么稱平衡點0是指數穩(wěn)定的。也就是說，一個指數穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數函數的速度收斂于原點，通常稱正數為指數收斂速度。指數收斂性的定義在任何時候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。

把正常數寫成后，不難看到，經過時間后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的，與線性系統(tǒng)中的時間常數相似。定義：如果存在兩個嚴格正數和，使得圍繞原點的某6例1：系統(tǒng)它的解是：以速度指數收斂于。例2：系統(tǒng)它的解為，是個慢于任何指數函數的函數。

3、局部與全部穩(wěn)定性

定義：如果漸近（或指數）穩(wěn)定對于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說平衡點是大范圍漸近（或指數）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數）穩(wěn)定的。例1：系統(tǒng)7§2.2線性化和局部穩(wěn)定性

李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關。Lyapunou線性化方法說明：在實際中使用線性控制方法基本上是合理的。對于自治非線性系統(tǒng)，如果是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動態(tài)特性可以寫成()：用表示在處關于的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點0處的線性化結果為：

§2.2線性化和局部穩(wěn)定性李雅普諾夫線性化方法與非線性系8對于一個具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：有：對于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結論。例2.2考慮系統(tǒng)在處線性化。線性化結果：對于一個具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：線性化結果：9定理：（李雅普諾夫線性化方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都嚴格在左半復平面內），那么平衡點是漸近穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）；2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果的所有特征值至少有一個嚴格在右半復平面內），那么平衡點是不穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）；3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都在左半復平面內，但至少有一個在軸上），那么不能從線性近似中得出任何結論（其平衡點對于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）。定理：（李雅普諾夫線性化方法）10例：對于一階系統(tǒng)

原點是這個系統(tǒng)的兩平衡點之一。這個系統(tǒng)在原點附近的線性化是：應用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質：（1）

漸近穩(wěn)定；（2）不穩(wěn)定；（3）不能從線性化說明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時線性化方法不能用來判斷它的穩(wěn)定性。

例：對于一階系統(tǒng)11例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。式中為單擺長度，為單擺質量，為鉸鏈的摩擦系數，是重力常數。(系統(tǒng)的平衡點是什么？)

在的鄰域內設，那么系統(tǒng)在平衡點附近的線性化結果是因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點也是不穩(wěn)定的。例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。12

李雅普諾夫線性化定理說明

線性控制設計存在一致性問題，人們必須設計控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說明了線性設計的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？

李雅普諾夫線性化定理說明13§2.3李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法的基本原理是對于下述基本物理現象的數學上的擴展：如果一個機械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗的，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個平衡點。非線性質量—阻尼器—彈簧系統(tǒng)，動態(tài)方程是

整個機械系統(tǒng)的能量是它的動能和勢能之和§2.3李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法的基本原理是14建立了能量與穩(wěn)定性的關系。穩(wěn)定性與機械能的變化有關李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復雜系統(tǒng)的基礎上。一、正定函數和李雅普諾夫函數

定義：一個標量連續(xù)函數，如果，而且在一個球內那么稱函數為局部正定的。建立了能量與穩(wěn)定性的關系。穩(wěn)定性與機械能的變化有關15

局部正定函數的幾何意義：對于具有兩個狀態(tài)變量和的正定函數，在三維空間中畫出，它典型地對應于一只看起來象向上的杯子的曲面，杯子的最低點位于原點。同樣可以定義：負定、半正定、半負定等一些概念。局部正定函數的幾何意義：對于具有兩個狀態(tài)變量和16定義：如果一個球域內，函數為正定的且具有連續(xù)偏導數，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時間導數是半負定的，即那么稱為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數。定義：如果一個球域內，函數為正定的17

幾何解釋：表示值的點總是指向杯底，或指向越來越小的值等高線。二、平衡點定理李雅普諾夫直接法的幾個定理建立起李雅普諾夫函數與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關系。1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域內，存在一個標量函數，它具有連續(xù)的一階偏導數，使得：（1）為正定（局部地）；（2）為半負定（局部地）。那么平衡點0是穩(wěn)定的。如果實際上導數在域內局部負定，那么穩(wěn)定性是漸近的。幾何解釋：表示值的點總是指向杯底，或指向越來越18例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點的局部穩(wěn)定性。考察下列標量函數：它的時間導數可以得出原點是穩(wěn)定的平衡點的結論。不能得到關于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結論，因為僅僅半負定。例：局部穩(wěn)定性19例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點為平衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數它沿任何系統(tǒng)軌線的導數是這樣，在二維球域里（即在由定義的區(qū)域里）就是局部負定的。因此，根據上面的定理，原點是漸近穩(wěn)定的。

