課件理論力學(xué)第十章

2由

運(yùn)動學(xué)方程：xz,

0

,

sin0

sin

sin0

cosy,

cos

動力學(xué)方程：y

'

y

'

x

'

z

'

x

'

z

'z

'

z

'y

'x

'

x

'

y

'J

(J

J

)

MJ

(J

J

)

M

y

'

z

'

Jx

'

J

y

'

Jey

'

y

'

e z

'

x

'

z

'z

'

z

'

(Jz

'Jx

'x

'

J

y

'

)y

'z

'

Mx

'

Jx

'x

'

(Jz

'

Je

)y

'z

'

Mx

'

J

(J

J

)

MJ

M

y

'

z

'

Mz

'

0z

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'ey

'

cos

sinM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

constz

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'

ey

'

M

sin

J

(J

J

)

cos

sin0

z

'0

，方向沿節(jié)線的矢量在x’,y’上的投影.z

'

cos

(J

z

'

Je

)可視為大小為

sin

J0

0

Mx

'

,

My

'xyzx'z'y'Nk

sin

sini'

sin

cos

j'

cosk

'n

cosi'

sin

j'Mz

'

0

0

sin

ω

ω而:且:

ω

ω沿節(jié)線方向.cos0

ω

ω

3z

'

e

Mo

Jz

'

(J

J

)4oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω即:

const

,

方向沿節(jié)線.Mo陀螺規(guī)則進(jìn)動的基本公式:

已知運(yùn)動

→

力二、

(Henri

Resal)定理在定系中:odtdLo

M于該剛體的所有外力對同一點(diǎn)的主矩.定理:

剛體對固定點(diǎn)

o的動量矩

Lo

的端點(diǎn)的速度，等于作用精確結(jié)果5三、陀螺近似理論oz

'

z

'

e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω如果:

則:oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω

Jz

'ω

ω四、陀螺近似理論的

解釋如果：

0

90oz

'

z

'

e

J

(J

J

)0

則也有：Mcos

ω

ω

Jz

'ω

ω6四、陀螺近似理論的解釋相對于定系:ωa

ω

ωyzx'y'z'x

oωω

ωa

x

'i

'

y

'

j

'

(

z

'

)k

'o

x

'

x

'

y

'

y

'

z

'

z

'L

J

i

'

J

j

'

J

k

'

Je

x

'i

'

Je

y

'

j

'

Jz

'

(

z

'

)k

'

Jz

'

k

'如果

的大小為常量o

z

'

L

J

k

'則當(dāng)剛體作規(guī)則進(jìn)動時，Lo

的矢端劃出一圓。7當(dāng)剛體作規(guī)則進(jìn)動時，Lo

的矢端劃出一圓。xyzz'oωoLdtdLo

ω

Lodtoo

dLoM

ω

L由定理:o

z

'

L

J

k

'Lo

Jz

'ωo

z

'

M

J

ω

ωoz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω與精確解比較:陀螺力矩：陀螺轉(zhuǎn)子作用在施力體上的反作用力矩FAFB陀螺的特性：定向性、進(jìn)動性、陀螺效應(yīng)

8(FA

,FB

)

:附加動壓力Mg

Mo

Jz

'

9陀螺的特性：Mo

0情況(稱為平衡陀螺):1.

定向性：對于動力學(xué)對稱的Lo

常矢如果初始時僅讓陀螺繞對稱軸作定軸轉(zhuǎn)動，則陀螺將一直繞對稱軸作定軸轉(zhuǎn)動。2.

進(jìn)動性：和對稱軸將向力矩(而不是力)只要高速旋轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸被迫在空間改變方向(即發(fā)生強(qiáng)迫進(jìn)動)，就會產(chǎn)生陀螺力矩，出現(xiàn)陀螺效應(yīng)。如果有外力對o點(diǎn)有矩，則Lo的方向偏轉(zhuǎn)。3.

陀螺效應(yīng)：10例：已知

1

2

大小均為常量，圓盤質(zhì)量為m，半徑為R，求轉(zhuǎn)軸作用在支座C、D的附加動壓力。Mg

Jz'

Mo

Jz'FCDF1

2CD1

mR2

FD

FC

2§10-4

剛體一般運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)一、剛體一般運(yùn)動的運(yùn)動方程x1y1111zx'z'o'ry'oxyz

:

定參考系o’x’y’z’:

隨體參考系:平動參考系xyzo

'

x1

y1z1o

'：基點(diǎn)12y1z1o'r'xzryro'x1剛體一般運(yùn)動

=

平動

+

定點(diǎn)運(yùn)動利用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動理論導(dǎo)出剛體上各點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系13二、一般運(yùn)動剛體各點(diǎn)的速度和加速度x11yz1o'r'xyzro'raM

ae

ar

ao

'

α

r

'

ω(ω

r

')M基點(diǎn)法vM

ve

vr

vo

'

ω

r

'速度投影定理成立14命題：剛體的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)證明：

設(shè)

M,A,B

是剛體上任意不重合的三點(diǎn)vM

vA

ωA

rAM

vB

ωB

rBM兩邊點(diǎn)乘

rAB

：

rAB

vArAM

rAB

ωA

rAM

rAB

vB

rAB

ωB

rBM

rAB

rBMrAB

ωA

rAB

rBM

rAB

ωB

rBM

ABω

ωωA

rBM

rAB

ωB

rBM

rAB

由M

的任意性15vM

vo'

