《數(shù)學(xué)分析II》課程實(shí)施大綱

PAGEPAGE43《數(shù)學(xué)分析II》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念52．課程介紹53．教師簡介54．先修課程55．課程目標(biāo)66．課程內(nèi)容67.課程實(shí)施67.1教學(xué)單元一67.2教學(xué)單元二87.3教學(xué)單元三97.4教學(xué)單元四117.5教學(xué)單元五127.6教學(xué)單元六147.7教學(xué)單元七177.8教學(xué)單元八197.9教學(xué)單元九217.10教學(xué)單元十257.11教學(xué)單元十一287.12教學(xué)單元十二337.13教學(xué)單元十三408．課程要求429．課程考核4210．學(xué)術(shù)誠信4311．課堂規(guī)范4312．課程資源4313．教學(xué)合約4414．其他說明44附教學(xué)日歷…………………441．教學(xué)理念學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主要是學(xué)習(xí)它的思想和方法，從而幫助我們處理工作和生活中遇到的問題。2．課程介紹2.1課程的性質(zhì)本課程是該專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程，是后續(xù)課程的基礎(chǔ)。2.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用是后續(xù)課程的基礎(chǔ)和前繼，具有課時(shí)重，內(nèi)容多，教學(xué)時(shí)間跨度長的特點(diǎn)。重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力、構(gòu)造性思維能力。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢是經(jīng)典的微積分學(xué)，主要是其它學(xué)科的基礎(chǔ)。2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性為后繼學(xué)科作準(zhǔn)備；培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想和方法。3．教師簡介4．先修課程：高中初等數(shù)學(xué)5．課程目標(biāo)5.1知識(shí)與技能方面：具有較為嚴(yán)密的邏輯思維能力，較強(qiáng)的推理能力。5.2過程與方法方面：注重學(xué)生從初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和生活的能力；重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)和使用數(shù)學(xué)的思想和方法。5.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面：結(jié)合學(xué)生剛從高中進(jìn)入大學(xué)的特點(diǎn)，通過該課程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生具有正確的人生觀和價(jià)值觀，積極向上，努力拚搏的生活態(tài)度；具有良好的大局觀，豁達(dá)的胸懷，給社會(huì)傳遞正能量。6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要本期主要講授一元函數(shù)解析性中的可積性以及級數(shù)理論。由于函數(shù)的解析性是以函數(shù)極限為基礎(chǔ)，所以前繼知識(shí)是數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的其它解析性。6.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)可積的定義、相關(guān)性質(zhì)；級數(shù)斂散性的判定難點(diǎn)：函數(shù)可積的條件；級數(shù)斂散性的判定6.3學(xué)時(shí)安排參見教學(xué)日歷7.課程實(shí)施7.1教學(xué)單元一：函數(shù)可積的定義7.1.1教學(xué)日期：參見附教學(xué)日歷7.1.2教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握函數(shù)的可積的定義7.1.3教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）：函數(shù)可積的定義7.1.4教學(xué)過程：第九章定積分一、定義分的定義1、設(shè)有函數(shù)，（1）分割T：對自變量的取值范圍進(jìn)行分割，在中插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，記每個(gè)小區(qū)間長度為，（2）求Rimenn和：在每個(gè)小區(qū)間上，近似地把曲邊梯形看作矩形，矩形的寬為，高為，小曲邊梯形的面積，從而大曲邊梯形的面積．(3)當(dāng)時(shí)，若（定數(shù)），則稱在上可積，并記定義：設(shè)f是定義在[a,b]的一個(gè)函數(shù)，J是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).若對任給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使得對[a,b]的任何分割T，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要<就有例：用定積分的定義求7.1.57.1.67.1.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求7.1.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第九章第一節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第九章.7.2教學(xué)單元二:函數(shù)可積的條件7.2.1教學(xué)日期：參見教學(xué)日歷7.2.2教學(xué)目標(biāo)7.2.37.2.4第二節(jié)函數(shù)可積的條件定理1（必要條件）：如果函數(shù)在上可積，則在上有界。