例：研究非線性系統(tǒng)202、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理為了斷定一個系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將擴展為整個狀態(tài)空間；還有必須是徑向無界的，即（換句話說，當從任何方向趨向無窮遠時），。定理（全局穩(wěn)定性）：假設存在狀態(tài)的某個具有連續(xù)一階導數的標量函數，使得：（1）是正定的，（2）為負定的，（3）當時，。那么平衡點0是全局漸近穩(wěn)定的。2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理21徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面）對應于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使狀態(tài)保持穿過對應于越來越小的的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點漂移。例如，對于正定函數當時，曲線是開曲線。下圖說明狀態(tài)向“能量”越來越低的曲線移動時的發(fā)散現象。徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值22例：一階非線性系統(tǒng)式中，是任何一個與它的標量自變量有相同符號的連續(xù)函數，即選李雅普諾夫函數為當時，趨向于無窮，它函數是徑向無界。它的導數是是一個全局漸近穩(wěn)定的平衡點。對于例：一階非線性系統(tǒng)對于23例：考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點是這個系統(tǒng)的平衡點，設是正定函數沿任何系統(tǒng)軌跡的導數是它是負定的。因此，原點是全局漸近穩(wěn)定平衡點。例：考慮系統(tǒng)它是負定的。因此，原點是全局漸近穩(wěn)定平衡點。243、注釋

對于同一個系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數。例如，如果是一個李雅普諾夫函數，那么下面的也是李雅普諾夫函數：此處是任意嚴格正常數，是任何大于1的標量。與的正定，負定和徑向無界的特性是一致的。注意：對于一個給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數可能比其它的李雅普諾夫函數產生更精確的結果。對具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數3、注釋25它的導數為是局部負定的。雖然修正過的沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個平衡點，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。

它的導數為作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個平衡點，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)26三、不變集定理

定理的中心概念是不變集的概念。

定義：如果每條起始于集合中某點的系統(tǒng)軌線在任何未來時間里都保持在該集合內，那么該集合稱為動態(tài)系統(tǒng)的一個不變集。1、局部不變集定理不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數必須逐漸減小至0（即必須收斂于0），因為是有下界的。定理（局部不變集定理）：對自治系統(tǒng)，是連續(xù)的，而且令為具有連續(xù)偏導數的標量函數，假設：（1）對于某個，由定義的區(qū)域是有界的；（2）對所有中的，。

三、不變集定理27

令為中的所有的點的集合，而為中最大的不變集；那么，當時起始于內的每一個解趨向于。

例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點為平衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數

沿任何系統(tǒng)軌跡的導數是令為中的所有的點的集合，而28對于，由定義的區(qū)域是有界的。集合只是原點0，它是一個不變集（因為它是一個平衡點）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個圓內的軌線都收斂于原點。這樣，根據不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。對于，由29例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)

由定義的集合是不變的，因為在該集合中為0。在不變集的運動由下面方程之一等價地描述因此，可以看到不變集實際上代表一個極限環(huán)。例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)30判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個侯選李雅普諾夫函數它表示到極限環(huán)的距離的量度?？捎貌蛔兗ɡ砼袛嗍諗啃?。這樣是嚴格負的。除了在情況下，集合就是由它們的并集組成。假如取，原點不屬于，現在的集合正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進穩(wěn)定性；同時意味著原點處的平衡點是不穩(wěn)定的。判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個侯選李雅普諾夫函數這樣31推論：對是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個具有連續(xù)偏導數的標量函數，假設在原點的某一鄰域內，有：（1）是局部正定的；（2）是半負定的；（3）由定義的集合不包含除平凡軌跡之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點0是漸近穩(wěn)定的。而且，在內形式為（由定義）的最大連通域是這個平衡點的一個吸引范圍。推論：對是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個32

內的最大不變集就只包含平衡點0。注意下列各點：a、上述推論用為半負定的條件，以及關于內軌線的第三個條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負定條件。b、在內的最大連通域是平衡點的一個吸引范圍，但不一定是整個吸引范圍，因為函數不是唯一的。c、集合本身不一定是一個吸引范圍。實際上，上面的推論不保證是不變的，某些起始于內但在之外的軌線，實際上可能終止于之外。

