全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試真題試卷

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全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試真題試卷《數(shù)學三》試題

一、選擇題:1—8小題．每小題4分，共32分．

1

．若函數(shù)10

(),0xfxax

bx?->?=??≤?

在0x=處連續(xù)，則（A）1

2ab=（B）12

ab=-（C）0ab=（D）

2ab=

2．二元函數(shù)(3)zxyxy=--的極值點是（）

（A）(0,0)（B）03(,)（C）30(,)（D）11(,)3．設(shè)函數(shù)()fx是可導函數(shù)，且滿足()()0fxfx'>，則

（A）(1)(1)ff>-（B）11()()ff-（D）11()()ff，且20AC==-，也就是()2

()fx是單調(diào)增加函數(shù)．也就得到()()2

2

(1)(1)(1)(1)ffff>-?>-，所以應(yīng)該選（C）4．

解：ivn→∞時22221111111111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn????????

--=+=++?????????????

顯然當且僅當(1)0k+=，也就是1k=-時，級數(shù)的一般項是關(guān)于1

n

的二階無窮小，級數(shù)收斂，從而選擇（C）．

5．解：矩陣Tαα的特征值為1和1n-個0，從而,,2,2TTTTEEEEαααααααα-+-+的特征值分別為0,1,1,1L；2,1,1,,1L；1,1,1,,1-L；3,1,1,,1L．顯然只有TEαα-存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選（A）．

6．解：矩陣,AB的特征值都是1232,1λλλ===．是否可對解化，只需要關(guān)心2λ=的情況．

對于矩陣A，0002001001EA??

?

-=-????

，秩等于1，也就是矩陣A屬于特征值2λ=存在兩個線性無關(guān)的特征向量，也就是可以對角化，也就是~AC．

對于矩陣B，010*******EB-??

?

-=????

，秩等于2，也就是矩陣A屬于特征值2λ=只有一個線性無關(guān)的特征向量，也就是不可以對角化，當然,BC不相似故選擇（B）．

7．解：

(())()()()()()()()()()PABCPACABPACPBCPABCPAPCPBPCPABC=+=+-=+-U()()(()()())()()()()()()()PABPCPAPBPABPCPAPCPBPCPABPC=+-=+-U

顯然，ABU與C相互獨立的充分必要條件是()()()PABCPABPC=，所以選擇（C）．

8．

解：（1）顯然22()~(0,1)()~(1),1,2,iiXNXinμμχ-?-=L且相互獨立，所以

21

()n

i

iX

μ=-∑服從2()nχ分布，也就是（A）結(jié)論是正確的；

（2）2

2

2

22

1

(1)()(1)~(1)n

iinSXXnSnχσ

=--=-=

-∑，所以（C）結(jié)論也是正確的；

（3）注意221

~(,)()~(0,1)()~(1)XNXNnXn

μμμχ?-?-，所以（D）結(jié)論也是正確的；

（4）對于選項（B）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2nnXXNNXXχ-?

?-，

所以（B）結(jié)論是錯誤的，應(yīng)該選擇（B）

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

9

．解：由對稱性知3

3

0(sin22

xdxππ

ππ-==

??．

10．解：齊次差分方程120ttyy+-=的通解為2xyC=；設(shè)122tttyy+-=的特解為2ttyat=，代入方程，得1

2

a=；

所以差分方程122tttyy+-=的通解為122.2

tt

yCt=+

11．解：答案為1(1)QQe-+-．

平均成本()1QCQe-=+，則總成本為()()QCQQCQQQe-==+，從而邊際成本為

()1(1).QCQQe-'=+-

12．解：(,)(1)()yyydfxyyedxxyedydxye=++=，所以(,)yfxyxyeC=+，由(0,0)0f=，

得0C=，所以(,)yfxyxye=．

13．解：對矩陣進行初等變換101101101112011011011011000A??????

???

=→→????????????

，知矩陣A的秩為2，由于123,,ααα為線性無關(guān)，所以向量組123,,AAAααα的秩為2．14．解：顯然由概率分布的性質(zhì)，知1

12

ab++=

12133102EXabab=-?+?+?=+-=，解得11

,44

ab==

29292EXab=++=，229

()2

DXEXEX=-=．

三、解答題

15．（本題滿分10分）

解：令xtu

-=，則,

txudtdu

=-=-

，

00

txu

dtdu

-

=

??

0000

2limlimlimlim

33

txuuxxxxx

dtedudu

++++

→→→→

====16．（本題滿分10分）

解：

33

242242

00

24

242

00

22

(1)(1)

1(1)

4(1)

111

1

41128

D

yy

dxdydxdy

xyxy

xy

dx

xy

dx

xx

π

+∞

+∞

+∞

=

++++

++

=

++

?

??

=-=

?

++

????

???

?

?

17．（本題滿分10分）

解：由定積分的定義

1

20

11

12

1

limln1limln1ln(1)

11

ln(1)

24

nn

nn

kk

kkkk

xxdx

nnnnn

xdx

→∞→∞

==

????

+=+=+

??

????

=+=

∑∑?

?

18．（本題滿分10分）

解：設(shè)11

(),(0,1)

ln(1)

fxx

xx

=-∈

+

，則

22

2222

11(1)ln(1)

()

(1)ln(1)(1)ln(1)

xxx

fx

xxxxxx

++-

'=-+=

++++

令22

()(1)ln(1)

gxxxx

=++-，則2

(0)0,(1)2ln21

gg

==-

2

()ln(1)2ln(1)2,(0)0

gxxxxg

''

=+-+-=

2(ln(1))

()0,(0,1)

1

xx

gxx

x

+-

''==L時

似然函數(shù)為2

2

1

121()(,)n

iinn