證明：（略）例：其中上的有理數(shù)時(shí)，上的無理數(shù)時(shí)，滿足定理的結(jié)論但不滿足條件。定理2（充要條件：）函數(shù)在上可積當(dāng)就有定理2：函數(shù)在上可積當(dāng)就有定理3（可積的充分條件一）：如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上可積。證明：設(shè)T是對[a,b]實(shí)施的任一分割，由于在上連續(xù)，所以在上連續(xù)上有最值，在每個(gè)小區(qū)間(i=1,2,….n)也有最值，記M，m，是函數(shù)f分別在[a,b]和小區(qū)間上的最大與最小值。這時(shí)：=，由于由于在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，對，只要，就有，=7.2.57.2.6作業(yè)安排及課后反思7.2.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求7.2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第九章第二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第九章.7.3教學(xué)單元三：函數(shù)可積的條件（續(xù)）7.3.17.3.7.3.7.3引理：如果函數(shù)在與上可積，則函數(shù)在上可積。證明：由于函數(shù)在與上可積，則存在對的一個(gè)分割與的分割，使得，令分割是由與的分點(diǎn)組成，則是對實(shí)施的一個(gè)分割，且=+，從而函數(shù)在上可積。定理（可積的充分條件二）：如果函數(shù)在上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則函數(shù)在上可積。證明：設(shè)函數(shù)在上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，由引理，只需證明如果函數(shù)在上只有一個(gè)間斷點(diǎn)，函數(shù)在上可積。不妨設(shè)b為函數(shù)的間斷點(diǎn)。T是對實(shí)施的任一分割，=對，由于函數(shù)在上連續(xù)，設(shè)是對的任一分割，，當(dāng)時(shí)，。而，只要取，當(dāng)就有定理：（可積的充分條件三）：如果函數(shù)在上單調(diào)，則函數(shù)在上可積。證明：（略）例：顯然，在[0,1]上有無數(shù)個(gè)間斷點(diǎn)，但在[0,1]上單調(diào)增，故d[0，1]上可積。注：此例與第二充分條件的關(guān)系例：證明Rimann（x）在[0,1]上可積注：此例與三個(gè)充分條件的關(guān)系7.3.57.3.67.3.77.2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第九章第二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第九章.7.4教學(xué)單元四：函數(shù)可積的性質(zhì)7.4.17.4.27.4.3教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）7.4可積函數(shù)的性質(zhì)及證明：（1）如果函數(shù)在上可積，則函數(shù)k在上可積，且.（2）如果函數(shù)，在上可積，則在上可積，且（3）如果函數(shù)，在上可積，且，則.（4）如果函數(shù)在上可積，則在上可積，并且.（5）如果函數(shù)在與上可積，則函數(shù)在上可積，且.（6）如果函數(shù)在上連續(xù)，，且，則.（7）積分第一中值定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，則使得.推論：如果函數(shù)在上連續(xù)，在上不變號，則使得.（8）積分第二中值定理：如果函數(shù)在上可積（i）在上單調(diào)減且，使得（ii）在上單調(diào)增且，使得注：各性質(zhì)的應(yīng)用7.4.7.4.67.4.7.4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第九章第三節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第九章7.5教學(xué)單元五:函數(shù)積分的計(jì)算7.5.1教學(xué)日期7.5.27.5.3教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）：重點(diǎn)：7.5定積分的計(jì)算方法一：定義法例1：用積分的定義求定積分的計(jì)算方法二：原函數(shù)法一、原函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，記，稱是在區(qū)間I上的導(dǎo)函數(shù)，稱是在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。定理：如果、是同一個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則二、牛頓—萊布尼茲公式定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，記，如果函數(shù)在上可積，則證明：設(shè)T是對實(shí)施的任一分割，分點(diǎn)為，在上可導(dǎo)。在上滿足lagrange中值定理，使得：，從而=由于在上可積，==例：應(yīng)用N-L公式求注：N-L公式引出的問題及解決辦法問題1：被積函數(shù)在什么條件下有原函數(shù)？問題2：如果在區(qū)間I上有原函數(shù)，怎么求？問題3：N-L公式中，選擇的哪一個(gè)原函數(shù)？定義：變限函數(shù)設(shè)函數(shù)在上可積，對，積分=稱為變上限函數(shù)。