2、全局不變集定理把所涉及的區(qū)域擴大到整個空間并要求標量具有徑向無界性，可對上述定理進行推廣。（略）

內的最大不變集就只包含平衡點0。注意下列各點：33例：對具有下面形式的一個二階系統(tǒng)：其中，和是滿足下面符號條件的連續(xù)函數：對于對于分析其在原點的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數為：可以把它看成系統(tǒng)的動能和勢能之和。

例：對具有下面形式的一個二階系統(tǒng)：34根據假設，僅當時。意味著只要，它就不等于0。系統(tǒng)不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不變集只包含一個點，即。應用局部不變集定理表明原點是一個局部漸近穩(wěn)定點。如果積分當時徑向無界，是徑向無界的。原點全局漸進穩(wěn)定。根據假設，僅當時35§2.4基于Lyapunov函數直接法的系統(tǒng)分析

如何尋找一個Lyapunov函數？不存在尋找Lyapunov函數的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點。對于具體問題人們根據經驗、直覺和對系統(tǒng)的具體理解去尋找一個合適的Lyapunov函數。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數可以用系統(tǒng)的方法找到的；對于一個給定的非線性系統(tǒng)有很多數學方法可以幫助尋找Lyapunov函數。最強有力、最巧妙的方法是通過對系統(tǒng)的理解來尋找Lyapunov函數?！?.4基于Lyapunov函數直接法的系統(tǒng)分析如36一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析

Lyapunov函數象“能量”一樣是可以疊加的。1、對稱、斜對稱和正定矩陣

方陣的對稱性：方陣的斜對稱性：任何一個方陣表示為一個對稱陣和斜對稱陣的和：與斜對稱陣相聯系的二次函數總是0，根據定義有：

一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析Lyapunov函數37

在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經常使用形式的二次函數作為侯選李雅普諾夫函數，總是可以假定是對稱的。正定矩陣定義：一個方陣，如果那么該方陣是正定的。每個正定矩陣都與一個正定函數相聯系。一個方陣為正定的必要條件是：它的對角元素是嚴格正的。一個對稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴格正的。一個正定矩陣總是可逆的。一個正定矩陣總可以被分解為在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經常使用形式的二次函38證明：（1）（2）（3）

同樣可以定義矩陣半正定，負定和半負定的概念。對于一個時變矩陣，如果則稱是一致正定的。

證明：392、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數

給定一個線性系統(tǒng)為，考察侯選Lyapunov函數：其中，為一給定的對稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得式中，，該式稱為Lyapunov方程。有效的解法是：

（1）選擇一個正定矩陣；

（2）從Lyapunov方程求解矩陣；

（3）檢查是否正定。2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數40定理：線性定常系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定的充要條件是，對于任何對稱正定矩陣，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣是對稱正定的（證明略）。的一個簡單選擇是單位矩陣。例：分析一個二階系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定的充要條件是，對于41二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數的一種簡單形式，即，這種方法的基本思想很簡單，就是檢查這個具體選擇的函數是否確實能成為一個Lyapunov函數。

定理：對自治系統(tǒng)，對平衡點原點，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：對自治系42

如果矩陣在原點的一個鄰域上是負定的，那么原點是一個漸近穩(wěn)定的平衡點。這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數是如果為整個狀態(tài)空間，而且當時，，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

例：非線性系統(tǒng)

判斷原點平衡點的穩(wěn)定性。

有：矩陣是負定的。如果矩陣在原點的一個鄰域上是負定43上述定理的應用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負定的條件。定理（廣義Krasovskii定理）：對自治系統(tǒng)，對平衡點原點，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個對稱正定矩陣和，使得，矩陣在原點的某一鄰域內是半負定的。且函數就是這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數。如果為整個狀態(tài)空間，而且當時有，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

上述定理的應用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負定的44三、變量梯度法

變量梯度法是構造Lyapunov函數的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數的梯度具有某種形式，然后通過積分這個假定的梯度來求得Lyapunov函數本身。對于低階系統(tǒng)，這種方法有時會成功地找到Lyapunov函數。

有一個標量函數，可以通過積分關系使的它與其梯度聯系起來：其中。為了從梯度找到唯一的標量函數，該梯度函數必須滿足所謂旋轉條件：三、變量梯度法變量梯度法是構造Lyapunov函數的一45其中第個分量就是方向導數。變量梯度法原理就是假定梯度具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數本身。其中一種簡單的假定就是梯度函數具有某種形式：

