第14章-因式分解培優(yōu)經(jīng)典練習(xí)課件

15.4.3*因式分解（高級(jí)篇）15.4.3*因式分解（高級(jí)篇）1第14章-因式分解培優(yōu)經(jīng)典練習(xí)課件2知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法3一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)4二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式5常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)常用公式6這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程7公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。公式法隨堂練習(xí)：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將8三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：例1：因式分解x2+4x9例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，十字相乘法①10三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就11=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x12=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x213四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置14四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置15例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式16回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：17拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式18例因式分解x4+4解：原式=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+19配方法配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式配方法配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全20六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通過十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設(shè)原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過比較兩式同類項(xiàng)的系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–21=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘法雙十字相乘法適用于二次六項(xiàng)式的因式分解，而待定系數(shù)法則沒有這個(gè)限制。因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。21–336–345=–312–15∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)=3=1410+42x2+3xy–9y222七*、求根法設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程的解x1、x2……，則原式就可以分解為(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同學(xué)們自己去尋找!多練才能擁有自己的解題智慧!七*、求根法設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程的解x1、x23綜合訓(xùn)練(一)綜合訓(xùn)練(一)24綜合訓(xùn)練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的結(jié)果是()。A.(y–z)(x+y)(x–z)B.(y–z)(x–y)(x+z)C.(y+z)(x–y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x–z)3、因式分解x3+6x2+11x+6。綜合訓(xùn)練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z25綜合訓(xùn)練(三)綜合訓(xùn)練(三)2615.4.3*因式分解（高級(jí)篇）15.4.3*因式分解（高級(jí)篇）27第14章-因式分解培優(yōu)經(jīng)典練習(xí)課件28知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法29一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)30二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式31常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)常用公式32這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程33公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。公式法隨堂練習(xí)：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將34三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：例1：因式分解x2+4x35例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，十字相乘法①36三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就37=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x38=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x239四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置40四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置41例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式42回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：43拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式44例因式分解x4+4解：原式=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+45配方法配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法