定理：如果函數(shù)在上可積，則=在上連續(xù)。證明：用函數(shù)連續(xù)的定義證明定理（原函數(shù)存在定理）：如果在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間I上存在原函數(shù)。即=是在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。證明：參見主要參考書目注：此定理的作用，以及給出的變限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則例：求極限例：例：設(shè)在上連續(xù)，，證明：7.5.7.57.5.7.5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第九章第四、五節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第九章7.6教學(xué)單元六:定積分的應(yīng)用7.6.17.6.2教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握用7.6.3教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）7.6.第十章定積分的應(yīng)用一、用定積分求極限原理：如果函數(shù)在上可積，用N-L公式可求出，將所求極限轉(zhuǎn)化成在上的Riemnn和，從而求出極限。例：求解：===二、用定積分求平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系平面圖形的面積由連續(xù)曲線y=f(x)(≥0)，以及直線x=a,x=b(a＜b）和x軸所圍曲邊梯形的面積為:例：求由拋物線與直線x－2y－3=0所圍平面圖形的面積yyxOx=1解：如圖可將所求平面圖形區(qū)域看作X型，也可看作Y型2、參數(shù)方程所確定的平面圖形面積設(shè)曲線C：所圍成的平面圖形面積為：S=或例：求擺線一拱與X軸圍成面積。3、極坐標(biāo)系下平面圖形面積的求法如下圖，在極坐標(biāo)系下，平面圖形由，，參照定積分的定義，對進(jìn)行分割T：在每一個(gè)上，把曲邊扇形近似看作扇形，面積為：從而，大的曲邊扇形面積當(dāng)時(shí)，大的曲邊扇形面積例：求心形線圍成面積。7.6.7.6.67.6.7.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十章第一、二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十章7.7教學(xué)單元七:定積分的應(yīng)用（續(xù)）7.71教學(xué)日期：參見教學(xué)日歷7.7.27.7.37.7.4三、應(yīng)用定積分求平面曲線的弧長平面曲線弧長的定義：設(shè)有平面曲線C，作分割T’:在曲線C上插入n-1個(gè)分點(diǎn)，將曲線分成n個(gè)小的曲線段，（），求得曲線段（），得曲線段長度，當(dāng)時(shí)，如果，稱平面曲線C為可求長的，記為平面曲線C的弧長。問題1：平面曲線C滿足什么條件時(shí)有長度？問題2：平面曲線C有長度時(shí)，怎么求？定義：如果平面曲線C：滿足：具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且，稱曲線C是光滑曲線。定理：如果平面曲線C，是光滑曲線，則C是可求長的.證明（略）定理：如果平面曲線C，是光滑曲線，則其弧長為：例：求，的弧長思考：如果曲線用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程表示怎么求？例：求擺線一拱的弧長。四、應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積定義：設(shè)有平面曲線C：，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面，如下圖：應(yīng)用微元法求得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積公式：例：求圓在上的弧段繞x軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積。思考：平面曲線C用參數(shù)方程給出，側(cè)面積怎么求？例：求內(nèi)擺線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積。7.7.57.7.67.7.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊7.7.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十章第三、四節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十章7.8教學(xué)單元八:反常積分7.2.1教學(xué)日期：參見教學(xué)日歷7.2.27.2.3教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）：7.2.第十一章反常積分一、無窮限反常積分的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在任何有限區(qū)間上可積，如果極限，稱為在上的反常積分或無窮積分。記為，也稱積分收斂，如果極限不存在，稱積分發(fā)散。類似地，可定義無窮積分，的斂散性。例：討論積分的斂散性例：討論積分二、瑕積分的定義：設(shè)函數(shù)在上有定義，在點(diǎn)a的任意右領(lǐng)域內(nèi)無界但在任何閉區(qū)間上可積，如果存在極限，稱瑕積分收斂于，稱為的瑕點(diǎn)。記為，如果極限不存在，稱瑕積分發(fā)散。類似地可定義為的瑕點(diǎn)的積分的斂散性，也可定義為的瑕點(diǎn)瑕積分的斂散性。例：討論積分例：討論積分的斂散性解：設(shè)在上連續(xù)，為瑕點(diǎn)，由于，故當(dāng)時(shí)積分收斂于三、無窮積分的性質(zhì)與判定定理：無窮積分收斂的充要條件是：只要就有：7.6.57.6.6作業(yè)安7.6.77.6.