式中為待定系數。這樣，尋找Lyapunov函數的過程如下：

（1）假定是由上式給出的形式（或另外的形式）；（2）求解系數，以滿足旋轉方程；（3）限制上式中的系數，使的是半負定的（至少是局部半負定的）

其中第個分量就是方向導數。46（4）通過積分，由計算；

（5）檢查是否正定。

因為滿足旋轉條件意味著上述積分結果與積分路徑無關，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進行積分，來求通常是方便的，即例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個李雅普諾夫函數。

（4）通過積分，由計算；47假定待定的李雅普諾夫函數的梯度具有下面這種形式旋轉方程是：如果選取系數：則：那么，可算出為：

假定待定的李雅普諾夫函數的梯度具有下面這種形式48這樣，在區(qū)域上是局部負定的，而函數則為它確實是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并不是通過變量梯度法能夠獲得的唯一的Lyapunov函數。例如?。旱玫秸ê瘮担核膶凳牵喝菀鬃C明，是一個局部負定的函數，因此，這表示系統(tǒng)的另一個Lyapunov函數。這樣，在區(qū)域上是局部負定的，而函數則49四、根據物理意義誘導產生李雅普諾夫函數

數學方法，對簡單的系統(tǒng)有效，對于復雜的系統(tǒng)方程往往作用甚微。如果系統(tǒng)的工程含義和物理性質被適當的發(fā)掘，那么一種精巧的和強有力的李雅普諾夫分析方法可能適用于非常復雜的系統(tǒng)。五、性能分析

李雅普諾夫函數能夠進一步估計穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。1、一個簡單的收斂性引理

引理：如果一個實函數滿足不等式

式中為一實數，那么

四、根據物理意義誘導產生李雅普諾夫函數數學方法，對簡單50上述引理說明，如果是一個非負函數，滿足就能保證指數收斂到零。應用李雅普諾夫直接法進行穩(wěn)定性分析時，可以把處理成

的形式，可以推導出的指數收斂性和收斂速度。進而狀態(tài)的指數收斂速率也可以確定。上述引理說明，如果是一個非負函數，滿足512、估計線性系統(tǒng)的收斂速度線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數為：由矩陣理論表明：有：因此有：2、估計線性系統(tǒng)的收斂速度52根據引理有：這說明，狀態(tài)至少以的速度收斂于原點。

3、估計非線性系統(tǒng)的收斂速度

對的表達式進行運算以獲得的一個明顯估計。例：對非線性系統(tǒng)

根據引理有：53候選的Lyapunov函數：求這個方程的解，有：其中：，如果，有這意味著狀態(tài)向量的范數已1的速率按指數收斂于零。反之結果會如何？有限時間趨于無限。候選的Lyapunov函數：54§2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設計

第一種方法：假設控制律的一種形式，然后找到一個李雅普諾夫函數來判斷所選定的控制律能否導致系統(tǒng)穩(wěn)定。第二種方法：假設一個候選的李雅普諾夫函數，然后找到一個控制律以使得這個候選函數成為真正的李雅普諾夫函數。例：控制系統(tǒng)的設計把系統(tǒng)的狀態(tài)控制到原點選擇控制規(guī)律§2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設計第一種方法：假設控制55一、模型參考控制系統(tǒng)假設對象的狀態(tài)方程為：系統(tǒng)結構框圖：

也就是，即使在動態(tài)系統(tǒng)中出現某些不確定性的情況下，局部穩(wěn)定的控制器。參照前面的例題：二階動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。一、模型參考控制系統(tǒng)也就是，即使在動態(tài)系統(tǒng)中出現某些不確定56參考模型為：誤差向量為：誤差向量的微分方程：現在設計一個控制器，使得在穩(wěn)態(tài)時對誤差微分方程給出的系統(tǒng)構造一個Lyapunov函數：

參考模型為：57如果：1、是一個負定矩陣；2、設計控制向量使得為非正值。平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的（滿足徑向無界）。

例子：考慮由下式描述的非線性時變系統(tǒng)：式中，是時變參數，為正常數。設參考模型的方程為：

如果：58設計一個非線性控制器，使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地工作。定義令誤差向量為：Lyapunov函數的形式為：式中為正定的實對稱矩陣。選擇矩陣：

有：設計一個非線性控制器，使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定地工作。59選?。菏街校簞t：