ω

r

'速度分析對于平面運(yùn)動，在剛體或其延展體上存在速度為零的軸。對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，在剛體或其延展體上也存在速度為零的軸。問題：對于剛體的一般運(yùn)動，是否一定在剛體或其延展體上存在速度為零的軸(或點(diǎn))？設(shè)在剛體或其延展體上存在速度為零的點(diǎn)A

.vA

vo'

ω

ro'

A

0式子兩邊同時點(diǎn)乘

：vo

'

ω

0由于基點(diǎn)選取的任意性，上式一般不滿足。結(jié)論：對于剛體的一般運(yùn)動，一般不存在瞬時速度中心。必要條件16vM

vo'

ω

r

'基點(diǎn)法結(jié)論：對于剛體的一般運(yùn)動，一般不存在瞬時速度中心(瞬軸)。vo

'

ω

0但對于平面運(yùn)動，其上所有點(diǎn)的速度方向都與角速度矢量垂直。對任意的基點(diǎn)都能滿足。vB

vA

ω

rAB對基點(diǎn)法公式：兩邊點(diǎn)乘：ABrABrBAABABv

rAB

v

rABrr速度投影定理：剛體運(yùn)動的任意瞬時，其上任意兩點(diǎn)的速度在它們的連線上投影相等。三、剛體一般運(yùn)動的進(jìn)一步簡化對基點(diǎn)法公式：兩邊點(diǎn)乘：vB

vA

ω

rABvB

ω

vA

ω命題：剛體運(yùn)動的任意瞬時，其任意點(diǎn)的速度在角速度方向上投影相等。剛體一般運(yùn)動按速度分解：沿角速度方向的平移

+

垂直于角速度方向的平面運(yùn)動平面運(yùn)動存在瞬時速度中心沿某軸的平移

+

繞該軸的定軸轉(zhuǎn)動

稱為速度螺旋17取速度等于

的平移動系18剛體在任意時刻的無限小位移(瞬時位移)的三種情況：平行移動；定軸轉(zhuǎn)動；速度螺旋。該結(jié)論可推廣至剛體的有限位移。剛

移定理：剛體從一個位置到另一位置的空間一般有限位移，總可以通過剛體繞(其延展體上的)某根軸的一次定軸轉(zhuǎn)動，再加上沿該軸的一次平行移動實(shí)現(xiàn)(該種位移稱為位移螺旋)。19四、剛體一般運(yùn)動的運(yùn)動微分方程eicFma

e

Mc

(Fi

cdtdLr)20xyz例：薄圓盤(半徑為R)在粗糙水平面上的純滾動方程.CDvD

021例：薄圓盤在粗糙水平面上的純滾動，設(shè)其半徑為R.xyzOxyz

:

定參考系C’x’

y’z’:

隨體參考系x

'y

'z

'DRCCRRC

xc

i

yc

j

zc

kvC

xci

yc

j

zc

kvD

vC

ω

R

0xyzx

'z

'y

'N選取

角(,,)作為轉(zhuǎn)動參數(shù)

k

n

k'向定系投影：k

'

sin

sin

i

sin

cos

j

cos

kn

cos

i

sin

j定系上的運(yùn)動學(xué)方程：zx

cos

sin

siny

sin

sin

cos

cosyx

'y

'z

'D

RCRCR

R

cos

sin

i

R

cos

cos

j

Rsin

kR

與節(jié)線垂直，且與

z,z’

軸在同一平面內(nèi)zvD

vC

ω

R

0vC

xci

yc

j

zc

kx向定系投影：xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0zc

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

si2n2

0xyzxyz23x

'y

'z

'DRCRCc

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0z

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

sin

0運(yùn)動約束方程:xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

R

cos

sin

R

cos

R

sin

R

sin

0z化簡后得:xc

R

sin

sin

R

cos

cos

R

cos

0c

c

R

cos

0

z

R

sin當(dāng)限制盤沿y

軸作直線垂直滾動時：xc

0,

zc

R,

90節(jié)線與Cy

軸重合。24第10章要求定點(diǎn)運(yùn)動剛體的任意有限位移，可以繞通過固定點(diǎn)的某一軸經(jīng)過一次轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)。定點(diǎn)運(yùn)動剛體有限位移的順序不可交換.定點(diǎn)運(yùn)動剛體無限小位移的順序可交換.定點(diǎn)運(yùn)動剛體的角位移不能用矢量表示，但無窮小角位移可以用矢量表示。定點(diǎn)運(yùn)動剛體的角速度\角加速度可以用矢量表示。了解

運(yùn)動學(xué)方程.了解 動力學(xué)方程.自轉(zhuǎn)\進(jìn)動\章動概念.定性理論25定點(diǎn)運(yùn)動剛體上點(diǎn)的速度和加速度公式應(yīng)用;能計(jì)算定點(diǎn)運(yùn)動剛體的動量矩;能計(jì)算定點(diǎn)運(yùn)動剛體的動能;能計(jì)算陀螺力矩;能求解與例10-1和例10-2相同題型的問題。對高速自轉(zhuǎn)的陀螺，其對定點(diǎn)的動量矩近似