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十一章第一、二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十一章7.9教學(xué)單元九7.1.1教學(xué)日期：7.1.2教學(xué)目標(biāo)：準(zhǔn)確理解斂散性概念、級數(shù)收斂的必要條件和其它性質(zhì)；7.1.3教學(xué)內(nèi)容：第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)——§1數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性。教學(xué)重點(diǎn)：斂散性概念和性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則7.1.4教學(xué)過程：第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性一．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的定義定義1給定一個(gè)數(shù)列，將它的各項(xiàng)依次用加號“+”連接起來的表達(dá)式（1）稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)或無窮級數(shù)（簡稱級數(shù)），其中稱為級數(shù)（1）的通項(xiàng)。級數(shù)（1）簡記為：，或。二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂性記：稱之為級數(shù)的第個(gè)部分和，簡稱部分和。定義2若數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于S（即），則稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，稱S為數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，記作=。若部分和數(shù)列發(fā)散，則稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散。例1試討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)），的收斂性。例2討論級數(shù)的收斂性。解：用拆分消去法求。三、數(shù)項(xiàng)級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系:對應(yīng)部分和數(shù)列{}，收斂{}收斂；對每個(gè)數(shù)列{}，可以看作對應(yīng)級數(shù)的部分和，=。于是，數(shù)列{}收斂級數(shù)收斂?？梢?，級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式。四、級數(shù)與無窮積分的關(guān)系無窮積分可化為級數(shù)：,,易見有=。綜上所述，級數(shù)和無窮積分可以互化，它們有平行的理論和結(jié)果?？梢杂闷渲械囊粋€(gè)研究另一個(gè)。五、收斂級數(shù)的性質(zhì)由于級數(shù)和數(shù)列的關(guān)系，不難得到下面的定理，定理12.1（級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)則）級數(shù)（1）收斂的充要條件是：任給正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)以及對任意的正整數(shù)，都有。根據(jù)定理12.1，級數(shù)（1）發(fā)散的充要條件是：存在某個(gè)，對任何正整數(shù)N，總存在正整數(shù)，有。推論（必要條件）若級數(shù)（1）收斂，則。注：此條件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3討論調(diào)和級數(shù)的斂散性。例4應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則證明級數(shù)收斂。證明：由于=。故對，取，使當(dāng)及對任何正整數(shù)，都有。故級數(shù)收斂。定理12.2若級數(shù)與都有收斂，則對任意常數(shù)，級數(shù)也收斂，且。即對于收斂級數(shù)來說，交換律和結(jié)合律成立。定理12.3去掉、增加或改變級數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級數(shù)的斂散性。（即級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)無關(guān)，但其和是要改變的）。若級數(shù)收斂，設(shè)其和為S，則級數(shù)也收斂，且其和為。并稱為級數(shù)的第個(gè)余項(xiàng)（簡稱余項(xiàng)），它代表用代替S時(shí)所產(chǎn)生的誤差。定理12.4在收斂級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。注意：從級數(shù)加括號后的收斂，不能推斷加括號前的級數(shù)也收斂（即去括號法則不成立）。如：收斂，而級數(shù)是發(fā)散的。例5（2003華東師大）設(shè)且收斂，證明：收斂．證明：提示：設(shè)與的部分和分別為與，則例6（2001華東師大）設(shè)收斂，，證明收斂且．7.9.5教學(xué)方7.9.67.9.77.9.8華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十二章第一、二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十二章7.10教學(xué)單元十7.107.10.2教學(xué)目標(biāo)：熟練利用正項(xiàng)級數(shù)的收斂原理，比較判別法，比值判別法判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性。