采用這個控制規(guī)律，平衡點是大范圍漸近穩(wěn)定的。瞬態(tài)響應收斂的速度取決于矩陣。二、基于Lyapunov直接法的二次型最優(yōu)控制建立Lyapunov函數與二次型性能指標之間的直接關系式，用Lyapunov方法來解最優(yōu)化問題。設系統(tǒng)為：選取：60矩陣為穩(wěn)定矩陣，其中包括一個（或幾個）可調參數，使下列性能指標達到極小。式中為正定的實對稱矩陣。利用Lyapunov函數解決該問題：可由確定的各元素。矩陣為穩(wěn)定矩陣，其中包括一個（或幾個）可調參數，使下列61性能指標：由于矩陣為穩(wěn)定矩陣，可得

有：因而性能指標可依據初始條件和求得。例：對下圖所示的系統(tǒng)，確定阻尼比的值，使得系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，性能指標達到極小。

性能指標：62有：定義狀態(tài)變量：則狀態(tài)方程為：性能指標可寫為：

有：63的極值為：下面求解使性能指標取極小的參數值。結論為：

的極值為：64例：其中，和是可量測的狀態(tài)，和是已知的正常數。跟蹤控制的目標就是跟蹤它的期望值可能的控制器設計方案之一：表示正的控制增益，定義為：定理：上述的控制器能在下式意義下，提供一個全局穩(wěn)定的跟蹤。作業(yè)1：證明這個定理。例：作業(yè)1：證明這個定理。65作業(yè)提示：（1）取Lyapunov函數（2）求導數（3）得出（4）積分（5）求解

作業(yè)提示：66第二章Lyapunov理論基礎

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關心的首要問題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個系統(tǒng)在靠近其期望工作點的某處開始運動，且該系統(tǒng)以后將永遠保持在此點附近運動，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。

例如：單擺，飛行器李雅普諾夫的著作《動態(tài)穩(wěn)定性的一般問題》，并于1892年首次發(fā)表。1.線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質得出非線性系統(tǒng)在一個平衡點附近的局部穩(wěn)定性的結論。2.直接法：不限于局部運動，它通過為系統(tǒng)構造一個“類能量”標量函數并檢查該標量函數的時變性來確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質。

第二章Lyapunov理論基礎穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關心的首要67§2.1穩(wěn)定性概念幾個簡化記法：令表示狀態(tài)空間中由定義的球形區(qū)域，表示由定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性

定義：如果對于任何，存在，使得對于所有的，如果，就有，則稱平衡點是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點是不穩(wěn)定的。

或者：對于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。

§2.1穩(wěn)定性概念幾個簡化記法：令表示狀態(tài)空間中由68圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對于范德堡方程轉換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點處有一個平衡點。并且是不穩(wěn)定的。圖2-1穩(wěn)定性概念例2.1范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性轉換成69從任何一個非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的為足夠小，使得半徑為的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內，那么在靠近原點處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個圓,因此原點是不穩(wěn)定的。從任何一個非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個極限環(huán)。702、漸近穩(wěn)定性與指數穩(wěn)定性

在許多工程應用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個平衡點0是穩(wěn)定的，而且存在某一，使得，當時，，那么稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。

平衡點的吸引范圍是指：凡是起始于某些點的軌線最終都收斂于原點，這些點組成的最大集合所對應的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖）2、漸近穩(wěn)定性與指數穩(wěn)定性在許多工程應用中，僅有穩(wěn)定性是不71定義：如果存在兩個嚴格正數和，使得圍繞原點的某個球內，那么稱平衡點0是指數穩(wěn)定的。也就是說，一個指數穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數函數的速度收斂于原點，通常稱正數為指數收斂速度。指數收斂性的定義在任何時候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。

把正常數寫成后，不難看到，經過時間后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的，與線性系統(tǒng)中的時間常數相似。定義：如果存在兩個嚴格正數和，使得圍繞原點的某72例1：系統(tǒng)它的解是：以速度指數收斂于。例2：系統(tǒng)它的解為，是個慢于任何指數函數的函數。

3、局部與全部穩(wěn)定性

定義：如果漸近（或指數）穩(wěn)定對于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說平衡點是大范圍漸近（或指數）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數）穩(wěn)定的。例1：系統(tǒng)73§2.2線性化和局部穩(wěn)定性

李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關。Lyapunou線性化方法說明：在實際中使用線性控制方法基本上是合理的。對于自治非線性系統(tǒng)，如果是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動態(tài)特性可以寫成()：用表示在處關于的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點0處的線性化結果為：

