《平方差教學(xué)設(shè)計(jì)及反思》

“平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思一、教材分析：（一）教材的地位與作用。《平方差公式》是北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》七年級（下）第一章《整式的運(yùn)算》第七節(jié)的內(nèi)容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知識“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的應(yīng)用，也是后繼知識如因式分解，分式等的基礎(chǔ)，對整個教科書也起到了承上啟下的作用，在初中階段占有很重要的地位。本節(jié)課主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和平方差公式在整式乘法中的應(yīng)用。它是學(xué)生在已經(jīng)掌握單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上的拓展和再創(chuàng)造，一方面是對多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，通過乘法公式的學(xué)習(xí)可以簡化某些整式的運(yùn)算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識。（二）教學(xué)重難點(diǎn)、關(guān)鍵：1、重點(diǎn)：平方差公式的探索和應(yīng)用。2、難點(diǎn)：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確找到a,bo二、目標(biāo)分析：學(xué)生在前一節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，容易得出Q+b）（d-b）=a2_b2,但理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確運(yùn)用公式是難點(diǎn)，所以應(yīng)該進(jìn)一步開展學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力,開展有條理的思考及語言表達(dá)能力。因此我覺得本節(jié)課應(yīng)關(guān)注學(xué)生對公式的探索過程，讓學(xué)生經(jīng)歷“特例一歸納一猜測一證明”的知識發(fā)都要指出什么是a,什么是b,這個地方不應(yīng)作過多的強(qiáng)調(diào)，而應(yīng)該給他們一些時間，讓他們在今后的學(xué)習(xí)過程中自己去感悟。.在啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生的語言方面不夠準(zhǔn)確。比方，在引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)的公式結(jié)構(gòu)特征時，沒有明確說明意圖，學(xué)生不知道說什么。而我自己在解釋時，說的也不是很到位。這也是一名新教師必然面對的問題。應(yīng)抽時間充電，多看書，提高自己的內(nèi)在修養(yǎng)，豐富教學(xué)語言。.在調(diào)動學(xué)生方面有些欠缺，應(yīng)多說些鼓勵性的話，調(diào)動課堂氣氛及學(xué)生的積極性。.在以后的教學(xué)中，培養(yǎng)教育機(jī)智。碰到學(xué)生的反映超出自己的預(yù)想時，能夠靈活處理。生過程，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，數(shù)感和符號感，真正理解公式的來源、本質(zhì)和應(yīng)用。參照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求及教材的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平與數(shù)學(xué)思維特征，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：(1)知識與技能目標(biāo)：了解平方差公式的幾何背景，理解并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能利用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。(2)過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和推理能力，通過討論幾何圖形的面積，來驗(yàn)證公式,進(jìn)而感受數(shù)形結(jié)合思想。(3)情感態(tài)度目標(biāo)：讓學(xué)生在合作探究學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)成功的喜悅；在感悟數(shù)學(xué)美的同時激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和信心；開展學(xué)生的符號感和有條理推理的能力。三、教學(xué)過程：(一)回顧復(fù)習(xí)【問題一】：回憶多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法那么【算一算】：看誰算的又快又準(zhǔn)(l)(x+2)(x-2)(2)(l+3a)(l-3a)⑶(x+5y)(x-5y)(4)(3y+z)(3y-z)學(xué)生活動：快速計(jì)算這四道題，為后面討論做準(zhǔn)備。(點(diǎn)評：提供一組與推導(dǎo)平方差公式有關(guān)的計(jì)算題，讓學(xué)生運(yùn)算并比速度，目的在于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的積極性，為建立公式搭建平臺。)（二）自主探究【問題二】：按說兩個二項(xiàng)式相乘，應(yīng)得到四項(xiàng)，為什么這四道題結(jié)果只有兩項(xiàng)呢？