7.10.3教學(xué)內(nèi)容：第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)——§教學(xué)重點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)的收斂判定教學(xué)難點(diǎn)：比較判別法的收斂判定及應(yīng)用7.10.4第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)一、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原則1．正項(xiàng)級數(shù)的概念若，則稱級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)。（若，也可以轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)級數(shù)）2．基本定理定理12.5正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界。3.正項(xiàng)級數(shù)判斂的比較原則定理12.6（比較原則）設(shè)和均為正項(xiàng)級數(shù)，如果存在某個(gè)正數(shù)N，對一切都有，則（1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；（2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。證明：由定義及定理12.5即可得。例1考察的收斂性。推論（比較判別法的極限形式）設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，若，則（1）當(dāng)時(shí)，級數(shù)、同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（2）當(dāng)且級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)也收斂；（3）當(dāng)且發(fā)散時(shí)，級數(shù)也發(fā)散。證明：由極限定義和比較原則即可得。例2判斷下列級數(shù)的斂散性:⑴;⑵;⑶例3若，討論級數(shù)的斂散性。二、比式判別法和根式判別法定理12.7（達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)及常數(shù)：（1）若對，有，則級數(shù)收斂；（2）若對，有，則級數(shù)發(fā)散。推論（比式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（可為）時(shí)，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。（如：，）。證明：由比式判別法和極限定義即可得。例4討論級數(shù)的收斂性。例5討論級數(shù)的斂散性。例6判斷級數(shù)的斂散性。例7判定正誤，說明理由（1）正項(xiàng)級數(shù)滿足，則收斂。（2）級數(shù)滿足，則不絕對收斂，但可能條件收斂。（3）正項(xiàng)級數(shù)收斂，則存在正數(shù)，使得（提示：不對，如）定理12.8（柯西判別法，或稱根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)及正常數(shù)，（1）若對，有，則級數(shù)收斂；（2）若對，有，則級數(shù)發(fā)散。證明：由比較判別法即可得。推論（根式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，且，則（1）當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（可為）時(shí)，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時(shí)，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散。如：，。證明：由定理12.8可得例8研究級數(shù)的斂散性。三、積分判別法定理12.9設(shè)為[上非負(fù)減函數(shù)，則正項(xiàng)級數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。例9討論下列級數(shù)（1），（2），（3）的斂散性。7.10.57.10.67.10.77.6108參考資料（具體到哪一章節(jié)或頁碼）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十二章第三、四節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十二章7.11教學(xué)單元十一7.11.17.11.2教學(xué)目標(biāo)：掌握交錯(cuò)級數(shù)收斂、一般級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的判定；會(huì)用Cauchy、D`Alembert判別法及其極限形式，Raabe7.11.3教學(xué)內(nèi)容：第十二章數(shù)項(xiàng)級數(shù)——§教學(xué)重點(diǎn)：絕對收斂與條件收斂的判定教學(xué)難點(diǎn)：Raabe變換及引理7.11.4第三節(jié)一般項(xiàng)級數(shù)一、交錯(cuò)級數(shù)若級數(shù)的各項(xiàng)符號正負(fù)相間，即，稱為交錯(cuò)級數(shù)。定理12.11（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級數(shù)滿足下述兩個(gè)條件：（1）數(shù)列單調(diào)遞減；（2）。則級數(shù)收斂。且此時(shí)有。推論若級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，則其余項(xiàng)估計(jì)式為。例1判別下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）。二絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)若級數(shù)各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂。定理12.12絕對收斂的級數(shù)一定收斂。證明：由絕對收斂的定義及級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則即可得。例2對任何實(shí)數(shù)，級數(shù)是絕對收斂的。若級數(shù)收斂，但級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂。如：是條件收斂的；和是絕對收斂的。例3判定級數(shù)的絕對收斂、條件收斂與發(fā)散性．例4證明：若絕對收斂，則也絕對收斂．全體收斂的級數(shù)可分為絕對收斂級數(shù)和條件收斂級數(shù)兩大類。絕對收斂的級數(shù)有以下性質(zhì)：1。級數(shù)的重排把正整數(shù)列到它自身的一一映射稱為正整數(shù)列的重排，相應(yīng)地稱級數(shù)為級數(shù)的重排。定理12.13設(shè)級數(shù)是級數(shù)的任意一個(gè)重排，若絕對收斂，則也絕對收斂，且其和不變。證明（略）注意：（1）由條件收斂的級數(shù)重排后所得到的級數(shù)，不一定收斂；即使收斂，也不一定收斂于原來的和數(shù)。（2）條件收斂的級數(shù)適當(dāng)重排后，可得到發(fā)散級數(shù)，或收斂于事先指定的任何數(shù)。如：設(shè)，則，而，它正是第1個(gè)級數(shù)的重排。2．級數(shù)的乘積設(shè)有收斂級數(shù)，（1）。（2）它們每一項(xiàng)所有可能的乘積為：……………………這些乘積可以按各種方法排成不同級數(shù)，常見的有按正方形順序或按對角線順序依次相加，如下表……………………定理12.14（柯西定理）設(shè)絕對收斂,絕對收斂,并設(shè)=A，=B。則它們以任何方式排列的乘積級數(shù)也絕對收斂，且乘積級數(shù)的和為AB。證明：（略）例5等比級數(shù)=，是絕對收斂的，將按三角順序排列。則得到==.三、型如的級數(shù)判斂法1．阿貝耳判別法引理（分部求和公式，也稱阿貝爾變換）設(shè)，為兩組實(shí)數(shù)，若令，則有下列求和公式成立：。推論（阿貝爾引理）若（1）單調(diào)數(shù)組；（2）對任一正整數(shù)有，記，則有。證明：由阿貝爾引理即可得。定理12.15（阿貝爾判別法）若(1)為單調(diào)有界數(shù)列，(2)級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。定理12.16（狄利克雷判別法）若(1)為單調(diào)遞減數(shù)列，且，(2)級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂。例6若數(shù)列為單調(diào)遞減，且，則級數(shù)與對任何都收斂。7.11.57.11.6作業(yè)安排及課后反思7.11.77.11.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十二章第三、四節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十二章7.12教學(xué)單元十二7.12.17.12.22、掌握函數(shù)列一致收斂的判別法；3、熟練掌握函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的Weierstrass判別法7.12.3教學(xué)內(nèi)容：第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)——§教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的定義與判定教學(xué)難點(diǎn)：一致收斂的柯西準(zhǔn)則7.12.4第十三章函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第一節(jié)一致收斂性一、函數(shù)列及極限函數(shù)設(shè)（1）是一列定義在同一數(shù)集E上的函數(shù)，稱為定義在E上的函數(shù)列。也可簡記為：或，。設(shè)，將代入得到數(shù)列：（2）若數(shù)列（2）收斂，則稱函數(shù)列（1）在點(diǎn)收斂，稱為函數(shù)列（1）的收斂點(diǎn)。若數(shù)列（2）發(fā)散，則稱函數(shù)列（1）在點(diǎn)發(fā)散。若函數(shù)列（1）在數(shù)集上每一點(diǎn)都收斂，則稱（1）在數(shù)集D上收斂。這時(shí)，都有數(shù)列的一個(gè)極限值與之對應(yīng)，由這個(gè)對應(yīng)法則就確定了D上的一個(gè)函數(shù)，稱它為函數(shù)列的極限函數(shù)。記作。于是，有，，或，。函數(shù)列極限的定義：對每一個(gè)固定的，對，（注意：一般說來N值的確定與和的值都有關(guān)），使得當(dāng)時(shí)，總有。且使函數(shù)列收斂的全體收斂點(diǎn)的集合，稱為函數(shù)列的收斂域。例1設(shè)，為定義在上的函數(shù)列，證明它的收斂域是，且有極限函數(shù)（3）例2，用“”定義驗(yàn)證在內(nèi).二、函數(shù)列的一致收斂性問題：設(shè)在數(shù)集D上,.試問:能否由通項(xiàng)的連續(xù)性、可微性和可積性判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性?答案是否定的.那末,在什么條件下答案是肯定的？一個(gè)充分條件就是所謂“一致收斂”。定義1設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集D上，若對任給的正數(shù)，總存在某一正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切的，都有則稱函數(shù)列在上一致收斂于，記作：，。注意：1.定義中的只與有關(guān)而與的值無關(guān)。