§2.2線性化和局部穩(wěn)定性李雅普諾夫線性化方法與非線性系74對于一個具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：有：對于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結論。例2.2考慮系統(tǒng)在處線性化。線性化結果：對于一個具有控制輸入的自治非線性系統(tǒng)：線性化結果：75定理：（李雅普諾夫線性化方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都嚴格在左半復平面內），那么平衡點是漸近穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）；2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果的所有特征值至少有一個嚴格在右半復平面內），那么平衡點是不穩(wěn)定的（對實際的非線性系統(tǒng)）；3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果的所有特征值都在左半復平面內，但至少有一個在軸上），那么不能從線性近似中得出任何結論（其平衡點對于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）。定理：（李雅普諾夫線性化方法）76例：對于一階系統(tǒng)

原點是這個系統(tǒng)的兩平衡點之一。這個系統(tǒng)在原點附近的線性化是：應用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質：（1）

漸近穩(wěn)定；（2）不穩(wěn)定；（3）不能從線性化說明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時線性化方法不能用來判斷它的穩(wěn)定性。

例：對于一階系統(tǒng)77例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。式中為單擺長度，為單擺質量，為鉸鏈的摩擦系數，是重力常數。(系統(tǒng)的平衡點是什么？)

在的鄰域內設，那么系統(tǒng)在平衡點附近的線性化結果是因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點也是不穩(wěn)定的。例：證明下面單擺的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。78

李雅普諾夫線性化定理說明

線性控制設計存在一致性問題，人們必須設計控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說明了線性設計的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？

李雅普諾夫線性化定理說明79§2.3李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法的基本原理是對于下述基本物理現象的數學上的擴展：如果一個機械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗的，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個平衡點。非線性質量—阻尼器—彈簧系統(tǒng)，動態(tài)方程是

整個機械系統(tǒng)的能量是它的動能和勢能之和§2.3李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法的基本原理是80建立了能量與穩(wěn)定性的關系。穩(wěn)定性與機械能的變化有關李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復雜系統(tǒng)的基礎上。一、正定函數和李雅普諾夫函數

定義：一個標量連續(xù)函數，如果，而且在一個球內那么稱函數為局部正定的。建立了能量與穩(wěn)定性的關系。穩(wěn)定性與機械能的變化有關81

局部正定函數的幾何意義：對于具有兩個狀態(tài)變量和的正定函數，在三維空間中畫出，它典型地對應于一只看起來象向上的杯子的曲面，杯子的最低點位于原點。同樣可以定義：負定、半正定、半負定等一些概念。局部正定函數的幾何意義：對于具有兩個狀態(tài)變量和82定義：如果一個球域內，函數為正定的且具有連續(xù)偏導數，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時間導數是半負定的，即那么稱為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數。定義：如果一個球域內，函數為正定的83

幾何解釋：表示值的點總是指向杯底，或指向越來越小的值等高線。二、平衡點定理李雅普諾夫直接法的幾個定理建立起李雅普諾夫函數與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關系。1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域內，存在一個標量函數，它具有連續(xù)的一階偏導數，使得：（1）為正定（局部地）；（2）為半負定（局部地）。那么平衡點0是穩(wěn)定的。如果實際上導數在域內局部負定，那么穩(wěn)定性是漸近的。幾何解釋：表示值的點總是指向杯底，或指向越來越84例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點的局部穩(wěn)定性?？疾煜铝袠肆亢瘮担核臅r間導數可以得出原點是穩(wěn)定的平衡點的結論。不能得到關于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結論，因為僅僅半負定。例：局部穩(wěn)定性85例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點為平衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數它沿任何系統(tǒng)軌線的導數是這樣，在二維球域里（即在由定義的區(qū)域里）就是局部負定的。因此，根據上面的定理，原點是漸近穩(wěn)定的。

例：研究非線性系統(tǒng)862、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理為了斷定一個系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將擴展為整個狀態(tài)空間；還有必須是徑向無界的，即（換句話說，當從任何方向趨向無窮遠時），。定理（全局穩(wěn)定性）：假設存在狀態(tài)的某個具有連續(xù)一階導數的標量函數，使得：（1）是正定的，（2）為負定的，（3）當時，。那么平衡點0是全局漸近穩(wěn)定的。2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理87徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面）對應于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使狀態(tài)保持穿過對應于越來越小的的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點漂移。例如，對于正定函數當時，曲線是開曲線。下圖說明狀態(tài)向“能量”越來越低的曲線移動時的發(fā)散現象。徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值88例：一階非線性系統(tǒng)式中，是任何一個與它的標量自變量有相同符號的連續(xù)函數，即選李雅普諾夫函數為當時，趨向于無窮，它函數是徑向無界。它的導數是是一個全局漸近穩(wěn)定的平衡點。對于例：一階非線性系統(tǒng)對于89例：考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點是這個系統(tǒng)的平衡點，設是正定函數沿任何系統(tǒng)軌跡的導數是它是負定的。因此，原點是全局漸近穩(wěn)定平衡點。例：考慮系統(tǒng)它是負定的。因此，原點是全局漸近穩(wěn)定平衡點。903、注釋