（點(diǎn)評：這個問題雖說很簡單，但不能小看它的作用，第一，它讓學(xué)生的思想在問題的啟發(fā)下變得活躍；第二，為后面的探究活動作一鋪墊。）【問題串】：（1）等式左邊的兩個多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？（2）等式右邊的多項(xiàng)式有什么規(guī)律？（3）你能從中猜測出一般性的結(jié)論嗎？學(xué)生活動：小組合作，解決上面三個問題。并向全班匯報(bào)自己小組討論的成果，提出猜測（。十份尸屋_b2o（點(diǎn)評：根據(jù)上面的運(yùn)算，提出三個問題，引領(lǐng)學(xué)生的探究方向，讓學(xué)生帶著問題探究，進(jìn)一步開展學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，開展有條理的思考及語言表達(dá)能力。）（三）證明猜測【代數(shù)證明］運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法那么證明猜測（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2【歸納公式工得出平方差公式：m+勿（。/）=居-加學(xué)生活動：嘗試用所學(xué)知識證明這一猜測，并用自己的語言表達(dá)平方差公式。（點(diǎn)評：讓學(xué)生經(jīng)歷“特例一歸納一猜測一證明”的知識發(fā)生過程，用所學(xué)知識解決問題，有意識的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和語言表達(dá)能力，從而真正理解公式的來源。）（四）幾何解釋【問題三】在一塊邊長為〃cm的正方形紙板上，因?qū)嶋H需要在一角上剪去一塊邊長為人cm的正方形，剩下局部的面積是多少平方厘米？方法一：用大正方形面積減去小正方形面積，即次42方法二：割補(bǔ)法。可以把剩下的部份分割成兩個矩形，然后拼成一個矩形來計(jì)算。得到新矩形的面積為（"份（。1）利用面積相等推得平方差公式：（。+份（。1）二。2.〃學(xué)生活動：教師啟發(fā)引導(dǎo)，演示剪拼動畫，學(xué)生動腦思考。（點(diǎn)評：讓學(xué)生用面積相等來驗(yàn)證平方差公式的準(zhǔn)確性，更好地理解和掌握公式，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣，教會學(xué)生一種計(jì)算面積的方法——割補(bǔ)法，滲透數(shù)形結(jié)合思想。）（五）公式分析【問題四】使用平方差公式可以簡化運(yùn)算，那什么樣的多項(xiàng)式相乘才能用平方差公式來計(jì)算呢？也就是說，平方差公式具有什么樣的特征？（1）公式的結(jié)構(gòu)特征：公式左邊的兩個二項(xiàng)式必須是相同兩項(xiàng)的和與差相乘；且兩括號內(nèi)的一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號不同。公式右邊是這兩數(shù)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。（2）字母的廣泛含義：公式中的a,b可以表示數(shù)，也可表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（即a,b表示代數(shù)式），只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可用此公式來計(jì)算。學(xué)生活動：嘗試用語言來表達(dá)，總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征，并加以理解掌握，以便能夠準(zhǔn)確運(yùn)用。（點(diǎn)評：理解并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，是這節(jié)課的重點(diǎn)，也為下一個環(huán)節(jié)：平方差公式的準(zhǔn)確應(yīng)用打下基礎(chǔ)。因此，應(yīng)讓學(xué)生充分思考，體會，發(fā)表自己的看法，到達(dá)真正理解的目的。）（六）知識運(yùn)用【試一試】：尋找a,b現(xiàn)在我們已經(jīng)知道什么樣的運(yùn)算可以用平方差公式來做了，那么下一步的關(guān)鍵是要解決什么問題？運(yùn)算的結(jié)果是aZb?,要套用公式,必須要知道誰是a,誰是b。(a+b)(a-b)aba2-b2最后結(jié)果(2+y)(2?y)(l+5b)(l-5b)(2m+3n)(2iri-3n)(-x+l)(x+l)反思：如何尋找a,b?兩個多項(xiàng)式中，a前的符號相同，b前的符號相反。找a,b的關(guān)鍵是找符號相同的項(xiàng)和符號相反的項(xiàng)。誰是a,誰是b,并不以先后為準(zhǔn)，而是以符號為準(zhǔn)。學(xué)生活動：思考，口答，填充表格，總結(jié)規(guī)律。(點(diǎn)評：以填表的形式讓學(xué)生初步嘗試運(yùn)用公式，分清結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)a、b,學(xué)會公式的應(yīng)用，有效地進(jìn)行難點(diǎn)突破。)【學(xué)一學(xué)】：例題講解例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(1)(5+6x)(5-6x)(2)(x-2y)(x+2y)(3)(-m+n)(-m-n)例2運(yùn)用平方差公式計(jì)算(1)(—x-y)(—x-y)(2)(ab+8)(ab-8)(3)(m+n)(m-n)+3n244學(xué)生活動：在教師板書例題格式后，獨(dú)立練習(xí)。并有同學(xué)上臺板演。(點(diǎn)評：通過兩組例題，逐漸加深題目難度，讓學(xué)生能夠熟練利用公式計(jì)算，從而完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)。