2.函數(shù)列在上一致收斂于，必在上收斂于。反之不成立。定義設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集D上，若存在正數(shù)，對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)與，使得則稱函數(shù)列在上不一致收斂于一致收斂的幾何意義：對任何正數(shù)，存在正整數(shù)，對一切，曲線都落在以曲線與為邊的帶開形區(qū)域內(nèi)。定理13.1（函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則）函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂的充要條件是：對任給的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切，都有。（4）證：[必要性]設(shè)，，即對任給，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切，都有。（5）于是當(dāng)，由（5）就有。[充分性]若條件（4）成立，由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則，在上任一點(diǎn)都收斂，記其極限函數(shù)為，?，F(xiàn)固定（4）式中的，讓，于是當(dāng)時(shí)，對一切都有：。由定義1，，。定理13.2函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于的充要條件是：。（6）證明[必要性]若，。則對任給的正數(shù)，存在不依賴與的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，。由上確界的定義，亦有。則有。[充分性]由假設(shè)，對任給的，存在正整數(shù),使得當(dāng)，有。（7）因?yàn)閷σ磺校傆?。故由?）式得。于是在上一致收斂于。推論設(shè)在數(shù)集D上,.若存在數(shù)列D,使,（8）則函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂.應(yīng)用推論判斷函數(shù)列在數(shù)集D上非一致收斂時(shí),常選為函數(shù)―在數(shù)集D上的最值點(diǎn).例3設(shè)，證明函數(shù)列在R內(nèi)一致收斂.例4設(shè)，證明在R內(nèi),但不一致收斂.例5.證明在內(nèi),.證：易見而在內(nèi)成立.由定理13.2得,.例6對定義在區(qū)間上的函數(shù)列證明:,但在上不一致收斂.例7設(shè)可微函數(shù)列在收斂，在上一致有界，證明：在上一致收斂。三、函數(shù)頂級數(shù)及其一致收斂性1．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其和函數(shù)設(shè)是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式，（9）稱為定義在E上的函數(shù)頂級數(shù)，簡記為或。稱，，（10）為函數(shù)頂級數(shù)（9）的部分和函數(shù)列。若，數(shù)頂級數(shù)（11）收斂，既部分和當(dāng)時(shí)極限存在，則稱級數(shù)（9）在點(diǎn)收斂，稱為級數(shù)（9）的收斂點(diǎn)，若級數(shù)（11）發(fā)散，則稱級數(shù)（9）在點(diǎn)發(fā)散。若級數(shù)（9）在E某個(gè)子集D上每個(gè)點(diǎn)都收斂，則稱級數(shù)（9）在點(diǎn)D上收斂，若D為級數(shù)（9）全體收斂點(diǎn)的集合，這時(shí)則城D為級數(shù)（9）的收斂域。級數(shù)（9）在D上每一點(diǎn)x與其所對應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)（11）的和構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)，稱為級數(shù)（9）的和函數(shù)，并寫作，，即，。也就是說，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（9）的收斂性就是指它的部分和函數(shù)列（10）的收斂性。例8討論定義在上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（幾何級數(shù)）的一致收斂性．（12）的部分和函數(shù)為。故當(dāng)時(shí)，。所以幾何級數(shù)（12）在內(nèi)收斂于和函數(shù)；當(dāng)時(shí)，幾何級數(shù)是發(fā)散的。四、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂1．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性定義若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致收斂，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。2．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂性的判定定理13.3（柯西準(zhǔn)則）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂的充分必要條件是：時(shí)，對一切自然數(shù)及都有：定理13.4（M——判別法）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義在上且存在收斂的正項(xiàng)級數(shù)使得：則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。