對于同一個系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數。例如，如果是一個李雅普諾夫函數，那么下面的也是李雅普諾夫函數：此處是任意嚴格正常數，是任何大于1的標量。與的正定，負定和徑向無界的特性是一致的。注意：對于一個給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數可能比其它的李雅普諾夫函數產生更精確的結果。對具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數3、注釋91它的導數為是局部負定的。雖然修正過的沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個平衡點，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。

它的導數為作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個平衡點，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)92三、不變集定理

定理的中心概念是不變集的概念。

定義：如果每條起始于集合中某點的系統(tǒng)軌線在任何未來時間里都保持在該集合內，那么該集合稱為動態(tài)系統(tǒng)的一個不變集。1、局部不變集定理不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數必須逐漸減小至0（即必須收斂于0），因為是有下界的。定理（局部不變集定理）：對自治系統(tǒng)，是連續(xù)的，而且令為具有連續(xù)偏導數的標量函數，假設：（1）對于某個，由定義的區(qū)域是有界的；（2）對所有中的，。

三、不變集定理93

令為中的所有的點的集合，而為中最大的不變集；那么，當時起始于內的每一個解趨向于。

例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點為平衡點處附近的穩(wěn)定性。給正定函數

沿任何系統(tǒng)軌跡的導數是令為中的所有的點的集合，而94對于，由定義的區(qū)域是有界的。集合只是原點0，它是一個不變集（因為它是一個平衡點）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個圓內的軌線都收斂于原點。這樣，根據不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。對于，由95例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)

由定義的集合是不變的，因為在該集合中為0。在不變集的運動由下面方程之一等價地描述因此，可以看到不變集實際上代表一個極限環(huán)。例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng)96判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個侯選李雅普諾夫函數它表示到極限環(huán)的距離的量度。可用不變集定理判斷收斂性。這樣是嚴格負的。除了在情況下，集合就是由它們的并集組成。假如取，原點不屬于，現在的集合正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進穩(wěn)定性；同時意味著原點處的平衡點是不穩(wěn)定的。判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個侯選李雅普諾夫函數這樣97推論：對是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個具有連續(xù)偏導數的標量函數，假設在原點的某一鄰域內，有：（1）是局部正定的；（2）是半負定的；（3）由定義的集合不包含除平凡軌跡之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點0是漸近穩(wěn)定的。而且，在內形式為（由定義）的最大連通域是這個平衡點的一個吸引范圍。推論：對是連續(xù)的自治系統(tǒng)，令是一個98

內的最大不變集就只包含平衡點0。注意下列各點：a、上述推論用為半負定的條件，以及關于內軌線的第三個條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負定條件。b、在內的最大連通域是平衡點的一個吸引范圍，但不一定是整個吸引范圍，因為函數不是唯一的。c、集合本身不一定是一個吸引范圍。實際上，上面的推論不保證是不變的，某些起始于內但在之外的軌線，實際上可能終止于之外。

2、全局不變集定理把所涉及的區(qū)域擴大到整個空間并要求標量具有徑向無界性，可對上述定理進行推廣。（略）

內的最大不變集就只包含平衡點0。注意下列各點：99例：對具有下面形式的一個二階系統(tǒng)：其中，和是滿足下面符號條件的連續(xù)函數：對于對于分析其在原點的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數為：可以把它看成系統(tǒng)的動能和勢能之和。

例：對具有下面形式的一個二階系統(tǒng)：100根據假設，僅當時。意味著只要，它就不等于0。系統(tǒng)不能在之外的任何平衡值上停住。中的最大不變集只包含一個點，即。應用局部不變集定理表明原點是一個局部漸近穩(wěn)定點。如果積分當時徑向無界，是徑向無界的。原點全局漸進穩(wěn)定。根據假設，僅當時101§2.4基于Lyapunov函數直接法的系統(tǒng)分析