同時，讓學(xué)生初步感知換元、整體代換的思想方法，通過思考解法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。)【練一練】：判斷正誤(1)(-a-b)(a-b)=-a2+b2(2)(-a+b)(a-b)=-a2-b2(3)(2x+3)(3-2x)=2x2-9(4)(y3+z3)(y3-z3)=y9-z9(5)(x2+y)(x-y2)=x3-y3學(xué)生活動：獨(dú)立思考，舉手回答，在疑難處進(jìn)行適當(dāng)討論。(點(diǎn)評：通過練習(xí)，幫助學(xué)生總結(jié)解決問題過程中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，理順?biāo)悸?。從而進(jìn)一步明確平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。)【想一想】：思維拓展(1)(b2+2a3)(2a3-b2)(2)(x+y+a)(x+y-l)(3)(x+y)(x-y)(x2+y2)(4)在(?3a+2bx)的括號內(nèi)，填入怎樣的式子，才能用平方差公式計(jì)算。(點(diǎn)評：通過拓展練習(xí)，提高學(xué)生認(rèn)知水平，進(jìn)一步深化對平方差公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維和發(fā)散思維能力。)(七)反思小結(jié)【說一說】：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有何收獲？學(xué)生活動：認(rèn)真回顧，總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識及教學(xué)思想方法。(點(diǎn)評：小結(jié)是構(gòu)建和完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課收獲，教師對公式的掌握和運(yùn)用作最后強(qiáng)調(diào)。)四、教學(xué)反思這一課時的重點(diǎn)是要學(xué)生明白平方差公式的推導(dǎo)，并能應(yīng)用平方差公式簡化運(yùn)算。而其中的關(guān)鍵是要學(xué)生明確平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確找到a、bo為了讓學(xué)生對平方差公式有個全面的認(rèn)識和了解，我在教學(xué)設(shè)計(jì)方面打破了教材原來的安排，把第二課時中的幾何解釋融入第一課時。先讓學(xué)生從代數(shù)的角度入手，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的知識，推導(dǎo)出平方差公式，緊接著從幾何角度加以解釋。在此基礎(chǔ)上，通過分析公式的結(jié)構(gòu)特征，加深對公式的理解。之后，設(shè)計(jì)了一個“尋找a、b”的環(huán)節(jié)，通過這個練習(xí)進(jìn)行難點(diǎn)突破。引導(dǎo)學(xué)生反思練習(xí)過程，得出“誰是a,誰是b,并不以先后為準(zhǔn)，而是以符號為準(zhǔn)”這一結(jié)論。緊接著給出兩組例題，考察學(xué)生對公式的應(yīng)用。最后通過一組判斷題和補(bǔ)充練習(xí)，拓展學(xué)生的思維水平。整節(jié)課在備課及教學(xué)過程中有很多得失：.在備課方面，備的比擬細(xì)，發(fā)現(xiàn)了教材中的一些問題，并在教學(xué)設(shè)計(jì)時嘗試解決。比方，為了給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，要從代數(shù)、幾何兩個角度證明平方差公式，但是從哪個角度入手，有利于知識的銜接，便于學(xué)生理解，我設(shè)計(jì)了好幾種方案，通過與其他老師的討論，最終決定給讓學(xué)生猜測結(jié)論，再用代數(shù)方法加以證明，后給出兒何解釋，符合知識的發(fā)生過程；課本中的公式文字說明是“兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積”，僅這幾個字，我就有兩個疑問：第一，在對公式理解時就強(qiáng)調(diào)“a、b不僅表示一個數(shù)或字母，還可以表示代數(shù)式”。但這里說的是“兩數(shù)二經(jīng)過張老師的點(diǎn)撥我才明白，因?yàn)樗械囊?guī)律最初都是在具體的數(shù)字中發(fā)現(xiàn)的，然后才推廣到字母。所以這里說的數(shù)不再是具體的數(shù)，而是代表一個整體；第二，公式中說的“兩數(shù)和與兩數(shù)差的積”，從這個角度說，這兩項(xiàng)應(yīng)是完全相同的，差異只在于運(yùn)算符號上。但由于我們之前介紹過“代數(shù)和"，(a+b)(a-b)也可以理解為(a+b)[a(-b)],就像許多教參上說的，是相同項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)，這樣就與課本定義發(fā)生矛盾。為了防止這個問題，我在介紹公式結(jié)構(gòu)特征時，只說“有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號不同”，學(xué)生可以自己去理解；課本在給出幾何背景時也不是很合理,它先給出“大正方形一角剪去一個小正方形”，學(xué)生很容易看出其面積為之后通過割補(bǔ)法，把它拼接成一個規(guī)那么的矩形，其面積為(a+b)(a?b),按這個邏輯關(guān)系得到的結(jié)論是/二5+粗?！?。因?yàn)閷W(xué)生還不知道“因式分解”，在他們看來等號左邊等于右邊，右邊等于左邊，無所謂，但實(shí)際含義卻不一樣。為了解決這個問題，我也思考了好久，最終在幻燈片制作方面做了些處理。可能在整個備課過程中，我是摳的太細(xì)，有些鉆牛角尖了。但在這個思考，推敲過程中，我確實(shí)進(jìn)步了很多，為教材的理解又深入了一層。.在上課過程中，前半局部知識講解時基本上符合自己的預(yù)想，知識銜接比擬緊密，過渡自然。講解時盡量讓自己的語言簡潔，但由于有些緊張，中間有兩