定理13.5（阿貝耳判別法）（判定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂的方法）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂，函數(shù)列單調(diào)且一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。定理13.6（狄里克雷判別法）（判定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂的方法）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)列在上一致有界，函數(shù)列單調(diào)且一致收斂于零，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂。例9討論在的一致收斂性．例10若區(qū)間上，對任何正整數(shù)都有：，證明當(dāng)在上一致收斂時(shí)，級數(shù)在上也一致收斂．7.12.5教學(xué)方法7.12.67.12.77.12.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十三章第一、二節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十三章7.13教學(xué)單元十三7.13.17.13.27.13.3教學(xué)內(nèi)容：第十三章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)——§教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)定理教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)定理的應(yīng)用7.13.4一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)一、函數(shù)列一致收斂級數(shù)的性質(zhì)定理定理13.9（連續(xù)性）若函數(shù)列在上一致收斂于，且每一項(xiàng)在連續(xù)，則極限函數(shù)在上連續(xù)，且定理13.10（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂于，且每一項(xiàng)在連續(xù)，則極限函數(shù)在上連續(xù)，且定理13.11（可微性）若函數(shù)列在收斂，且每一項(xiàng)在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則極限函數(shù)在上可導(dǎo)，且例1設(shè)函數(shù)在上具有任意階導(dǎo)數(shù)且任意有限區(qū)間內(nèi)一致收斂于，證明（為任意常數(shù)）．二、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂級數(shù)的性質(zhì)定理定理13.12（連續(xù)性）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂，每一項(xiàng)在上連續(xù)，則和函數(shù)在上連續(xù)，且定理13.13（可積性）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上一致收斂，每一項(xiàng)在上連續(xù)，則和函數(shù)在上可積，且定理13.14（可微性）若函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在收斂，每一項(xiàng)在上連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且在上一致收斂，則和函數(shù)在上可導(dǎo)，且例3證明：函數(shù)在上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)．例4函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，證明：例5證明：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在上不一致收斂，但在上連續(xù)，且有各階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。7.13.57.13.67.13.77.13.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》第四版，第十三章第三、四節(jié)；劉玉璉，傅沛仁編，數(shù)學(xué)分析講義的第十三章8．課程要求8.1學(xué)生自學(xué)要求：學(xué)生要做到課前有預(yù)習(xí)、課后有復(fù)習(xí)。8.2課外閱讀要求：至少閱讀兩本參考資料8.3課堂討論要求：結(jié)合該課程的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法處理和解決問題。8.4課程實(shí)踐要求：9．課程考核9.1出勤（遲到、早退等）、作業(yè)、報(bào)告等的要求：（1）不缺席、不遲到、不早退（2）練習(xí)要求：課后努力復(fù)習(xí)，必須有一定量的練習(xí)，根據(jù)自己情況決定練習(xí)量的多少（有的知識(shí)點(diǎn)教師對練習(xí)量有特殊要求），以達(dá)到對知識(shí)的要求為準(zhǔn)。教師不定期查練習(xí)冊，練習(xí)量作為平時(shí)考核的主要依據(jù)之一。（3）作業(yè)要求：對每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師會(huì)布置一定的作業(yè)量，要求整潔，不能有修改。條理清晰，思路清楚，邏輯嚴(yán)密。作業(yè)的質(zhì)量是平時(shí)考核的主要依據(jù)之一。9.2成績的構(gòu)成與評分規(guī)則說明期終成績由平時(shí)成績、期中考試成績、期末考試成績組成。（1）平時(shí)成績（占總成績30%）：由課程考核的三個(gè)方面組成。對每次作業(yè)、練習(xí)的檢查評出等級A，B，C。對遲到、早退、缺席也有相應(yīng)的評分標(biāo)準(zhǔn)。具體評分標(biāo)準(zhǔn)參見成績登記冊。（2）期中考試成績