如何尋找一個Lyapunov函數？不存在尋找Lyapunov函數的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點。對于具體問題人們根據經驗、直覺和對系統(tǒng)的具體理解去尋找一個合適的Lyapunov函數。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數可以用系統(tǒng)的方法找到的；對于一個給定的非線性系統(tǒng)有很多數學方法可以幫助尋找Lyapunov函數。最強有力、最巧妙的方法是通過對系統(tǒng)的理解來尋找Lyapunov函數。§2.4基于Lyapunov函數直接法的系統(tǒng)分析如102一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析

Lyapunov函數象“能量”一樣是可以疊加的。1、對稱、斜對稱和正定矩陣

方陣的對稱性：方陣的斜對稱性：任何一個方陣表示為一個對稱陣和斜對稱陣的和：與斜對稱陣相聯系的二次函數總是0，根據定義有：

一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析Lyapunov函數103

在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經常使用形式的二次函數作為侯選李雅普諾夫函數，總是可以假定是對稱的。正定矩陣定義：一個方陣，如果那么該方陣是正定的。每個正定矩陣都與一個正定函數相聯系。一個方陣為正定的必要條件是：它的對角元素是嚴格正的。一個對稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴格正的。一個正定矩陣總是可逆的。一個正定矩陣總可以被分解為在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經常使用形式的二次函104證明：（1）（2）（3）

同樣可以定義矩陣半正定，負定和半負定的概念。對于一個時變矩陣，如果則稱是一致正定的。

證明：1052、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數

給定一個線性系統(tǒng)為，考察侯選Lyapunov函數：其中，為一給定的對稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得式中，，該式稱為Lyapunov方程。有效的解法是：

（1）選擇一個正定矩陣；

（2）從Lyapunov方程求解矩陣；

（3）檢查是否正定。2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數106定理：線性定常系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定的充要條件是，對于任何對稱正定矩陣，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣是對稱正定的（證明略）。的一個簡單選擇是單位矩陣。例：分析一個二階系統(tǒng)定理：線性定常系統(tǒng)嚴格穩(wěn)定的充要條件是，對于107二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法

克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數的一種簡單形式，即，這種方法的基本思想很簡單，就是檢查這個具體選擇的函數是否確實能成為一個Lyapunov函數。

定理：對自治系統(tǒng)，對平衡點原點，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法定理：對自治系108

如果矩陣在原點的一個鄰域上是負定的，那么原點是一個漸近穩(wěn)定的平衡點。這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數是如果為整個狀態(tài)空間，而且當時，，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

例：非線性系統(tǒng)

判斷原點平衡點的穩(wěn)定性。

有：矩陣是負定的。如果矩陣在原點的一個鄰域上是負定109上述定理的應用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負定的條件。定理（廣義Krasovskii定理）：對自治系統(tǒng)，對平衡點原點，令表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個對稱正定矩陣和，使得，矩陣在原點的某一鄰域內是半負定的。且函數就是這個系統(tǒng)的一個Lyapunov函數。如果為整個狀態(tài)空間，而且當時有，那么該平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

上述定理的應用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負定的110三、變量梯度法

變量梯度法是構造Lyapunov函數的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數的梯度具有某種形式，然后通過積分這個假定的梯度來求得Lyapunov函數本身。對于低階系統(tǒng)，這種方法有時會成功地找到Lyapunov函數。

有一個標量函數，可以通過積分關系使的它與其梯度聯系起來：其中。為了從梯度找到唯一的標量函數，該梯度函數必須滿足所謂旋轉條件：三、變量梯度法變量梯度法是構造Lyapunov函數的一111其中第個分量就是方向導數。變量梯度法原理就是假定梯度具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數本身。其中一種簡單的假定就是梯度函數具有某種形式：

式中為待定系數。這樣，尋找Lyapunov函數的過程如下：

（1）假定是由上式給出的形式（或另外的形式）；（2）求解系數，以滿足旋轉方程；（3）限制上式中的系數，使的是半負定的（至少是局部半負定的）

其中第個分量就是方向導數。112（4）通過積分，由計算；

（5）檢查是否正定。

因為滿足旋轉條件意味著上述積分結果與積分路徑無關，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進行積分，來求通常是方便的，即例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個李雅普諾夫函數。

（4）通過積分，由計算；113假定待定的李雅普諾夫函數的梯度具有下面這種形式旋轉方程是：如果選取系數：則：那么，可算出為：

假定待定的李雅普諾夫函數的梯度具有下面這種形式114這樣，在區(qū)域上是局部負定的，而函數則為它確實是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并